CHAPITRE IV
Suite du calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.
(g4)- Nous allons maintenant nous occuper des formules relatives aux chances variables; ce qui nous conduira à démontrer les trois propositions générales énoncées dans les n°^ 52 et 53 , et dont nous avons conclu la loi des grands nombres.
Considérons une série de ^ ou m + « épreuves successives , pendant laquelle les chances des deux événements contraires E et F varient d'une manière quelconque. Désignons ces chances par/>, et q, is la pi'emière épreuve , par /j, et ^^ à la seconde, parp et ^^ à la dernière ; de sorte qu'on ait
Appelons U la probabilité que E et F arriveront suivant un ordre quelconque , m fois et n fois. D'après la règle du n° 20 , U sera le coefficient de u^'v" dans le développement du produit
■ («/>, -1- vq,) (up, -t- vq,j . . . (upf + i>q^ ). Or, si l'on fait
le terme Uu'^v" de ce produit deviendra Ue("' — ")^\/— >, et tous les autres termes renfermeront des exponentielles différentes de e("' — ">\^—'; d'où l'on conclut qu'en désignant ce produit par X , en le multipliant.
ainsi que son développement, par e—i'" - "^V—i dcc , et intégrant ensuite depuis jr = — tt jusqu'à j: = tt, tous ces autres termes disparaîtront, et l'on aura simplement
J"^ Xe-('"-">V/^=27rU;
ce qui résulte de ce que si i et i' exprimant deux nombres entiers , positifs, négatifs ou zéro, dont le premier sera i = m — «, on aura
fl^^ ''x\/=T ^-,x \/-^dx=f^ [cos(i'-;>+ sin(/'-/> v/^^]rfr = o, quand / et /' différeront l'un de l'autre, et, en particulier,
r^ eixV~i e -i^V~ dx = 27r ,
dans le cas de /' = /.
Nous aurons , en même temps ,
lïpi -i- vq,=: cos X -^(p, — qt) si n j: v'— î"» et si nous faisons
cos'j: + (pi —qtYsm\v = f,\ il y aura un angle réel r,, tel que l'on ait
- cos j? = cosr(, - (pi — q,) sin x = sïnri ;
d'où il résultera
up, 4- i>q, = fie'-V~.
Le signe />, sera ambigu; pour fixer les idées, nous regarderons cette quantité comme positive. En faisant, pour abréger,
le produit désigné par X deviendra
X = Ye^V^;
et nous aurons, en conséquence,
U = — / Y cos Ij — (m — n)x']dx -{ / Y sin [j- — ( w — n)x] dx.
Pour des valeurs de x égales et de signes contraires, lesvaleursde Tj le seront aussi , et celles de f i seront égales ; par conséquent , la seconde intégrale définie s'évanouira, comme étant composée d'éléments deux à deux égaux et de signes contraires; et cela devait être, en etTet, puisque U est une quantité réelle. Pour des angles x suppléments l'un de l'autre, les angles /^ le seront également , d'après les expressions de cosr, et sinr,; la somme des deux valeurs de jr — {m — n)x qui leur correspondront, sera donc jWtt — {m — n)7!- ou 2n7r, et conséquemment le cosinus de j — (m — n)x ne changera pas : il en sera de même à l'égard des valeurs de Y; en sorte que les éléments de la première intégrale définie , correspondants à x et TT — jc , seront égaux, aussi bien que ceux qui répondent h x et — x. En supprimant donc la deuxième intégrale, réduisant les limites de la première à zéro et ^ tt, et quadruplant le résultat, nous aurons simplement
U = - / ^ Y cos\j- — {m — ri)x']dx. (i)
L'intégration indiquée s'effectuera toujours sous forme finie, parles règles ordinaires. Mais quand jj. ne sera pas un grand nombre, cette formule ne pourra être d'aucune utilité pour calculer la valeur de U; quand, au contraire, ce nombi'e sera très grand, on déduira de cette formule, comme on va le voir, une valeur de U aussi approchée qu'on voudra.
(95). Chacun des facteurs de Y se réduit h l'unité pour x = o, et est moindre que l'unité pour toute autre valeur de x, comprise
dans les limites de l'intégralion ; il s'ensuit que quand ^ sera un très grand nombre, ce produit sera généralement une très petite quantité, pour toutes les valeurs de x qui ne seront pas très petites, et que Y s'évanouirait, pour toutes les valeurs finies de 3C, si (a. devenait infini. Il n'y aurait d'exception que si les facteurs de Y convergeaient indéfiniment vers l'unité; car on sait que le produit d'un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantité de grandeur finie. A cause de
f,* = I — 4pj<7, sin'x ,
cette circonstance supposerait que l'une des chances des deux événements E et F, ou leur produit /)j^,, décrût indéfiniment pendant la série des épreuves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas où fji. est un très grand nombre, considérer la variable x comme une très petite quantité , et négliger la partie de l'intégrale précédente, qui répond aux autres valeurs de oc.
En développant alors suivant les puissances de x', on aura, en série très convergente,
p, = I — 2/j^^* + (f pfii — 2p'^%)x^ — etc.,
et, par conséquent.
log// = — 2ptq,x' H- (f p^, — 4p,'q,*)x^ — etc.; d'où l'on conclut
logY = — fik'x' + ytt (i A* — k'*)x* — etc., en faisant, pour abréger,
2^p^i=l^k% 42/>,"j,* = pA;'*, etc.,
et étendant la somme 2 depuis / = i jusqu'à i = fi. Si l'on fait aussi
que l'on considère la nouvelle variable z comme une quantité très petite par rapporta v/fJ^, et qu'on néglige les quantités de l'ordre de
petitesse de -, il eu résultera
D'après les valeurs de f, et de sin/j, on aura de même 'i = (pi — qi}a: + | (/?, — qt) ptqi x^ + etc.
Je désignerai par p et q les chances moyennes de E et F pendant toute la série des épreuves, de sorte qu'on ait
P = i Xpn 1 — 1 ^^" p + q = ^■,
la somme 2 s'étendant toujours depuis i = i jusqu'à / z= [j-. Je ferai aussi, pour abréger,
En conservant seulement les quantités de l'ordre de petitesse de —-z,
on en déduira d'abord
j = "■(/> — q) NT* + -■= ,
V f^ et ensuite
cos[j — {m — 7i)j:]=cos {zg V>)— —/^ sin {zg \'ïi),
OÙ l'on fait, pour abréger,
Je substitue ces valeurs de Y et cos [/ — (m — 7z).r] dans la for-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aSi
mule ( I ), el j'y mets — = dz au lieu de dx; il vient
Vf
U = — — r Te-*'^' cos{zg V>)- •'-- A-^'^'z» sin {zg \/JL)dz~\.
Le cas où les valeurs de pi et ^j décroîtraient indéfiniment ayant été exclu, A* ne peut être une très petite quantité; pour des valeurs de z comparables à y/fx, l'exponentielle e—^'-' sera donc insensible ; et quoiqu'on ne doive donner à cette variable que des valeurs très petites par rapport à \/y-, on pourra maintenant, sans altérer sensiblement l'intégrale, l'étendre au-delà de cette limite, et la prendre, si l'on veut, depuis z= o jusqu'à z^co . D'après une formule connue, on aura alors
f^ e->"- {coszg x/;i)dz=y^e~^';
en différentiant successivement par rapport a g et a k, on en déduit
et au moyen de ces valeurs , celle de U devient
A raison de l'exponentielle e ^*' , cette probabilité sera insensible dès que g ne sera pas de l'ordre de la fraction —-^; mais à cause de p-\-q = i et m -{- n = fi , cette quantité g ne peut être de cet ordre de
petitesse , a moms que cela n'ait heu séparément pour/» etg — -,
qui sont d'ailleurs des quantités égales et de signes contraires ; si donc
on fait
m kl n kb zkô
la probabilité U n'aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de 8, positives, négatives ou zéro, mais très petites par rapport à s/v-, et il en résultera finalement
pour la probabilité que les nombres m et n auront pour valeurs
m = p^j. — GA:\/fx, nz= qi>.-\-^k\/i^,
c'est-à-dire, des valeurs qui s'écarteront très peu d'être proportionnelles aux chances moyennes/? et q et au nombre p des épreuves.
(96). Pour que met w soient des nombres entiers, il faudra que 9
soit un multiple de — pi ou zéro. En faisant 6=0 dans la formule (2),
on aura — -=r pour la probabilité que m et n seront précisément entre
A Y wft
eux comme p et </. En désignant par t une quantité positive, multiple de --', faisant successivement dans cette formule 6 = — t e\.^s=it',
et ajoutant les deux résultats, leur somme — -=e-'' exprimera la pro-
ky Vf/.
habilité que m sera l'un des deux nombres pfx =p kt VfA,, et n l'un dedeux nombres ç/A d: fct \/|U. Soit
désignons par m un multiple donné de cT; faisons successivement, dans la somme précédente, f = cT, = 2«r, = OcT, .... jusqu'à t =.11; représentons par R la somme des résultats, augmentée de la valeur de U
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aSS
qui repond à 6 = o; nous aurons
ky ■Tifi k\ ■rft
pour la probabilité que les nombres m et n seront compris entre les limites
pfx. zp uk\/fl, qy^do iik \ V >
ou e'gaux à l'une d'elles.
