I02 RECHERCHES

•^'~' '•■+(1— c)p,p,f3...Px,'

et ces valeurs jointes à celle dej\, rendent identique l'e'quation donnée. On déterminera la constante c au moyen d'une valeur particulière àej-^, et, si l'on veut, au moyen de celle qui répond à jcz=:o; en prenant alors l'unité pour le produit p.fjCj. . .p^, de x facteur, il en résultera j^o = '/ =c', et, pour un nombre quelconque x de témoins, nous aurons ensuite

Jx =

? 4- ( ' — ?) f'hfi-- -px'

Relativement au témoin qui répond à l'indice quelconque i, la quantité fi est le rapport de la probabilité qu'il nous trompe à la probabilité qu'il ne nous trompe pas, desorte qu'on a f,>'r ou Pi^i? selon que la première probabilité est supérieure ou inférieure à la seconde et fi= I quand elles sont éga^s. Si le nombre des témoins est très grand et considéré comme innni, et que p^ surpasse l'unité pour tous les témoins, la probabilité j^ de la vérité du fait qu'ils attestent sera zéro à une exception près ; et au contraire , dans ce cas de jc infini , cette probabilité sera l'unité ou la certitude, aussi à une exception près, lorsque p, sera moindre que l'unité pour tous les témoins. L'exception aura lieu, quand les quantités />, , f>^, f^, etc., décroîtront ou croîtront continuellement, mais en s'approchant indéfiniment de l'unité. Prenons, par exemple, pour leur tei'me général,

(2J— l)'sr'

TT désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et g une constante donnée qui ne surpassera pas l'unité , afin qu'aucune des quantités />,, p^, ^3, etc., ne soit négative. Par une formule connue, leur produit sera égal à cosg; on aura donc

-/ co

7+(« — î) cosg-' quantité qui différera beaucoup de l'unité, quand g différera de

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io5

même de -tt. Si l'on fait g=h \/ — i , La nouvelle constante h pourra

être plus petite ou plus grande que l'unité. En désignant par c la hase des logarithmes népériens , il en résultera

et si h ne surpasse pas l'unitc, ou seulement si h n'est pas un très grand nomlre, cette probabilité j^ ne sera pas très petite. Toutefois, il sera facile de s'assurer que la première valeur de j\, , sera toujours supérieure à la probabilité <i antérieure aux témoignages, et la seconde toujours inférieure.

Ces formules supposent que tous les témoignages soient directs ; nous examinerons tout à l'heure le cas ou un seul est direct, et tous les autres sont traditionnels.

(58). Quand un témoin ne se borne point à dire qu'une chose soit vraie ou fausse, mais qu'il atteste l'arrivée d'un événement, dans un cas où il y en avait plusieurs qui fussent possibles; l'événement qu'il peut annoncer, quand il se trompe ou qu'il veut tromper, n'est point unique, et doit être seulement un de ceux qui n'ont point eu ou qu'il ne croit point avoir eu lieu; or, cette circonstance influe, comme on va le voir, sur la probabilité de l'événement après le témoignage, indépendamment de celle qu'il avait auparavant.

Je suppose, pour fixer les idées, qu'une urne A renfei'me un nombre f* de boules , dont a, portent le n" i , rt, le n° 2, . . . a^ le n* m , de sorte qu'on ait

et que m soit le nombre de numéros différents que cette urne renferme; si une boule en est sortie, on pourra aussi faire m hypothèses ditïërentes C, , C,, C3,...C,„, sur le numéro de cette boule j leurs probabilités avant aucun témoignage, étant désignées par 7,, 7», 73, . . . (/„, on aura

io4 RECHERCHES

et si un témoin annonce que la boule sortie de A porte le n" n, les probabilités de ces hypothèses prendront les valeurs fisr, , "tër^ , ^j , . . .'?«r„ . qu'il s'agira de déterminer par la règle du n° 54. Ici l'événement observé sera l'annonce, parle témoin, de la soitie du n° n; chacune des hypothèses donnera une certaine probabilité à cet événement, dont il faudra d'abord former l'expression; on représentera par /;,, p^, ^3,. . ./?„, ses probabilités résultantes des m hypothèses; et d'après ces diverses notations, C,, qi,<î!r,,pi, répondront à la sortie d'un numéro quelconque /, et, en particulier, C^, q„, ts;, p„, a la sortie du n" n annoncé par le témoin.

