Etant données quatre semi-droites quelconques

A|, Aj, A3 et A4, construisons les bissectrices (Ai, A2),

( 58) (A|, A3), (A|,A4)(*)^ les foyers des paraboles qui touchent ces trois droites sont les foyers des hypercycles cubiques qui touchent les semi-droites données^ on sait d'ailleurs, par un théorème connu, que le lieu des foyers de ces paraboles est le cercle circonscrit au triangle déterminé par les trois bissectrices.

Ainsi le lieu des foyers des hypercycles cubiques qui touchent quatre semî-droites données est un cercle K, et, comme il est facile de le voir, ce cercle est celui qui contient les centres des quatre cycles inscrits dans les triangles que Ton peut former avec les semi-droites données en les prenant trois à trois.

Soient Ki , K2 et K3 trois de ces cycles et ol^ , a2, 0L3 leurs centres 5 F désignant le foyer de Tun quelconque H des hypercycles qui touchent les semi-droites données A< , Ao, A3 et A4, il'résulte de ce qui précède que F, ai, (x.2 et a3 sont situés sur le cercle K.

Eu d'autres termes, si Ton appelle I et J les deux ombilics du plan, le rapport anharmonique des semi-droites FI, ai I, a2l et (x^I est égal au rapport anharmonique des semi-droites FJ, a|J, a2Jeta3J5 ce que l'on peut encore énoncer de la façon suivante :

Si l'on mène à l'hypercycle H et aux cycles K<, K2 et K3 des tangentes parallèles à une droite isotrope d'un système, puis des tangentes parallèles à une droite isotrope de système différent, les deux systèmes de semidroites ainsi obtenues ont même rapport anharmonique.

Remarquons maintenant qu'une transformation par semi-droites réciproques transforme un hypercycle cu-

(') Je rappelle que je désigne parla notation (C, D)la bissectrice de deux semi-droites données C et D, c'est-à-dire la droite parfaitement déterminée qui est le lieu des centres des cycles qui touchent ces semi-droites.

bîque en une courbe de môme espèce, que le rapport anharmonique de quatre semi-droites parallèles se conserve après la transformation et que la transformation peut toujours être choisie de façon que deux semi-droites prises arbitrairement aient pour transformées des droites isotropes : nous en conclurons immédiatement que la proposition précédente subsiste pour des directions quelconques prises dans le plan.

D'où le théorème suivant :

Théobème il — Soient A|, Aj, Aj et A4 quatre semi-droites et K|, K,, R3 les cycles inscrits dans les triangles que Von peut former en adjoignant successivement à A4 deux quelconques des semi-droites A,, Ao ef A3 5 soit de plus H un hjpercjcle cubique quelconque qui touche les semi-droites données. Cela posé, si l'on mène à la courbe et aux trois cycles des tangentes parallèles à une direction quelconque, le rapport anharmonique de ces quatre semi-droites est constant.

On peut encore l'énoncer ainsi qu'il suit :

Théorème III. — Etant donnés trois cycles qui touchent une même semi- droite A, si une semi-droite T se déplace de telle sorte que le rapport anharmonique de cette semi- droite et des tangentes, menées aux trois cycles dans une direction parallèle, ait une valeur constante A", T enveloppe un hjpercjcle cubique tangent à ^ et aux trois semi-droites qui touchent à la fois deux des cjcles donnés ( ^ ).

Remarque. — En faisant varier le nombre A", on dé-

(') Si les trois cycles donnés n'étaient pas tangents aune même semi-droite, l'enveloppe de T serait un hypercycle de la quatrième classe y je reviendrai sur ce sujet.

terminera ainsi tous les hypercycles qui touchent les quatre semi- droites dont je viens de parler.

9. Considérons le faisceau des hypercycles cubiques qui touchent quatre semi-droites données A|, A2, A3 et A4. Soient A et A' deux semi-droites prises arbitrairement^ à chacune des courbes du faisceau on peut circonscrire un angle, et un seul, dont les côtés soient parallèles à A et à A'5 il résulte de ce qui précède que le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les asymptotes sont parallèles à à et à A'.

En particulier, quand les semi-droites A et A' viennent à se confondre, on obtient la proposition suivante :

Sij à chacune des courbes du faisceau y on mène une tangente parallèle à une semi-droite donnée A, le lieu du point de contact est une parabole dont l'axe est parallèle à A.

