PI

On tire de là

ce qui montre que la différence /• — q est de même signe que p — ^; d'où il résulte que le témoignage augmente ou diminue la probabilité de la vérité du fait, qui avait lieu auparavant, selon qu'on suppose y:^ > i ou p < j : la différence est nulle et le témoignage ne change rien à la probabilité antérieure, dans le cas de /j = à, où il y a un contre un à parier que le témoin dit ou ne dit pas la vérité. Lorsque , à priori , on n'a aucune raison de croire plutôt à la vérité qu'à la fausseté du fait que le témoin atteste , la probabilité q est ^ ; il s'ensuit r=p-, et, dans ce cas, la probabilité que le fait est vrai, ne dépend plus que de la véracité et des lumières du témoin.

On ne peut pas supposer que l'une des deux quantités p et q soit l'unité et l'autre zéro; mais si p approche beaucoup de la certitude et que q approche encore plus de l'impossibilité, de manière que le rapport de 7 il — p soif une très petite fraction, la probabilité r sera aussi très petite , et à peu près égale à ce rapport. C'est le cas d'un fait contraire aux lois générales de la nature, et attesté par un témoin auquel on accorderait, sans cette opposition, un grand degré de confiance. Ces lois générales sont pour nous le résultat de longues séries d'expériences; ce qui leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une très forte probabilité, encore augmentée par l'harmonie qu'elles présentent, et qu'aucun témoignage ne saurait balancer. Si donc le fait attesté est contraire à ces lois, la probabilité qu'il n'est point inexact sera à très peu près nulle avant le témoignage; et en supposant même le témoin de bonne foi. il suffira qu'il ne soit point infaillible pour que sa chance d'erreur I — p soit extrêmement grande par rapport à cette probabité antérieure q, et que la probabilité r. après le témoigna<,'e, puisse encore être considérée comme insensible. En pareil cas, il serait raisonnable de rejeter notre propre témoignage, et de penser que nous sommes trompés par nos sens qui nous présenteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature.

(57). Supposons que le fait dont nous venons de considérer la probabilité, soit aussi attesté par un second témoin; désignons par /?' la probabilité que ce témoin ne nous trompe pas, et par r' la probabilité de la vérité du fait , résultante du double témoignage ; en observant

que la probabilité de la vérité de ce fait était déjà r, indépendamment

de la seconde attestation, on en conclura que l'expression de r doit se

déduire de celle de r, par le changement de /; et 9 , en p' et r; ce qui

donne

ou bien, en mettant pour r et i — r leurs valeurs, ,j IPP'

qpp' + ( 1 — 7) (« —p) (' —p')'

Si le second témoin atteste la fausseté du fait dont la vérité a été affirmée par le premier, on remarquera qu'indépendamment du second témoignage, la probabilité que le fait est faux avait déjà i — r pour valeur, en désignant donc par r, la probabilité de la fausseté du fait, résultante des deux attestations contraires, l'expression de r, devra se déduire de celle de r du numéro précédent, par le changement de p et q, en />' et i — r, et de cette manière, on aura

r Pi^—f)

ou , ce qui est la même chose ,

Dans le cas de p = p', cette valeur de /-, se réduit à i—q; et, en effet, les deux témoignages contraires et de même poids se détruisent, et la probabilité de la fausseté du fait doit demeurer la même qu'auparavant.

On déterminera de même, sans difficulté, ia probabilité qu'un fait est vrai ou faux, lorsqu'il est attesté par des témoins et nié par d'autres, en nombre <^uelconque. Si le fait est attesté par tous les témoins à la fois, l'expression de la probabilité qu'il est vrai prendra la forme suivante.

Soit toujours, antérieurement à tous les témoignages, q la probabilité que le fait est vrai; désignons par j^, ce que devient cette proba-

bilitë après que le fait a été attesté par un nombre quelcouque x de témoins; j'^, sera cette même probabilité, quand le fait est attesté seulement par un nombre x — i de témoins; et si l'on représente par p avec un nombre x — i d'accents, c'est-à-dire par y/"'"'^, la probabilité que le témoin qui n'est pas compris dans ceux-ci, ne nous trompe pas, lorsqu'il atteste aussi la vérité du fait, l'expression dej'^ se déduira de celle de r du numéro précédent, en y mettant p^''~'^ et Jx—, au lieu de /> et «7, de sorte que l'on aura

La valeur dej-„ sera la probabilité primitive q\ et si l'on fait successivement a: = I, = 2, =3, etc., on déduira de cette formule

d'où l'on conclura la valeur de^', parî'éliniination dejr, , celle de r, par l'élimination de y^, et ainsi de suite. Mais, si l'on fait, pour abréger.

l'équation précédente, aux différences finies du premier ordre, se changera en celle-ci :

dont l'intégrale complète est

en désignant par c la constance arbitraire. En mettant j- — i au lieu de X dans cette expression de y^, on en déduit eflectivement

y^"-^ C-}-(t c) f.fjfs. ..(>r['