La somme 2 se rapportera aux valeurs de t comprises depuis < = J' jusqu'à t:= II, et croissantes par des différences égales à «T; mais ou pourra la remplacer par la différence des sommes de e~'', prises depuis t= J^ jusqu'à t = co , et depuis tz^u + J" jusqu'à < = ce . Au moyen de la formule d'Euler, déjà employée dans le n" 91 , cette dernière somme, multipliée par cT, aura pour valeur,
e- dt e-"%
au degré d'approximation où nous devons nous arrêter, c'est-à-dire en négligeant le carré de <^. Si l'on y fait « = o, on aura aussi
pour la somme étendue depuis t = S' jusqu'à < = 00 et multipliée par cT. Par conséquent, si l'on retranche de cette dernière quantité la précédente , et qu'on divise par «T , on aura
2e- =^ V^-l/fe-rf^- I + ie-,
pour la somme comprise dans l'expression de R; et en ayant égard à la valeur de J^, cette expression deviendra
R = I 1^ f^ e-'^dt^ ^e-"'. (5)
Lorsque les chances p, et qi sont constantes et conséquemment égales aux moyennes p et ^, on a ^ = \/2pq; ce qui fait coïncider cette formule (3), et les limites précédentes de m et n, avec
la formule (17) du 11° 7g, et les limites auxquelles elle répond. Cette coïncidence de deux résultats obtenus par des méthodes aussi différentes, pourrait servir, au besoin, de confirmation à nos calculs. En prenant pour u un nombre peu considérable , tel que trois ou quatre, on rendra la valeur de R 1res peu diflerente de l'unité, n est donc à peu près certain que dans un très grand nombre pt.
d'épreuves, les rapports — et - s'écarteront très peu des chances
moyennes pei q, dont ils approcheront de plus en plus, à mesure que fj. augmentera encore davantage , et avec lesquelles ils coïncideraient rigoureusement si ^j. pouvait être infini; ce qui est déjà la première des deux propositions générales du n° Sa.
(97). Soit maintenant A une chose quelconque, susceptible de plusieurs valeurs positives ou négatives, et que nous supposerons des multiples d'une quantité donnée cû. Ces valeurs seront comprises depuis obù) jusqu'à &(d inclusivement, de sorte que Q — a -j- i soit leur nombre; a et ê désignant des nombres entiers ou zéro, dont le second surpassera le premier, abstraction faite du signe : on aurait ê = a, si A n'était susceptible que d'une seule valeur. Non-seulement à chaque épreuve que l'on fera pour déterminer A, toutes les valeurs possibles seront inégalement probables, mais on supposera, pour plus de généralité, que la chance d'une même valeur vaiie d'une épreuve à une autre. Si n est un nombre quelconque, compris entre a et ê, ou égal à l'une de ces limites, on désignera donc la chance de la valeur na de A, par N, à la première épreuve, par N, à la seconde épreuve, etc. Cela posé, s étant la somme des valeurs de A qui auront lieu dans un nombre ^ d'épreuves successives, il s'agira de déterminer la probabilité que cette somme sera comprise entre des limites données.
Appelons d'abord n la probabilité qu'on aura précisément s = rnoo , en désignant par m un nombre donné, compris entre a et &, ou égala l'une de ces limites. Si l'on forme le produit
dans lequel t est une quantité indéterminée, et les sommes S s'étendent à toutes les valeurs de n, depuis n = a jusqu'à n = ê; et si l'on
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. 255
développe ce produit suivant les puissances de f°, il est aisé de voir que n sera le coefTicient de f" dans ce développement. Cela est évident, dans le cas de ^=1. Quandf/=2, si l'on représente par «'wet ri'œàenx exposants de t pris, l'un dans la première et l'autre dans la seconde somme 2, il est évident que la valeur moj de A pourra arriver d'autant de manières différentes que l'équation il' -\- h" = m aura de solutions distinctes, en prenant pour «' et n" des nombres compris depuis a. jusqu'à S; la probabilité de chacune de ces manières sera le produit des valeurs de N, et N,, qui répondent à chaque couple de nombres n' et n" ; par conséquent , la probabilité totale de j = ?«» aura pour expression le coefficient de .'""' dans le produit des deux premières sommes 2. Ce raisonnement s'étendra sans difficulté aux cas de |W = 3, = 4, etc. Lorsque toutes les quantités N,, N,, Nj, etc., sont égales, leur produit se change dans la puissance fjt. de l'un des polynômes qui répondent aux sommes 2, et ce cas a été considéré dans le n" 17.
Cela étant, par une considération semblable à celle qu'on a employée plus haut, si nous faisons
et si nous désignons par X ce que deviendra le produit des/* sommes 2, nous aurons
Soient actuellement zet /' deux nombres donnés, et P la probabilité que la somme j sera comprise enti'e ia et l'a, ou e'gale à l'une de ces limites; la valeur de P se déduira de celle de 17 en y faisant successivement m z= i,=:i + i, =,: 4. 2 , = i" . et la somme
des valeurs correspondantes de e-">^V^~' ayant pour expression
2 sin ^ 9 il en résultera
Pour simplifier cette formule, je supposerai que co soit un infiniment petit; je prendrai, en même temps, pour i et i' des nombres infinis; et je ferai
io) = c — ê, i'co = c + ê, 6 = ùûx , d^ = codx;
c et £ étant des constantes données, dont la seconde sera positive, afin qu'on ait i' > i, comme le suppose l'expression de P. Les limites de l'intégrale relative à la nouvelle variable x seront ± oo . On aura sin ^ 9 = i eux; et en négligeant d=^ par rapport à j et à /', cette valeur de P deviendra
F =ip Xe -"V/=T sin 6x -. (4)
Les valeurs possibles de A croissant actuellement par degrés infiniment petits, il faudra supposer leur nombre infini, et la probabilité de chacune d'elles infiniment petite; en désignant par a et b des constantes données, et par z une variable continue, on fera donc
k . a&) = a, &C3 z=. h , nm :=. z\
on aura , en même temps ,
et l'on fera aussi
N, = fif/.z, N, = «/.z, Nj = cûj^z, etc.
Chacune des sommes 2 contenues dans X se changera en une intégrale définie, dont a et è seront les limites; et en prenant co pour la différentielle de z, on en conclura
X=y e ^ f,zd^.J e ^ 'f.zdz J^e ^ 'f^zdz, (5)
pour le produit de ;a facteurs qu'on devra substituer dans la formule (4) à la place de X.
(98). Cette formule exprimera la probabilité que dans le nombre^
d'épreuves, la somme des valeurs de A se trouvera comprise entre les quantités données c — « et c + €. A la n'""' épreuve, la chance infiniment petite d'une valeur 5 de A esif^zdz;c\. toutes les valeurs possibles de A étant, par hypothèse, comprises entre a et 6, et l'une d'elles devant avoir lieu certainement à chaque épreuve, il faudra qu'on ait
la fonction y,z pourra d'ailleurs être continue ou discontinue, pourvu qu'entre ces limites aei b , elle soit une quantité positive.
Si la chance de chaque valeur de z ne change pas pendant les épreuves, la fonction f^z sera indépendante de n; et en la représentant par fz on aura
Si, de plus les valeurs de A sont également probables, fz sera une
constante qui devra être , , pour satisfaire à la dernière équation.
En faisant
az=h — g, b =:h -\- g, on aura donc
au moyen de quoi la formule (4) deviendra
y — I Z^'* /sing-x\'' si ~g^ OU simplement
^ = lf:C-^T-r--(^-^>'>-. (6)
parce que la seconde intégrale s'évanouit comme étant composée d'éléments qui sont deux à deux égaux et de signes contraires, et que ceux de la première sont deux à deux égaux et de mêmes signes.
L'exposant (W étant un nombre entier et positif, je vais faire voir que cette valeur de P s'obtiendra toujours sous forme finie, en réduisant la puissance [j- de sing^^, en sinus ou cosinus des multiples degx, au moyen des formules connues, savoir :
2''sin^gx=(— if ''[ cos/^gx — F cos(p — 2)gx -h ^^^^cosffx— 4)gx
fl.fi— l.ft—Z
cos(|x — 6)gx + etc. I,
qui sont composées chacune d'un nombre fini de termes, et dont la première a lieu quand le nombre H est pair, et la seconde lorsqu'il est impair.
(gg). Pour cela, j'observe que l'on a , comme on sait,
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la constante y sera positive ou négative. Soient» et Q, deux autres quantités positives j mettons Zx et &dx à la place de j: et dx , ce qui ne changera rien aux limites de l'intégrale; nous aurons
J 0 oc 2
et en multipliant par dÇ, et intégrant ensuite depuis Ç= j jusqu'à
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, aSg
S = a , il en résultera
f^{cosyx — cos ayx) — = q= ^ tt ( i — a)>. (8)
Cette équation subsistera évidemment pour ^ = o, quoique celle dont elle est déduite n'ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier
/" dx
cos ayx —, et
/"* dx
I cosyx-^, dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison,
il n'est pas permis de les considérer isolément , et de changer la variable X dans l'une, sans la changer dans l'autre. Ainsi , en mettant
-et — à la place de x et dx dans la première, elle deviendrait
a. / cos^.T^; et en divisant les deux membres de l'équation précédente par 1 — et, on aurait
' dx I
ce qui serait absurde. La même remarque s'applique à toute intégrale, comme le premier membre de l'équation (8), qui a une valeur finie , résultante delà difFérence de deux intégrales infinies.
Je multiplie cette équation (8) par - dy; puis j'intègre ses deux
membres, en assujétissaut leurs intégrales à s'évanouir quand ■)=o; ce qui donne
2 Z' * / . sin ayx \ dx , » y*
En intégrant une seconde fois de la même manière , il vient
a6o - RECHERCHES
une troisième el uae quatrième intégration donneront de même
-y^ [sm>X -^ + -__J-,==fc(i-«)^^;^X4'
et en continuant ainsi, on parviendrait à des équations de cette forme
! r'^r ■ sinayr , , ,„""! dx 2'"
la première répondant au cas oùft est un nombre pair, et la seconde au cas où /Jt. est impair. Les quantités C et C sont des constantes déterminées , qui dépendent de a et 5^ , et dont les expressions , faciles à former, nous seront inutiles à connaître.
