IO RECHERCHES

probabilité d'un évéïiemetit futur, composé de E et F ; par exemple , la probabilité de l'airivée m' fois de E et n' fois de F, dans un nombre f*' ou m'-i-?i' de nouvelles épreuves, pourvu que fz' soit très petit par rapport à «. ; et cela étant, si f^f est néanmoins un très grand nombre , on

pourra employer la formule (17) : en mettant />t', — , -, au lieu de jtt,

p, q, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle se rapporte, elle deviendra

R = I ^ r* e-" dt -\-—-g^^^e-"\ (20)

y 7r J " yiTTfi'mn

et elle exprimera la probabilité que le nombre n' sera compris entre les limites

fi n

où l'on a mis — au lieu du plus grand nombre entier contenu dans ce

rapport. Quelque approchées que soient ces valeurs — et - de petq,

comme elles ne sont que probables et non pas certaines, on n'eu pourra plus faire usage, ainsi qu'on l'a vu précédemment (n" ■yt ), quand le nombre // des épreuves futures aura une grandeur comparable à celle du nombre ^t. C'est pourquoi , nous allons considérer d'une autre ma^ nièie la question des chances p et (jr de E et F, déduites des événements observés, et appliquées ensuite à la probabilité des événements futurs.

(84)- On suppose toujours que l'événement observé soit l'arrivé m fois de E et n fois de F, dans un très grand nombre /x ou /n + ?i d'épreuves, pendant lesquelles les chances /? et (/ de E et F n'ont pas varié. l\ y aura alors, d'après ce qui précède, une très grande probabilité

que ces chances inconnues différaient très peu des rapports — et -

que l'on pourra prendre, en conséquence, pour les valeurs approchées de p et q. Ces chances étant d'ailleurs susceptibles d'une infinité de valeurs croissantes par degrés infiniment petits, la probabilité d'une va- Icm exacte de p et de la valeur correspondante de q sera une quantité in-

finiment petite, qu'il s'agira de déterminer, du moins pour chacune des valeurs de p et (/, qui s'écartent peu de — et- et que nous aurons seulement besoin de conuaitr-e. ,

La quantité Q, déterminée par la première formule (18), étant la probabilité que le nombre n est inférieur à jj-q — r\/iiJi,pq, elle est également la probabilité que la chance inconnue q de l'événement F, arrivé

n fois dans i<- épreuves, est supérieure à - -j- r 1/ — , ou bien à

- + - \/- — -, en substituant dans le second terme de cette limite, à la

^ fi V fi

place AepeXq, leurs valeurs approchées — et -. Si l'on met r — dr an lieu de /'dans cette formule, et que l'on conserve seulement les infiniment petits du premier ordre, Q — -7-<Yrsera donc aussi la probabilité

n . ;• 1 imn / -xinn dr , dQ

que q surpasse--)-- \^ — y^—--; par conséquent, — ^^ exprimera la probabilité infiniment petite que l'on a précisément

n , ;• limn

pour toutes les valeurs de r positives et très petites par rapport à \/fj., comme le suppose l'expression de Q. De même, la seconde formule ( 1 8)

exprimera la probabilité Q' que la chance q est supérieure à 1/

en y mettant r'-\-dr' au lieu de r' , on aura donc Q' -f- ^ dr' pour la pro-

, 1 •!■»' 1 1 1 n r / imn limn dr oabilite que la valeur de q surpasse 1/ 1/ — ; par conséquent, —, c^r'sera la probabilité que q est supérieure à la seconde limite sans l'être à la première, ou que l'on a précisément

H fc \ fi

2mn

ai 2

r' étant aussi une quantité positive et très petite par rapport à y/*- Mais par les règles connues de la différentiatiou sous le signe /, et en substituant — et - à la place de p et q dans les derniers termes des torf<. ^c '^ '^ '

mules (i8), on a

dQ i / , d.i'\ „,,,.w , i{n — m)r

y'.pf \ dr y 3 ^ ^.a-ftrnn

D'après les valeurs de eT et cT', et en y faisant les mêmes substitutions , on a aussi

dr 3 Y/^ûin ' dr' 3 y/'^mn

d'ailleurs, en bornant, comme précédemment, l'approximation aux termes de l'ordre de petitesse de la fraction — =, et négligeant, en conséquence, ceux qui ont fyi, pour diviseur ;, nous aurons

,r.+,,. = (1 ^rcDe-" = T. ^ (^ -j^ "l ^-.^ ^

l— 3 [/ifcmn —I

e-(''-^)"= ( I + 2r'S^')e-'-'' = fi + ^ ^""-^llf ~| e-'" ;

•— 3 y i^mn —I

et de ces diverses valeurs , nous déduirons

rf Q I ^ , 2 (m — n) r^ ^ ,

</'' y/^ 3V/27!>«wn

dO' i ,, , 2(m — n)r'''

. "'■ y TT 3 y T.TTft.Tnn

Or, ces deux expressions ayant la même forme, et se changeant l'une dans l'autre par l'échange de r et — /-', il s'ensuit que si l'on- désigne par ^' une variable positive ou négative , mais très petite par rapport à y//*.

et qu'on fasse

on aura \dv pour la probabilité de

n , V , /imn 9 = -+ - V :

fi fi </ fC

à cause àep=i i — q et m=:f4. — n, cette probabilité infiniment petite sera, en même temps, celle de

m V / imn

Cette quantité V décroît, comme on voit, très rapidement à mesure que t' augmente; et avant que cette variable ait acquis une jjrandeur comparable à v/^, celle de V peut être extrêmement petite à raison du facteur e— '". Si l'on exprime de la même manière au moyen de cette variable, les valeurs de /> et ^ très différentes de — et - , et que l'on repré-

sente par \'dv leur probabilité; V sera une fonction de v, diftéreiUe de V, dont les valeurs numériques seront encore beaucoup moindres que celles de V qui répondent à la limite où peut s'étendre la formule (21). On pourra donc regarder ces valeurs de V comme étant toutà-fait insensibles; ce qui nous dispensera de cliercher l'expression de cette quantité V eu fonction de v.

