S8 RECHERCHES

chances - et - des extradions d'une boule blanche et d'une boule noire

a i origine des tirages^ arriveraient des nombres de fois a' et b' dans un nombre c' ou a' + b' d'épreuves, on aura

V ft

ce qui montre que la probabilité V est plus grande que V dans le rapport de v/c à l/^ , quel que soit le nombre c' de boules qui restent dans A après les tirages , et pourvu seulement que le nombre /* de boules qu'on en a tirées soit très grand. On peut remarquer que l'on a

de sorte que les nombres a' et b' de boules des deux couleurs qui restent dans A , sont entre eux comme les probabilités /j' et q\ ou comme les nombres a et è de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l'on a, par exemple, p' = q' =: |, et conséquemment fi' = b' = {c', on aura ( n" 69)

V TTC

et à cause de c' = c — ft , il en résultera

Lorsque pi.=\c, celte quantité a pour valeur

d'où l'on conclut que quand une urne A renferme des nombres très grands et égaux, de boules blanches et de boules noires, et qu'on en tire la moitié de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties, la probabilité d'amener autant de boules blanches que de boules noires, surpasse, dans le rapport de V^2 à l'unité, la valeur qu'elle aurait si l'on eût remis dans l'uz'ne, la boule extraite à chaque épreuve.

(75). Je reviens actuellement au cas où les chances p et ry des deux événements E et F sont constantes , et je vais considérer la probabilité que dans un nombre f/. ou m-\-?i d'épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilité sera la somme des m premiers termes du développement de (/j + rjY , ordonnée suivant les puissances croissantes de ^; de sorte qu'en la désignant par P, on aura

mais sous cette forme, i! serait difficile de la transformer en une intégrale à laquelle on puisse ensuite appliquer la méthode du n ' 67 , lorsque m et ?i seront de très grands nombres. Cherchons donc d'abord une autre expression de P qui convienne mieux à cet objet.

On peut aussi dire que l'événement composé dont il s'agit consiste en ce que F n'arrivera pas plus de n fois dans les ^ épreuves. En le considérant de cette manière, je l'appellerai G. Il pourra avoir lieu dans les ti -+■ i cas suivants :

i". Si les m premières épreuves amènent toutes l'événement E ; car alors , il ne restera plus que f/. — *« ou « épreuves qui ne pourront pas amener F plus de n fois. La probabilité de ce premier cas sera p".

2\ Si les m-f- 1 premières épreuves amènent m fois E et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition nécessaire pour que ce

second cas ne rentre pas dans le premier. Il est évident que les n i

épreuves suivantes ne pouvant amener F que n — i fois au plus, cet événement n'arrivera pas plus de n fois dans la totalité des épreuves. La probabilité de l'arrivée de m fois E et de une fois F, qui occuperait un rang déterminé , élant p^q, et ce rang pouvant être les m premiers, il s'ensuit que la probabilité du second cas favorable à G, sera mp"'q.

5°. Si les m-\-2 premières épreuves amènent m fois Eet deux fois F, sans que F occupe le deuxième rang, ce qui est nécessaire et suflisant pour que ce troisième cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La probabilité de l'arrivée de m fois E et de deux fois F , dans

rgo RECHERCHES

des rangs déterminés, serait p^q*; en prenant deux à deux les m-f- 1 premiers rangs pour y placer F, ou a ^ m (ni-\- i) combinaisons différentes; la probabilité du troisième cas favorable à G aura donc j m {m-\- i) p^q* pour valeur.

En continuant ainsi, on arrivera enfin au n-h i'^""cas, dans lequel les pt, épreuves amèneront 7ii fois E et n fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des précédents; et sa probabilité sera

OT.m-4-i.m + 2....m-4-n — I ...

Ces /î + I cas étant distincts les uns des autres, et présentant toutes les manières diflérentes dont l'événement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives (n' lo); eu sorte que nous aurons

n mr, 1 I m.m+i , m.m -f- i .m -f- 2 , , , ,

p = p- [ 1 + mq H —-q' H iTïTa-^^ q' + ■•■ (9)

expression qui doit coïncider avec la formule (8) , mais qui a l'avantage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du n" 67 , avec d'autant plus d'approximation que m et n seront de plus grands nombres.

