II

y. Y l^pq

aux quantités près de l'ordre de petitesse de -. Après quelques essais, on trouve fl = o,47(>5 pouf la valeur approchée de a; d'où il résulte qu'il sera également probable que la différence p tombera en dehors ou en dedans des limites

Pour une valeur quelconque de ?< , il y a la probabilité R que la différence des deux quantités pet q, aura pour limite le'

double de d: u y -^; si donc on a, pz=.qz=\, il y aura une probabilité égale à { que la quantité , sera comprise entre les limites

par conséquent, lorsque les événements E et F ont la même chance , il sera également probable qne la différence rn — n entre les nombres de fois qu'ils arriveront , surpassera 0,675g. s/ix — i, ou sera moindre, abstraction faite du signe.

Ainsi, quand deux joueurs A et B jouent l'un contre l'autre à jeu égal, un très grand nombre de parties, un million par exemple, il y a un contre un à parier que l'un d'eux , sans dire lequel , gagnera 674 parties de plus que l'autre. C'est dans cette différence qui peut également favoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais si, à chaque partie, la chance p de A surpasse la chance ^ de B, il y

flura uue probabilité R, toujours croissante avec le nombre a , que A gagnera déplus que B, un nombre /m(/j — (j):iz^u\/2/xp(j ; et comme le terme fjt.(p — q), qui résulte de la différence d'habileté des deux joueurs, croît proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croît seulement dans le rapport de la racine carrée de ce nombre, il s'ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance à chaque partie. Unira toujours par l'emporter sur l'autre , quelque petite que soit la différence p — cj.

(85). Dans ce qui précède, nous avons supposé connues les chances petq des événements E et F, et nous avonsdéterminé, avec une grande probabilité et une grande approximation, les rapports — et -, quand le nombre tÀ des épreuves est très grand. Réciproquement, lorsque ces chances ne seront pas données à priori ^ et que les rapports — et - auront été

observés, les formules que nous avons trouvées feront connaître les valeurs très probables et très approchées des inconnues p et </. Ainsi, il y aura la probabilité R. donnée par la formule (17), que la chance p

de E est comprise entre les limites — ± m \ / -£^. Si R diffère très peu de l'unité, la fraction p sera donc à très peu près et très probablement égale à —, et ^ à - ; en mettant donc — et - à la place de p et q dans le t^rme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule (17); qui ont déjà Vf« pour diviseur, il en résultera

R = I - 4- f^e-'-dt-hJ-^e-', (19)

pour la probabilité que la chance /> de E est comprise entre les limites

m , M fimn

fi . ftV fc '

Lorsque m, n, fi, seront de très grands nombres, on pourra, en général, se servir des valeurs approchées — et - de /? et q. pour calculer la