Cela posé , soit E' un événement futur, composé de E et F ; désignons par n la probabilité de E' qui aurait lieu si les chances de E et F avaient des valeurs certaines , de sorte que H soit une fonction donnée de yu et ^; désignons aussi par n' la probabilité véritable de E', en ayant égard à celle des valeurs quelconques àe p gI q que l'on subsi tuera dans n : en multipliant il par cette probabilité infiniment petite àe p et q, et intégrant ensuite le produit depuis p=o e\ q^^ i jusqu'à />= i et ^ =0 , on aura l'expi-ession de FI'. Mais, d'après ce qu'on vient de dire, on pourra négliger la partie de c^te intégrale qui répond aux

valeurs de p elq qui s'écartent beaucoup de — et - ; par conséquent , si l'onmet dans U les valeurs précédentes de p et q, on aura simplement

n' = fn\dv, (22)

en étendant l'intégrale aux valeurs positives ou négatives de «', mais très

petites par rapport à Vf^.

Ce résultat s'accorde avec celui qui a été obtenu plus directement , dans le second paragraphe de mon mémoire sur la proportion des nais- Mnces des deux sexes.

(85). Pour donner une première application des formules (21) et (22), je suppose que IT soit la probabilité que dans un très grand nombre /^' ou m! -\-n' de nouvelles épreuves, les événements E et F auront lieu des nombres de fois m' et n' qui seront entre eux , à très peu près , comme les nombres de fois m et n qu'ils sont arrivés dans les f* épreuves déjà faites; ou, autrement dit, je suppose qu'on doive avoir

m'=mh — a V/f^', n' = nh -{- u \''p.' , [j.'z=:fj.h;

h et a étant des quantités données , dont la seconde pourra être positive ou négative , mais sera très petite par rapport à yZ/jt'. D'après la formule (6), et en faisant

nous aurons

ovi l'on peut déjà remarquer que U' serait la probabilité de l'évé-

nement E' que nous considérons , si — et - étaient les valeurs exac-

fi fi

tes et certaines des chances /? et g» de E et F, et que l'on eût a = o.

D'ailleurs, à cause de

tJ»

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2i5

et , en faisant aussi

limn a

les valeurs de p et ^ du numéro précédent pourront s'écrire sous cette forme :

En les substituant dans la valeur de II , il vient

Les quantités "^ et ^—r étant de l'ordre de petitesse de la fraction —p= ou — -;= , on aura , en séries très convergentes , j, Vf' Vf

• ^«§0 -^) = -^-ï^-fc^-^*^•' .log(. -|-^) = ^^"+'iX^etc.,-

d'où l'on déduit

(,^ - IZ; = ^ '^ e etc.,

l^' -r ^j =e'' ' e e -• etc.

Mais à cause du facteur U' de n', qui est déjà de l'ordre de petitesse de — ^, on pourra négliger les quantités de cet ordre dans

les deux autres facteurs; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à l'unité, à partir de la troisième, dans chacun de ces

2i6 RECHERCHES

deux produits. A ce degré d'approximation, on aura donc

Par la même raison , ou pourra négliger le second terme de la forniule (21); au moyen de quoi la formule (22) deviendra

Quoique celte intégrale ne doive s'étendre qu'à des valeurs de v très petites par rapport à \/y.; si l'on observe qu'à raison du facteur exponentiel, le coefficient de dv sous le signe /" devient toutà-fait insensible pour les valeurs de i' comparables à V'p, on en conclura que sans altérer sensiblement cette intégrale ^ on peut l'étendre à de semblables valeurs de v, et la prendre, comme nous le ferons effectivement, depuis v =z — co jusqu'à v = co . Or, en mettant mh et nh au lieu de m' et n' dans la valeur de v^, on a

cela étant, si Ton fait

a fc

^yJT+Ji-.—^^—. = X, ds>z=

dx

les limites de l'intégrale relative à la nouvelle variable x seront encore db 00 , et il en résultera

pour la probabilité qu'il s'agissait de déterminer. Dans le cas de a = o, on aura simplement

ce qui coïncide, d'après ce que U' représente, avec le résultat qu'on a trouvé d'une autre manière dans le n" 71.

(SÔ). Pour le second exemple de l'applicaliou des formules (21) et (22), nous supposerons que W soit la probabilité que la différence -7 n'excédera pas la quantité — ^ qu'elle devait atteindre

dans l'exemple précédent.

La quantité n sera en fonction des chances /? et ^ de E et F, la probabilité que dans les ^ épreuves futures, F n'arrivera pas

plus d'un nombre /i' de fois, égal à — + a vV> et que E aura lieu

un nombre m' de fois , au moins égal à — — a \'\>! . Sa valeur sera

donc donnée par l'une ou l'autre des formules (i5), en y mettant ^', m', n', au lieu de ,", m, n. Pour ces valeurs extrêmes de /n' et n', on aura

en bornant toujours l'approximation aux quantités de Tordre de

petitesse de —7^, ou de -7=- D'après les valeurs de p et 5» du nu-

V M- Vf'

niéro précédent, on aura, en même temps,

m \ » mn J

si donc on limite la variable v de manière qu'on ait

y/ ififimn

abstraction faite du signe, on aura - •<— 7-; — ,ou2>— ^ — , selon

que la constante a sera positive ou négative ; par conséquent ,

^i8 RECHERCHES

dans le premier cas, nous aurons

n = I \-=r f e-"dt + . , , ,

en vertu de la seconde équation (i5), et dans le second cas,

" = ihlî'-"

dt-

en vertu de la première ; k étant une quantité positive donnée par l'équation (12), ou dont le carré est

A;* = n' log -y^xT; + K + I ) log

Des valeurs extrêmes de m' et rî, et de celles de /j et ^ , qui doivent être employées les unes et les autres dans ces formules, il résulte

en faisant, pour abréger,

ce f^/zmn n'

Cette quantité v' sera de l'ordre de —;=; on aura donc, en séries très convergentes ,

