m'. 1 .2.3. . .«' \n/ \ftj
3°. Les chances constantes p et ç de E et F étant données, soit P la probabilité que dans jui ou m-{-?i épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. On aura (n° 77)
I z'* if^ + '0 1/2
P == -7-- / e-"dt+-~^J^- e-''
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Soq
A- étant une quantité positive dont le carré est
k* = n\os , " , — : + (to 4- i) lot» T ,\i
et en employant la première ou la sec^^de formule selon que l'on aura i > - ou 2 <; .
4°. En appelant R la probabilité que E et F auront lieu dans les fj. épreuves , des nombres de fois qui ne sortiront pas des limites
/A/J =p u\/2iipq, (iq d= u\/2f/.pq,
où u est une quantité positive et très petite par rapport à s/jj, , on aura (n° 79)
R = I ~ r e-"dt + — ^-= e-"' ; {d}
yv J " y 27rftpq
et réciproquement, si les chances p et q sont inconnues, et que E et F soient arrivés des nombres de fois m et n, dans /* ou m+n épreuves, on aura (n° 85)
R = I ^ f^e-'-dt 4- \/-^- e-"', (e)
pour la probabilité que les valeurs de p et q ne sortiront pas des limites
^ ^ " limn " " /imn
" limn n u /^
5°. Dans deux séries différentes de très grands nombres fj. et jà! d'épreuves , soient m et m les nombres de fois que E aura lieu ou a eu lieu, n et «' les nombre de fois que F arrivera ou est arrivé; désignons par u une quantité positive , très petite par rapport à vV et à S/'fjt! ;
3io RECHERCHES
et soit-îîr la probabilité que la différence — — ^ ne sortira pas des limites
u\^ 1 [fc^m'ri -f- /i'^mn)
y-y- Vf^fi
non plus que !a difTërence 7, de ces mêmes limites prises avec des
fC fit
signes contraires. On aura (n° 87)
«ar = j — -4- re-"dt + 1/ ,^ - ^^m'n(^^T . ..
Lomme on aura aussi a très peu près — = — 7 et - = — , on pourra,
^ ^ (i fi fi fi
sans altérer sensiblement les valeurs de >a;, remplacer dans son dernier terme, qui sera toujours une petite fraction, les lettres \/! , m, n, par f/., m, n. et, réciproquement, celles-ci parcelles-là. Cette formule, en faisant du moins abstraction de son dernier terme (n' 109), conviendra au cas général où les chances de E et F vai-ient d'une épreuve à une autre , pourvu que, dans les deux séries, les causes possibles de ces événements , connues ou inconnues, n'éprouvent aucun changement, c'està-dire, pourvu que l'existence de ces causes conserve la même probabilité, et que chacune d'elles donne toujours la même chance à l'arrivée de E, comme à celle de F.
6°. Les nombres de fois que E et F sont arrivés dans les /ut, épreuves relatives à ces événements étant toujours m etn, soient généralement m, et n, les nombres de fois que deux autres événements contraires E, et F, ont eu lieu dans un nombre fjL, d'épreuves aussi très grand. Supposoûs qu'où ait
fi fi '
<r étant une petite fraction positive ou négative. Appelons p etp, les chances inconnues et supposées constantes, des arrivées de E et E, ; et désignons par X la probabilité que />, excédera p , d'une quantité au
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5ii
moins égale à une petite fraction positive et donnée t. En représentant par M une quantité positive, et faisant
^ ( f — ^) fV^±Vj(f*<
selon que le facteur « — «T sera positif ou négatif, on aura (n° 88)
la première expression se rapportant au cas où la différence « — • J sera positive , et la seconde au cas où cette différence sera négative. Ces mêmes formules exprimeront aussi la probabilité que la chance inconnue p de l'arrivée de E surpasse le rapport — donné par l'observation, d'une fraction a aussi donnée : pour cela, il suffira d'y faire
y' imn
et de prendre la première ou la seconde formule selon que la diffé-
rence a sera positive ou négative.