Je mets successivement, dans chacune de ces équations, 5/ +é et^ — £ au lieu de j'j et par la soustraction des résultats, j'en déduis
4 / °° r • cosafvj: sin tfix , / t-w~1 dx
- / cos^arsmix [-(i-a\D — —-
4 /""^ r~ • • sin«yx sinatJT , - > -rw/n dx
D et D' étant des constantes différentes de C et C. Je mets encore successivement > + (^— 2«)g et 5.— (/-(.— 2H}g à la place de >; et par l'addition des résultats dans la première équation , et la soustraction
dans la seconde, il vient
r r^^oc ^ cosa(« — 27J)e-xcos<«yrsinaex ~1 dx
^(y + i«^— 2n^ — i)'"rp(^^^4.2ng' — O'"], " Z' n„:„/ N • sin«(|< — iri)sxiM?,»yx%\naix ~\ dx
:+: (y + ^g^ — ang- — 0 '' =t (> — /«g + ang- — s)*"] ;
E et E' désignant aussi des constantes différentes de D et D'. En donnant à n les valeurs successives o , i , 2 , 3 , etc. ; faisant , pour abréger,
U=VcOSflgX /ACOS (/A 2)gX-f-^'^~' C0S(|U 4)g-X
f' =Qin jugx — ju sin (/* — 2)ga' + ''^^^ sin (;* — 4)gx • / ^v , , ~1 co%yx smix
sm ( fi — b)gj: + etc. J ^^, — j
et désignant par m' et f' ce que deviennent îf et v, quand on y change X en cLX , on déduit des équations précédentes
'-^0 L ^ x/»-' Jo.' i.2.3...« vA— 1 — i/-ri J>
F et F' étant encore des constantes différentes de E et E'. On a fait, dans ces dernières équations ,
et l'on a désigné par T', ce* que T devient quand on j change le signe de g, et par T^ et T], ce que deviennent T et T' par le changement du signe de €. Or, en renversant l'ordre des termes de F' et T', qui sont en nombre fini, il est facile de voir que ronar'= T et Tf = T^ quand ^ est pair, T' =: — T et T/ = — T, quand p. est impair; au moyen de quoi les équations précédentes deviennent plus simplement
TT I o L a''-' J^ 1.2.3...^
Dans chacune des deux quantités T et T, que ces équations renferment, on devra, d'après l'origine des doubles signes de leurs différents termes , prendre le signe supérieur ou le signe inférieur d'un terme quelconque , selon que la quantité qui s'y trouve élevée à la puissance fx sera positive ou négative.
Maintenant, en vertu des équations (7), on a
I — = ( — 0 2^» / smf'ffjJCOST'a: smfor — — .
r'^ vdx , s^^''"'^ « /"" • . dx
J —^=.[ — i) 2'^/ smfgx cosyx smix —^^.
Les intégrales contenues dans les seconds membres de ces équations
— et ^ "^ » ^' P*'" suite.
celles qui s'en de'duisent en y mettant u' et c' au lieu de u et i', ont done aussi des valeurs finies ; par conséquent , la remarque relative à lequation (8) ne s'applique plus aux équations (9). Or, en met-
tant -et — à la place de x et dx , dans les intégrales qui répondent
à u' et v', nous aurons
au moyen de quoi et des formules précédentes, les équations (9) se changent en celles-ci :
^L. J o x/'+' Jo xl'+'J 1.2.3...^'
'■-L Jo ^ ^ xf^' Jo x^+'J 1.2.3.../
p'^ dx , Mais l'intégrale / — —^ étant infinie, ces dernières équations ne pourraient pas subsister, si les constantes F et F' n'étaient pas nulles; il faut donc qu'on ait identiquement F = o et F' = o; ce qu'on pourrait d'ailleurs vérifier, si cela était nécessaire. Cela étant , les deux dernières équations se réduiront à une seule, savoir :
i u C" • y. ■ dx r — r -.•r I sm^e-o? cos-vo; sinêx = — '— .
qui aura lieu pour les deux cas de ft pair et de \>- impair ; et si l'on y fait
y = ^h—c, et qu'on ait égard à la formule (6) , on en conclura finalement
2(2g7P=-^'-, (lo)
pour l'équation qui fera connaître la valeur de P sous forme finie, et qu'il s'agissait d'obtenir.
(loo). Dans le cas de iJ. = i , ou d'une seule observation, P est la probabilité que la valeur de A qui doit , par hypothèse, être comprise entre les limites données rt eib, oah — g et h-}-g, le sera, d'après l'observation, entre les limites aussi donnéesc — e et c + €. Si ces dernières limites renferment les premières, on devra donc avoir P = i ; si , au contraire, ce sont les dernières limites qui sont .renfermées dans les premières, P devra être le rapport de l'intervalle as des dernières à l'intervalle 2g des premières; si les dernières limites tombent toutes deux en dehors de l'intervalle des premières, il faudra qu'on aitP = o; si c — é tombe dans l'intervalle de ^ — g et h -\- g , et c + e en dehors, P devra être le rapport de l'excès de h-^- g sur c — e à l'intervalle 2g ; et enfin, si c'est c + s qui tombe dans l'intervalle de h — g et h + g, et c — €en dehors, il faudra que P soit le rapport de l'excès de c + £ sur 7i — g a l'intervalle 2g. Ces cinq valeurs différentes de P, savoir :
P=,, P = i, P = o, p ^ h-he--+^ p^c+^-h+g se déduisent effectivement de l'équation (lo) , qui donne
pour p = I . On aura , en même temps , y = h — c, et par suite
T = ziz {h + g ^ c -\- e) =p (h — g — c + ,), T,— =i= {h + g — c ^ e) zp {h — g — c — é).
Dans le premier des cinq cas qu'on vient d'énoncer, on aura c-f-£]> h-^getc — e <^ h — g; les quantités comprises entre les parenthèses seront positives dans T et négatives dans T, ; il faudra , en conséquence, prendre les signes supérieurs dans T et les signes inférieurs dans r^ ; et il en résultera
Dans le second cas, on aura ^ + g > c- + g et A ^ < c € ; on devra prendre les signes supérieurs des premiers termes deT et Y, , et les signes mférieurs de leurs seconds termes ; de sorte que l'on aura
r= 2^— 2C-f-2€, T,Z= 2h — 2C — yi, V =
Dans le troisième cas, nous aurons >^ - g > c + é ; on devra prendre les signes supérieurs dans F et dans T, ; ce qui donnera
On pourra aussi avoir, dans ce troisième cas , /;+ g < ^ «; ce qui exigera qu'on prenne les signes inférieurs; les valeurs de F et F changeront donc de signe, et l'on aura encore P = o. Dans le quatrième cas nous aurons c-.> A -^.,c-.</^ + . ,c + ,>A+ .; il taudra prendre les signes inférieurs des deux termes de F , le signe supérieur du premier terme de F, et le signe inférieur de son second terme; d'où il résultera
Enfin, dans le cinquième cas, on aurac— €<;Â — g,c+é>A— <^, c + €< A + g. On prendra, en conséquence , les signes supériem-s des deux termes de F , le signe supérieur du premier terme de F, , et le signe inférieur de son second terme ; ce qui donnera
La vérification de la valeur de P relative au cas d'une seule observation, peut aussi se faire sur cette valeur générale, donnée par la formule (4). Dans ce cas, si l'on regarde/z comme une fonction discontinue, qui soit nulle pour toutes les valeurs de z non comprises entre les limites données a et ^'; la probabilité P que la valeur de A
devra tomber entre les limites c =^=6, sera évidemment
Or, pour ^ = I , on a, d'après les formules (5) et (4) ,
et eu intervertissant l'ordre des intégrations relatives kxetz, el faisant disparaître les imaginaires , cette expression de P pourra s'écrire ainsi
p I f'F C" sm{c + i—z)x , /"» sin(c— s— z)x , ~\ r i
Mais on a, comme plus haut ,
selon que la constante y est positive ou négative ; la différence des deux intégrales relatives à jc sera donc nulle ou égale à vr, selon que les deux quantités c + s — zetc — & — z seront de mêmes signes ou de signes contraires; par conséquent, l'intégrale relative à z se réduira à zéro pour toute valeur de z qui sera, ou plus grande que c + «, ou plus petite que c — g; elle ne devra donc s'étendre qu'aux valeurs de z comprises à la fois entre a et h , et entre c — ê et c + ê ; et puisque nous regardonsy^z comme nulle pour toutes les valeurs de z qui tombent hors des limites a el b , la valeur de P se réduira à l'intégrale âe/^zdz, prise depuis z = c — «jusqu'à c + g; ce qu'il s'agissait de vérifier.
(loi). Lorsque fx sera un très grand nombre, ou pourra, par des transformations semblables à celles du n° g5 , changer la formule ( 4 ) en une autre qui fera connaître la valeur approchée de P.