Je désigne par u la probabilité que ce témoin ne se trompe pas, et par V la probabilité qu'il ne veut pas tromper ; r — u sera la probabilité qu'il se trompe, et 1 — v qu'il veuttromper. Dans la n'^"" hypothèse, c'est-à-dire, dans la supposition que ti est réellement le numéro extrait de A, le témoin annoncera la sortie de ce numéro, s'il ne trompe pas et s'il ne veut pas tromper, combinaison dont la probabilité est iiv par la règle du n° 5. S'il se trompe, il croira que la boule sortie de A porte un numéro quelconque 71' différent de n; et en même temps, s'il veut tromper, il annoncera un numéro différent de n', ou pris parmi les m — I autres numéros; la chance qui en résultera pour le n" n'

d'être précisément celui que le témoin annoncera , sera donc ,

en admettant, toutefois, que le témoin n'ait aucune prédilection pour un numéro plutôt que pour un autre; par conséquent, d'après la règle citée, la probabilité que ce numéro sera annoncé par un témoin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions I — M, 1 — t' , — ^ — . Soit que le témoin se trompe et ne veuille

pas tromper, soit qu'il ne se trompe pas et veuille trompei-, le témoin n'annoncera pas la sortie du n" n; car, dans le premier cas, il voudra annoncer le numéro qu'il croira sorti et qui ne sera pas le n° n, et, dans le second, il saura que ce numéro est sorti et ne voudra pas l'annoncer. De toute cette discussion et d'après la règle du n° 10, on conclut

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io5

pour la probabilité complète que l'hypothèse C,, si elle était certaine, donnerait à l'événement observé.

Dans J'hypothèsc Q, correspondante à la sortie d'un n° i différent de /?, le témoin n'annoncera pas le n° n, s'il ne se trompe pas et ne veut pas tromper. S'il ne se ti'ompe pas et qu'il veuille tromper, il saura que le n" i est sorti, mais il annoncera la sortie de l'un des }n — i autres numéros; et la chance pour que ce soit

le n" n, sera — î — : d'où il résulte " *" pour la probabilité

que ce n' n sera effectivement annoncé par le témoin. S'il se trompe et qu'il ne veuille pas tromper , cette probabilité sera égale à

^- -; car le témoin pourra croire que le numéro sorti est un

des m — I numéros différents de i; il annoncera celui qu'il croira sorti; et sera la chance pour que n soit ce numéro. Enfin , si le témoin se trompe et qu'il veuille tromper, il faudra d'abord qu'il croie sorti de A, un des m — i numéros différents de celui qu'il annonce;

sera donc la probabilité qu'il croira sorti un numéro déterminé n'; cette fraction exprimera aussi la probabilité qu'il annoncera le n" n, parmi les m — i numéros différents de n ; on aura donc

— Ij— ^ pour la probabilité que le témoin croira sorti le n° n' et qu'il

annoncera la sortie de ?i. La chance qui en résultera pour ce n° n

d'être annoncé sera, par conséquent, la fraction- — multipliée

par le nombre des numéros tels que n' , que le témoin a pu croire sortis de A ; lequel nombre est seulement m — 2, puisque le témoin qui se trompe et qui veut tromper, ne peut croire sorti ni le n° i qui l'est réellement , ni le n' n qu'il annonce. D'un autre côté, la probabilité de cette double erreur est le produit (i — u) (i — y); la probabilité que le n" 11 sera effectivement annoncé par ce témoin, aura donc pour valeur le produit (i — u) (i — v)

multiplié par la chance - — ~ . Je réunis les probabilités de cette

annonce dans les trois cas distincts où elle peut avoir lie", il en résulte

(w-ir-

pour la probabilité complète de l'événement observé , dans une des m — 1 hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de/j; est d'ailleurs liée à celle de/7„ par l'équation

résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du n° n, correspondante aux m hypothèses C,, C„ C3, . . . . C„, doit être égale à l'unité.

Maintenant , par la règle du n° 34, nous aurons

'Zî^« = — — r-„-r— , "^i — ■ —

l'.Pr.+^qiPi' ' quPu + zijip,'

les sommes 2 s'étendant à toutes les valeurs de l'indice i, depuis / = i jusqu'à i= m, excepté i = n. Et comme la quantité pi est indépendante de i, et que la somme des valeurs de </;, moins celle qui répond