(74). Pour effectuer cette transformation, j'observe qu'en intégrant n | I fois de suite par partie , et désignant par C une constante arbi-

trau'e, on aura

/^ x'dx ç x" n x"-'

^J(i+x)f+'~' {^+xr ^-•(•4-^)''-'

,«— Ii«-2(I+X)''-^

Comme on a |Lt > n, tous les termes de cette formule, excepté C, disparaissent quand x = 00 ; si donc on désigne par a une quantité

SUR LA PROBABILITÉ DM JUGEMENTS. 19 c

positive quelconque, ou zéro, on en conclura

/'" x''dx a" j^ n a"~' n.n — i a."—'

fi— I .,« — 2.^ — 3. . .^—«4-1 •/« — "(1+ a)'"~"

Dans le cas de <e = o, cette équation se réduit à

/■* x''dx __ n.n — i.n — 2... 2.1

0 (i -{-x)'*'*"' .«— 1 •«— 2.|K— 3...ft— «+!.;«— n '

et en divisant l'équation précédente par celle-ci, et faisant, pour abréger

(.+.r)''+ on obtient facilement

Xdx

Or, si l'on prend

et si ron observe qu'on a /> + ^f = i, le second membre de cette dernière équation coïncidera avec la formule (g); pour cette valeur de a, nous aurons donc

Dans le cas de « = o et m = /a, P est la probabilité que E arrivera au moins/* fois, ou a toutes les épreuves; par conséquent, P doit

ig2 ^pCHERCHES

avoir pf pour valeur; et , en effet , pour n = o , on a ,

r xdx = — ' — = ipM, r xdx = - , p = p".

Dans le cas de « = ,«. — i et //i = i , P est la probabilité que E arrivera au moins une fois, ou que F n'arrivera pas à toutes les épreuves ; on doit donc avoir

ce que l'on peut aussi vérifier. Pour cela , je fais

pour n =1 ju, — I , il en résulte

rxdx= r-±-=L\-, — 1-1

' dr £.

0 (,|^)i« + i fc'

r Xdx = r ''■ - '

et à cause de

la formule (lo) coïncide avec la valeur précédente de P.

(75). Appliquons d'abord la méthode du n° 67 à l'intégrale / Xrfa-.

En appelant, comme dans ce numéro, h la valeur de x qui répond au maximum de X, etH la valeur correspondante deX, l'équation ^- = 0, qui servira à déterminer h sera

n{\ 4- ^) — (/A + i) h = o, d'où l'on conclut

SI l'on fait, clans les équations (2),

et qu'après avoir effectué les diflerenfiations relatives à A, on y motte pour cette quantité, sa valeur précédente, on en déduit

V {m -\- if '

3 {m -f- ly ' etc.;

et lorsque m,n,f/,, seront de très grands nombres et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités h', h', h'", etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le premier terme h' sera du même ordre de petitesse que la fraction — .

le second h" de Tordre de^, le troisième //" de l'ordre de — ^, et ain-

SI de suite.

Cela posé, nous aurons, pour la ^aleur en série de l'intégrale donnée,

(76). L'expression de l'autre intégrale r" Xdx contenue dans la formule (10) sera différente selon qu'on aura a > /z ou a < /^ en désignant toujours par h la valeur de x qui répond au majcimum de X.

En effet, la variable que l'on a représentée par t dans la transformation du n" 67 , doit être positive pour toutes les valeurs de x supérieures à ;i, et négative pour toutes les valeurs de x moindres que A; or, si l'on appelle ô et A les valeurs de / et de X, qui répondent à X zzz a, on aura

A = — — , A = lie- '' •

à cause de a= ",et en ayant égard à la valeur précédente de H, on en déduit

d'où l'on tire 9 = dh ^, en faisant , pour abréger,

En considérant A" comme une quantité positive, il faudra donc prendre ^ ::= k , lorsqu'on aura - >• /j, et 6 = — A', quand ou aura -■<. h;

par conséquent, d'après la transformation du numéro cilé, nous aurons, dans le premier cas,

et, dans le second,

rXdx^U r e-"~ dt = B r e-"^' dt-^'O. T'V''^' dt,

la. J —k dl J oo dl J -03 dt '

en faisant, comme dans ce n" 67 ,

^^' = h' + -xWt + "bh't" H- etc.

