XY

f'XYdx

pour la probabilité de cette chance x après l'arrivée de E, et

f'XX'Ydx

XYrfx

pour la probabilité de l'arrivée future de E'.

(44)- Si l'on est certain, à priori , que la valeur de x ne peut pas s'étendre depuis j: = o jusqu'à j7= i, et qu'elle doit être comprise entre des limites données, on prendra ces limites pour celles des intégrales définies que ces formules renferment, ou bien, si l'on veut conserver leurs limites zéro et l'unité, on supposera que Y soit une fonction discontinue de x, qui sera nulle en deh<?rs des limites données de cette variable. Soit que x soit susceptible de toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité, soit que cette variable doive être renfermée entre des limites données ; si l'on appelle A la probabilité que sa valeur inconnue est effectivement comprise, d'après l'événement observé E, entre d'autres limites plus resserrées que les premières, A sera la somme des valeui's de «ar relatives à celles de x qui sont contenues entre ces

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. lai

autres limites; en sorte qu'en de'signant celles-ci par a et C , on aura

XYrfe

XYdjc

Dans un calcul d'approximation, on pourra employer celte formule, lorsque le nombre de causes auxquelles l'événement E peut être attribué, au lieu d'être infini, sera seulement très considérable. Supposons, par exemple, que E soit la sortie de n boules blanches, tirées successivement et sans interruption , d'une urne B qui contient un très grand nombre de boules, tant blanches que noires, et dans laquelle, on remet à chaque fois la boule qui en a été extraite, La probabilité X deE, correspondante à un rapporta: du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, sera la puissance 71 de ce rapport. Si l'on demande la probabilité que le nombre de boules blanches qu'elle renferme excède celui des boules noires, ou prendra a = ^etê=i, dans l'expression de cette probabilités. Si , de plus, toutes les valeurs possibles de x étaient également probables avant les tirages, Y ne variera pas avecjr, et disparaîtra, en conséquence, de cette expression. On aura donc

X=.', /;Xrfx = ;^, /;x^a: = „-^,(.-^-^). et , par conséquent ,

avec d'autant plus d'exactitude que B contiendra un plus grand nombre de boules noires ou blanches. Avant les tirages, il y avait un contre un à parier que le nombre des blanches excédait celui des noires; il sufTira qu'en tirant une boule de B, elle soit blanche pour qu'on ait /■=\, ou qu'il y ait trois à parier contre un pour la supériorité du nombre de boules de cette couleur; et quand on aura tiré de B un nombre un peu considérable de boules blanches, sans en amener de noii'es, la probabdité A que les blanches y sont en plus grand nombre que les noires, approchera beaucoup de la certitude.

(45). Ainsi que je l'ai déjà dit (n° 3o) , on peut considérer E et E' comme des événements composés d'un même événement simple G, et liés l'un à l'autre par leur dépendance commune de cet événement.

La chance de G est inconnue; la probabilité qu'elle a x pour valeur est \dx avant l'arrivée de E, et 'Ztr après cette arrivée; et comme cette chance a certainement une des valeurs comprises depuis j::^o jusqu'à >r = I, il faut que la somme des valeurs correspondantes de Xdx soit l'unité, comme cela a déjà lieu pour la somme des valeurs de «ar. La fonction donnée Y de x, quelle qu'elle soif d'ailleurs, continue ou discontinue, devra donc toujours satisfaire à la condition

p.dx:=i.

D'après la règle de l'espérance mathématique (n° 25), appliquée à la chance de G, on devra prendre pour sa valeur, avant l'observation deE, la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées par leurs probabilités respectives, c'est-à-dire, la somme de tous les produits de X et de Xdx, depuis j:=o jusqu'à a:= i. En désignant par y, cette chance de G , ou, plus exactement, ce qu'on doit prendre pour sa valeur inconnue, avant que E ait été observé, on aura donc

xXdx;

et l'on peut remarquer que si l'on considère ^ et Y comme l'abscisse et l'ordonnée d'une courbe plane , et si l'on observe que l'aire entière de cette courbe, ou l'intégrale fYdx est l'unité, y sera l'abscisse du centre de gravité de cette même aire. C'est d'après cette valeur de y prise pour la chance de G, que l'on devrait parier pour une première arrivée de cet événement , mais non pas pour plusieurs arrivées successives; car selon que G aura eu lieu ou n'aura pas eu lieu dans une première épreuve, la probabilité de sou arrivée sera augmentée ou diminuée dans les épreuves suivantes.

Si, par exemple, toutes les valeurs de x sont également probables à priori , la quantité Y devra être indépendante de x; d'api'ès les deux équations précédentes, on aura donc

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. laS

et, en effet, nous n'avons alors aucune raison de croire, dans une première épreuve, à l'arrivée de G plutôt qu'à celle de l'événement contraire. Mais si l'on prend pour chacun des événements E et E' l'événement simple G, auquel cas on aura,

JL î^: X y A. — X y

il en résultera

pour la probabilité que G étant arrivé une première fois , arrivera encore une seconde fois , de manière que la probabilité de son arrivée , aura augmenté de ^, de la première à la seconde épreuve. Elle diminuera de la même fraction, et se réduira a { — g^ , ou ^, à la seconde épreuve, lorsque l'événement contraire aura eu lieu à la première; car en prenant celui-ci pour E, et toujours G pour E', c'est-à-dire en faisant

on en conclura

/(i — x)xdx 0 1

y„(' —oc)dx:

pour la probabilité que G n'ayant point eu lieu la première fois, arrivera à la seconde épreuve.

A priori, la probabilité que G arrivera deux fois de suite sera, par la règle du n° 9, le produit de la probabilité { qu'il aura lieu une première fois , et de la probabilité f qu'étant arrivé cette fois-là , il arrivera encore à la seconde épreuve ; elle sera donc j , au lieu de \ , qui serait sa valeur si la probabilité de G était j à la seconde épreuve comme à la première. La similitude des deux événements qui arriveront dans les deux premières épreuves, aura une probabilité double ou égale à f ; car cette similitude aura lieu, soit par la répétition de G,

soit par celle de l'événement contraire , qui sont toutes deux également probables.

En comparant f ou ^ (i + -5) , à la probabilité iÇi + J"') de la

similitude, que nous avons trouvée dans le n° 27, on aura S := — -^.

Lors donc qu'à priori nous n'avons aucune donnée sur la chance d'un événement G, de sorte que nous puissions supposer également à x toutes les valeurs possibles, la probabilité de la similitude dans deux épreuves consécutives, est la même que s'il y avait, entre les

chances de G et de l'événement contraire, une différence — j^, sans

que l'on connût la chance la plus favorable. Nous déterminerons tout à l'heure la probabilité de la similitude dans les cas oii l'on sait à priori que toutes les valeurs possibles de Jc, au lieu d'être également possibles, s'écartent très probablement fort peu d'une fraction connue ou inconnue.

(46). Maintenant, l'événement simple dont la chance est inconnue, étant toujours désigné par G, appelons H l'événement contraire dont la chance sera l'unité diminuée de celle de G, et supposons : 1° , que l'événement observé E soit l'arrivée de G un nombre m de fois et de H un nombre n de fois, dans un ordre quelconque; 2°. que l'événement futur E' soit l'arrivée de G un nombre m' de fois et de H un nombre n' de fois, aussi dans un ordre quelconque.

Pour la valeur x de la chance de G et i — .r de celle de H, les probabilités X etX' de E et E' seront (n* i4)

X = Kx'"(. — x)", X'=K'x"''{i —xY'i

KetK' désignant des nombres indépendants de x. On aura donc

K' r )lx-'+'"Xi—xy+"'dx