CHAPITRE V

application des règles générales des probabilités aux décisions des jurjs et aux jugements des tribunaux (*).

(i i4)- Dans une matière aussi délicate, il conviendra de considérer d'abord les cas les plus simples, avant de traiter la question dans toute sa généralité.

Je suppose donc, en premier lieu , qu'il y ait un seul juré. Je i-eprésente par A la probabilité que l'accusé soit coupable, lorsqu'il est traduit devant ce juré; probabilité résultante de l'information préliminaire et de l'accusation qui s'en est suivie. Je désigne aussi par u la probabilité que le juré ne se trompera pas dans sa décision; et, cela étant, soit y la probabilité que l'accusé sera condamné. Cet événement aura lieu , si l'accusé est coupable et que le juré ne se trompe pas, ou bien, si l'accusé n'est pas coupable et que le juré se trompe. D'après la règle du n° 5, la probabilité du premier cas est le produit de A' et de m, et celle du second a pour valeur le produit de i — ^ et de i — u. Donc, en vertu de la règle du n° lo, on aura

y = ku + (i — k) (i — u), (i) pour la probabilité complète de la condamnation de l'accusé. Celle de

(*) Cette question a été' traitée dans un ine'moire, lu à l'Acade'mie de Saint-Pe'tersbonig, en juin i£34, par M. Ostrograski , membre de cette académie. Mais à en juger par l'extrait imprimé que l'auteur m'a envoyé , il a considéré le problème d'une manière toute différente de celle que je suivrai dans ce chapitre , et qui a été indiquée dans le préambule.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEME.NTS. 3 19

son acquiltemeut sera i — y. Cet événement aura lieu, si l'accusé est coupable et que le juré se trompe, ou bien, si l'accusé n'est pas coupable et que le juré ne se trompe pas; et les probabilités de ces deux cas étant les produits A(i — «)et (i — k) u, il en résultera

I —y = A- (i — II) -f- (1 — k) u;

équation qui se déduit aussi de la précédente. En les retranchant l'une de l'autre, il vient

ce qui montre que la quantité 2y — i sera zéro en même temps que 2k — I ou 2« — I , et positive ou négative selon que 2k — i et 2M — I seront de même signe ou de signes contraires. On aura aussi

de sorte que j' surpassera ^ j de la moitié du produit (2k — i) (211 — i) positif ou négatif.

Après la décision du juré , on pourra faire deux hypothèses qui seront les seules possibles : on pourra supposer que l'accusé soit coupable ou qu'il ne le soit pas; leurs probabilités, comme celles de toutes les causes hypothétiques, se détermineront par la règle du n" 54- La somme de ces deux probabilités étant d'ailleurs égale à l'unité, il n'y en aura qu'une seule à déterminer.

Si l'accusé a été condamné, soit p la probabilité de la première hypothèse, ou de la culpabilité. D'après la règle citée, on aura

__ /eu ^ . .

p — ku -f (I — /J {i—u)' ^^^

car ici l'événement observé est la condamnation de l'accusé dont la probabilité, comme on vient de le voir, serait ku dans cette première

hypothèse, et (i — k)(i —u) dans la supposition contraire, ou de la uon-culpabilité.

Si l'accusé a été absous , soit q la probabilité de la seconde hypothèse, ou de la non-culpabilité. L'événement observé étant alors l'acquittement de l'accusé, dont la probabilité est (i — k) u dans cette hypothèse, et k[i — u) dans la supposition contraire, ainsi qu'on l'a dit tout à l'heure , il suit de la règle citée que l'on aura

En observant que les dénominateurs de ces expressions de /? et ç sont les valeurs de ^ et i — y, on a

hu (i ^k)u

P=-' 7 = T^r7-î d'oii l'on déduit

u = py + q(i — y),

pour une expression de la probabilité que le juré ne se trompera pas, qu'il est facile de vérifier. En eCfet, cela aura lieu de deux manières différentes : parce que l'accusé sera condamné, et qu'étant condamné, il sera coupable, ou bien parce qu'il sera acquitté, et qu'étant acquitté, il sera innocent. Or , par la règle du n° 9 relative à la probabilité d'un événement composé de deux évéuements simples, dont les chances respectives influent l'une sur l'autre, la probabilité de la première manière est le produit de y et de p, et celle de la seconde, le produit de 1 — ^ et deq. Donc aussi (n" lo), la valeur complète de u est la somme de ces deux produits. Après que la décision du juré est prononcée, la probabilité qu'il ne s'est pas trompé, n'est autre que p, s'il a condamné , ou q s'il a acquitté. Si l'on n'a pas Â: = ^, elle ne peut être égale à u, comme auparavant, que quand on a « = o ou u=i.