1 «' (^'+')>'' i(^£+£)V' iO«^)V' log^=log^^,-q— ; ;7— ; ^ —3 ^ etc.,

log/) == log ^^T^p-p 4- ^;;r^:j7Y — 2 l^ô^Tr ^ 3 l^^+j-yr — etc.,

d'où l'on déduit, au degré d'approximation où nous nous arrêtons,

2m' n' 'irri'^n''- '

et ensuite

L 3\/aKWn J

en ayant égard à la valeur de v' , et faisant, pour abréger,

A cause de la limite qu'on vient d'assigner à v, cette quantité k' sera de même signe que a; pour que la valeur de k soit positive, il faudra donc prendre le signe supérieur ou inférieur devant son expression , selon que et sera une quantité positive ou négative. Le second terme de cette valeur de k sera aussi de l'ordre de petitesse de — — ou— =; par conséquent, nous aurons

j ^ e-''dtz= I e-''dt±:

3 \/ 2fi'm'n' En même temps, les valeurs précédentes de FI deviendront

n = I '- r e-"dt ■+■

in' „ (5-A

y/^rJ f^ ^^Trfi'm'n

n = -i^ r e-"dt +

an

et, eu vertu des formules (21) et (^22), les valeurs correspondantes de n' seront

n'= 4= fe-'"di'—- r fe-"-^'dtd^ + —J^==. re-*'-—,A.

\/tJ -t J k J y 7.%ijlTrin J

"iy^ 27rftmn\j yi

n' = - r A" ''-"'dtdi> + -^i== fe-'^'-

= r fe-"-"'v'dt.dv.

'dv

SîT ^ iftmn

Les exponentielles e-"', e-'"— '" , g— *'— ^', rendant insensibles les

coefficieots de dv sous les signes /, au-delà de la limite assignée à c, il s'ensuit que sans alte'rer sensiblement les intégrales relatives à cette variable, on pourra les étendre, comme plus haut, depuis v=. — 00 jusqu'à V z= ce . Soit, en outré,

-^=±^, îLpi^^y, t^^^y., dt=.dh

fe étant une quantité positive, et les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que a, sera une quantité positive ou négative. Dans la première expression de n', qui suppose a positive, onprendra donc

k' = ë — yv, t =: B — yi>;

et les limites des. intégrales relatives à la nouvelle variable 6 seront S = € et ô = oo . Dans la seconde expression de IT, qui se rapporte au cas de et négative , on devra prendre

A' = — g — yv, t = ^ ■+- yv;

et les limites de cette intégrale seront encore 9 :=: ê et 6 = oo , De cette manière, on aura

y 2-rrfc'm'n' J — »

J7ry lumn J ^ J — œ

Sa- V/ ifimn

y iTtm, m n J — »

oiry lumn J ^ J — œ

Les intégrations relatives à v s'eflectueronl sans difficulté , en sorte que la probabilité il' qu'il s'agissait de déterminer ne renfermera plus qu'une intégrale simple relative à G. A cause de

la première valeur de FI' sera la probabilité que le nombre n' n'f xcè-

j "/"' 1 fi . /'i.ni'T^ . ^ nu j

dera pas (-«y — ; — , qui surpasse très peu -^ , et sa seconde valeur exprimera la probabilité que ^^' n'excédera pas — — &\/ —r~ qui est un peu moindre que—.

(87). Ou peut remarquer qu'à raison des limites =fc 00 , relatives à t', les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de FI' , et la troisième est la même au signe près. Il en résulte qu'en appelant (p l'excès de la première valeur sur la seconde, on aura simplement

et cette quantité cp sera la probabilité que le nombre n surpassera

nu f, /im'n' ., nu.' , o /■xnirî 6 1/ — , sans excéder -^ + b 1/ .

I*. \ fc f* M H-

Si nous faisons

« ^ dz

les limites relatives à la nouvelle variable z seront toujours ± 00 , et nous aurons

ou, ce qui est la même chose,

<p = I — — ^ / e-'-dt,

y ir J "

en faisant aussi

En ajant égard à la valeur àe y , on verra que cp exprime actuellement la probabilité que Ji' sera compris entre les limites

fv

ou égal à la limite supérieure. Si l'on veut que cet intervalle des valeurs de n' contienne aussi la limite inférieure, il faudra ajouter à cp la pi'obabilité que n' sera précisément égal à cette limite ; laquelle probabilité sera donnée par la formule (23), en y faisant

De cette manière, si l'on désigne par «jet la probabilité que le nombre ti' tombera entre les deux limites précédente:^ , ou sera égal à l'une ou à l'autre, on aura

^=,-±- re-dt 4- >^V^' ^^— ;iwïïT7--f^- , .

En comparant cette valeur de «zs- à celle de R qui est donnée par la formule (20), on voit que ces deux probabilités ne diffèrent l'une de l'autre que par leurs derniers termes, et sont, en conséquence, à peu près égales. Mais quand le nombre ij! des épreuves futures n'est pas très petit par rapport au nombre ijl des épreuves déjà faites, les termes ambigus des limites de Ji' auxquelles répondent ces probabilités rar et R ne sont pas les mêmes, et les limites dont «ar est la probabilité peuvent être beaucoup moins resserrées que celles dont la probabilité est R.

En effet, si la probabilité 'Zêr diffère peu delà certitude, on pourra, dans les limites auxquelles elle se rapporte, mettre pour n' et m' leurs

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aaS

valeurs approchées et très probables — et ^^- ce qui changera ces Hmites en celles-ci :

nu. Il , ; f : — =—

— :f= - V ^iJ^mn ( i + h.)',

h étant le rapport de fx' à f/,. Or, en les comparant à celles du n" 85, auxquelles répond la probabilité R, on voit que pour une même valeur de u , elles sont plus étendues dans le rapport de \/ 1 -\- h à l'unité. Pour les rendre aussi étroites que celles de ce numéro, il faudrait diminuer u dans le rapport de l'unité à \/i -\-h; ce qui diminuerait aussi leur probabilité et la rendrait moindre que R. Quand h sera une très petite fraction, les formules (ao) et (24), coïncideront à très peu près, ainsi que les limites correspondantes des valeurs de n'. Ce résultat s'accorde avec celui que j'avais déjà trouvé d'une autre manière , dans le mémoire cité plus haut.