à iz=z7i, est 'i^— , l'expression de '3r„ deviendra

r(m— 1) i/i'4-(i— i/)(i — t')] (m— i)fl„

— [(ni-i)î/i'+(i-")C»-'')]('«-i)«'.+ [('"-0(i-'')«-(-("^-0(i-")''+('n-2)(i-")(i-i')](^-a„)'

après qu'on y aura substitué les valeurs de/7„, q„f p„ q„ et multiplié son numérateur et son dénominateur paru(»î — 1)'. Ce sera donc la probabilité que le numéro 7i annoncé par le témoin est réellement sorti de A ; la probabilité qu'il ne l'est pas aura 1 — -sr» pour valeur ; et , en particulier, celle de la sortie d'un tout autre numéro déterminé i se déduira de l'expression de i — tB-n, en la multipliant par le rapport de qiPihl. q,pi, ou de rt, à/A — a„; en sorte que l'on aura

erSi

ft Cn

On doit remarquer que pour obtenir ces résultats, nous avons admis que quand le témoin se trompe ou qu'il veut tromper, le numéro qu'il annonce est déterminé par le hasard seulement, et non par quelque cause particulière. Il n'en serait pas de même, lorsqu'il veut

tromper, s'il avait une raison quelconque pour faire croire à l'arrive'e d'un numéro plutôt qu'à celle d'un autre , ni quand il se trompe , si son erreur était produite, par exemple, par la ressemblance du numéro qu'il croit sorti et qu'il annonce, avec le numéro réellement extrait de A. Ces circonstances difticiles à apprécier et dont nous avons fait abstraction pourraient influer beaucoup sur la probabilité de la sortie du numéro annoncé par le témoin.

Au lieu de boules portant un nombre m de numéros différents, 1 urne A pourrait contenir des boules d'un pareil nombre de couleurs diverses. Si elle renferme seulement des boules blanches et des boules noires , les premières en nombre a et les secondes en nombre fx — n, et que la sortie d'une boule blanche soit annoncée par le témoin, on fera m = 1 et a„ = a , dans l'expression de «nr, ; en désignant par r, ce qu'elle devient alors, on aura

pour la probabilité qu'il est effectivement sorti une boule blanche de A,

On peut assimiler à ce cas particulier, celui d'un fait vrai ou faux, attesté par un témoin : on prendra pour ce fait l'extraction de la boule blanche; r sera la probabilité qu'il est vrai; et son expression devra coïncider avec celle du n° 36. jNous aurons d'abord

p= iw -\- (i — u) (1 — t') ,

pour la probabilité que le témoin ne nous trompe pas ; car cela peut avoir lieu parce qu'il ne se trompe pas et ne veut pas tromper, ou bien aussi parce qu'il se trompe et veut tromper, c'est-à-dire parce que entre les deux seules choses possibles, l'extraction d'une boule blanche et celle d'une boule noire , représentant la vérité et la fausseté du fait attesté, le témoin croit le contraire de ce qui est, ou dit le contraire de ce qu'il croit, La probabilité qu'il nous trompe sera, en même temps ,

ce qui se déduit de la valeur de p, ou s'obtient directement en obser-

io8 RECHERCHES

vant que le témoin peut nous tromper, soit qu'il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu'il se trompe et ne veuille pas tromper. On aura encore

i fi " fi '

pour les probabilités avant le témoignage , de la vérité et de la fausseté du fait que le témoin atteste. Ces diverses valeurs rendent, en effet, l'expression de r du n° 56 identique avec celle que l'on vient d'écrire.

Quand l'urne A ne renferme qu'une seule boule portant chaque numéro, depuis le n° i jusqu'au n" m, on a rt„ ^ i et jU = m; ce qui simplifie beaucoup l'expression générale dczjr, , et la réduit à

rZS-n = tlV -f- -^ — .

Cette probabilité que le n" 7i annoncé par le témoin est réellement sorti de l'urne A , ne diffère pas , dans ce cas , de celle qui a été désignée plus haut par/>„, c'est-à-dire de la probabilité que le témoin annoncera le n° n, dans la supposition de la sortie de ce numéro. Elle diminue à mesure que le nombre tn des numéros contenus dans l'urne devient plus grand, et serait égale à la probabilité que le témoin ne se trompe ni ne veut tromper, si ce nombre pouvait devenir infini.

(3p). Il resterait à considérer le cas général où il existe plusieurs témoins dont les uns ont ime connaissance directe du fait qu'ils attestent, et les autres le connaissent seulement par tradition; mais pour ne pas donner une trop grande étendue à cette digression sur la probabilité des témoignages, nous nous bornerons à résoudre une question particulière de cette espèce.