On a d'ailleurs

{ ~ * ej''t*'-^'dt = — r" e-''t*'-*-dt, f~'' e-t't-'dt = r'e-''t"dt;

i étant un nombre entier et positif, ou zéro. Si donc on fait généralement

r e-"t"dt = K, , r e-^'t'i-^'dt = K', ,

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. igS

et SI l'on observe que H / e-'' -j- dt est l'expression de / Xr/a- , il en résultera

fl^dx = H(/i'Ko + 3A'K. + 5^'K. + etc.) -i- H (2/i"K: + 4A"K: + 6A"K: + etc.),

pour le cas de - > // , et

J^^ Xdx=J^ X(ix—n{h'Ko-h5k"'K.-{. 5A'K, + etc.) +H {2h"K: + 4h"K: + 6A-K,' H- etc.),

pour le cas de - < ^.

Chacune des séries contenues dans ces formules aura, en général, le même degré de convergence que la série (i i). Les valeurs des intégrales désignées par Kj ne pourront s'obtenir que par approximation, lorsque k sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par K'; s'exprimeront toujours sous forme finie, et l'on aura

K',=ie-^'(A-"+/Â:"— -fi.i— i.A"-^+..,+/.z— i...a.;t'+i./— 1...2.1).

Quand on aura a. = h, les formules (i5) et (14) devront coïncider. En effet . on aura en même temps

Jj m + i' ^ f'+ i' ^ ^ + I '

ce qui rendra nulle la valeur de k tirée de l'équation (12). Il en résultera

Ko = — , K,= 1 .3.5. • .2/ — I • — i^, K' =-, K'i = 1 .2.3...?. - ; et d'après Téquatiou (11), les formules (i5) et (14) se réduiront l'une

igô RECHERCHES

et l'autre à

/:x..='if'(.'+;^V«+l^.. + e.c.) -f-H(/i"+ 1.2. A" 4- J.2.5.A" + etc.).

(77). Nous supposerons actuellement les nombres m, n, /*, assez grands pour qu'on puisse ne'gliger dans ces différentes formules, les quantités h!" , A", etc. D'après les valeurs de h' et A" données plus haut , on aura

et au moyeu de l'équation (10) et des formules (i i), (i3), (i4) ? nous aurons

r = I — / e-' flf -|- -^-— -^ ^ — g— *• ;

la première ou la seconde de ces deux valeurs de P ayant lieu,

selon que l'on a - > /i ou - ■< h, et A étant une quantité positive,

donnée par l'équation (12). Pour plus de simplicité, on a mis/* et m au lieu de fj^ + i et m-{- 1 dans les derniers termes de ces formules ; elles feront connaître, avec une approximation suffisante, la probabilité P qu'il s'agissait de déterminer.

Si u. est un nombre pair, que l'on fasse m = n =z -^ p., et qu'on suppose q "^ p , on aura

Ce sera donc la première équation (i5) qu'il faudra employer; cette

formule et l'équation (ra) deviendront

et P exprimera la probabilité que dans un très grand nombre pair d'épreuves, l'événement F le plus probable n'arrivera cependant pas plus souvent que l'évcuement contraire E. En appelant U la probabilité qu'ils arriveront tous les deux le même nombre de fois, P — U sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de p = (/ = i , il est évident que P — U sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F; le double de P — U, ajouté à la probabilité U, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, 2P — U sera l'unité; d'où l'on conclut

irfi

et c'est, en effet, ce que l'on peut aisément vérifier. En réduisant en série , ou a

(/. + 2)log^ =-(« + 2)log(i-^J = I + ,-^+etc.,

et, par conséquent,

^•' = r- + 77-V^ + etc. ;

donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction — ^, nous aurons

ipS RECHERCHES

Nous aurons, en même temps,

e-''dt = / e-"<^i — / e->\lt = - s/tt -= ; ^

au moyen de quoi la valeur précédente de U se réduira à

ce qui coïncide, effectivement, avec celle que Ton déduit de la formule (6) , dans le cas de m = n et p = q.

Si fj- est un nombre impair , que l'on fasse in = ^(fx — i) ' ^^ qu'on

mule fi5) et l'équation (12) deviendront

suppose toujours q > p, on aura encore - ]> A ; la première for-

'" = v7îX^-'"+V.V-"'

-losd^J-, + '--^iog

et P sera la probabilité que dans un très grand nombre p. d'épreuves, l'événement le plus probable se présentera cependant le moins souvent ; car p. étant impair, le cas de l'égalité des arrivées de E et F sera impossible. Dans le cas de p = q = ^ , cette probabilité P devra être égale à î^; et c'est aussi ce que nous allons vérifier. Nous aurons

(^-01og;-=^ = -(f*-i)log(i+^)=-2H-^-etc., (/^ + 5)log^^ = -(^4-5)log(.-^-|-3)=.+^-^3 4-etc.,

et, par conséquent,

A" = -^ -f -^ 4- etc.

