I .2.3.4.5.6.7.8.9. lo

Cette fraction étant à peu près un quart de millionième, il s'ensuit qu'une somme d'inclinaisons moindre qu'un angle droit, serait tout-àfait invraisemblable, et qu'on peut regarder comme hors de doute que cette somme aurait dû surpasser 90°. Or, au contraire, elle ne s'élève actuellement qu'à environ 82"; et comme elle n'éprouve que de très petites variations périodiques, il en résulte que l'hypothèse d'une égale probabilité des inclinaisons de tous les degrés, à l'époque de la formation des planètes, est inadmissible, et qu'il n'y a aucun doute que la cause quelconque de cette formation a dû rendre les plus petites inclinaisons beaucoup plus probables que les autres. Les inclinaisons planétaires sont considérées ici indépendamment de la direction du mouvement des planètes, dans le sens ou en sens contraire du mouvement de la Terre autour du Soleil; si ces deux sens avaient été également probables à l'origine, la probabilité que le mouvement des dix planètes différentes de la Terre aurait eu lieu dnns le sens deson mouvement, serait la dixième puissance de [; fraction au-dessous d'un millième, Ce qui rend aussi fort peu probable l'égale chance des deux directions contraires, et montre que la cause inconnue de la formation des planètes a dû rendre fort probable les directions de tous les mouvements planétaires dans un même sens.

Si l'on prend pour A l'excentricité d'une orbite planétaire , et si l'on suppose qu'originairement toutes ses valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité étaient également probables, on déterminera la probabilité que la somme des excentricités des planètes connues devait être comprise, par exemple,entrezéroet^, en faisant a s=o,f=r 1,26, /t*=i i, dans la for-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. 3o5

mule (i6), ce qui donne

♦P=- -■-,.' ^ [{1,25)"— Il(0,25)"].

Cette probabilité F étant au-dessous de trois millionièmes, il est exti èmemcnt probable, au contraire, que la somme des 1 1 excentricités a dû surpasser 1 ,25; mais cette somme,qui n'est soumise qu'à des variations périodiques de peu d'étendue, est maintenant un peu moindre que i , 1 5; l'hypothèse d'une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A est donc toul-à-fait inadmissible; et il est hors de doute que la cause quelconque de la formation des planètes était telle qu'elle rendait beaucoup plus probables, les plus petites excentricités, de même que les plus petites inclinaisons.

fi 1 1). Les comètes observées depuis l'an 240 de notre ère, et dont les astronomes ont calculé les éléments paraboliques aussi bien qu'il a été possible, sont aujourd'hui au nombre de i58, dont 71 directes et 67 rétrogrades. Le peu de différeuce entre ces deux nombres 71 et 67 montre déjà que la cause inconnue de la formation des comètes, ne rend pas plus probable leurs mouvements dans un sens que dans le sens opposé; la somme des inclinaisons de.5 orbites de ces i38 comètes sur l'écliptique s'élève à près de 6753° , c'est-à-dire qu'elle surpasse 75 angles droits d'à peu près a*; pour savoir si elle devrait très peu différer de cette quantité, dans l'hypothèse d'une égale probabilité de toutes les inclinaisons possibles depuis zéro jusqu'à go*, il faïadrait donc prendre pour a. et &, dans la formule (16), des nombres peu différents de 75 en plus et en moins, ce qui rendrait le calcul numérique de cette formule tout-à-fait inexécutable; par conséquent, pour connaître, dans cette même hypothèse, la probabilité P que la somme des inclinaisons des orbites de toutes les comètes observées, doit être comprise entre des limites données, il faudra recourir à la formule ( i5).

Je suppose donc que la chose A soit l'inclinaison d'une orbite cométaire sur le plan de l'écliptique. Les limites des valeurs possibles de A, que l'on a désignées généralement par a et b , étant alors a = o et b = go°, et toutes ces valeurs étant regardées comme également pro-

5o4 RECHERCHES

bables, la formule (i 5) exprimera la probabilité P que la moyemie d'un grand nombre [j- d'inclinaisons observées, tombera (u° loa) entre les nombres de degrés •

En prenant u= 1,92, et faisant /*= i38, il en résultera

pour la probabilité que dans l'hypothèse d'une égale chance de toutes les inclinaisons possibles, l'inclinaison moyenne des 1 38 comètes observées ne sortirait pas des limites /^S'zpô"; en sorte qu'il y aurait à peu près 1 5o à parier contre un , que cette moyenne devrait être comprise entre 59° et 5i°; et, en effet, on a trouvé 48"55' pour sa valeur; en sorte qu'il n'y a pas lieu de croire que la cause inconnue de la formation des comètes ait rendu inégalement probables leurs diverses inclinaisons.