Nous appellerons T, T,, T,,,.. T,,, T^, les témoins dont le nombre sera jc -f- i. Comme dans le problème précédent, une boule a été extraite de l'urne A, son numéro est à la connaissance directe de T, chacun des autres témoins tient de celui qui le précède que cette boule portait le n ?i; en sorte que ce fait est transmis du premier témoin T au dernier T^, et de celui-ci à nous, par une chaîne traditionnelle, non interrompue. Le témoin T^ étant donc le seul que nous ayons etj\endu, l'événement observé, dans cette question, est

l'attestation, par ce te'moin, qu'il tient de Ti, que le n° «est sorti de A; et il s'agit de déterminer la probabilité que ce numéro soit effectivement celui qui a été extrait de cette urne.

Soient j^^ la probabilité de l'événement observé, dans l'IiypothèseC, de la sortie du n° n de A, et^'^, dans l'hypothèse Q de l'extraction d'un autre n° /. En désignant toujours par «, et a^ les nombres de boules n° n et n* i contenus dans A , et par f/. le nombre total de boules qiie

cette urne renferme, la fraction — sera, à priori, la chance de la sor-

tie du n° n, et — celle de la sortie du n° /. Par la règle du n° 34, nous

aurons

anjx -H '^"ij

pour la probabilité de l'hjpothèse C,; la somme 2 s'étendant à tous les indices /, depuis/ = i jusqu'à /= m, excepté i=-n. On verra tout à l'heure que l'expression de j^^ est indépendante de i ; et la somme des valeurs de «,, excepté a, , étant fji. — «„, cette valeur de tffa est la même chose que

a„Jx-^(f'—a«)y\

On en déduira la probabilité tB-j de toute autre hypothèse Q , en multipliant I — «js-, par le rapport de rt^à fx. — «„.

Le problème se réduit donc à la détermination des inconnues j'^ et y ^ en fonctions de x. Pour cela, je représente par k:, la probabilité que le témoin T^. ne nous trompe pas, de sorte que i — k^ soit la probabilité qu'il nous trompe , involontairement ou à dessein. Le témoin T^ annoncera la sortie du n" n àe S., s'il ne nous trompe pas et que T^, ait aussi annoncé l'extraction de ce n°; combinaison dont la probabilité estle produit Aj:^i,,, dans l'hypothèse C„, en observant que Jx—i exprime à 1 égard de T^, , ce que j, représente relativement à T^. Il pourra encore annoncer la sortie du n° n, s'il nous trompe , et qu'en même temps T^, ait annoncé celle d'un autre numéro; dans 1 hypothèse €„, la probabilité de cette combinaison est le produit (i — Ai) (i — Jx-i)] maisla chance que« sera le numéro qu'annoncera T^

no RECHERCHES

parmi les m — i numéros qu'il ne croit pas annoncés par T^, , étant

seulement , cette considération réduira a la prq-

habilité de l'annonce du n" n. Enfin, le témoin T^ n'annoncera pas la sortie de ce numéro, soit quand il nous trompera et que Ti, l'aura annoncé, soit quand il ne nous trompera pas et que T^, aura annoncé la sortie d'un autre numéro. Nous aurons donc

pour la probabilité complète de l'événement observé, dans l'hypothèse C„. On trouvera de même

Jx — h^Jx-,f m— I '

pour cette probabilité dans toute autre hypothèse C; ; en sorte que les deux inconnues^, etjr'x dépendront d'une même équation aux différences finies du premier ordre, et ne différeront l'une de l'autre que par la constante arbitraire.

En considérant j^ et désignant cette constante par c , l'intégrale complète de l'équation donnée sera

car en y mettant x — i au lieu de x, on eu déduit

I c (m^i — i) (m/'a — i) (rnkj., — i)

I —Tx-, =

m — I c(mk, — i) (m^a — i). . . . (m^x i — ')

et ces valeurs jointes à celle de j-^ rendent identique l'équation donnée. Pour déterminer la constante c, je fais x = o dans l'intégrale, et j'observe que la probabilité j-^ qui se rapporte au témoin direct T, doit être celle que l'on a désignée par />„ dans le numéro précédent. En prenant, dans ce cas de x = o , l'unité pour le produit des facteurs q«e l'intégrale renferme, on aura donc

I , rnp,,— I p. = \- C, C = —^ .