En négligeant, comme plus haut, le terme de l'ordre de petitesse de la fraction -, il en résultera

ft ' J k "2- «

ce qui réduit à ^ la valeur précédente de P.

(78). Supposons maintenant que le nombre n diffère du produit [u.-\-\)q, d'une quantité p, positive ou négative, mais très petite par rapport à ce produit. A cause de /) + </ = 1 et m 4- « = f^> on aura à la fois

« = (p -f- 1)7 — F' 'w + I = (f^ + Op + F-

La valeur correspondante de h sera

et, par conséquent, moindre que -, en regardant d'abord p comme une

quantité positive. Si l'on développe le second membre de l'équation (12) suivant les puissances de p, on trouve

et, r étant une quantité positive, si l'on fait

e = r\/2 {fl + l)pq, on en déduit

^- = rri + ^P^ll— + etc. 1.

En excluant le cas où l'une des deux fractions p et ry serait très petite, la série comprise entre les parenthèses, est très convergente, puisqu'elle procède suivant les puissances de — ^-==, ou de — f — . En ne

conservant seulement que les deux premiers termes, et faisant, pour abréger ,

3\/l (^.+ l)pq

on aura simplement Â: = / -f- c)\ On aura, en même temps ,

n = (n-\-i)q — r v/a (/* -f- i) pq ;

mais dans le second terme de la première formule (i5), il suffira de faire k = r, et d'y mettre p/n et q^Jt,, au lieu de met n; elle deviendra , de cette manière,

\/'7rJ r+é ^V'^t^PI

Considérons actuellement p comme une quantité négative, auquel cas on aura h ]> -. En désignant par r' une quantité positive, et prenant — r' y/i (/M. -f- \)pq pour la valeur de p, celle de n sera

n = {fji + 1 ) q -]- r s/ 2 {^ -{- i) pq;

mais la valeur de A- tirée de l'équation (12) devant toujours être positive , on aura A; = r' — «T', en faisant , pour abréger ,

fit la seconde formule (i5), que l'on devra employer, deviendra

\/ T J r' — S' ZW ICUUfl

Si l'on retranche de celle-ci. la précédente valeur de P, et qu'on

appelle R la diffërcuce, il vient

et d'après la signification de ces deux probabilités P , il est aisé de voir que R sera la probabilité que l'événement F arrivera dan.^ un très grand nombre f/, d'épreuves, un nombre de fois qui n'excédera pas la seconde valeur de // , et surpassera la première au moins d'une unité^ /■•^-^— .«>.«*~-«^-'^.^^^. ^.^•.^'3'www t.*»-^, /-'^^sic. -". — fUry.^c.,^. (79). Pour simplifier ce résultat, soient N le plus grand nombre entier contenu dans ^tq, et y l'excès de \>q sur N; désignons par u, une quantité telle que u \/ -i [fji, + i )pq soit un nombre entier, très petit par rapport à N ; et faisons ensuite

9 + / — '• V^2 (/* + \) pq = — u \/2{t/. + 0P9 — I ' 7 + / + '■' V'a (/* + i)pq — u v/2 C^ + r)pq.

Les limites des valeurs de n auxquelles se rapporte la probabilité R, deviendront

/J = N — u \/2 (f/. -i- 1) pq — i, n = N -{- u\/2(f/.-^ i) pq;

par conséquent, la formule (16) exprimera alors la probabilité que « excédera au moins d'une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde^ c'est-à-dire la probabilité qae ce nombre sera contenu entre les limites

JN q= u \/2fxpq,

équidistantes de N, et dans lesquelles on a mis jx au lieu de ij.-\- i , ou qu'il sera égal à l'une d'elles.