Ces formules renferment la solution complète du problème dans le cas d'un seul juré; problème qui n'est, au reste, que celui de la probabilité d'un fait attesté par un témoin , dont nous nous sommes oc--

SUR LA rROBABILlTÉ DES JUGEMEiNTS. 3ai

cupes dans le u° 56. La culpabililc do l'accusé est ici le fait qui peut êlre vrai ou faux; avant que le juré ait prononcé, on avait une certaine raison de croire que ce fait était vrai, résultante des données qu'on possédait alors: A' était sa probabilité, et i — k celle de ia non-culpabilité; après la décision du juré, on a eu sur le fait une nouvelle donnée; ce qui a changé k en une autre probabilité p, si le juré a décidé ou attesté que l'accusé soit coupable, et i — A: en une probabilité (] , s'il a attesté que l'accusé ne soit pas coupable. Dans l'un et l'autre cas , il est évident que les probabilités antérieures k et i — k ont dû êlre augmentées, s'il y a plusde chance pour que le juré ne se trompe pas, qu'il n'y en a pour qu'il se trompe, et diminuées, dans le cas contraire, c'est-à-dire augmentées ou diminuées selon qu'on a /^ > ^ ou II •< |. C'est, en effet, ce qui résulte des expressions de y? et </, d'où l'on déduit

et par conséquent, /? >■ ou < A, 7 < ou > i — A, selon qu'on a M ]> ou <; |. Dans le cas de n :=. ^ , il n'y a rieu de changé aux probabilités antérieures A et i — A.

Ces dernières expressions de p et 7 donnent

py-^ i(' —y)= h + (^ — ^) (1 — y);

et puisque le premier membre de celte équation est égal à u, on a donc aussi

M = A;. + (i — Aj (i — j.);

ce qui servirait à calculer la probabilité que le juré ne se trompera pas, si l'on connaissait à priori, par un moyen quelconque, la chance y de la condamnation, outre la probabilité A de la culpabilité. C'est aussi ce que l'on vérifie en observant que le juré ue se trompera pas, si l'accusé est coupable et condamné , ou bien s'il est innocent et acquitté or, les probabilités de ces deux cas. avant la décision du juré,

sont les produits ky et (i — A) (i — y), dont la somme forme la valeur complète de n.

Quand on auraA=7, les premières valeurs depetçse réduiront immédiatement à p=u et 9= u; et, en effet, puisqu'on n'a à priori aucune raison de croire plutôt à la culpabilité qu'à l'innocence de l'accusé, notre raison de croire à l'une ou à l'autre, après la décision du juré, ne peut différer de la probabilité qu'il ne se trompe pas. Si l'on a k= i , c'est-à-dire si la probabilité de la culpabilité est regardée comme certaine à priori, on aura p = i et q = o; et quelle que soit la décision du juré, et sa cliance7i de ne pas se tromper, cette culpabilité sera encore certaine après cette décision. U en sera de même à l'égard de l'innocence de l'accusé, si l'on a ^ = o , c'est-à-dire si elle est certaine à priori. Mais dans les deux cas, il n'est pas certain que l'accusé sera condamné ou acquitté : on aura y = u, dans le premier, et ^ = i — ii dans le second, pour la chance de sa condamnation, qui sera donc égale, comme cela doit être, à la probabilité que le juré ne se trompera pas quand k=i , et se trompera lorsque A' = o.

(il 5). Supposons actuellement qu'après la décision de ce juré, l'accusé soit soumis au jugement d'un second juré dont la probabilité de ne pas se tromper sera représentée par ii'. Il s'agira de déterminer les probabilités que l'accusé sera condamné par les deux jurés, absous par l'un et condamné par l'autre, absous par l'un et l'autre; probabilités que je désignerai respectivement par c , b , a.

Soit y' la probabilité que l'accusé ayant été condamné par le premier juré, le sera aussi par le second. En observant que^ est la chance delà première condamnation, on aura

c = yy',

pour la probabilité de deux condamnations successives. Mais en paraissant devant le second juré, il y a la probabilité/;, résultant de la décision du premier, que l'accusé est coupable; la valeur de y se déduira donc de la formule (i), en y mettant p et u' au lieu de k etu; ce qui donne

>' = pu' + (, -;,) (, «');

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5a5

d'où l'on déduira, en vertu des formules (i) et (2),

c = kiai + (i — X) (i — ") (i — u'). Par un raisonnement semblable, on trouvera

a = A-(i — II) (r — II') + (i — h)uii'. En ajoutant ces deux formules, il en résulte

a -\- c =. nu' + (1 — n) (i — u),

pour la probabilité' que les deux jures décideront de la même manière , soit qu'ils condamnent, soit qu'ils absolvent; et l'on peut remarquer que cette probabilité totale est indépendante de celle de la culpabilité de l'accusé avant le double jugement.