La formule (24) exprime aussi la probabilité que la différence

— sera comprise entre les limites

ou égale à l'une d'elles, et qu'il en sera de même à l'égard de la diffé-

ra

rence -; • —, en changeant leurs signes. Si donc on a pris pour u un

nombre tel que trois ou quatre , qui rende la probabilité «ar très approchante de la certitude (n° 80), et si, néanmoins, l'observation

donne pour —r ou — des valeurs qui s'écartent notablement

r fc fi fi fc

de ces limites, on sera fondé à en conclure, avec une très grande probabilité, que les chances inconnues des événements E et F ont changé, dans l'intervalle des deux séries d'épreuves, ou même pendant ces épreuves.

On peut remarquer que pour une même valeur de «, et, par conséquent, à égal degré de piobabililé, les limites précédentes ont la plus grande amplitude, quand /^ et p-' sont égaux, et la moindre, lorsque

l'un de ces nombres est très grand par rapport à l'autre. Dans le cas de fx = fj., on a aussi à très peu près m' =m et//' = « ; ce qui réduit le

coefficient de m à -=--. Si, au contraire, /a' est très grand relative-

ment à u; à cause de m' = — ^ et «' = — , à très peu près, ce coefti- /« /«

cient se réduira à jz^ , et sera moindre que le précédent, dans le

rapport de l'unité à y/a.

(88). Généralement, les deux événements contraires E et F, dont les chances inconnues sont p et (f , étant arrivés les nombres de (ois in et ?t dans le très grand nombre p d'épreuves; si deux autres événements contraires E, et F,, dont les chances également inconnues seront désignées par p, et r/, , ont eu lieu des nombres de fois m, et //, dans un très grand nombre u, ou m, + ri, d'épreuves, et si les rapports —et — ' diffèrent considérablement l'un

de l'autre, ce qui aura lieu aussi, pour - et —, on devra regarder comme certain, ou à très peu près, que les chances p et p, sont inégales, ainsi que q et q,. Mais quand les différences ' et —,

soiil de petites fractions, il est possible que les chances p et p,, q et q,, ne soient pas sensiblement inégales, et que les différences observées proviennent de ce que, dans les deux séries de p. et p., épreuves, les événements ne sont point arrivés rigoureusement en proportion de leurs chances respectives : il sera donc utile de déterminer, comme nous allons le faire, la probabilité d'une inégalité entre les chances inconnues p et p,, q et q,, correspondante à des différences données , peu considérables, égales et de signes contraires, entre les rapports m m, Il , n,

— et —, - et — .

Je désigne, comme dans le n° 84, par

m ^ / 'inin

une valeur de p qui s écarte peu de — , tie sort*.- que v soit une va-

riable positive ou négative, mais très petite par rapport à vV- S**'* de même

m, V, /zm,n,

une valeur de p, peu différente de p, et dans laquelle la variable v,, positive ou négative, est très petite par rapport à \/pi,. Supposons qu'on ait

cT étant une petite fraction, qui pourra aussi être positive ou négative. jNous aurons

en désignant cette différence par z, on en déduira

i.. = (J>~ z) fz, JJ^Z L " 'X^; V 2m, n, ^ \^fim,n,

et si £ est une petite fraction positive, et qu'il s'agisse de déterminer la probabilité que /?, excédera p d'une quantité au moins égale à e , il ne faudra donner à la variable z que des valeurs positives qui ne soient pas moindres que e.

Cela posé, les probabilités infiniment petites des valeurs précédentes de p etp,, seront Ydv et V.^^", ; le coefBcient \ étant donné par la formule (21), et V, désignant ce que cette formule devient quand on y met fx,, m,, n,, i>,, au lieu de ^i, m, n, v. La probabilité du coucours de ces deux valeurs sera le produit de Ydv et y,dv, ; et si l'on appelle A la probabilité demandée, elle sera exprimée par une intégrale double , savoir :

Pour plus de simplicité je négligerai le second terme de la formule

(21); et il en résultera

Si l'on veut substituer, dans cette intégration, la variable s à t', , il faudra prendre pour dv, la différentielle de la valeur précédente de i>, , relative a z; et, la variable i>, étant ici supposée croissante, i! faudra, pour que z le soit aussi , changer le signe de dp^; en sorte que l'on aura

d^, = -^^^y^dz.

On aura, en outre.

m, n,^Yifc

L intégrale relative à v pourra s'étendre , comme dans les questions précédentes, depuis vz= — oo jusqu'à 1^ = od. En faisant

1 __ f<.\/fim,n,dx

les limites relatives à la nouvelle variable x seront encore rfc 00 ; l'intégrale relative à z ne devra s'étendre que depuis z = e jusqu'à s = co ; et comme on aura

la valeur de x deviendra

Soit actuellement

faisons aussi

\/i (f4.^m,n,+fc,^mn]

= =fc:M; (25)

u étant une quantité positive, et en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que Ton aura ê > «T ou €<</". Les limites de l'intégrale relative à / seront t:=dbu et «=00 ; et si l'on observe que l'on a

/oo /^oo /^^ u /^ 00

e-~'dt= e-'-dt— e-"dt= \/7r— e-" dt,

-u J — QC J 00 J u

on en conclura finalement

A = -^ f^e-'^dt, A=i -f^e-^dt; (26)

la première valeur ayant lieu quand la diflFérence g — «Tsera positive, et la seconde, lorsque cette différence est négative.

On doit observer qu'ayant négligé le second terme de la formule (21), la probabilité du cas où la différence p, — /? serait précisément égale à ê se trouve aussi négligée; en sorte que A est la probabilité qu'on a p, — p > £, et non pas qu'on ait p, — p"^ t , ou p, — />= e. Dans le cas de È = <f , la quantité n est nulle, et les deux valeurs de

K sont A = -, c'est-à-dire, qu'il y a un contre un à parier que p, excède p d'une quantité plus grande que cT.