7*. Lorsque les chances des deux événements contraires E et F varient d'une épreuve à une autre , soient pi et ç, leurs valeurs à l'épreuve dont le rang est marqué par /, de sorte qu'on ait p,-{-q,= i , pour tous les indices /. Les sommes 2 s étendant depuis i = i jusqu'à i-=fi, faisons, pour abréger,
Soient toujours m et n les nombres de fois que E et F arriveront dani les fjt. épreuves Désignons par u une quantité positive, très petite
3i3 RECHERCHES
rapport à v//a. On aura (n° g6)
pour la probabilité que les rapports - et - ne sortiront pas des limites
ku ku
ce qui coïncide avec la formule (d) dans le cas particulier des chances .constantes.
8°. Une chose quelconque A étant susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites kzpg, et toutes ces valeurs étant également possibles et les seules possibles; soit P la probabilité que dans un nombre quelconque / d'épreuves, la somme des valeurs de A qui auront lieu, sera comprise entre des limites aussi données cq= g. On aura (n" 99)
en faisant, pour abréger, T=dc{ih-\-ig—c-\-éy^iiiih-Jris—2g — c-\-iy
r,=± (t/î -^ ig— c — €)*=F '■ {ih -i-ig—2g — c— €)'
:^'-^^{ih-i-ig—hg—c—éyz:f:'-'~'^'~^{ih-{-ig—6g-c—iy=tetc.,
et prenant, dans chaque terme, le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la quantité qui s'y trouve élevée à la puissance i, est positive ou négative : g et « sont des quantités positives; h et c peuvent être des quantités positives ou négatives.
9°. Quelle que soit la loi de probabilité des valeurs possibles de la
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5i".
chose A à chaque épreuve, et la manière dont cette loi variera d'une épreuve à une autre; si i'ou appelle s la somme des valeurs de A qui auront lieu dans un très grand nombre /m d'épreuves, on aura (n° loj)
pour la probabilité que la moyenne - des valeurs de A tombera entre les limites
u désignant une quantité positive et très petite par rapport à VT*? k et h étant des quantités dont la seconde est positive, et qui dépendent des probabilités des valeurs de A pendant toute la durée des épreuves. Quand ces probabilités seront constantes, égales pour toutes les valeurs possibles de A entre des limites données a et b, et nulles en dehors de ces limites , on aura
Lorsque A n'aura qu'un nombre fini de valeurs possibles c, , c^, C3 , . . . . c, , et que ces v valeurs constantes seront également probables, on aura
lO". Soit X, la valeur de A qui a eu lieu à la n''"" épreuve. Faisons
3i4 RECHERCHES
les sommes 2 s'éteadant depuis n = i jusqu'à n = fz. Supposons que les causes de toutes les valeurs possibles de A n'éprouvent aucun changement, soit dans leurs probabilités respectives, soit dans les chances qu'elles donnent à chacune de ces valeurs. Il y aura alors une quantité spéciale y dont la moyenne - des valeurs de A, s'approchera indéfiniment à mesure que /a, augmentera de plus en plus , et qu'elle atteindrait si fi devenait infi&i. Or, la formule (A) exprimera la probabilité que cette quantité y est comprise entre les limites (n° io6)
s __ ul
qui ne contient rien d'inconnu.
II". Dans une seconde série d'un très grand nombre f^J d'épreuves, soient s' la somme des valeurs de A^ et /' ce que deviendra la quantité l qui se rapporte à la première série. La formule {k) exprimera également la probabilité que la différence — des deux moyennes, sera
comprise entre les limites (n° 107)
ou bien, à cause que l'on aura à très peu près /'=Z, ce sera aussi la prohabilité que la moyenne — relative à la seconde série, tombera entre les limites
■5 ul y^JT-ÇP
qui ne dépendent que des résultats de la première et de la quantité donnée M, et qui sont d'autant plus étroites que ft' est plus grand par rapport à fi..
12°. Pour déterminer la valeur d'une même chose A, on a fait plusieurs séries d'épreuves, composées de très grands nombres (ji., fjtf, ^", etc.