10. L'étude des courbes de direction de la troisième classe se rattache à un autre genre de considérations d'une grande importance dans la théorie générale des courbes de direction.

Etant donnée dans un plan fixe une droite quelconque D, on peut, par cette droite, mener deux plans isotropes qui sont distincts si la droite n'est pas elle-même une droite isotrope j nous rattacherons respectivement ces deux plans aux deux semi-droites A et — A déterminées parla droite D.

Ainsi, par toute semi-droite du plan, passera un plan isotrope parfaitement déterminé. Cela posé, étant donnée une courbe quelconque de direction K, si Ton imagine les divers plans isotropes qui contiennent les tangentes à cette courbe, ces plans envelopperont une

surface S ; en d'autres termes, si Ton considère Xsidéveloppable isotrope (*) complète qui est circonscrite à K, cette développable se décompose en deux surfaces distinctes qui correspondent à K et à la courbe qui lui est opposée.

H. Il résulte de là que la classification des courbes planes de direction se ramène à la classification des surfaces développables isotropes.

Etant donnée une surface développable isotrope S de classe r, tout plan sécant P la coupe suivant une courbe de direction K qui est de la même classe. Je ferai remarquer en outre qu'en désignant par l'arête de rebroussement de S la projection orthogonale de sur le plan P est la développée de la courbe K suivant laquelle le plan coupe la développable.

Les cônes isotropes qui ont pour sommets les divers points de 8 coupent le plan P suivant les cycles osculateurs de la courbe K.

12. On voit, en particulier, que l'étude des courbes de direction de la troisième classe se ramène à celle des développables isotropes de troisième classe et ces courbes sont toutes de la même espèce, puisqu'il n y a qu'une seule espèce de développables de la troisième classe.

Soient une cubique gauche isotrope et S la développable isotrope dont elle est l'arête de rebroussement -, on voit que toute section plane de S est un hypercycle cubique (en d'autres termes, une anticaustique par ré-

(') J'appelle développable isotrope une surface développable dont toutes les génératrices sont des droites isotropes et dont, par suite, les plans osculateurs sont des plans isotropes. Voir, à ce sujet, mon Afemoire sur l'emploi des imaginaices en Géométrie {Nouvelles Annales, 2« série, t. XI; 1872).

Des considérations analogues à celles que je développe ici ont été employées par M. Stephanos dans diverses Communications orales faites à la Société mathématique de France.

flexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles); la projection orthogonale de B sur un plan quelconque est par suite une caustique de parabole.

13. Comme application, considérons un hypercycle cubique K; soient S la développable qui est l'enveloppe des plans isotropes, qui contiennent les diverses tangentes à l'hypercyle, et la cubique gauche qui forme son arête de rebroussement.

Considérons trois tangentes quelconques A, B et C à Thypercycle; désignons respectivement par a^b et c les points où elles touchent la courbe et par a, p et y les points où les plans isotropes menés par A, B et C touchent la cubique B. Ces plans osculateurs de S se coupent en un point 5 qui, d'après un théorème connu, est situé dans le plan déterminé par les trois points a, ^ et y; soit T la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan P de l'hypercycle K.

Les cônes isotropes ayant respectivement pour sommets a, p et y coupent le plan P suivant les trois cycles Rfl, Ré et Rc qui osculentK aux points a, b et c, et l'axe de similitude de ces trois cycles est évidemment la droite T. Le cône isotrope ayant pour sommet le point S a pour trace sur le plan P le cycle inscrit dans le triangle ABC et, comme le point 8 est dans le plan a^y, il en résulte que le centre de similitude de ce cycle et de l'un quelconque des cycles R«, R^ et R^ est situé sur T.

On peut donc énoncer la proposition suivante ;

Etant donnés trois points quelconques a^b^ c d'un hypercycle cubique, si Von imagine les cycles R^, R^ et Rc qui osculent la courbe en ces points et le cycle R qui touche les tangentes menées en ces mêmes points^ les six centres de similitude de ces quatre cycles considérés deux à deux sont sur une même droite.

14. On doit remarquer en particulier le cas où le plan, qui contient les points a, ^ et y, est un plan isotrope 5 la proposition précédente peut alors s'énoncer ainsi qu'il suit :

Etant donnés un hyper cycle cubique K et une semidroite arbitraire A située dans son plan, il y a trois cycles osculateurs de K qui touchent A. Les tangentes menées aux points d* osculation et la semi-droite A sont tangentes à un même cycle,