Les formules (26) serviront aussi à calculer la probabilité que la chance inconnue p, surpasse une fraction donnée. Pour cela , je fais, dans l'équation (25),

m n ^ rri,

ce qui la change en celle-ci

Mais le nombre fx étant supposé infini, la chance p est certainement

égale au rapport — ou à la fraction co; par conséquent , A est alors la

probabilité qu'on a/), >• e + c?. En prenant, pour plus de simplicité, a au lieu de ê + o), et mettant aussi t^^, m, n, à la place de p, , ?n, , n„

on aura

u = :àz(a>-"^\-^^X^; (27)

et selon que la différence cj sera positive ou négative, la première ou la seconde formule (26) exprimera la probabilité que la chance inconnue d'un événement arrivé m fois, dans un très grand nombre p ou m -+■ n d'épreuves , excède la fraction donnée a.

(89). Afin de donner une application numérique des diverses formules qu'on vient d'obtenir, je prendrai pour exemple l'expérience de BufFon qui uous a déjà servi dans le n° 5o.

L'événement E sera alors l'arrivée de croix, et F l'arrivée de pile, dans une longue série de projections d'une même pièce. D'après cette expérience , on a eu

m = 2048 , « = 1 992 , fi = 4o4o ,

pour les nombres de fois m et n que E et F sont arrivés dans le nombre fi d'épreuves successives. En substituant ces nombres dans la formule ( 1 9) , et prenant ^^ = 2 , on aura

— —1 e dt=i 0^00468, R = 0,99555.

On trouvera , en même temps ,

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 22g

pour les limites de la valeur de p , auxquelles cette formule se rapporte; en sorte qu'il y a la probabilité o.ggSôS, ou à très peu près 224 à parier contre un , que la chance inconnue p de l'arrivée de civix , est comprise entre 0,48468 et o,52gi8. Si l'on veut connaître

la probabilité qu'elle surpasse -, ou que la chance de croix est supérieure à celle de pile, on substituera les valeurs précédentes de y, m, n, dans la formule (27), et l'on y fera « = -; en prenant le signe inférieur, et par conséquent la seconde formule (26), on aura

ce qui montre qu'il n'y a pas tout-à-fait cinq contre un à parier que la chance de croix soit plus grande que - •

L'expérience dont nous nous occupons peut être divisée en deux parties , l'une composée de 2048 épreuves, l'autre en contenant 1992 ; dans la première partie, croix a eu lieu 1061 fois et pile 987 fois; dans la seconde partie, croix est arrivé 987 fois et pile ioo5 fois : or, d'après le résultat de l'expérience totale , et au moyen de la formule (24), on peut aussi calculer la probabilité que les nombres des arrivées de croix ou de pile ont dû être compris entre des limites données, dans les deux expériences partielles. Pour cela, on fera, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle répond.

c est-a-dire que 1 on y mettra pour les rapports -7 et — , qui ne sont

pas censés connus, leurs valeurs approchées, résultantes de lexpérience totale; ce qui est permis, attendu que m' et n' n'entrent que

dans des termes qui sont de l'ordre de petitesse de —p^. On y mettra

Vf aussi pour f^ le nombre total 4040. Relativement à la première partie

25o RECHERCHES

de l'expérience , on aura , en outre ,

fz' = 2048; et si l'on prend , comme plus haut, m = a , on trouvera

pour la probabilité' que le nombre n' des arrivées de pile a dû être compris entre les limites

IOOiqp79;

ce qui a eu lieu effectivement, puisque ^/Ze s'est présenté 987 fois dans cette première partie.

Relativement à la seconde partie , on aura

et en prenant toujours m = 2 , on trouvera

pour la probabilité que pile a dû arriver un nombre n' de fois, compris entre les limites

982 qp 77;

qui renferment, en effet, le nombre de fois i oo5 que pile est réellement arrivé. On néglige les fractions dans ces limites et dans les précédentes.

Supposons que l'on ne sache pas si la même pièce a été employée dans les deux parties de l'expérience, et que l'on demande, d'après leurs résultats, la probabilité A que la chance de croix, dans la première partie, excède d'une fraction donnée , la chance de croix, dans la seconde partie. On fera d'abord, dans l'équation (25),

Ht = 1992, m = 987, n = ioo5, jw,, = 2o48, m, = 1061, «, = 987,

et en outre

eT ^ — — - = 0,02257.

Cette équation deviendra

Si l'on fait, par exemple, e = 0,02, il faudra prendre le signe inférieur, et faire usage de la seconde formule (26); on aura de cette manière

M=o, ii553, A = o,5658g, i — A = 0,43411;

de sorte qu'il y aurait à peine quatre à parier contre trois , que la chance de cro^r serait plus grande d'un cinquantième , dans la première partie de l'expérience que dans la seconde. En faisant ê=o,025, on devra prendre le signe supérieur et employer la première formule (26); on aura alors

et il y aurait moins de un contre un à parier, que l'excès dont il s'agit surpasserait un quarantième.

(90). Je placerai ici la solution d'un problème, susceptible d'une application intéressante, et qui sera fondée sur les formules précédentes et sur un lemme que je vais d'abord énoncer (*).

Une urne A renferme un nombre c de boules, dont a boules blanches et b boules noires, de sorte qu'on ait a-j- b = c. On en extrait d'abord au hasard un nombre / de boules, successivement et sans les remettre, ou toutes à la fois ; ensuite, on en extrait de même

(*) Depuis que la note de la page 6i est imprimée, on m'a fait remarquer que la proposition qu'elle renferme est comprise dans ce lemme, dont j'avais déjà fait usage pour la solution du problème du trente-et-quaranle , citée à la page 70.

un nombre /a ou m + " d'autres boules; je dis que dans celte seconde opération, la probabilité d'amener m boules blanches et n boules noires, est indépendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la première, et la même que si / était zéro.

