Proposons-nous maintenant le problème suivant

( * ) La détermination des deux autres tangentes communes à K et à K' donnerait lieu à des recherches intéressantes.

Un théorème analogue au précédent a lieu à l'égard des coniques qui touchent une conique donnée, deux tangentes à cette conique et deux droites données.

Je reviendrai du reste sur ce sujet.

(proposé cette année comme sujet de la composition d'admission à l'École Polytechnique) :

Etant donnés deux cercles K et ¥J se coupant aux points CL et P, construire les dii^erses coniques qui, passant par CL et ^^ touchent ces cercles.

Construisons deux tangentes communes à K et à K' passant par un de leurs centres de similitude, puis le cercle H qui touche ces tangentes en leurs points de rencontre avec la droite a^. En désignant par X et [jl ces deux points, il e^tclair, d'après la proposition précédente, que si l'on prend un point O quelconque sur le cercle H et si l'on joint 0\ et O [jl, la conique qui, passant par les points a et p, a pour asymptotes 0\ et 0[jl, touche les deux cercles K et K'.

Le lieu des centres des coniques cherchées est donc le cercle H, et l'on voit que l'angle formé par les asymptotes de toutes ces coniques est constant.

En considérant les deux tangentes communes qui passent par le second centre de similitude, on obtiendrait un autre système de solutions, le lieu des centres de ces coniques étant un second cercle ayant, comme il est facile de le voir, même centre que le premier.

Snr les courbes de direction de la troisième classe:

1. Etant donnée une semi-droite quelconque A, si l'on considère Tensemble des semi-droites qui lui sont parallèles, on peut les regarder comme concourant en un même point situé à l'infini et que je désignerai par A^. Les semi-droites parallèles à la semi-droite opposée — ^ ( * ) peuvent être regardées comme concourant en un même point — A^ situé à l'infini.

Ces deux points doivent être considérés comme distincts, et, si l'on appelle D la droite définie par les semi-droites A et — A, on voit que D renferme deux points situés à l'infini, à savoir A^ et — A^.

Nous considérerons les points à l'infini comme situés sur une conique infiniment aplatie et ayant pour sommets les ombilics du plan, et, pour plus de clarté, j'appellerai le point A^ un semi-point, en sorte que la conique de l'infini sera le lieu des semi-points du plan.

Un point de la droite de Virifini doit être considéré commue la réunion de deux semi-points opposés.

Si l'on imagine un cycle variable qui touche constamment deux semi-droites A et A', ce cycle, lorsque son centre est rejeté à l'infini, se réduit aux deux semipoints A et A' .

Un semi-point peut être considéré comme une courbe

(^) En général, D désignant une semi-droite qaelconque, j'appellerai — D la semi-droite opposée.

de direction de la classe un ; il n'y a du reste pas d'autre courbe de direction qui soit de cette classe.

Les courbes de direction de la deuxième classe ne comprennent que les cycles -, je me propose, dans cette Note, d'étudier les courbes de direction de la troisième classe.

2. Soit [Ji le nombre des tangentes que l'on peut mener à une courbe de direction de la troisième classe et parallèlement à une semi-droite donnée; comme on peut lui mener également [x tangentes parallèles à la semidroite opposée, il résulte de là que, par un point de la droite de l'infini, on peut mener à la courbe 2 [x tangentes distinctes de cette droite. En désignant par p le nombre des points de contact de la droite de l'infini et de la courbe, on a donc

et, comme p ne peut être égal à 3, il en résulte p = 1 et [ji = I.

Ainsi la courbe considérée touche la droite de l'infini ; une semi-droite isotrope coïncidant avec son opposée, on voit en outre que les deux tangentes (distinctes de la droite de l'infini ) que l'on peut, d'un ombilic du plan, mener à la courbe, sont confondues-, la courbe passe donc par les deux ombilics.

3. Il est clair qu'on ne peut mener à une courbe de direction de la troisième classe qu'une seule tangente T parallèle à une semi-droite donnée. Traçons dans le plan un cycle arbitraire K et menons à ce cycle une tangenle parallèle à T; je dirai que cette tangente est l'image de T. Si l'on imagine un nombre quelconque de tangentes à la courbe considérée et si l'on mène tangentiellement à K des tangentes parallèles, ces dernières (ou si

Ton veut encore leurs points de contact) formeront Timage des tangentes à la courbe. On voit qu'une tangente à la courbe est déterminée quand on se donne son image sur le cycle K.

4, Considérons une courbe de direction de la troisième classe H et une tangente quelconque T à cette courbe. Par chaque point de cette semi-droite, on peut mener à la courbe deux tangentes distinctes de T^ soient a A et A a' les tangentes issues d*un point quelconque A de T. Inscrivons dans ces deux semi-droites un cycle quelconqueK sur lequel nous ferons l'image des tangentes à H.

Soit B un autre point quelconque deT; désignons par Bp et p'B les tangentes issues de ce point et soient y A et yi leurs images sur le cycle fixe K. Il est clair que si l'on se donne la semi-droite Ay, la tangente B^ est détermi-

Fig. I.

née et, par suite, le point B ainsi que la deuxième tangente B p' et son image i •/• ^^^ deux tangentes au cycle K, iy et fty', l'une étant déterminée quand on se donne l'autre, il en résulte qu'elles forment un système en involution et que leur point de rencontre b décrit une droite du plan. Cette droite U passe du reste par le point A, puisque les tangentes Aa et Aa' se confondent avec leurs images.