Observons d'abord que la formule (5) peut s'écrire ainsi
Faisons ensuite
(/l fnZ,cosxz,dz„y ■+■ (I J„z,smxz^dz^ = p.*;
il y aura un angle réel r,, tel que l'on ait
- / /,z„cosxz.(f2,=cosr., - / /,z, sina:r.fl'z„ = sinr. ; et si l'on fait aussi, pour abréger,
la valeur précédente de X deviendra
En la substituant dans la formule (4), on aura donc
P = -/ " Ycos( y— cxlsinêj: h'—--/ Ysinfr — cx)ûnix — %
et comme les éléments de la seconde intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires, et ceux de la première, deux à deux égaux et de mêmes signes , cette valeur de P se réduira à
P = - / Ycos(j' — cx)sinÊj^ — . (n)
Pour ar = o , on a p, = i j et pour toute autre valeur de x, celle
de p„ est moindre que l'unité. En efiet, l'expression de f\ peut évidemment se changer en celle-ci :
■'"—j^ fnzcosxzdz .ffnZcosxz'dz'-^-Cf^zsïnxzdz.Cfnz' smxz'dz' ; laquelle est équivalente à
f\ =y^ fa^'^-f"^' ^^^ x{z — z')dzdz' ;
quantité moindre que 1 f f„zf „z' dzdz', ou que j J,zdz. j f„z'dz' , pour toute valeur de .r différente de l'unité; et, par conséquent, moindre que l'unité, puisqu'on doit avoir f Lzdz= i et / /„zV/z'= i.
Cela posé, le nombre \i- étant très grand, il s'ensuit que dès que la variable x ne sera plus très petite, le produit Y, égal à l'unité pour .r = o, se l'éduira, en général, à une très petite fraction qui serait tout-à-fait nulle si ^ pouvait devenir infini. En faisant abstraction, comme dans le n° 95, du cas particulier oîi Y convergerait vers une quantité différente de zéro (*), nous pourrons donc ne donner à x, dans l'intégrale que contient la formule (11), que de très petites valeurs, à la limite desquelles la valeur de Y soit insensible; de sorte qu'en faisant
la variable 6 pouj-ra être Supposée infinie à cette limite; et qu'en substituant cette variable à x dans l'intégration, on devra prendre zéro et l'infini pour les limites de l'intégrale relative à 6.
Pour exprimer .r et dx au moyen de 6 et c?9, je développe les valeurs précédentes de pnCOST^ et f„ sinr„ suivant les puissances de x. En
(*) Pour l'examen de ce cas particulier et des sinj^ularités qu'il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems , de 1827, et que j 'ai déjà cité ( n" 60 ).
mettant la lettre z au lieu de z, sous les signes/", et faisant
f''zf,zdz=k„, r''z%zdz = k'„ f''z%zdzz=k\,e\c., nous aurons, en séries convergentes,
f.cosr» = I - ^A-'„ + ^'3-^//".-etc., p, siur„ = xk^ — ^-^ A". + etc.
En faisant aussi
'- {k'^ — k\) = K, i (/fe". 3A-.A'„ + 2k\) = g. , etc. ,
on déduira de ces séries
fa = I — Jc'/i„ -\- x*l, — etc., /•. = xA'„ — x^g^ + etc.;
et de cette valeur de p., on déduira ensuite
loge. = — x'h, + x*{L — î h\) — etc. Faisons encore
^k,=zp.k, 2A. = fxA, 2g-. = ag, 2 (/. — j k\) = fjil, etc.;
les sommes 2 s'étendant, ici et dans tout ce qui va suivre, depuis n^\ jusqu'à n = u-^ nous aurons
logY = — â' = — xyh + x*!j.l — etc.; d'où l'on tire
X = -7= H ;— T=i= -f- etc.,
dx di , Kdi ,
et l'on aura en même temps
Y — cxz=.{uk — c\x ^r= + etc. ,
cos{ jr — ex) = cos {p-k — c)x -\ ~ gin (j^k — c)a:-f- etc.
Au moyen de ces diverses valeurs, la formule (i i) devient
P =2 / g— 6' co&ip-k — c)x sin ix —
vj o ^ 6
+ -^ f * e->' sin ( fx^ — c)x sin ex.^'S ,
Trhy fihJ o
en négligeant les termes qui seraient divisés par fi, et conservant x à la place de sa valeur sous les sinus et cosinus. Si nous prenons
C = IJÀ,
cette formule se réduira à
j. 2. r"" ,, . tQ de
«■J o [/uh 9
en supposant que le rapport de ê à s/fx ne soit pas un grand nombre, ce qui permet de réduire la valeur de ex à son premier terme
-^-T=. Or, a étant une constante indéterminée , on a , d'après une formule connue ,
I e-s cos — -= £70= - V''" e ; J 0 y fji 2
en multipliant par —7=, et intégrant depuis a=o jusqu'à « = «, on
Yfih
en déduit
e-S' sm -7=r - = - »/ e ^'^ du; et en faisant
et observant qu'on a
il en résultera enfin
pour la probabilité que dans un très grand nombre fj. d'épreuves, la somme s des valeurs de A sera comprise entre les limites
[j-k =p 2U \/f-h, ou, ce qui est la même chose, pour la probabilité que les limites
comprendront la valeur moyenne - de A, résultante de ces ^ épreuves successives.
(102). Eu donnant à u une valeur peu considérable, qui rende néanmoins la formule (i 3) très peu différente de l'unité, on en conclura que le
rapport - différera probablement fort peu de la quantité k ; et comme
cette quantité représente la somme des valeurs possibles de A , multipliées par leurs chances respectives à chaque épreuve , et divisées par le nombre fi des épreuves, c'est-à-dire la somme de ces valeurs multipliées respectivement par leurs chances moyennes, il s'ensuit que cette conclusion coïncide avec la proposition du n° 53 , qui se trouve ainsi démontrée dans toute sa généralité.
Ainsi, dans un très grand nombre/* d'épreuves, il y aura toujours une probabilité très approchante de la certitude, que la valeur moyenne
de A différera très peu de la quantité k : la différence - — k diminuera
ndéfiniment u mesure que p. augmentera de plus en plus, et serait toutà-fait nulle si ce nombre devenait infini.
Si l'on construit une courbe plane dont z ety.z soient les coordonnées courantes, ellerepre'sentera la loi de probabilitédes valeurs de A dans la n""" épreuve , en ce sens que l'élément fnzdz de l'aire de cette courbe sera la pi-obabilité infiniment petite de la valeur de A exprimée par l'abscisse z. La courbe dont les coordonnées courantes sont z
et - 2/|z représentera de même la loi de probabilité moyenne des
f„.zdz
étant l'unité , l'aire totale de cette courbe , depuis z ■=za jusqu'à z = b, sera aussi l'unité; et si l'on appelle Ç l'abcisse de son centre de gravité , on aura
h=~^rzj:zdz=-C;
en sorte que cette abscisse est la quantité k vers laquelle converge , dans tous les cas, la moyenne des valeurs de A. Cette quantité sera zéro toutes les fois que par la nature de la chose A, ses valeurs égales et de signes contraires seront également probables dans chaque épreuve, c'est-à-dire lorsque l'on auray^ ( — z)=f„z, pour toutes les valeurs de n et de z.
La constante h devra être une quantité positive, pour que les limites de - soient réelles. C'est aussi ce que l'on peut facilement véri-
fn^dz' = I ,
on peut écrire
. 2h,z^f'z%zdz.fy^z'dz' - f\f^zdz.f'z'J„z!dz',
ou, ce qui est la même chose,
zK = flfl (z" — zz')f,zf„z'dzdz', ou bien encore
^K ^rr (z'» - z'z)f,z'j„zdz'dz',
J aj a
SUR I.A PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ayî
ce qui donne, en ajoutant ces deux dernières équations,
•6 rh
4A. = fj^ (z - z')%zj,z'dzdz'.
Or, celte valeur de 4^« est évidemment positive , et ne peut pas non plus être nulle , puisque tous les éléments de l'intégrale double sont positifs ; par conséquent , il eu sera de même à l'égard de la somme 2^, et de h.
Le cas le plus simple est celui d'une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A, pendant toute la série des épreuves. Quel que soit n, on aura alors
afin que cette valeur constante de/|z satisfasse à la condition / J^z(lz=i; et il en résultera
Les limites de - dont la probabilité est P, seront , en conséquence ,
et se réduiront à =p ^^, lorsqu'on aura az=. — è. En prenant, par
exemple (n° 82),
il sera également probable que la moyenne - se trouvera comprise en dedans ou en dehors des limites (0,389) t7=; et si l'on aft=6oo,
il y aura un contre un à parier que - ne s'écartera pas de zéro , d'une
quantité plus grande que la fraction ^^^^ — de b, à très peu près égale à (0,016) 3.
Ce cas est celui d'ua point M qui doit tomber à chaque e'preiive sur une droite dont la longueur est 2b , et où l'on suppose toutes les positions de M sur cette droite également probables : P est alors la probabilité que dans un très grand nombre fx, d'épreuves, la distance moyenne de M au milieu de celte droite n'excédera pas la fraclioa
— :■== de sa demi-longueur b. Si M devait tomber à chaque épreuve
sur la surface d'un cercle du rayon b , et que l'on supposât également probables toutes les distances égales du point M à son centre, il est évident que la \)vohah\\ï\.éf^zdz d'une distance z serait proportionnelle à z; en la supposant constante pendant les épreuves, et observant que toutes les distances possibles seraient comprises entre zéro et b, il faudrait prendre y^s = |^ pour satisfaire à la condition Ç f„zdz = i j de cette manière, on aurait
et P serait la probabilité que dans le nombre /ut, d'épreuves, la moyenne des distances du point M au centre serait comprise entre les limites
1" '*' Jvl'
(io5). Quoique nous ayons supposé (n° 97) la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limilesa et^, mais inégalement probables, les formules que nous avons obtenues n'en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité; et pour cela, il suflira de considérer comme des fonctions discontinues, les fouclionsyj z,^z,^s, etc., qui expriment les lois de probabilité des valeurs de A dans les f/, épreuves successives.