Si l'accusé a été absous par le premier juré, et qu'on appelle y, la probabilité qu'il sera condamné par le second, le produit (i — y)y, exprimera la probabilité que ces deux jugements contraires auront lieu successivement et dans cet ordre. D'ailleurs i — q sera la probabilité que l'accusé est coupable, quand il paraît devant le second juré après avoir été acquitté par le premier; la valeur de >, se déduira donc de la formule (r), en y remplaçant k et u par 1 — q et u' ; ce qui donne

ou bien , en vertu des \ aleurs de i — > et ^ données par les formules (i) et (5),

Il est évident qu'en permutant les lettres uelu' dans cette expression, on aura la probabilité que les jugements des deux jurés seront contraires, mais dans l'ordre inverse de celui qu'on vient de supposer. En

ajoutant cette probabilité à la précédente, il en résultera

pour la probabilité complète de deux jugements contraires, rendus dans un ordre quelconque. On voit qu'elle est indépendante de k, comme celle de deux jugements semblables. Dans le cas de zt = -^ et i^ z=.\, l'une et l'autre sont aussi J. Dans tous les cas, leur somme a + ^ + c est l'unité, comme cela devait être.

La probabilité que l'accusé est coupable après qu'il aura été condamné par les deux jurés, sera donnée par la formule (2), en y mettant p et v! au lieu de k et u; et la probabilité de son innocence , quand il aura été absous par les deux jurés, se déduira de la formule (3), par le changement de k et m en 1 — ^ et v! . En désignant par p' et g' ces deux probabilités, on aura donc

et d'après les valeurs de /? et y , données par ces mêmes formules (2) et (5), ces valeurs de/>' et cj[ deviendront

, kuiî I (f — k)uu'

P kuu' + {\—k) (i— u) (!—«') ' ^ {l—k)uu -lrT{J^u) {i—u'Y

Soient encore /j^ la probabilité que l'accusé est coupable, après qu'il aura été absous par le premier juré et condamné par le second, et ^/ la probabilité qu'il est innocent, quand il aura été condamné par le premier juré et acquitté par le second. La valeur de p^ se déduira de la formule (2), en y mettant u' au lieu de 11, et y remplaçant k par la probabilité i — q que l'accusé n'est pas innocent, après qu'il a été acquitté parle premier juré; celle de cj^ s'obtiendra de même en changeant uet /{ dans la formule (3), enuetp; on aura donc

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. SaS

ou bien, en vertu de ces mêmes formules (2) et (5),

La probabilité que l'accusé, condamné par le premier juré et acquitté par le second est coupable, sera i — ç,; d'ailleurs, il est évident qu'elle devra se déduire de /J, par la permutation àcuciu' , ce qui a lieu effectivement : celle de l'innocence de l'accusé, absous par le premier juré et condamné par le second, ou 1 — /), , résultera de même de l'expression de q,, en y permutant «et u' .

Dans le cas de «' = ji, on a /j, = A: et ^, = i — A; ce qui doit être effectivement; car deux décisions contraires, rendues par des jurés qui ont la même chance de ne pas se tromper , ne sauraient rien changer à la raison que nous avions de croire, avant ces décisions, à la culpabilité ou à l'innocence de l'accusé.

(i i6). On étendrait sans peine ces raisonnements aux décisions successives d'un nombre quelconque de jurés, pour chacun desquels il y aura une chance donnée de ne pas se tromper. Mais on parviendra plus simplement au résultat, de la manière suivante.

Je suppose, pour Gxer les idées, qu'il y ait trois jurés. Soient u , u' , li", les probabilités qu'ils ne se tromperont pas, et, comme prccc'demrnent, k la probabilité avant leur jugement, que l'accusé est coupable.

Pour qu'il soit condamné à l'unanimité, il faudra ou qu'il soit coupable et qu'aucun des trois jurés ne se trompe, ou qu'il soit innocent et que les jui-és se trompent tous les trois. La probabilité complète de cette condamnation sera donc

kuu'u"+k{i — w) (1 — «') l'i — «")■

On verra de même que la probabilité que l'accusé sera absous à l'unanimité , aura pour valeur

A- (i — u)U — u') (i — u") + (i — k)uu'u".

La probabilité d'un jugement unanime, soit de condamnation , soit d'acquittement , sera donc la somme de ces deux quantités, c'est-àdire

en sorte qu'elle est indépendante de k, ce qui aurait lieu également, quel que fîit le nombre des jurés.