Pour une valeur quelconque de x , on aura donc ensuite

ou l'on a fait, pour abréger,

{mk, — I ) (m^-j — I ) . . . . (wX-j — î) Y

En observant que la probabilité j'^ relative au témoin direct T, dans une hypothèse quelconque C, différente de C„, doit aussi être celle que l'on a exprimée par pi dans le numéro précédent, nous anrons de même

quantité indépendante de /, puisque p, ne dépend pas de ce nombre. Je substitue ces valeurs dans celle de izir^; il en résulte

[i 4-(wp.— i)X]a„ + [i -\-{mpi— i)X](^— a„)

pour la probabilité que le n" n annoncé par Je dernier témoin T,, est réellement sorti de l'urne A; ce qu'il s'agissait de déterminer. Le produit représenté par X peut être remplacé par celui-ci :

en faisant, pour abréger,

Le nombre m étant toujoure plus grand que un, et k^ désignant une fraction positive qui ne peut pas surpasser l'unité, il s'ensuit que chacun des facteurs de X pourra être positif ou négatif, sans sortir jamais des limites ± i . Lorsque le nombre x des facteurs sera très grand , ce produit sera insensible ^ et tout-à-fait nul , si ce nombre était infini , en

exceptant toutefois les cas particuliers où les facteurs A,, ^,, hi, etc., formeront une série de fractions continuellement convergentes vers l'unité. Cela étant, si l'on néglige dans l'expression de 'w^, les

termes qui contiennent X, elle se réduira à — ; d'où il résulte qu en T fi

général, la probabilité d'un événement qui nous est transmis par une chaîne traditionnelle d'un très grand nombre de témoins , ne diffère pas sensiblement delà chance propre de cet événement, ou indépendante du témoignage ; tandis que l'attestation d'un grand nombre de témoins directs d'un événement rend sa probabilité très approchante de la certitude , lorsqu'il y a pour chacun de ces témoins plus d'un conti'e un à parier qu'il ne nous trompe pas (n* Sy).

Dans le cas particulier où l'urne A ne contient qu'une seule boule de chaque numéro , et où l'on a, en conséquence, «„ = i et/A = m, la valeur de far^ se réduit à

en vertu de l'équation du numéro précédent ^

Cette probabilité coïncide donc alors avec y^, c'est-à-dire, avec la probabilité de l'annonce du n° ?i par le témoin T^, dans l'hypothèse C„ que ce numéro est i-éellement celui qui a été extrait de A. Mais on ne pouvait pas, comme dans la solution que Laplace a donnée de ce problème (*), prendre à priori l'une pour l'autre , ces deux probabilités 7'i et fSTn , qui ne sont d'ailleurs identiques que quand le rapport de /A — a„ à rt„ est égal à celui de m — i à l'unité.

C4o). On peut, si l'on veut, exprimer chacune des quantités k, , A,, A-j, etc., au moyen du nombre m et des probabilités que le témoin auquel elle se rapporte, ne se trompe pas et ne veut pas tromper. J'appellerai u^., la probabilité que le témoin quelconque T^, appartenant à la chaîne traditionnelle, ne s'est pas trompé, et v^, la probabilité

(*) Théorie annly tique des probabilités ; page 4^7 .

SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. ii5

qu'il n'a pas voulu tromper. Si ces deux circonstances ont concouru, le témoin n'aura pas trompé; il aura pu aussi ne pas tromper, s'il s'est

trompé et qu'il ait voulu tromper; mais dans ce second cas, — -— - est

la chance qu'il aura annoncé le n° ii, parmi les m — i numéros qu'il ne croyait pas sortis de A ; et ces deux cas étant les seuls où il n'aura pas trompé, en annonçant ce numéro, la valeur complète de k^, sera

pour x' ^o, elle coïncide avec la valeur de /)„du numéro précédent, en prenant u, et v, pour les quantités u et t'que celle-ci renferme.

Cette quantité A,, est la probabilité qu'on doit attacher au témoignage de Tj,, ou la valeurj de ce témoignage, considéré en lui-même, c'està-dire, la raison qu'on a de croire à la sortie d'un n° n, d'une urne A, qui peut contenir un nombre m d'espèces de numéros différents , lors- (|ue l'on sait seulement que cette sortie est attestée par un témoin T,, pour lequel u^, et c„ sont les probabilités qu'il ne se trompe pas et qu'il ne veut pas tromper. Si l'on est certain que T,, se trompe et veut tromper , on aura u^, =: o et v„=zo. et la probabilité X^„ que le n" n est sorti , résultante de son témoignage, sera néanmoins égale à

— . Ce sera la certitude, dans le cas de /n = 2: et, en effet, le té-

moin annonçant celui des deux numéros qu'il ne croit pas sorti, et croyant sorti le numéro qui ne l'est pas, se trouvera avoir annoncé nécessairement la vérité. Dans le cas de m = 3, il y aura un contre un à parier pour la sortie de celui des trois numéros que le témoin aura annoncé; ce qu'on vérifiera aisément par l'énuméralion de toutes les

combinaisons possibles: et l'on vérifiera de même la valeur de

la probabilité X^, relative à un nombre quelconque m.