Soient, en efiet, c, , c,, C3,.. . c\, un nombi'e v de valeurs de z comprises entre a cl b; supposons que la fonction ^z soit nulle pour toutes les valeurs de z qui ne sont pas infiniment peu diflérenles de l'une de ces quantités c,, c», Cg, . . . c, ; en désignant par ^ un infiniment petit, supposons aussi qu'on ait
de celte manière, A ne sei;a susceptible que des v valeurs données c,, c, , C3,... c, , dont les probabilités respectives seront y,tyt,yi, --y, . à la ri"" épreuve , et pourront varier d'une épreuve à une autre, c'està-dire avec le nombre n. Mais l'une de ces valeurs devant avoir lieu certainement à la ri"" épreuve, il faudra que l'on ait
pour toutes les valeurs de n, depuis « = 1 jusqu'à nz=ip.. Cette somme des quantités^,, %, ^3, etc. , sera d'ailleurs la valeur de l'intégrale
/ y„3ffr-, et cette équation remplace la condition / f^zdz=:i.
Pour un indice quelconque /, on a identiquement
fzfr-dz = cSfnZdz +/(= - C;)J„zdz,
fz%zdz ^ c^fj\zdz 4- 2cJ{z — c^f,zdz^f{z—c,YJ„zdz.
Si l'on prend ces intégrales entre les limites Cj=^ S", celles qui renferment le facteur z — C| sous le signe /"s'évanouiront, puisque entre ces limites, ce facteur est infiniment petit, et les autres auront j, pour valeur. On aura donc
zJnZdz = yfii, I zy^zdz = yfii* ;
Ci f •" J Ci — t
d'oii l'on conclut
j'^ zf^zdz = y,c, -{- y^c, + y^c^ +. . .+ >^c,, y^ z%zdz= >.c,*4- 7.c/-f- y3C\ + . . .+ y^c\',
au moyen de quoi les quantités désignées par k et /i«dans le n° 1 0 1 , deviendront 9
les sommes Z s'étendant au nombre ^i des épreuves. Par conséquent , la formule (i3) exprimera la probabilité que la somme s des valeurs de A, dans cette série d'épreuves, sera comprise entre les limites Mq= 2u\/fji,h, dans lesquelles on mettra pour k et h les valeurs que l'on vient d'écrire, et qui seront faciles à calculer, quand les v valeurs possibles de A et leurs probabilités respectives serout données pour chaque épreuve.
Si ces probabilités sont constantes et, de plus, égales entre elles;
leur valeur commune sera - , et Ton aura simplement
• Supposons , par exemple , que les valeurs possibles de A soient les six numéros marqués sur les faces d'un dé ordinaire, que l'on projette successivement un très grand nombre de fois représenté par /x ; abstraction faite de la petite inégalité qui peut exister entre les chances de ces six faces , on aura
)'=C, c, = 1, c, = 2, C3=:3, 0^ = 4, Cj = 5, Ce =6;
d'où il résultera
en sorte que la formule (i3) exprimera la probabilité que la somme s des numéros qu'on amènera dans les f^ épreuves successives, sera comprise entre les limites
En prenant «^0,4765 et |U=: 100, il sera également probable que dans 100 épreuves, la somme s sera comprise en dedans ou en dehors des limites 35o rp 1 1 ,5.
(104). Maintenant considérons, comme dans le n* 52, un événement E
d'une naturequelconque, dont l'arrivée puisse être due àun nombre t de causes distinctes, qui s'excluent mutuellement et qui sont les seules pjssibles. Appelousces causes C,, G,, Cj,. . .C, j soient c, la chance que la cause C( donnera à l'arrivé© de E, quand ce sera cette cause qui inteivicndra, et j,la probabilité de son intervention. La chance de E pourra %'arier, en conséquence, d'une épreuve à une autre : ce sera une cliose susceptible de v valeurs différentes, c,, c\, C3, ... c,, dont les probabilités respectives seront >,,>,, ys, ... y,, et demeureront les mêmes tant que les causes C, , C,, C3, ... C,, ne changeront pas. En prenant donc cette chance pour A, H y aura la probabilité P, donnée par la formule (i5), que sa valeur moyenne, dans un très grand nombre ft d'épreuves, sera comprise entre les limites ^ zfz — K.— , où l'on
Vf mettra pour A- et h, leurs premières valeurs du numéro précédent, ap-
pliquéesau cas où les quantités c,, c,, Cj, etc., 7,, ^,, ^j, etc., demeurent constantes pendant les épreuves; ce qui changera ces valeurs en celles-ci:
et les rend, comme on voit , indépendantes du nombre /*, quels que soient d'ailleui's le nombre et l'inégalité des quantités qu'elles renferment. Et comme on peut donner à n une valeur peu considérable, qui rende la probabilité P très approchante de la certitude, il s'ensuit que la moyenne des chances de E qui auront lieu pendant la série d'épreuves, différera probablement très peu de la somme des v produits 5, c, , %c,, etc., dont elle s'approchera indéfiniment à mesure que le nombre [J- augmentera encore d'avantage; ce qui est la seconde des deux propositions générales du n° Sa, qui nous restait à démontrer.
Dans deux séries composées de très grands nombres p. et p' d'épreuves, si l'on représente par m et m' les nombres de fois que l'événement E arrivera, les rapports — et — s'écarteront probablement fort peu (n'gô)
des chances moyennes de E dans ces deux séries; il est donc aussi très probable qu'ils différeront très peu de la valeur précédente de k,
a7S RECHERCHES
et^ par conséquent, l'un de l'autre, puisque cette valeur de k sera commune aux deux séries d'épreuves, si , toutes les causes C, , C,, C3 , etc., n'ont pas changé dans l'intervalle. Mais quelle sera la probabilité d'une
petite différence donnée entre ces rapports — et -7- ? C'est une question
importante dont nous nous occuperons dans ua des numéros suivants.
(io5). Dans la plupart des 'juestions auxquelles la formule (i3) est applicable, la loi de probabilité des valeurs de A est inconnue, et, par conséquent , les quantités A et h y contenues dans les limites de la valeur moyenne de A, ne peuvent se déterminer a priori. Mais au moyen des valeurs de A observées dans une longue série d'épreuves, on pourra éliminer les inconnues que renfermeraient les limites de sa valeur moyenne, dans d'autres séries également composées d'uu grand nombre d'épreuves , et pour lesquelles les diverses causes qui peuvent amener toutes les valeurs possibles de A, sont les mêmes que pour la série dont on aura employé les résultats, en entendant par de mêmes causes, celles qui donnent la même chance à chacune de ces valeurs , et qui ont elles-mêmes une égale probabilité. La solution complète de ce problème est l'objet des calculs suivants.
Je fais c = é dans la formule (12); il en résulte
P= - r"^<3-9'sin (fi kx)-r-\- — f ^~^' sin ( 2ix — /xkx) -^
pour la probabilité que la somme s des;* valeurs de A sera comprise entre zéro et 2ê. On en conclut que la différentielle de P par rapport à «, savoir :
^P d,=^± r%-6' cos(a.^-^A-^) ^ ^T'-" ^'^ (^^^ -A*^-^) •^6*'^^ '
exprimera la probabilité infiniment petite que s aura précisément ai
pour valeur. Je fais aussi
26 = ^tA-j- 2f S/jJ^h, dé=.\/[j.h dv;
dP
je désigne par fsrclv la valeur corrrespondanle de -j^ de, dans laquelh; je néglige les quantités de l'ordre de petitesse de -, ce qui permettra d'y réduire a: au premier terme — ^ de sa valeur en série (n* 101); il vient
^rft.= — r°°e-9-cos(2t^9y9— -^'ÎL r*e-9'sin(2c9)6W9,
et à cause de
r"e-5-cos(2fâ)rf9=JV^e-'-, •
r"e-9'sin(2p6)ÔV0= j \/yr (5v — 4'v^]e~^\ cette valeur de ^dv prendra la forme
V désignant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de V, et qui n'influera pas, quel qu'il soit d'ailleurs, sur le résultat de nos calculs. Cette expression de is-dv sera donc la probabilité de la somme s égale à la valeur précédente de 2é, ou bien en divisant, par /*, ce sera la probabilité de l'équation
dans laquelle v est une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à \/f>t-
J'appellerai maintenant C, , C,, C3 . . . C, , toutes les causes, connues ou inconnues, qui s'excluent mutuellement, et qui peuvent donner h A une des valeurs dont celte chose est susceptible j et je désignerai
28o RECHERCHES
P3»' î'i, %, >s>' • •J', > leurs probabilités respectives, dont la somme sera égale à l'unité, et dont chacune aurait une valeur infiniment petite, si le nombre de ces causes possibles était infini. Les valeurs possibles de A étant toutes celles qui sont comprises entre a et b, et, consëquemraent, en nombre infini, la chance de chacune d'elles, provenant de chacune de ces causes, sera infiniment petite. Je représenterai
par Z^2 la chance que C( donnerait, si cette cause était certaine, à la
/h zf„zdz, relative à la n'"" épreuve, sera
donc une chose susceptible des 1/ valeurs / zZ.rfz, / zZ^dz,...f zZ^dz,
dont les probabilités seront celles des causes correspondantes; en sorte que 7^1 exprimera , à une épreuve quelconque, la chance de la valeur
/ zTjflz. Par conséquent, la probabilité infiniment petite d'une valeur
de la moyenne- 2/ zf^zdz, se déterminera par la règle précédente,
qui convient à la moyenne - des valeurs d'une chose quelconque, dans un très grand nombre //, d'épreuves : s sera alors la somme des ^ valeurs inconnues de / zf^zdz, qui auront lieu dans cette série d'épreuves, et les quantités qu'on devra prendre pour Â: et h, se détermineront d'après les v valeurs possibles de cette intégrale.