Sans faire aucune hypothèse sur la loi de probabilité de ces inclinaisons, la formule (i5) exprimera aussi la probabilité que l'inclinaison moyenne d'un grand nombre /i* de comètes que l'on observera par la suite, ne s'écartera de la moyenne 48°55' relative aux i58 comètes déjà connues, que d'un nombre de degrés compris entre les limites (n° 107)

iil v/i38 -f- f<.'

On déduit des inclinaisons calculées de ces i38 comètes, une valeur de la quantité l que ces limites l'enferment, égale à 34°49' (*);et en faisant fz'^p., par exemple, et prenant, comme plus haut, m= 1,92, il y aura i5o à parier contre un que la dift'érence entre l'inclinaison moyenne de i38 nouvelles comètes et celles des i38 comètes observées, tombera entre les limites =p 8° 21'. Le nombre des comètes

(♦) Le calcul en a été fait par le neveu de M. Bouvard.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3o5

existantes étant sans doute extrêmement grand par rapport à celui dis comètes dont on a pu calculer les orbites; si l'on prend pour fx' le nombre des comètes inconnues, les limites précédentes se réduiront à très

peu près à :^ — z=; , de sorte qu'elles seront plus étroites que pour

fi' = fx, dans le rapport de l'unité av^2;et, en prenant toujours

«= 1,92, il y aura encore à très peu près la probabilité -y^, ou i5o

à parier contre un, que la différence entre l'inclinaison moyenne des comètes inconnues et celle des comètes connues, est comprise entre les limites ^5°4'i'.

Si l'on divise la totalité des comètes observées en deux séries égales en nombre, dont l'une comprenne les 69 plus anciennes, et l'autre les 69 plus modernes, on trouve 49°' 2' pour l'inclinaison moyenne dans la première série, et 48° 58' dans la second®, de sorte que ces deux moyennes diffèrent à peine d'un demi degré. Cet exemple est très propre à montrer que les valeurs moyennes d'une même chose s'accordent entre elles , lors même que les nombres d'observations ne sont pas extrêmement grands , et quoique les valeurs observées soient très inégales , comme ici où la plus petite inclinaison cométaire est i''4i' 6* 1^ plus grande 89° 48'. I^es inclinaisons moyennes des 71 comètes directes et celle de 67 comètes rétrogrades s'écartent davantage l'une de l'autre ; la première est de 47° 5', et la seconde de 5o° 54'.

Par le centre du Soleil, si l'on élève dans l'hémisphère boréal, une perpendiculaire au plan de l'écliptique, elle ira rencontrer le ciel au pôle boréal de l'écliptique ; de même , si l'on élève , dans cet hémisphère et par ce centre, une perpendiculaire au plan de l'orbite d'une comète, elle rencontrera le ciel au pôle boréal de cette orbite : la distance angulaire de ces deux pôles sera l'inclinaison de cette orbite sur celui de l'écliptique; mais il ne faut pas confondre, comme l'a fait l'estimable traducteur du Traité d'astronomie de M. Herschel , la supposition que tous les points du ciel puissent être, avec ime même probabilité, des pôles d'orbites coraétaires, avec l'hypothèse d'une égale probabilité des inclinaisons cométaires de tous les degrés.

^oS RECHERCHES

En effet, soient a et b deux zones du ciel, circulaires, contenues dans l'hémisphère boréal , d'une même largeur infiniment petite , ayant pour centre commun le pôle boréal de l'écliptique , et dont les distances angulaires à ce pôle sei'ont représentées par a et ê j soient aussi p la probabilité qu'un point du ciel , pris au hasard dans cet hémisphère, appartiendra à la zone a, et ç la probabilité qu'il appartiendra à la zone b ; il est évident que ces fractions p et q seront entre elles comme les étendues a, et b des deux zones , et, par conséquent , comme les sinus des angles a et €. Or, dans l'hypothèse dune égale aptitude de tous les points du ciel à être des pôles d'orbites cométaires, petq exprimeront les chances des distances a. et S de deux de ces pôles a lécliptique, ou, autrement dit, les chances des deux inclinaisons cométaires, égales à ces distances et etC; donc, dans l'hypothèse dont il s'agit, les chances des différentes inclinaisons, au lieu d'être égales, seraient proportionnelles aux sinus des inclinaisons mêmes : la chance d'une inclinaison de go° serait double de celle d'une inclinaison de 3o*, et toutes deux seraient infinies par rapport à la chance d'une inclinaison infiniment petite (*).