En effet, supposons que l'on effectue les / + //. tirages successifs; soient T le nombre total des combinaisons différentes de /+ f* boules qui pourront arriver, /' le nom.bre de ces combinaisons dans lesquelles les p, dernières boules se composeront de m blanches et de n noires , i, le nombre de celles dans lesquelles ce seront les ^l premières boules qui en renfermeront m blanches et n noires; la chance d'amener m boules blanches et n boules noires, après une extraction de l boules quelconques , sera - , et la chance d'amener m boules blanches et n boules noires , avant qu'aucune boule ait été extraite de A , aura -' pour valeur; or, les deux nombres i' et /, sont

égaux ; car, en général , une combinaison qui se compose de l boules déterminées, suivies de /w. boules aussi déterminées, et celle où ces /tt dernières boules précèdent, au contraire, les / premières, sont toutes deux également possibles; ef, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les /tt dernières des l-\-ix boules extraites de A renferment m blanches et n noires, il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les u premières boules qui contiennent ces nombres de blanches et de noires, et réciproquement. Les fractions

'r et -', et conséquemment les probabilités qu'elles expriment, sont

donc aussi égales; ce qu'il s'agissait de démontrer.

On peut vérifier celte proposition de la Oianière suivante.

Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A étant a et b,\a chance d'amener m. boules blanches et n noires dans les m -|- n premiers tirages, est une fonction de a, b,m, n, que je représenterai par f((i, h, m, n). Celle d'amener g boules blanches et h noires dans les g-\-h premiers tirages sera de même f{a, b, g, h) ; ces tirages ayant réduit à m — g et Ji — h, les nombres de boules blanches et debouks noires que A renferme , la chance d'en extraire ensuite m blanches et n noires dans rn-\-Ti ou w nouveaux

tirages, aura pour expression /(a — g, b — h, m, n); le produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d'amener m boules blanches et n noires, après avoir déjà extrait de A, g boules blanches et h boules noires; par conséquent, si l'on fait la somme des / + i valeurs de ce produit, qui re'pondent à toutes les valeurs entières ou zéro de g et h, dont la somme est /, on aura l'expression complète de la chance d'amener m boules blanches et n noires, après avoir extrait de A un nombre l de boules quelconques. Cela étant, il s'agira de faire voir que cette chance est indépendante de /, et égale à J (a, b, m, n), c'est à-dire de montrer que l'on a

/ia,b, m, n)=7.f{a,b, g,h)J{a—g,b — h, m, n);

la somme 2 s erendant depuis g = o et A = Z, jusqu'à g = / et A=o. Pour cela, j'observe qu'on a, d'après le n* 18,

f(a,b,m, n) = ^(^^ r,)<p(a-jrnj^nl

en faisant, pour abréger ,

relativement à des nombres quelconques a et b , dont la somme est c. 11 en résultera

<f{a, b) ç(a — ff,ù — h) '

OU, ce qui est la même chose,

au moyen de quoi , et de la valeur de f{a, b, m, n), l'équation qu'il s'agit de vérifier deviendra

en supprimant le facteur ii^iîl commun à tous les termes de ses

deux membres; el comme a et b sont des nombres quelconques, on y pourra, si l'on veut, mettre a-^-n et b-^m au lieu de a et b; ce qui la changera en celle-ci

Or, son premier membre est le coefficient de x"^', datts le développement de (x+j-/; son second membre est le coefficient de a^^*, dans le produit des développements de (x +J^/ et (x -j-7'}'~',ou dans le développement de {jc-\-jy, comme le premier membre; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques; ce qu'il s'agissait de vérifier.

(gi). Supposons actuellement que les nombres a, b, a — m, a — n, soient très grands; les valeurs approchées de<p(fn,n),(p(a — m), b — n), ip {a, b^, et ensuite celle de J^{(i, b , m , «), se calculeront au moyen de la série (3); et si l'on réduit cette série à son premier terme, on en déduira une valeur de f{a, b, m, n) , que l'on pourra mettre sous la forme

en faisant , pour abréger ,

abfi{c —fi) „

itrcmn (a — m) {b — n)

Lorsque m et n, et par conséquent aussi a — m et b — n, seront entre eux comme a et b , chacun des quatre derniers facteurs atteindra son maximum et aura l'unité pour valeur. Us décroîtront très rapidement à mesure que m et n s'écarteront de ce rappoi t , et

deviendront toul-à-fait insensibles, dès que le rapport — ne différera

plus très peu de-;; en sorte qu'il suffira de considérer la probabilité

exprimée par J(a, b, m, n), pour des valeu's de m et n, à très peu près entre elles comme a et b. Si donc nous faisons

et conséquemmenf

nous pourrons considérer 6 comme une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à \/c, de manière que ~t= soit une très petite fraction , dont nous négligerons le carré, ainsi que toutes les quantités de l'ordre de petitesse de -. Cela posé , nous aurons

cm 6c ^c en i ^*" V^^

et en négligeant les carrés des seconds ternies de ces binômes, on trouvera d'abord par un calcul semblable à celui du n* 85 ,

En mettant pour m et « leurs valeurs précédentes, cette formule devient ensuite

iO..

On trouvera de même

équation qui se déduit aussi de la précédente par le changement de m, /i^ fx, en a — m , b —n,c — [>-, et du signe de G. De là on conclut, au degré d'approximation où nous nous arrêtons,

j{a,h,m,n)=z\\\j J^^^^fJ^^^ Y

ou bien , en faisant

. < y/a (c — fC)^

on aura, plus simplement

pour la chance d'amener les nombres m et n de boules blanches et de boules noires, exprimées par