On ne doit pas confan^i'e le cas d'un témoin qui se trompe et veut certainement tromper, avec celui où la chaîne traditionnelle est interrompue, de manière que le témoin T^,, qui précède T^, n'existe pas. U est certain qu'alors le témoin T,, veut tromper, puisqu'il suppose l'existence de T^,, ; on a donc f^, = o ; mais la probabilité que T^,, ne

,i4 RECHERCHES

se trompe pas, n'est point nulle : ce témoin n'ayant, dans ce cas, aucune notion sur l'événement arrivé, la probabilité qu'il annonce le

numéro réellement sorti , est — : par la même raison , c'est aussi la

valeur de son témoignage; et en effet, si l'on fait u^, = — et

p^, = o, dans la formule précédente , il vient k:^, = — . Cette valeur de /v rend nul le facteur h^, de X, et réduit, par conséquent, la probabilité -zs-. de la sortie du n" nh—, c'est-à-dire, à la chance propre de

cet événement, comme cela doit être évidemment.

(4i). Au moyen de la règle relative à la probabilité des causes, nous pouvons actuellement compléter ce qui a été dit à la fin du n° 7, sur la tendance de notre esprit à ne pas douter que certains événements n'aient une cause spéciale, indépendante du hasard.

Lorsque nous avons observé un événement qui avait en lui-même une très faible probabilité ; s'il présente quelque symétrie, ou quelque autre chose de remai-quable, nous sommes naturellement portés à penser qu'il n'est pas l'effet du hasard, ou plus généralement de la cause unique qui lui donnerait cette faible chance , mais qu'il est dû à une cause plus puissante, telle que la volonté de quelqu'un qui aurait eu un but particulier en le produisant. Si, par exemple, nous trouvons sur une table, en caractères d'imprimerie, les 26 lettres de l'alphabet, rangées dans l'ordre naturel n, b, c,. . . . x, y, z, nous ne faisons aucun doute que quelqu'un ne les ait ainsi disposées par un acte de sa volonté ; cependant cet arrangement n'est pas en lui-même plus improbable que tout autre qui ne nous présenterait rien d,e remarquable, et que pour cette raison nous n'hésiterions pas à attribuer au seul hasard. Si ces 26 lettres devaient être tirées successivement et au hasard, d'une urne où elles seraient renfermées, il y aurait la même chance qu'ellesarriveraient dans l'ordre naturel, ou dans un ordre déterminé d'avance, comme celui-ci b, p,w,. . ■ q, a, t, que je choisis ari^tvai rement : cette chance serait aussi petite, mais pas moindre, pour le premier arrangement que pour le second. De mcrae, si une urne renferme, en nombres egaxix, des boules blanches et des boules noires, et qu'on en doive extraire successivement 5o boules, en y remettant à chaque fois la

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. m5

houle extraite, la probabilité que ces 3o boules seront blanches , aura pour valeur la So" puissance de -, c'est-à-dire, à peu près l'unité divisée par un milliard. Mais la probabilité de la sortie de 3o houles, les unes blanches et les autres noires, dans tel ordre et dans telle proportion que l'on voudra assigner d'avance, ne sera ni plus grande ni plus petite que celle de l'extraction de 5o houles blanches; et il y aura également environ un milliard à parier contre un que cet autre arrangement déterminé n'arrivera pas. Cependant, si nous voyons sortir de l'urne 3o fois de suite une boule blanche, nous ne pourrons pas croire que cet événement soit dû au hasard, taudis que nous lui attribuerons sans ditBculté l'arrivée de 3o jjoules qui ne nous offrira rien de régulier et de remarquable.

Ce que nous appelons hasard (n" 27), produit, pour ainsi dire, avec la même facilité, un événement que nous trouvons remaïquable et celui qui ne l'est pas. Les événements de la première espèce sont beaucoup plus rares que ceux de la seconde, lorsque tous les événements également possibles sont très nombreux. Pour cette raison, l'arrivée des premiers frappe d'avantage notre esprit; ce qui nous porte à leur chercher une cause spéciale. L'existence de cette cause est, en effet, très probable ; mais sa grande probabilité ne résulte pas de la rareté des événements remarquables : elle est fondée sur un autre principeauquel nous allons appliquer les règles précédemment démontrées.