A chaque point B de la droite T correspond un point b de la droite U5 les points B et A déterminent donc sur ces droites des divisions homographiques et, comme le point A se correspond évidemment à lui-même, on eu conclut que la droite Bi passe par un point fixe du plan.

Pour déterminer la position de ce point fixe, je remarquerai que, si le point B s'éloigne à Tinfini sur la tangente T, Tune des tangentes que Ton peut de ce point mener à la courbe est la tangente opposée à T. Si donc nous menons au cycle K la tangente 6 anti-parallèle à T, le point b est situé sur cette semi-droite et la droite iB se confond avec quî, par suite, contient le point fixe cherché.

Soit P ce point fixe; par ce point menons une droite parallèle à U et coupant T au point w. Le point w' où Pw rencontre U étant situé à l'infini, les tangentes menées de w' au cycle K sont opposées et ont pour directions celles déterminées par la droite Pw 5 il résulte donc de ce qui précède que les tangentes issues de w sont les deux semi-droites opposées déterminées par la droite Pw, qui est ainsi une tangente double apparente de la courbe.

Ainsi la courbe de direction de la troisième classe la plus générale passe par les ombilics du plan, touche la droite de l'infini et a une tangente double apparente; c'est donc un hypercycle cubique, ou, en d'autres termes, une anticaustique par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles.

5. La propo$ition que je viens de démontrer peut encore s'énoncer de la façon suivante :

Considérons une tangente quelconque T à un hypercycle cubique H; d'un point A, pris arbitrairement sur cette semi-droite, menons les deux tangentes à la courbe

( 55 ) A a et A a' qui sont distinctes de T, puis inscrivons dans ces semi-droites un cycle quelconque K.

Fig. 2.

Menons à ce cycle la tangente anti-parallèle à T et soit P le point où cette tangente rencontre la tangente double PP' de la courbe 5 soit déplus AU la droite menée par A parallèlement à P.

Cela posé, si^ par le point Jîxe P, on mène une sécante arbitraire coupant respectivement T ef U aux points ^ et b^ les tangentes que l'on peut mener à Vhypercycle par le point B sont parallèles aux tangentes menées du point b au cycle K.

6- Par le point P menons au cycle K la tangente PCc qui est distincte de 0^ il est clair, d'après la proposition précédente, que cette semi-droite est également tangente à rhypercycle, et qu'en faisant varier le cycle K, qui est assujetti à la seule condition de toucher les tangentes A a et Aa', on obtiendra ainsi toutes les tangentes à la courbe.

Remarquons maintenant que le cycle qui touche à la ibis les tangentes Aa, Aa', PC est précisément le cycle K, que celui qui touche PC et les deux tangentes opposées PP' et P'P se réduit au point P; enfin que, des

deux tangentes communes à ces cycles, Tune est C et r autre la semi-droite S dont la direction reste constante, quelle que soit la tangente PC considérée; nous pourrons alors énoncer la proposition fondamentale suivante :

Théorème I. — Soient A, A' et B, B' deux couples de tangentes à un hypercycle cubique H ef T une tangente quelconque à cette courbe; construisons les deux cycles qui touchent respectis^ement A, A! etT, B, B' et T ; ces deux cycles ont T pour tangente commune, la seconde tangente commune O est parallèle à une semidroite fixe.

Il suffît, pour démontrer ce théorème, de remarquer qu'une transformation par semi -droites réciproques transforme un hypercycle cubique en une courbe de même espèce et que Ton peut toujours effectuer la transformation de telle sorte que les tangentes B et B' se transforment en une tangente double apparente de la courbe transformée^ auquel cas le théorème résulte immédiatement des remarques qui précèdent.

6. Le théorème précédent donne une propriété remarquable de six tangentes quelconques à un hypercycle. En voici d'autres conséquences ;

Etant donnés deux couples de semi-droites fixes A, A' et B, B' et une direction fixe 0o, menons une semi-droite quelconque % parallèle à %q^ puis construisons les cycles qui touchent respectivement A, A' et 0, B, B' et 0. Ces cycles, qui touchent 0, ont en outre une deuxième tangente commune T-, cette tangente, lorsque se déplace parallèlement à elle-même, enveloppe un hypercycle cubique tangent à A, A', B et B'.

(57) ainsi tous les hypercycles cubiques qui touchent les quatre semi-droites A, A', B et B'.

7. Comme application, supposons que les tangentes A et A' soient les tangentes isotropes issues du foyer F de la courbe et que les tangentes B et B' soient les semidroites opposées définies par la tangente double apparente PQ.

En désignant par T une tangente quelconque à Thypercycle, on voit que le cycle, qui touche T et les droites isotropes issues de F, est le cycle R qui a précisément

Fig. 3.

F pour centre-, le cycle qui touche T, B et B' se réduit au point de rencontre a de T et de PQ. La seconde tangente commune à ces deux cycles est la semi-droite U qui est Tantisymétrique de T par rapport à la droite a F. On peut donc énoncer la proposition suivante, qu'il serait très facile du reste de démontrer directement :

Un hypercycle ayant pour foyer le point F et pour tangente double la droite PQ, si a désigne le point où une semi-droite quelconque T tangente à la courbe coupe la droite PQ, V antisymétrique de T relativement à la droite Fa a une direction constante.