Or, en prenant ces v valeurs j zZ^dz, j zZ^dz,... j zZ,dz,
pour celles que l'on a désignées par c,, c,,. . . c, , dans le n' io5, et faisant, pour abréger,
OÙ la caractérisflque S indique une somme qui s'étend à tous les indices i depuis J := i jusqu'à /= v , ce sont, d'après les formules de ce numéro , les quantités y et€, indépendantes de /* , qu'il faudra prendre pour k et h. Si donc on désigne par v^ une quantité positive ou nér
gative, très petite par rapport à v//*; que V, soit un poljnome qui ne contienne que des puissances impaires de v,; et que Ton fasse
cet infiniment petit 'Sr^c^f, sera la probabilité de l'éqnatiou
- 2 / zf,zdz =zy H ■-■=-.
En considérant de même la quantité
comme une chose susceptible des r valeurs correspondantes aux causes C, ,C,,...C, , et dont les probabilités, à chaque épreuve, seront celles de ces causes mêmes; désignant par v^^ une quantité positive ou
négative, telle que le rapport —^ soit une très petite fraction, et par
V^j un poljnome qui ne contienne que des puissances impaires de v^^ ; faisant ensuite
et, pour abréger,
* = ^ S^i^^ z^Ztdz— i S^, (^f zZidzJ,
cette expression de 'nri/dvii sera la probabilité que la moyenne des fA valeurs de la quantité dont il s'agit, savoir ;
i;2[/>..rfz-(/>rfzy],
ne différera de a, que d'une quantité déterminée , de l'ordre de peti-
tesse de -— , et qu'il nous sera inutile de connaître. D'ailleurs cette
Vf* moyenne n'est autre chose que la quantité A du n° loi ; si donc on néglige les quantités de l'ordre de -, il suffira de mettre a, au lieu de h,
dans le. second terme de la valeur précédente de -, qui est déjà de l'ordre de — L : de cette manière, on aura
et la probabilité de cette équation serait encore tirdv, si la valeur de h que l'on a employée était certaine. Mais cette valeur n'ayant qu'une probabilité <ar^^di>i^, dépendante de îa variable v^^ qui n'entre pas dans
la valeur de-, il s'ensuit que la probabilité de celle-ci aura pour expression complète , le produit de '^!rd^' et de la somme des valeurs de 'SFifiv,^ , correspondantes à toutes celles que l'on peut donner à v^^. Or, quoique ces valeurs doivent être très petites par rapport à \/jt*, on pourra néanmoins , à raison de l'exponentielle e~ ' .' facteur de (sr^/dvi^, étendre l'intégi-ale de '^i,dvi^ sans l'altérer sensiblement , depuis ^',= — «3 jusqu'à i>i^ = 00 ; la partie dépendante de V^^ disparaîtra comme étant composée d'éléments, deux à deux égaux et de signes
tirjiv^=. I. Par conséquent,
la probabilité de l'équation précédente sera toujours Tsrdv , comme si la valeur approchée de h dont on a fait usage, eiit été certaine.
On peut aussi remarquer que la moyenne -2 / zf„zdz n'est autre
que la quantité A: du n" loi j l'expression de <iff^dVi est donc la probabilité que la valeur de cette quantité sera
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. a85
donc en substituant cette valeur dans celle de -, ce qui donne
s iv \/C ivy a
la probabilité de cette dernière équation, pour chaque couple de valeurs de c et t'^, sera le produit de <iffdv et far,dv,, que je représenterai par (7 , de sorte qu'on ait
en négligeant le terme qui aurait p pour diviseur.
Désignons par 0 une variable positive ou négative, très petite, comme p et v^, par rapport à vp; on pourra faire
et si l'on veut remplacer v^ par cette nouvelle variable, dans la formule différentielle précédente , il y faudra mettre , au lieu de v^ et dv^ , les valeurs
ce qui la changera en celle-ci
dans laquelle T est un polynôme provenant de V et V^, et dont chaque terme contient une puissance impaire de v ou de 6. L'équation
ne renfermant plus que la variable ô, il s'ensuit que sa probabilité
totale sera la somme des valeurs de a , relative à toutes les valeurs positives ou négatives que l'on peut donner à l'autre variable v. De
plus, à raison de l'exponentielle que renferme l'expression de o-, il sera permis d'étendre cette intégrale, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis t" = — oo jusqu'à f = co . Alors, en faisant
et désignant par T', ce que T deviendra en fonction de & et 9^ , nous aurons
les limites de l'intégrale relative à la nouvelle variable 9, seront encore rboo j en représentant donc par >irf9 sa valeur infiniment petite, il en résultera
pour la probabilité de l'équation (i4)> © étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de 9.
Il s'agira actuellement d'éliminer l'inconnue a + ê de celte équation (i4)> ce qui sera possible, comme on va le voir, parce que l'expression de a -f- ^ se réduit à
a -j- C = - S^j / z*Z,r/z — ' ( S;/, j zZ,dz\ ,
et ^e trouve indépendante de la somme Sy^ ( I zX^àzA , qui était contenue dans chacune des quantités et, et ê.
(io6). En appliquant à - / z^f^zdz le même raisonnement qua cette quantité diminuée, comme dans le numéro précédent, de ~\ i 2/„zflf2j , et désignant par - <p sa valeur moyenne, de sorte
qu'on ait
il y aura la probabilité <z!r^,r/i^^,que - S^, / z'Zdz ne difféiera de <p , que
d'une quantité déterminée et de l'ordre de petitesse de -— . Déplus, en
Vf
négligeant toujours les termes qui ont - pour diviseur, on verra aussi, comme dans ce numéro, qu'il sera permis d'employer, dans l'équation (i4)> ~ ^ '"•" ''6" ^^ cette partie- Syi I z'Xidz de la valeur précé-
dente de a + 6 , sans rien changer à la probabilité Y,d^ de cette équation. L'autre partie de la valeur de a -4- (^ étant exactement la quantité ~ j *, on aura donc
au moyen de quoi l'équation (i^) deviendra d'abord
t^ y fi
Cela posé, soit Z une fonction donnée de z. L'analyse des n" 97 et i o i , etpar suite, l'expression de rwcii) du numéro précédent, s'éleodronl sans difficulté à la somme des valeurs de Z qui auront lieu dans les fx, épreuves que nous considérons. 11 suffira de prendre au lieu de A , une autre chose A, dont les valeurs soient celles de cette fonction Z. La probabilité infiniment petite d'une valeur quelconque de A^ sera la même que celle de la valeur correspondante de z, et s'exprimera, en conséquence, par/„zdz à la n'"" épreuve; et si l'on désigne par k^ , //,, g^, etc., ce que deviennent relativement à A^, les quantités k, h, g, etc., du n* loi , qui se rapportent à A, on aura
f^k = ^f'zj\zdz, t^.h = ^[p^Z%z,h—(^f^ZJ„zdz)'~\,eic. Donc, en appelant s,, la somme deSfi valeurs de A^ qui auront lieu
dans la série d'épreuves, l'iafininient petit -arf/f sera la probabilité que l'on aura précisément ,
Maintenant, si nous faisons Z = z*, nous aurons
au degré d'approximation où nous nous arrêtons, on pourra donc
prendre - pour la valeur de f, dans l'expression précédente de -; et l'on
s'assurera, comme dans le numéro précédent, que la probabilité de cette expression ne changera pas; en sorte que »c?9 sera toujours la probabilité infiniment petite de l'équation
ou de celle-ci ,
qui se déduit de la précédente, en négligeant toujours les quantités de l'ordre de petitesse de -.
Je représente par A, la valeur de A qui a eu on qui aura lieu à la n'^"" épreuve; et je fais, pour abréger,
iSA. = A, -2(A„ — \y = i/V
On aura identiquement
au moyen de quoi , l'équation précédente deviendra
Or , on conclut de là que si l'on désigne par u une quantité positive et donnée , l'intégrale de la probabilité n<i9 de cette équation , prise depuis 9= «jusqu'à G= — u, exprimera la probabilité que la valeur
de - tombera entre les limites
ul
Y fi
En appelant r cette dernière probabilité, et ayant égard à l'expression de 11^9, on aura
T = ^f e " ^9 - -^ / e edd;
et comme © est un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de 9, la seconde intégrale sera nulle, et l'on aura simplement
résultat qui coïncide avec la probabilité P donnée par la formule (i5}.
Ainsi, cette formule exprime la probabilité que les limites q= -— , qui ne renferment plus rien d'inconnu après les épreuves, comprendront la différence entre la moyenne - des valeurs de A et la quantité spéciale
y , dont cette moyenne approche indéfiniment, et qu'elle atteindrait si >j. devenait infini , sans que les causes C, , C, , Cj , . . . C, , des valeurs possibles de A changeassent jamais.
(loy). Supposons actuellement que l'on fasse deux séries d'un grand nombre d'épreuves, qui sera représenté par f/, dans l'une de ces séries et par \â d^ns l'autre. Soient s et s' les sommes des valeurs de A
dans ces deux séries; soient aussi A, et à'„ les valeurs de A qui auront
ou qui ont eu lieu à la n""" épreuve ; et faisons
les sommes 2 s'étendant à toutes les épreuves de chaque série, c'està-dire, les deux premières depuis n=i jusqu'à n = fi, et les deux dernières depuis n= i jusqu'à n = f/,'. Si les causes C, , C,, Cg, . . . C, , ne changent pas d'une série d'épreuves à l'autre, la quantité y du n" io5 ne changera pas non plus ; en désignant alors par 6 et 6' des variables positives ou négatives, mais très petites par rapport à \/^ et \/'(^', les équations relatives aux valeurs nio^-ennes de A dans ces deux séries , seront
et leurs probabilités respectives k(/9 et m'c?9' auront pour expressions
0 et 0' étant des polynômes qui ne contiennent que des puissances impaires de 6 et 6'. De plus, si les séries se composent d'épreuves diffe-
s s' rentes, ou pourra considérer ces valeurs de - et — comme des évé-
fi fl ■
nements indépendants l'un de l'autre ; et par la règle du n° 5, la probabilité de leur arrivée simultanée sera le produit de «r/S et »Wâ'. Ce sera aussi la probabilité d'une combinaison quelconque des deux équations (i5), et, par exemple, de l'équation que l'on obtient en les retranchant l'une de l'autre , savoir :
/ __ i 6'Z' el
Ainsi, en désignant par 4' le produit ««'rfQrfô', et négligeant le terme
qui aurait v//u./a' pour diviseur , nous aurons
pour la probabilité de l'équation précédente, relativement à chaque couple de valeurs de 6 et ô'.