(42). Appelons E,, E,, E3, etc., les événements remarquables qui peuvent avoir lieu , et F,, F,, Fj, etc., les événements non remarquables. Lorsqu'il s'agira , par exemple, de 3o boules extraites d'une urne qui contient des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, les événements E, , E^, E3, etc., seront l'arrivée de 3o boules de la même couleur, celle de 3o boules alternativement blanches et noires, celle de i5 boules d'une couleur suivies de i5 boules de l'autre couleur, etc. Dans le cas d'une trentaine de caractères d'imprimerie, rangés à la suite l'un de l'autre, les événements E„ E„ E3, etc., seront ceux où ces lettres se trouveront disposées, soit dans l'ordre alphabétique, soit dans l'ordre inverse , ou bien ceux où elles formeront une phrase de la langue française, ou d'une autre langue. Dans tous les cas, désignons par m leur nombre, et par n celui des autres événements F,,

ii6 RECHERCHES

F.j Fj» etc.; supposons qu'ils soient tous également possibles, lorsqu'ils sont dus uniquement au hasard; de sorte qu'en représentant alors par /; la probabilité de chacun d'eux, on ait

aussi bien quand il appartient à la première série, que quand il fait partie de la seconde; Il n'en sera plus de même, si ces événements doivent être produits par une cause particulière C, indépendante de la probabilité/), et qui sera, pour fixer les idées, la volonté d'une personne et le choix qu'elle fera de l'un d'entre eux. Nous admettrons que ce choix sera déterminé par les diverses circonstances qui rendent remarquable une partie des événements possibles. Ainsi, il y aura une certaine probabilité p,, que le choix de cette personne se portera sur E,, une autre probabilité p^ qu'il se portera sur E, , etc.; il n'y aura aucune probabilité qu'il doive se porter sur un des événements F,, F^, F3 , etc. ; et ces divers événements étant les seuls possibles, il faudra qu'on ait

P.'H- P,, -+- Ps + etc. = I.

Si les probabilités/?, , p^, p^, etc., sont toutes égales , leur valeur commune sera —, et, par conséquent, très grande relativement à />, quand

le nombre total m -{- n des cas possibles sera très grand en lui-même et par rapport au nombre m des cas remarquables. Généralement, ces probabilités pourront être fort inégales j nous n'avons aucun moyen de les connaître; mais il nous suffira qu'elles soient très grandes eu égard à la probabilité/?; ce qui ne peut manquer d'avoir lieu, lorsque celle-ci est extrêmement petite, ou le nombre m -{- ji excessivement grand , comme dans les exemples qu'on vient de citer.

Tel est le principe dont nous partirons pour déterminer la probabilité de la cause C, d'après l'observation de l'un des événements E, , E,, E3, etc., F,, F,, F3, etc., ou, du moins, pour faire voir qu'elle est très grande, quand l'événement observé appartient à la première série.

Supposons que E, soit cet événement. On pourra faire deux hypothèses, la première qu'il est dû à la cause C, la seconde qu'il est le ré-

' SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. 117

sultat du hasard. Si la première hypothèse était certaine, p, serait la probabilité de l'arrivée de E,; si c'était la seconde qui le fût, cette probabilité aurait/? pour valeur; en appelant donc r la probabilité de la première hypothèse après l'observation , et regardant les deux hypothèses comme également probables à pno/i , nous aurons, par la règle du n° 28,

Or, il suffît que la probabilité /?, soit très grande eu égard à la très petite chance p, pour que cette valeur de r diffère très peu de l'unité ou de la certitude. Dans l'un des exemples précédents, où le nombre des événements possibles surpassait un milliard, et où p était au-dessous de l'unité divisée par mille millions; si l'on suppose que looo soit le nombre des événements assez remarquables pour déterminer une personne à choisir l'un d'entre eux, et si l'on prend l'unité divisée par ce nombre pour la valeur de p,, celle de r différera de l'unité, de moins d'un millionième, et de beaucoup moins encore, si . comme on peut le croire, la probabilité p, est au-dessus d'un millième. Lors donc que l'un de ces événements remarquables, aura été observé, par exemple, l'extraction de 3o boules d'une même couleur, tirées d'une urne qui contient, en égale proportion , des boules de deux couleurs différentes, on devra l'attribuer, sans aucun scrupule, comme on le fait naturellement, à la volonté de quelqu'un, ou à toute autre cause spéciale, et ne pas le considérer comme un simple effet du hasard.