^ __ j«6 t [/ 2 {c — fi)f(abc

Selon que le nombre f^ sera pair ou impair, la différence n — m sera aussi paire ou impaire. Si l'on désigne par i un nombre entier et positif, et qu'on représente l'excès de n sur m par 21 ou 21 — 1, l'expression correspondante de t devra être, d'après ces équations (29),

t = 2iS ■+■ y , en faisant, pour abréger,

2 \/ 2 (c — fi)iiabc

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. 257

et désignant par y l'une de ces deux quantités

2^/2(0 — fc)ftabc 7.\/ i.{c — fi,)nabc

savoir: la première quand m sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule (28), après qu'on y aura substitué celle valeur de t, exprimera doncla probabilité que dans les ^ tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d'un nombre d'unités égal à 2t ou 2/ — i; par conséquent, si l'on y fait successivement 1= i, = 2, = 3, . . . jusqu'à ce que l'exponentielle e,-'' soit devenue insensible, ou, si l'on veut, jusqu'à i = œ , et que l'on prenne ensuite la somme des résultats ; cette somme sera la probabilité que dans ces ^n tirages, le nombre des boules noires excédera celui des blanches, d'un nombre pair ou impair quelconque d'unités. En la désignant par s, nous aurons

2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de t, comprises depuis « = > + 2<r jusqu'à t = co , et croissantes par des différences constantes et égales à acT. Or, 2(^ étant, par hypothèse, une très .petite fraction, la somme 2 pourra s'exprimer en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de celte différence. En effet si l'on représente par T la fonction de t contenue sous le signe 2 > et si l'on observe que cette fonction et toutes ses différentielles s'évanouissent à la limite t = co , on aura , au moyen d'une formule due à Euler,

A-, k', k'", etc., étant les valeurs de T, ^, ^, etc., qui répondent k t = y. D'après les équations (29), on a d'ailleurs, au même degré

258 RFXHERCHES

d'approximalion que précédemment,

H'ab . tu(a — i) 1/ 2 (c — u)uabc mn = —r. 1- -^-^ ^^-T ^ —

(« m) {b - 72) = ËJZ^fÉ '(c-f^)(a-i')V^{c-^)f^abc

en ayant égard à la valeur de cT, il en résulte

J j^___i rj t{a — b){c— ifi)-\

^^ \/xL i/ 1 (C — u.\ Mbc J'

kz=-~

y v y— {/ 2 (c — f/.) fcabc .

ce '

les termes dépendants de A', A'", etc., étant multipliés par H dans l'expi-ession de s , auront d*, eT*, etc., pour facteurs, et devront être négligés; et à cause de

( e-"tdt = - e->', P e-"ûdt = - (i 4->'')e->',

on conclura de ces diverses valeurs

• ^ = -— ^ / e-*'dl— re->',

en faisant, pour abréger,

6 ^2w (c— fi) ft,abc

Soit l'une quantité positive; selon que la quantité jasera positive ou négative, prenons t' = ±^; à cause de

Ç"^ e-''dt= V'TT — r e-''

dt.

iious aurons finalement

la premièie valeur de s ayant lieu quand on a 5^ < u, et la seconde dans le cas de ^ > o.

En faisant « = ^ dans la formule (28), et désignant le re'sultat par 7 , on aura

pour la probabilité que dans le nombre f^ de tirages, les nombres m et n de boules des deux couleurs seront e'gaux entre eux, et à la moitié de f^; ce qui n'est possible que quand f^ est un nombre pair. (92). Après avoir extrait ij. boules de A, supposons que l'on en extraie u autres, puis \j!' autres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre c de boules que cette urne renferme, de sorte qu'on ait

c = f. 4- f^' + f»" + f^'" + etc. ; .

supposons, de plus, que chacun de ces nombres i^' , fx", elc , soit très grand , ainsi que ,u; et désignons par s', i",etc., ce que devient s, en y mettant successivement fx', fj!\ etc., au lieu de ju, et faisant usage de la première ou de la seconde formule (3o}, selon qu'à l'origine des tirages, le nombre b des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre a des boules blanches , contenus l'un et l'autre dans A ; ce qui rendra la quantité y négative ou positive. D'après le lemme du n" 90, les chances d'amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules p, fx', p.", etc., seront les quantités s, s', s", etc.; en sorte qu'elles ne varieront qu'à raison de l'inégalité de jx, /, a", etc., et seraient toutes égales, si ces nombres étaient égaux. Soit / la moyenne des valeurs' de s, s', s", etc., c'est-à-dire,

Ho RECHERCHES

en représentant par « le nombre total des tirages. Si l'on suppose encore que a soit très grand, et si l'on appelle J le nombre de ces a tirages dans lesquels les boules noires excéderont les blanches, la probabilité que y se trouvera compris entre des limites données, sera la même , en vertu de la première proposition du n" 52, que si toutes les chances s, s', s", etc., étaient égales entre elles et à leur moyenne r. Par conséquent, en mettant et, r, i — r,a\i lieu de/^, q,p, dans la formule (17), nous auroits

R = I ^-- He-'-di H ' — e-"',

{/■>!■ J" ^ 27rar(i — r)

pour la probabilité que le nombre / sera contenu entre les li-

niites

a.r=f:u\/2xr[i — r),

ou égal à l'une d'elles; u étant un petit nombre par rapport à Va-

Telle est la solution du problème que nous nous proposions de résoudre. L'application dont elle est susceptible se rapporte aux élections des députes dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste.

Le nombre des électeurs, dans la France entière, est représenté par c; celui des électeurs qui ont une opinion, par a; celui des électeurs de l'opinion contraire , par è ou f — a. On partage le nombre total c en un nombre a de collèges électoraux, dont chacun élit un député, de telle sorte que le député élu dans un collège soit de la seconde ou de la première opinion, selon que le nombre des électeurs appartenant à l'une ou à l'autre y sera prépondérant. Cela étant, on demande la probabilité R que le nombre / des députés qui appartiendront à la seconde opinion, sera compris entre des limites données, en supposant que le partage des électeurs en un nombre a, de collèges, soit fait au hasard, c'est-àdire en supposant qu'on prenne au hasard sur la liste générale, un nombre fx d'électeurs pour former un premieî collège , un nombre p' pour former un second collège, un autre nombre p" pour

en former un troisième , etc. ; et si l'on prend pour les limites de y celles que l'on vient d'écrire, la probabilité demandée R s'exprimera par la formule précédente.