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3i5
Les sommes des valeurs que l'on a obtenues dans ces séries successives sont s, s', s",elc.; la quantité précédente l se rapporte toujours à la première série; et l'on désigne par /', l" , etc., ce qu'elle devient à 1 egard des séries suivantes. On suppose que les causes d'erreurs dans les mesures varient d'une série à une autre, mais que néanmoins, toutes
les moyennes -, —, —, etc., convergent indéfiniment, à mesure que
fji, f/.', ju,", etc., augmentent de plus en plus, vers une même quantité inconnue y, qui serait la véritable valeur de A, si ces causes ne rendaient pas inégalement probables, dans une où plusieurs des séries d'observations, les erreurs égales et de signes contraires. Cela posé, la formule (A) exprimera encore la probabilité que la quantité y est comprise entre les limites (a° io8) :
^ -r ^' -r y/ -h etc. =p p, dans lesquelles on a fait pour, abréger,
J + ?J + 9?, + etc. = D-, F? = î ' WF' = ?'' WF' = '/"' ^*^'
De plus, la partie 'î? -f- 1?- -|- IX f- etc. , c'est-à-dire la sonmie
des moyennes-, —, — , etc., multipliées respectivement par les quantités ^,^',9", etc., sera la valeur approchée de y la pi us avantageuse que l'on puisse déduire du concours de toutes les séries d'observations, c'est-à-dire, la valeur de cette inconnue, dont les limites d'erreur qr^r auront la moindre étendue qu'il est possible, pour un valeur donnée de «, ou bien à égal degré de probabilité.
iS". Enfin, les causes de l'arrivée d'un événement E demeurant les mêmes pendant les épreuves, ainsi qu'on l'a expliqué en citant la formule {f\ le rapport — du nombre de fois que E aura lieu au nombre
5i6 RECHERCHES
total des éjireuves, convergera indéfiniment vers une quantité spé-cale r, qu'il atteindrait rii;oureusement si fj. devenait infini. Or, cette formule (f), en négligeant son dernier terme, on bien encore la formule k sera la probabilité que la valeur inconnue de r tombera entre les limites (n° 109)
m uy :i.m{f* — m)
(il 5). Pour compléter ces formules, il y faudrait joindre celles qui se rapportent à la probabilité des valeurs d'une ou plusieurs quantités, déduites d'un très grand nombre d'équations linéaires correspondantes aux résultats d'un égal nombre d'observations; mais à l'égard de ces autres formules, je renverrai à la Théorie analjtique des probabilités. En les appliquant à un système de 126 équations de condition relatives au mouvement de Saturne en longitude, formées par M. Bouvard, et en appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés, Laplace a été conduit à eu conclure qu'il y a un million à parier contre un que la masse de Jupiter, en prenant celle du Soleil pour unité, ne différera pas de vsVs » de plus d'un 100° de cette fraction, en plus ou en moins (*). Cependant, des observations postérieures, d'une autre nature, ont donné à ti'ès peu près ■^- pour cette masse; ce qui excède la fraction xijô> d'environ un 5o° de sa valeur, et paraîtrait mettre en défaut le calcul des probabilités. Il ne peut resftr aucun doute sur celle masse i-^, qui a été conclue par M. Enke, des perturbations de la comète dont la période est de 1204 jours; par MM. Gauss et Nicolaï, de celles AeP'esta et de Junon; et par M. Airy, des élongations des satellites de Jupiter qu'il a récemment mesui'ées. Toutefois, si les calculs de Laplace ont donné, avec une probabilité très approchante de la certitude, une masse de cette planète, plus petite d'un 5o' qu'elle n'est réellement, il n'en faudrait pas conclure que l'intensité du pouvoir attractif de Jupiter fût moindre sur Saturne que sur ses propres satellites, sur les comètes et sur les petites planètes;
(*) Preinrer supplément à la Théorie analytique des probabilités , ^lage 24.
cela ne provient pas non plus d'aucune inexactitude dans les formules de probabilité dont Laplace a fait usage; et il y a lieu de croire que la masse de Jupiter, un peu trop petite, qu'il a obtenue, résulte de quelques termes fautifs dans l'expression si compliquée des perturbations de Jupiter, à laquelle on a déjà fait subir quelques corrections, et qui peut encore en exiger d'autres. C'est un point important de la Mécanique céleste, qui ne peut manquer d'être éclairci parle résultat du travail dont M. Bouvard s'occupe actuellement, dans le but de refaire^en entier ses tables, déjà si précises, des mouvements de Saturne et de Jupiter.
5i8 RECHERCHES