(i i2J. Voici, en terminant ce chapitre, l'ensemble des formules de

(*) II paraît qu'un nombre, qui semble inépuisable, d'autres corps trop petits pour être observés, se meuvent dans le ciel, soit autour du Soleil , soit autour des planètes, soit peut-être même autour des satellites. On suppose que quand ces corps sont rencontrés par notre atmosphère , la différence entre leur vitesse et celle de notre planète est assez grande pour que le frottement qu'ils éprouvent contre l'air , les échauffe au point de les rendre incandescents , et quelquefois, de les faire éclater. La direction de leur mouvement, modifiée par cette résistance, les précipite souvent sur la surface de la terre; et telle est l'origine la plus probable des acrolilhes. Telle est aussi l'explication la plus naturelle d'un phénomène très remarquable, que l'on a déjà observé plusieurs fois, depuis quelque temps, en des lieux séparés par de grandes distances, et toujours à la même époque de l'année. Dans la nuit du ta au i3 novembre, différents observateurs, en Amérique et ailleurs, ont vu dans le ciel un nombre extrêmement grand de corps semblables à des étoiles Jilanies . Or, on peut supposer que ces corps appartiennent à un groupe encore bien plus nombreux, qui circule autour du Soleil, et vient rencontrer le plan de l'écliptique en un lieu dont la dis-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Soy

probabilité qui y sont démontrées , ainsi que dans le précédent. Le nombre des épreuves, supposé très grand, est représenté par fj.; il se compose de deux parties m et 7i que l'on suppose aussi de très grands nombres; les formules sont d'autant plus approchées que ce nombre /x est plus considérable; et elles seraient tout-à-fait exactes, si ^ était infini.

1°. Soient/? et q les chances constantes pendant, toute la durée des épreuves , des deux événements contraires E et. F , de sorte qu'on ait p-\-q=i. Appelons U la probabilité que dans le nombre p oum-i-n d'épreuves, E arrivera m fois et F aura lieu n fois. Ou aura (n" 69)

u = (^)'"pYv/-^-- (et)

\rn y \n / V 7.7rmn ^ '

Cette formule se réduit (n° 79) à

V ivftpq

tance au Soleil est e'gale à celle de la terre à cet astre , à l'époque où la terre se trouve en ce même lieu : notre atmosphère traversant ce groupe de corps à cette époque, agira sur une partie d'entre eux comme sur les aérolilhes ; ce qui produira le phénomène dont il s'agit. Si ce groupe n'occupe pas une étendue très considérable sur la longueur de son orbite, c'est-à-dire, si son diamètre apparent, vu du Soleil, n'est pas beaucoup plus grand que celui de la terre, il sera nécessaire, pour que le phénomène ait toujours lieu à la même époque de chaque année , que la vitesse de cette sorte de planète brisée s'écarte peu de celle de la terre; ce qui n'empêche pas le grand axe et l'excentricité de son orbite, de différer beaucoup du grand axe et de l'excentricité de notre orbite ; et alors les perturbations du mouvement elliptique ont pu rendre la rencontre du groupe et de la Terre possible depuis quelque temps, et pourront la rendre impossible par la suite. Si au contraire , le groupe que nous supposons forme un anneau continu autour du Soleil, sa vitesse de circulation pourra être très différente de celle de la Terre ; et ses déplacements dans le ciel , par suite des actions planétaires , pourront encore rendre possible ou impossible, à différentes époques , le phénomène dont nous parlons

3o8 RECHERCHES

lorsqu'on prend

m = fxp — V V^ypq, n = nq ■+- vs/^iJ.pq;

i> étant une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport

à V/^; et sous cette forme, elle subsiste également quand les chances de E et F varient d'une épreuve à une autre , en prenant alors, d'après la formule (2) du n° gS, pour p et q les moyennes de leurs valeurs dans la série entière desf^ épreuves successives.

2". Les événements E et F ayant eu lieu effectivement m et n fois dans les /Jt épreuves, el leurs chances p et q étant inconnues, soil U' la probabilité qu'il arriveront dans f/ ou m'-\-n' épreuves futures, des nombre de fois m' et n' , proportionnels à m et ?i , ou tels que l'on ait

/ f<^'m , fin

Quelque soit le nombre f^', on aura (n° 71)

en représentant par U' la probabilité de l'événement futur qui aurait lieu si les rapports — et - étaient certainement les chances de F et F, c'est-à-dire en faisant , pour abréger,