Quoique chaque collège électoral se compose des électeurs d'un même arrondissement , et non pas d'électeurs pris au hasard sur la liste générale, ainsi que nous le supposons, il peut être utile cependant de savoir ce qu'il arriverait dans cette hypothèse; c'est ce que nous allons montrer par des exemples.

(95). En France, le nombre des collèges électoraux, égal à celui des députés, est 4^g, et l'on peut évaluer à environ 200000 le nombre total des électeurs. Je supposerai que tous les nombres u, p.', u", etc., soient égaux; en prenant pour a un nombre impair, je ferai

a= 459, fj- ^ 435, c = au.= 199665.

Je supposerai aussi qu'on ait

a = 94835, (?> = io485o;

de sorte que la différence entre la majorité et la minorité soit à très peu près le vingtième du nombre total des électeurs. La quantité y sera négative; on fera donc v :=: — y, en prenant la seconde des deux valeurs de ^ du n° gi , il en résultera

et, en vertu de la première formule (3o), on aura

La chance d'une élection dans le sens de la majorité des électeurs surpasserait donc 44^; et la minorité, quoiqu'elle ne diffère pas beaucoup de la majorité, ne pourrait guère espérer d'élire plus des ^5 des députés. En mettant ces valeurs de ^ et i — 5 à la place de r et i — /■ dans l'expression de R du numéro précédent, • 5i

faisant a. = 4^9* ^^ prenant ii = i , on trouve

pour la probabilité que le nombre des députés élus par la majorité, serait compris entre les limites 392 =p 21, et ceux delà minorité entre les nombres 67 ± 2j . L'amplitude de ces limites est considérable relativement au nombre a, parce que a n'est pas extrêmement grand.

Je suppose toujours que la différence b — a soit à peu près le vingtième de c; mais je prends pour i^ un nombre pair. Je fais, en conséquence,

a z=: 45g , u. = 456 , c = au ::= 200 1 24 > et, en outre,

0 = 95064, b ==■ io5o6o.

On aura toujours i' = — y; mais il faudra prendre pour y la première valeur du numéro gi. De cette manière, on trouvera

I r°° 1^ = 0,74006, — ^ / e-''<3?i = 0,14764; y Tt J V

et il en résultera

Mais p étant un nombre pair, le cas de m = ii est possible; d'après la formule \^i) , sa chance est cr = 0,02218; et si Ton en ajoute la moitié à la valeur de ^, on a ^ = o, 85388; quantité très peu inférieure à celle qui a lieu quand f^ est impair.

Afin de montrer l'influence de l'inégalité des nombres d'électeurs

dans les difTérents collèges, je supposerai que la moitié du nombre total des- électeurs soit répartie également dans le tiers des collèges, et l'autre moitié dans les deux autres tiers.

Pour appliquer les formules précédentes au premier tiers, je ferai alors

ja.z=i55, f/=654, ^ ap.= 100062; et, pour les appliquer aux deux derniei-s,

I a =: 5o6 , u = 327, I ay. = 100062. Je supposerai , en outre,

a= 96062, b := io5o62, c = 20013.4;

de manière que la différence entre la majorité et la minorité soit toujours à peu près un vingtième du nombre total des électeurs. Dans le premier cas, oùij- est un nombre pair, on trouve

.9 = 0,89429, 7 = 0,01576, .y -f- 7 5-= o,goi 17;

dans le second , où fj- est impair, on obtient

.9 = 0,81981; il en résulte donc

pour la chance moyenne dune élection dans le sens de la majorité; laquelle surpasse un peu, comme on voit , celle qui a lieu quand tous les collèges sont composés d'un même nombre d'électeurs.

Lorsque la dififérence b — a entre la majorité et la minorité vient à augmenter, la chance des élections dans le sens de la minorité diminue très rapidement, de telle sorte qu'elle est bientôt presque nulle. Pour le faire voir, je suppose les électeurs répartis en nora-

VN

bres égaux dans tous les collèges; je prends pour a, ^, c, les mêmes nombres que dans le premier exemple ; et je fais , en outre ,

ce qui rend la différence b — a a très peu près le dixième du nombre c, et double de ce qu'elle é^ait dans cet exemple. Je trouve alors

en sorte que la chance d'une élection dans !e sens de la minorité n'est plus que d'à peu près un soixantième. A cause de la petitesse de s, c'est à la formule du n° 81 qu'il faudra recourir pour déterminer la probabilité P que le nombre de fois qu'une telle élection aura lieu dans le nombre total des collèges électoraux, ne surpassera pas un nombre donné n. En faisant, dans cette formule,

on en déduit

te qui fait voir qu'il y aurait à peu près cent à parier contre un que la minorité n'élira pas plus de i5 députés. En élevant la différence enlre la majorité et la minorité à 3oooo, c'est-à-dire aux trois vingtièmes du nombre total des électeurs , on trouve que la chance 1 — s s'abaisserait au-dessous d'un millième, et qu'il serait fort probable que la minorité n'élirait pas un seul député.

S'il en était ainsi, le gouvernement i-eprésentatif ne serait plus qu'une déception , puisqu'une minorité de 90000 sur 200000 électeurs ne serait représentée que par un très petit nombre de députés, et qu'une minorité de 85ooo n'aurait plus qu'une très faible chance d'avoir un interprète dans la chambre élective. Il suffu'ait que dans l'intervalle de deux sessions, trois vingtièmes de la totalité des électeurs changeassent d'opinion, pour que la chambre entière passât de lii

droite à la gauche, d'une opinion à l'opinion contraire. .Mais les électeurs dont chaque collège est compose ne sont pas pris au hasard , comme notre calcul le suppose, sur la liste des électeurs de toute la France; et dans chaque arrondissement, l'opinion prépondérante se forme et se maintient par des causes particulières, telles que les intérêts de la localité, l'influence du Gouvernement et celle de quelques citoyens. Toutefois, il était bon de signaler l'extrême mobilité que le hasard pourrait produire dans la composition de la chambre élective, pour de très petits changements dans la proportion des électeurs qui ont une opinion et de ceux qui appartiennent à l'opinion contraire.