L'accusé pourra être condamné par deux jurés et absous par le troisième, de trois manières différentes, selon que ce troisième sera celui dont la cbance de ne pas se tromper est u, u' ou u'. Il pourra de même être acquitté par deux jurés et condamné par le troisième, de trois manières différentes, qui répondront aussi aux cas où ce troisième est le juré dont u, n' ou u", exprime la probabilité qu'il ne se trompera pas. On verra sans difficulté que les probabilités de ces six combinaisons , auront pour expressions :

Am';/(i i,) + (i A-) (i — II') (i — u")ii, kim' (i —II') + {i — k) (i — u) (i — u'yi', kiiu' (i —m") + (i — A-) (i — n) (i — u')u", A(i —u'){i — u')u 4- (i — k)u'u" (i — u), k(: — u) (, — u'/i'-h (i — k)im" (i — u') , /t(i — tt) (i — «'X+ (i — A>m' (i — u").

En faisant la somme de ces six quantités, on aura l'expression complète de la probabilité que le jugement ne sera pas unanime; cette expression sera donc

u'u" (i — li) + me' (i — //} 4- ""' (i — "")

4-( , —u') I —u")u -h ( I ~") ( I —u")u' + ( I —II) ( I — «>",

et, comme on voit, indépendante de A'.

La somme des probabilités totales d'une décision unanime et d'une , décision !;oa un:ininie, doit être l'unité ; et , en effet, leurs expressions que Ion vient de trouver, satisfont à cette condition.

Le jugement étant rendu, on en déduira facilement la probabilité, après ce jugement, de la culpabilité de l'accusé, diflërente , en général, de ce qu'elle était auparavant. Si, par exemple, l'accusé a été condamné par les deux jurés dont u et u' expriment ks chances de ne pas se tromper, et acquitté par le troisième, la probabilité de cet événement sera kuu {i — m"), dans l'hjpotlièse de la culpabilité, et (i — k. (1 — u) (1 — u)u', dans la supposition contraire; par la règle du n° 34, la probabilité que l'accusé est coupable sera donc

kiiu (i — u")

ii\-,,ii'

kuu\i —u") 4- (i — Â-) (i — u) (I — u")it

Dans le cas de u = 11!', elle devient indépendante de la valeur commune de u' et II!' , et la même que si la condamnation était prononcée par le seul juré dont u est la chance de ne se pas tromper. Et, en effet, après que ce juré a prononcé , les décisions différentes entre elles des deux autres jurés ne peuvent plus influer sur la raison que j ui de ci on'e que l'accusé soit ou ne soit pas coupable; car il n'y aurait pas de raison pour qu'elles augmentassent plutôt que de diminuer la probabilité delà culpabilité, puisque les chances de ne passe tromper sont supposées égales pour ces deux derniers jurés.

Ces formules seraient également applicables au cas où les jures, au lieu de juger successivement et sans communication entre eux, étaient réunis et jugeaient après en avoir délibéré ; mais la discussion pouvant les éclairer mutuellement et augmenter, en général, leurs probabilités de ne passe tromper, les valeurs àe u, u' , li' , qui se rapportent à ces deux cas, pourraient n'être pas les mêmes, et s'écarter mouis de l'unité dans le second cas que dans le premier.

(i 17). Considérons, en particulier, le cas où la chance de ne pas se tromper est la même pour tous les jurés , auquel nous ramènerons eusuite le cas général, lorsqu'il s'agira de déterminer la probabilité du nombre des condamnations dans de très grands nombres de jugements.

Soient donc u cette probabilité donnée que chacun des jurés ne se trompera pas, n le nombre des jurés, A- la probabilité, avant leur jugement, de la culpabilité de l'accusé, / ua des nombres i, 2,3, . . .«,ou

zéro, el yi la probabililé que l'accusé sera condamné par n — / et absous par i jurés.

Pour que cet événement composé arrive, il faudra que l'accusé étant coupable, n — /jurés ne se trompent pas et /jurés se trompent, ou bien que l'accusé n'étant pas coupable, n — /jurés se trompent et / ne se trompent pas. La probabililé du premier cas sera le produit kû''-' (] — uj, multiplié par le nombre de fois qu'on peut prendre les /jurés qui se tromperont , sur le nombre n de tous les jurés; celle du second cas sera de même le produit (i — Â)it'(i — u)"-', multiplié par le nombre de fois qu'on peut prendre les ?i — /jurés qui se tromperont sur ce nombre total n; lequel nombre de fois est le même que dans le premier cas , et égal au nombre de combinaisons différentes de n choses prises /à /, ou n — ia n — /. En le désignant par Ni, on aura

et il en l'ésultera

y, = N, [kW- ( , ^ „)^ + (i — ky (i - «/-'] > (4)

pour la valeur complète de yi.