D'après les équations qu'on vient de poser, et les expressions de / et S"' , ou aura

r + cT = zi -f e -f- ' -^ , r' — S" = 11 — i;

Vl {ft+ 1) pq

i étant une quantité de l'ordre de petitesse de la fraction — =. Or, en

désignant par i> une quantité quelconque de cet ordre, dont on négligera le carré, on a

si donc on applique cette équation aux deux intégrales contenues dans la formule (i6), et si l'on fait r' = r, dans les termes compris hors du signey, qui sonf déjà divisés par V'f^, il en résultera

R = I - J--^f^e—dt-\. -^^e-.', (17) y Tir-' u y 7.-itfi.pq

où l'on a aussi mis, dans le dernier terme, f* au lieu de /-c+ 1 .

Si l'on eût voulu que l'intervalle des valeurs de n dont la probabilité est R, ne comprît pas sa limite inférieure, il aurait fallu augmenter d'une imité la plus petite des deux valeurs précédentes de n;

ce qui aurait fait disparaître le dernier terme de la valeur

de '-f-cT, et, par suite, le dernier terme de la formule (17)- De même, pour que cet intervalle ne comprît pas sa limite supérieure, on aurait dû diminuer d'une unité la plus grande de ces deux valeurs de n; ce

qui aurait diminué de — ^= la valeur de r' — J^', et encore

yi{^+ \)pq

fait disparaître le dernier terme de cette formule (i7)- Enfin, on devrait changer le signe de ce terme, si l'on voulait que l'intervalle des valeurs de n que nous considérons ne renfermât ni l'une , ni l'autre, de ses deux limites. U suit de là que le dernier terme de la formule (17) doit être la probabilité que l'on ait précisément

7i = N -{- M \/2[xpq ;

u étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de Ji soit très petit par rapport au premier. C'est aussi ce qui résulte de la formule (6).

En effet, en négligeant les quantités de l'ordre de petitesse de la

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2o3

fraction -, on aura

d'où l'on conclut

OU , ce qui est la même chose ,

or, en développant ces logarithmes , et négligeant toujours les ternies de l'ordre de - on trouve — u' pour la valeur du second membre de cette équation ; par conséquent , nous aurons

et comme on a aussi, d'après les équations précédentes,

mn

la formule (6) deviendra

ce qu'il s'agissait de vérifier.

La première valeur de P du numéro précédent, étant Ja probabilité que le nombre n ne surpassera pas la limite fjiq — /' \/ ifxpq , dans laquelle je mets fji au lieu de p + i , il s'ensuit que si l'on fait uz= r dans la valeur de U et qu'on la retranche ensuite de celle de P, la diffé-

2o4 RECHERCHES

rence P — U sera la probabilité que n n'atteindra pas cette même limite. De même, si l'on fait ur=zr' dans la valeur de U et qu'on la retranche ensuite de la seconde valeur de P du numéro précédent, la diflérence P — U sera la probabilité que n sera au-dessous de la limite fjLq-^r \/2fJLpq. En appelant Q en Q' ces différences, on trouve

Q' = I -. f "^ e-" dt -\ ''^ZJl.^ e-'-.

\/ %J r'—f 3 y 1%fi.pq \

iTefipq

On se rappellera que , dans ces formules , r et r' sont des quantités positives, très petites par l'apport à \Jf^; en sorte que les limites de n auxquelles ces probabilités Q et Q' se rapportent diffèrent peu du produit |!x^ , l'une en plus et l'autre en moins. En même temps, les valeurs des quantités S' et $' qu'elles renferment , seront très petites par rapport à r et r'; et si l'on y met jW à la place de /* -}- i, on aura

^ {p - q)r2 jx/ (/> — ?)/'

3 V/ T^ftpq 3 y/ ifi-pq

( 8o ). En divisant par jx les limites de n auxquelles se rapporte la formule (17), et ayant égard à ce que U représente, on aura

q — - -zç. \/ ?^ pour les limites du rapport - , dont la probabilité est R. Si donc, on néglige la fraction -, il en résultera que cette quantité R, déterminée par la formule (17), est la probabilité que la

différence q, se trouvera comprise entre les deux limites

ipq

qui seront au^si, en changeant leurs signes, avec la même probabilité, celles de la différence -' — p, puisque la somme P~ If

de ces deux différences , est égale à zéro.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2o5