Toutefois, la probabilité r de la cause C serait beaucoup diminuée, si avant l'observation, son existence et sa non-existence n'étaient pas également possibles, comme le suppose la formule précédente, et que ce soit sa non-existence qui fût primitivement la plus probable. C'est ce qui aura lieu dans l'exemple qu'on vient de citer, lorsqu'on aura pris, avant le tirage, beaucoup de précautions pour soustraire l'exJraclion des boules à l'influence d'aucune volonté. En ayant égard à cette circonstance, antérieure à l'observation, la i-ègle du n° 54 rendra sensible la diminution de la valeur de r. Cette probabilité sera aussi augmentée ou diminuée, quelquefois dans de très grands rapports, quand tous les événements E,, E», E3, etc., F,, F», F,, etc., ne seront point égale-

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ment possibles : augmentée, si la chance propre de chaque événement est plus petite pour ceux de la première série que pour les événements de la seconde série; diminuée, dans le cas contraire.

L'harmonie que nous observons dans la nature n'est sans doute pas l'effet du hasard; mais par un examen attentif et long-temps prolongé, on est parvenu, pour un très grand nombre de phénomènes, à en découvrir les causes physiques qui donnent à leur arrivée, sinon une certitude absolue, du moins une probabilité très approchante de l'unité. En les regardant comme des choses E, , E, , E3 , etc., qui présentent des circonstances remarquables, ce serait le cas ovx ces choses ont par elles-mêmes une assez forte probabilité , pour rendre très improbable et tout-à-fait inutile à considérer, l'intervention de la cause que nous avons appelée C. Quant aux phénomènes physiques, dont les causes nous sont encore inconnues , il est raisonnable de les attribuer à des causes analogues à celles que nous connaissons, et soumises aux mêmes lois. Leur nombre diminue au reste de jour en jour, par le progrès des sciences : aujourd'hui, par exemple , nous savons ce qui produit la foudre , et comment les planètes sont retenues dans leurs orbites , connaissances que n'avaient pas nos prédécesseurs; et ceux qui vie'ndront après nous, connaîtront les causes d'autres phénomènes, actuellement inconnues.

(45 J. Lorsque le nombre de causes distinctes auxquelles on peut attribuer un événement observé E est infini, leurs probabilités, soit avant, soit après l'arrivée de E, deviennent infiniment petites, et les sommes 2 contenues dans les formules des n°' Sa et 54, se changent en des intégrales définies.

Pour effectuer cette transformation, supposons que l'événement observé E soit l'extraction d'une boule blanche, d'une urne A qui contenait une infinité de boules blanches ou noires. On pourra faire sur le rapport inconnu du nombre de boules blanches au nombre total des boules, une infinité d'hypothèses que l'on prendra pour autant de causes distinctes de l'arrivée de E, et exclusives les unes des autres. Désignons ce rapport par x , de sorte que x soit une quantité susceptible de toutes les valeurs croissantes par degrés infiniment petits, et comprises depuis x infiniment petit , qui répond au cas oii la boule extraite serait la seule boule blanche que A renfermait, jusqu'à x=\,

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qui répond à l'autre cas extrême où cette urne ne contiendrait que des boules blanches.

Représentons aussi par X la probabil.' lé que ce rapport, si sa valeur X était certaine, donnerait à l'arrivée de E, de manière que X soit, dans chaque question, une fonction connue de x. En considérant donc cette valeur comme une des causes possibles de E, il s'agira de déterminer la probabilité infiniment petite de x , soit quand toutes ces causes sont également probables avant l'observation, soit quand elles ont, h priori , des chances différentes.

Dans le premier cas, la probabilité demandée se déduira de la quantité <nr, du n° 28, en y supposant m infini, et y mettant pour /;, , Pat Pi, etc., les valeurs de x relatives à toutes celles de X.

En faisant d'abord usage du signe 2 , comme dans le n° Sa , et appelant fsr la probabilité de x, nous aurons donc

Mais, d'après le théorème fondamental des intégrales définies, on aura aussi

lX.dx = / JLdx ;

par conséquent, si l'on suppose constante la différentielle dx, et qu'on multiplie par dx les deux termes de la fraction précédente, il en résultera

m En même temps , si l'on désigne par X' la probabilité correspondante à X, d'un événement fjitur E' qui dépend des mêmes causes que E, et par 'sr' la probabilité complète de l'arrivée de E', on aura, d'après la règle du n' 3o,

ou , ce qui est la même chose ,

\dx

en substituant pour /zir sa valeur précédente, et changeant la somme 2 en une intégrale. La quantité X' sera dans chaque exemple une fonction donnée de x.

Dans le cas oii les diverses valeurs de x seront inégalement probables avant l'observation de E, on désignera par Xdx la probabilité infiniment petite et antérieure à cette observation, de la chance jt de E ; et en mettant \dx au lieu de q^ dans les formules du n° 34, on en conclura