Si l'on suppose ?i — />/, et qu'on fasse

Ti — 2/ = m,

l'accusé aura été condamné à la majorité de ni voix. Lorsque / jurés l'auront condamné et que les ii — /autres l'auront absous , il aura été acquitté à cette majorité de m voix ; la probabilité de cet acquittement, que je désigaeraai par cT; , se déduira de la valeur de y, en y permutant les nombres 71 — /et /, ce qui ne changera rien au coeflicicnt N^. Ou aura donc •

cT, = N,. [ku- ( I ~ n)—' + (i — k)u—' ( I — m)' ] . (5) En ajoutant ces deux dernières équations, il vient

yi 4- é\ = N, [u—' ( I — 11/ + u' ( 1 — II)'-] ;

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEISIENTS. Sag

quantité indépendante de k; de sorte que la probabilité d'un jugement rendu a une majorité donnée m, soit qu'il condamne , soh qu'il absolve, ne dépend pas de la culpabilité présumée de l'accusé avant celte décision. Dans le cas particulier de «= ^ , les probabilités > et J^ sont séparément mdépendantes de k, et ont pour valeur commune

Elles sont aussi égales entre elles, quelle que soit la valeur de u, lorsque Ion a X; = i.

(i i8). Soit c. la probabilité que l'accusé sera condamné par «-/voix au moms et absous par i voix au plus, c est-à-dire la probabilité d'une condamnation à la majorité de m voix au moins. Soit aussi d la probabilité que l'accusé sera acquitté par n~i voix au moins et condamné par / voix au plus.

D'après la règle du n" lo, on aura

• '^. = yo -h y, -i- y, +.. .+ y^,

d, = cT, + J^. + J^^ H-...-I- J',;

et au moyen des foimules précédentes , il en résultera

^. = AV, + (I - /t)U,., / ^6)

eu faisant, pour abréger,

de manière que U, soit une fonction donnée de u, et V ce ue devient cette fonction, quand on y met i - ^^ au lieu de u. On aura, en même temps,

c,. -h di = U, -f- V„

S5o RECHERCHES

pour la probabilité, indépendante de k, que l'accusé sera, ou condamné, ou acquitté, à la majorité d'au moins ni voix.

Si l'on met n — / — i au lieu de i dans l'expression de rf,, on en conclura

et , en effet , si un nombre de voix au moins égal à « — i est nécessaire pour la condamnation, l'accusé sera acquitté lorsqu'il y aura n — i — i voix au plus qui lui seront contraires j en sorte que l'un des deux événements dont les probabilités sont c, et d„,, , devra certainement arriver.

Si n est un nombre impair , et qu'on ait n = 2/ + i et conséquemmenl m = 1 , on aura

U, -f- V.. = [« + (!— u)]' = I , c, + rf, = i;

en sorte que l'accusé sera certainement condamné ou acquitté à la nibjorité d'une voix au moins; ce qui est évident en soi-même. Si n est un nombre pair , la plus petite majorité possible sera m = 2 , et répondra à « = 2i -f- 2. On aura alors

U,+V, = Lm + (i-«)]"-N..^,k'+' (!—«)'-'; d'où il résultera

Il ne sera donc pas certain que l'accusé sera condamné ou absous à la majorité d'au moins deux voix; ce qui est évident, et tient au cas possible du partage égal des voix pour l'acquittement et pour la condamnation.

La probabilité de ce cas unique s'obtiendra en retranchant de l'unité , la valeur précédente de a + d,; elle sera indépendante de k;

SUR LA. PROBABILITE DES JUGEMENTS. 35i

el en la désignant par H,, son expression pourra s'écrire sons celte forme

(,1.1.3. . .i + ly

Le maximum du produit u (\ — u) répond h u = l , et est égal à 5. Cette probabilité H, diminuera donc à mesure que m s'écartera davantage de |. Elle diminuera aussi continuellement à mesure que i augmentera; car on déduit de son expression

„ 2i ■ + 3.2J + 4-" ( ' — «) lï

"' ^ ■ = Ô+Ty "' '

et d'après le maximum \ de u[i — u), on en conclut que le rapport de Hj^, à H; sera toujours moindre que l'unité : la plus grande valeur de H, répondra a u = \ et 2 = o , et sera égale à i. Quand i-\- i sera un grand nombre, on aura ( n" 67)