On pourra toujours prendre u assez grand pour que cette probabilité R diffère aussi peu qu'on voudra de la certitude. II ne sera pas même nécessaire de donnera u une grande valeur pour rendre très petite la différence i — R : il suffira , par exemple de prendre u égal à quatre ou

cinq, pour que l'exponentielle e~"', l'intégrale / e~'' dt, et par suite

la valeur de i — R, soient presque insensibles. La quantité u ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la

différence p se resserreront de plus en plus à mesure que le nombre fji, qu'on suppose déjà très grand, augmentera encore davantage; le rapport — du nombre de fois que E arrivera au nombre total des

épreuves, différera donc de moins en moins de Ja chance p de cet événement; et l'on pourra toujours multiplier assez le nombre f/ des

épreuves, pour qu'il y ait la probabilité R que la différence p sera

aussi petite qu'on voudra. Réciproquement, en augmentant continuellement le nombre p, si l'on prend pour chacune des limites précédentes, une grandeur constante et donnée Z, c'est-à-dire, si l'on fait croître u dans le même rapport que v/f^» la valeur de R approchera indéfiniment de l'unité; en sorte qu'on pourra toujours augmenter assez le nombre \>- des épreuves, pour qu'il y ait une probabilité aussi

peu différente qu'on voudra de la certitude, que la différence p

tombera entre les limites données db /. C'est en cela que consiste le théorème de Jacques Bernouilli , énoncé dans le n" 49-

(8i). Dans le calcul précédent, nous avons exclu (n° 78) le cas où l'une des deux chances p et q est très petite, qui nous reste, en conséquence, à considérer en particulier.

Je suppose que cj soit une très petite fraction, ou que ce soit l'évément F qui ait une très faible probabilité. Dans un très grand nombre fx d'épreuves , le rapport - du nombre de fois que F arrivera à ce

nombre p. sera aussi une très petite fraction; en metfalit fj. — n'a la place de m dans la formule (9), faisant

2o6 RECHERCHES

et négligeant ensuite la fraction -, la quantité contenue entre les parenthèses, dans celle formule, deviendra

En même temps, on aura

<ii . / a X'" / w\~n

on pourra remplacer par l'exponentielle e ~ ", le premier facteur de cette valeur de /?"", et réduire le second à l'unité; par conséquent, d'après l'équation (g) ,' nous aurons, à très peu près,

pour la probabilité qu'un événement dont la chance à chaque épreuve

est la fraction très petite -, n'arrivera pas plus de n fois dans un très

grand nombre p d'épreuves.

Dans le cas de n=o, cette valeur de P se réduit à e ~ "; il y a donc cette probabilité e~'" que l'événement dont il s'agit n'arrivera pas une seule fois dans le nombre « d'épreuves, et conséquemment, la probabilité I — e^" qu'il arrivera au moins une fois, ainsi qu'on l'a déjà vu dans le n" 8. Dès que ti ne sera plus un très petit nombre, la valeur de P différera très peu de l'unité , comme on le voit , en observant que l'expression précédente de P peut être écrite sous la forme

P= I ( I -^ ; ; ___f elC. 1.

Si l'on a, pas exemple, &)= i, et qu'on suppose n=io, la différence I — P sera à peu près un cent-millionième, de sorte qu'il est pi'esque

certain qu'un événement dont la chance très faible e?t - à chaque

épreuve, u'arrivera pas plus de dix fois, dans le nombre fj. d'épreuves.

(82J. L'intégrale contenue dans la formule (i-) se calculera, en général, par la méthode des quadratures. On trouve à la fin de Whialyse des réfractions astronomiques de Kramp, une table de ses valeurs qui s'étend depuis m = o, jusqu'à ?i=3, et d après laquelle, on a

/ e— '' lit = 0,00001967729. . . ,

pour ^^ = 5. Au niojen de l'intégration par partie, on trouve

P e-" rf. = ^fi - -L + i^- ^# + etc.);

pour u >3, la série comprise entre les parenthèses, sera suffisamment -convergente, du moins dans ses premiers termes, et cette formule pourra servir à calculer les valeurs de l'intégrale On a aussi

r~ e-'V< = |V'^— r" e-'' dt;

et en développant l'exponentielle e~'' suivant les puissances de t* , on aura

„ e ^^ = „__ + -^-^-^^+etc.;

série qui sera très convergente pour les valeurs de u moindres que l'unité.

Si l'on veut calculer la valeur de u pour laquelle on a R = ^, on fera usage de cette dernière série; et d'après l'équation (17) on aura

U 5 H -r 5 \- etc. = 7 V-TT y= .