Pour suivre ici, la même marche que dans le n° io5, je fais
fiT,__ 6£ t \/i:'^+iy ce qui change cette équation en celle-ci :
Je remplace G dans -vf/, par la nouvelle variable t; et pour cela, je fais
d'où il résulte
n étant un polynôme dont chaque terme renferme une puissance impaire de t ou de G. La valeur de 1 ne renfermant plus que la
variable t , sa probabilité sera l'intégrale de 4 étendue à toutes les valeurs que l'on pourra donner à l'autre variable 6 ; et à cause de l'exponentielle contenue dans 4» cette intégrale pourra s'étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis G = — co jusqu'à G= co. En faisant alors,
et désignant par n' ce que II deviendra , nous aurons
4 = l{i~^n') e-'"-''dt'dt;
les limites de l'intégrale relative à t' seront encore i' = q= c» ; et si l'on représente par î^dt la probabilité infiniment petite de la valeur précédente de — — -, on aura -
ft fi
Kdt = -I-(i.T)e-'*rff; Vit
T étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de t. Enfin, si nous représentons par u une quantité positive et donnée, et
par A la probabilité que cette différence ^ — - tombera entre les li-
mites
y'nfc
nous aurons
A = -^ r"e-" dt; yTT J o '
ce qui coïncide avec la valeur de P donnée par la formule (i 3). Par conséquent, celte quantité P est la probabilité que la différence entre les valeurs moyennes de A dans deux longues séries d'épreuves, tombera entre ces limites qui ne contiennent rien d'inconnu.
Après avoir pris pour u une valeur suffisante pour rendre celle de P très peu différente de l'unité, si l'observation donne pour cette diffé-
rence — — -, une quantité qui tombe en dehors des limites précédentes, on sera fondé à en conclure que les causes C,, C,, C3,. . . G, , des valeurs possibles de A, ne sont pas restées les mêmes dans Tinlervalle des deux séries d'épreuves, c'est-à-dire qu'il sera survenu quelque changement, soit dans Ips probabilités >,, 7,, T'a, . . .>v > de ces causes, soit dans les chances qu'elles donnent aux difîérentes valeurs de A.
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. agi
D'après ce qu'on a vu dans le numéro précédent , chacune des quantités / et L' devra diflërer très probablement tort peu d'une même quantité 2 \/ai-\-Q, inconnue et la même dans les deux séries d'épreuves ; il est donc aussi très probable que les quantités / et l' différeront très peu l'une de l'autre; et sans changer sensiblement, ni la grandeur des limites précédentes, ni leur probabilité, on y pourra faire l' = L Dans une série d'épreuves futures, il y aura donc la probabilité P, donnée
par la formule (i5), que la moyenne -7 des valeurs de A , tombera en-
tre les limites
s ul\/fi + n' ,
qui ne dépendent, pour chaque valeur donnée do u, que des résultats de la première série d'épreuves déjà faites.
Pour une même valeur de m, c'est-à-dire à égal degré de probabilité , on voit que l'amplitude de ces limites est plus grande que celle
des limites de la difTérence y , dans le rapport de v//m,-|-/a' à\/^',
et que ces deux amplitudes coïncident à très peu près, lorsque /w' est un très grand nombre par rapport au très grand nombre [>■.
(108). Si les deux séries de p. et ;j.' épreuves ont pour objet la mesure d'une même chose, et sont faites avec des instruments différents, pour chacun desquels les erreurs égales et contraires soient également probables^ les
valeurs moyennes - et -r, résultantes de ces deux séries, conver-
geront indéfiniment»vers une même quantité qui sera la véritable valeur de A (n" Go). Dans ce cas, l'inconnue y sera donc la même pour
les deux séries d'observations, elles moyennes - et -^ dififéreront très
probablement fort peu l'une de l'autre; mais, pour ces deux séries, l'inconnue a-\-Q pourra être très différente; ce qui rendra très inégales les quantités / et /'. Les valeurs de ces quantités étant connues, on peut demander quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les moyennes - et -^ , pour en déduire les limites de^. ou de
la véritable valeur de A.
Pour trouver cette combinaison, je désigne par g et g' des quantités indéterminées dont la somme soit l'unité, et j'ajoute les équations (i5), après avoir multiplié la première par g et la seconde par g' , ce qui donne
^ — f.-^ te- 1/- j/y'
équation dont la probabilité est égale à vf/ , d'après ce qu'on a dit plus haut, pour tous les couples de valeurs de S et ô'. Or, par un calcul semblable à celui qu'on vient d'effectuer , on en conclura que la quantité P, donnée par la formule (i5), exprimera la probabilité que la valeur inconnue de -y soit comprise entre les limites
Si donc on veut que pour une même probabilité P, c'est-à-dire , pour chaque valeur donnée de u, l'amplitude de ces limites, soit la plus petite qu'il est possible, il faudra déterminer g et g' en égalant à zéro la différentielle du coefBcient de u, par rapport à ces quantités : à cause de g -|- g' = I et dg' = — dg, on en déduira
et les limites les plus étroites de y seront celles-ci .
si'' + ^7' uie
i"ft -h /y ■+" v//''« + /y'
dont la formule (i3) exprimera toujours la probabilité.
On peut facilement généraliser ce résultat, et l'étendre à un nombre quelconque de séries d'un grand nombre d'observations, faites avec des instruments différents pour mesurer une même chose A . Les trois quantités? ;a , s , l, répondant à la première série, si l'on désigne les quantités analogues parjtt', s' , V , dans la seconde série; par^", s", l",
dans la troisième; etc.; et si l'oa fait, d'abord
?. + ?. + ?-. + etc. =D., et ensuite
jîf f, JÎ — a' JL- — a" etc
la formule (i5) exprimera la probabilité que la valeur inconnue de A est comprise entre les limites
sa , s'a' , s"q" , , ^ u
résultantes de la combinaison la plus avantageuse des observations. Et comme on pourra rendre celte formule (i5) très peu différente de l'unité, en prenant pour u un nombre peu considérable, il s'ensuit que la valeur de A différera très probablement fort peu de la somme
des moyennes-, — , -j, etc., multipliées respectivement parles quantités q, q', q', etc. Le résultat de chaque série d'observations influera d'autant plus sur cette valeur approchée de A et sur l'amplitude :^ g de ses limites, que celui des quotients '^, p^, ^, etc., qui
se rapporte à cette série, aura une plus grande valeur.
Lorsque toutes les séries d'observations auront été faites avec un même instrument, on pourra les considérer comme une seule série, composée d'un nombre d'observations égal à ;A + ;M.'-f-ft"+ etc. Ainsi qu'on l'a dit plus haut, les quantités /, Z', F', etc., seront à très peu près et très probablement égales ; eu étendant les sommes 2 à la série totale, ou depuis ti= i jusqu'à 7i = ,tt-f-ft' -f- /a* -f- etc., et faisant
^+«'+^"+lï^ 2A. = A , -j^-— 2 ( A,— A)» = i /,%
on pourra prendre /, pour la valeur commune de /, l', l', etc.; au moyen de quoi les limites précédentes de l'inconime y, et dont la
formule (i3) exprime la probabilité', deviendront
s + s' + s" + etc. "A
^ + fc'+fc" + etc. ~^ v/f+-«'+,«"+etc. '
ce qui coïncide avec le résultat du n° io6, relatif à une seule série d'épreuves.
(ioq). La question indiquée à la fin du n° io4 se résoudra par des considérations semblables à celles dont on vient de faire usage.
Soit m le nombre de fois que l'événement E, de nature quelconque, arrivera dans un très grand nombre f/, d'épreuves. La chance de E variant d'une épreuve à une autre, soit p^ celle qui aura lieu à la ti""" épreuve. Faisons
désignons par f une quantité positive ou négative , mais très petite par rapport à \/^; et représentons par U la probabilité de l'équation
TT = Z' - 7-- V^P- n.
En négligeant, pour simplifier les calculs, le second terme de la formule (2) j ayant égard à ce que représente la quantité k qu'elle renferme; et y mettant i"au lieu de 6, on aura
\/l,rf<.{p — q)
Comme dans le n" io4 , appelons C,, C,, . . . C, , toutes les causes possibles de l'événement E , qui peuvent être en nombre fini ou infini; >,,%,..•>,, leurs probabilités respectives; c,, c^, . . . c, , les chances qu'elles donnent à l'arrivée de E. En considérant /)„ comme une chose susceptible de ces v valeurs c,, c,, . . .c, , dont >-,, 5 ,,..•>, , sont les probabilités ; faisant
>.c, + y-fi^ H- .... -f- >v<^. = '■>
et désignant par f^ une variable positive ou négative, très petite par rapport à \/jU, la probabilité infiniment petite que l'on aura précisément
sera la quantité 'zsr^rft'^ du n- io5, ou simplement — -e — ''/' di>^, en
négligeant le second terme de son expression. Si l'on désigne encore par v,^ une variable très petite par rapport à s/y., il y aura aussi la probabilité '^i/di'n de ce même numéro, ou simplement — - e — "<-' du^^, que la quantité p — q ne différera de r — p que d'une quantité déterminée, proportionnelle à f„, et de l'ordre de petitesse de -^; et l'on verra
de plus qu'en négligeant les quantités de l'ordre de - , on pourra, sans
altérer la probabilité U de la valeur précédente de — , mettre r—p au lieu de p — q; ce qui changera cette valeur en celle-ci
m vy ir — if
D'ailleurs, si l'on fait
y/o-fc (r- f)
il faudra , pour que m soit un nombre entier , ne prendre pour v que des multiples positifs ou négatifs de cT, qui devront, en outre, être très petits par rapport à /t*.
Cela posé, j'ajoute les valeurs précédentes de p et — j ce qui donne
m vy/if — 2r' v\/ ir — 2p
équation dont la probabilité, pour chaque couple de valeurs de vQiv^,
sera le produit de U et de — ^ e—^'civ^ que je représenterai par e et
qui aura pour valeur
"^en mettant r — f au lieu àe p — q dans l'expression de U. Je fais
il en résulte
d'oii l'on tire
m 6^2m(fc — m)
en négligeant les termes de l'ordre de petitesse de -. On aura, en même temps,
cVa . /r — ;- TZrT'
en ayant égard à ce que cT représente. Mais l'expression de r ne renfermant pas v, sa probabilité en est aussi indépendante; elle est égale h la somme des valeurs de £ correspondantes à toutes celles que l'on peut donner à »», et qui doivent croître par des différences égales à J^, dont V est un multiple ; à cause de la petitesse de cT , on obtiendra une valeur approchée de cette somme en mettant di> au lieu de J^ dans e, et remplaçant la somme par une intégrale : cette valeur sera exacte aux
quantités près de l'ordre de cT ou de —p^. Quoique la variable v doive
Vf
être une très petite quantité par rapport à \/f^, on pourra, à raison de l'exponentielle contenue dans e, étendre l'intégrale, sans eu altérer sensiblement la valeur, depuis v = — 00 jusqu'à (^ = 00 . Alors, si
l'on fait
les limites de l'intégrale relative à 9, seront aussi rfc: 00 ;eten désignant par Çf^â la probabilité infiniment petite de l'expression de r , on aura
Ç^ = ^ e-8' C e-^'" 4 = -^ e-«' rf9.
Donc ^^ étant une quantité positive et donnée , la probabilité que la valeur inconnue de r tombera entre les limites
m __ uyim (fc — m)
coïncidera avec la quantité P donnée par la formule (i5), puisque cette probabilité sera
fis'^^vjy-^-
Ainsi , P est la probabilité que la quantité spéciale r dont s'approcLe
indéfiniment le rapport —, à mesure que le grand nombre f;t ^ug-
mente encore davantage, ne diffère de ce rapport que d'une quantité comprise en les limites
uyi.m {fi — m)
fcy fi
qui ne contiennent rien d'inconnu. ;
Dans une seconde série composée d'un très grand nombre p'^ d'épreuves, soit to' le nombre de fois que l'événement E arrivera. En désignant par 6' une variable positive ou négative, mais très petite par rapport à y/^', la probabilité infiniment petite de l'équation
m' i' y irri {ft — m')
sera— ;:^ e~^'' d^' ; celle de l'équation
ytr
ni m 6'\/iTn'{fi' — ni) 6y'zm{/i — m)
que l'on obtient en retranchant cette valeur de r, de la précédente, sera donc le produit de — ^ e-^'' d^' et de — ^ e-^' dd pour tous les couples de valeurs de â et ô'; et si l'on fait d'abord
6' \/m' {fi — m') 9 \/m {/t — m) t \/fi'm'(/4.'-^jti') +^' W;(^ — m)
d^'z=z ^^'"'' ^'"' ~ ^'^ "I" ^"'" ^^ ~ ^^ dt
fi^ fini {fi — ni)
et ensuite
6 \/ ft.^m\fi — ni) + fi'm.{fi — m) , tfî \/fiw{f<, — m) ,
fi \/fem'{^' — m) ft ^ fini {fî — ni)
Vf^ni {fi -g- m') ■\-tî^m {fi — m) ^q __ ^^, fi\/"ftm'{fi—ni)
c'est-k-dire, si l'on remplace d'abord la variable 9' par t sans changer 6, et ensuite ô par «' sans changer t, cette probabilité de l'équation précédente deviendra
le-o-i^dtdt'.
Celte équation devenant, en même temps,
m' FM / V^2ft-^m' {fi — ni) ■+■ ifi^m {fi — m)
7""/« fifi \/]:p '
et ne contenant plus que la variable t, sa probabilité totale sera l'intégrale relative à t' de cette expression différentielle; intégrale que l'on pourra étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis
*' = — «0 jusqu'à <' = oD , ce qui donnera —-- e-'' dt ; d'où l'on
conclura enfin que -^ f ^ e—'' dt, ou la quantité P donnée par la
rin comprise entre les limites
formule (i5), exprimera la probabilité que la différence % est
n fi
u \/ ifi^ni {fî — m') -f. if^m {fi —
hh
dans lesquelles u sera une quantité positive et donnée, et qui ne contiennent que des nombres connus.
Ces limites coïncident avec celles que nous avons trouvées dans le n* 87, d'une manière beaucoup plus simple, mais pour le cas seulement où la chance de l'événement E est constante et la même dans les deux séries d'épreuves. Toutefois la formule (24) de ce numéro
contient un terme de l'ordre de -— ou — — , qui ne se trouve pas
dans la formule (i5); ce qui tient à ce que, dans le calcul que nous venons de faire , nous avons négligé les termes des probabilités que nous avons considérées, qui seraient de cet ordre de petitesse.
(i 10). Je ne me propose pas de traiter, dans cet ouvrage, les nombreuses questions auxquelles on peut appliquer les formules précédentes, et doat les principales ont été indiquées dans le w 60 et les suivants (*;. Je me bornerai à prendre pour exemple de ces applications, une question connue qui se rapporte aux orbites des planètes et des comètes.
Dans les quantités qui ont été désignées précédemment par T et F (n'99), si nous faisons
^ = 8» y = l^g — ^' c-~i = 2gx, c-]-e = 2g€,
(*) Je puis encore indiquer la probabilité du tir à la cible, que j'ai conside're'e dans un mémoire écrit avant cet ouvrage , et qui paraîtra dans le prochain numéro du Mémorial de Variillerie.
5oo RECHERCHES
nous aurous
où l'on prendra le signe supérieur ou le signe inlérieur de chaque terme, selon que la quantité qui s'y trouve élevée à la puissance /a sera positive ou négative. Cela étant, en représentant dans ces deux formules, par S et T les sommes des termes qui devront être pris avec leurs signes supérieurs, et par S^ et T^ les sommes de ceux qu'on devra prendre avec leurs signes inférieurs, on aura donc
r=(2g')^(S-S,), T,=(^g)''{T-Ty,
mais quelle que soit la quantité «T, on a , d'après une formule connue et facile à vérifier.
si donc on fait successivement J' = a et J" =C,on aura aussi
d'où il résultera
r = {2gn2''-^ 2SJ, r, = (Sg)" (2"-' 2T );
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5oi
ce qui cliangera la formule (lo) en celle-ci
Or, en changeant les signes des quantités élevées à la puissance (à. dans les termes de S^ et T^, ce qui les rendra toutes positives, et exigera que l'on change aussi ou que l'on ne change pas les signes de ces termes, selon que le nombre fi, sera impair ou pair; et en intervertissant ensuite l'ordre de ces termes dont le nombre est fini , on verra aisément que cette expression de P deviendra
p= i^-— p''-/.ê-.ir-+.'^i(^-.r-'^"3- (ê-5)'*+ etc.
-«"+:<— 0''-'^(—=r+'^''3-(«-5)''-etc.].-
formule qui coïncide avec celle que Laplace a trouvée (♦), d'une toute antre manière, pour le même objet.
Elle exprimera la probabilité que , dans un nombre quelcobque /* d'épreuves, la somme des valeurs d'une chose A sera comprise entre les quantités aag et aé'g-, en supposant que toutes les valeurs de A soient également possibles depuis zéro jusqu'à og, et impossibles en dehors de ces limites. On y prolongera chacune des deux parties qui la composent jusqu'au terme où la quantité élevée à la puissance u cessera d'être positive; en sorte que si n représente le plus grand nombre entier contenu dansé, la première partie de cette formule s'arrêtera au n -f- i''"' terme ou auparavant, selon qu'on aura ;t > 72 ou ^ < n ; et il en sera de même à l'égard de la seconde partie, si 11 est le plus grand nombre entier contenu dans s.
Cela posé, quelle que soit la cause qui a déterminé la formation des planètes, on suppose que toutes les inclinaisons possibles des plans de leurs orbites sur celui de l'éclipîique, depuis zéro jusqu'à 90% ont été également probables à l'origine , et l'on demande de déterminer la
(*) Théorie analjlique des probabilités , page 257.
5o2 RECHERCHES
probabilité que, dans cette hypothèse, la somme des inclinaisons des dix planètes connues, et différentes de la Terre, a dû être comprise entre des limites données, par exemple, entre zéro et 00°. En prenant une inclinaison planétaire pour la chose A à laquelle répond la formule (iG), il faudra supposer l'intervalle 2gf des valeurs possibles de A, égal à go° , et faire, dans cette formule, a=o, S= 1, /* = 10, ce qui la réduira à
