ii -4- 1 [m(i — u)Y

'^> — (7TTT. . . 0= {i+T) '

d'où l'on conclut

et comme 4" (i — ") ne peut pas surpasser l'unité , il s'ensuit qu'on a toujours 'ZëTj^, <i'^i- En comparant cette valeur de <sr, à celle de H,, on voit que la première surpasse la seconde dans le rapport de l'unité à 2« (i — u), qui reste le même quel que soit i.

(i2o). Si l'on sait seulement que l'accusé a été condamné à la majorité d'au moins m voix, de sorte que la majorité ait pu être m, m-j-2, m +4- • • • jusqu'à m -f- 2?, ou l'unanimité; on conçoit que la probabilité qu'il est coupable sera plus grande que p, : je la représenterai par P,. Dans l'hypothèse que l'accusé soit coupable, la probabilité de la condamnation qui a eu lieu ou de l'événement observé , est kVi, d'après ce qu'on a vu plus haut; elle est (i — ^OY, , dans l'hypothèse de la non-culpabilité; on aura donc

En désignant par Q, la probabilité de la non-culpabilité, quand l'accusé est absous à cette majorité de m voix au moins, on trouvera de même

Les probabilités de la bonté d'un jugement rendu à la majorité de m voix au moins, auront aussi pour expressions P, dans le cas de la

condamnatioa et Q, dans le cas de l'acquittement. Elles ne sont pas. comme p, et tji, indépendantes du nombre total n des jurés , et dépendantes seulement de m ou n — 21. Pour les comparer numériquement les unes aux autres, je prends A: = ^; ce qui rend égales les quantités Pj et Q,, ainsi que pt et (f,, et suppose qu'avant le jugement, l'innocence de l'accusé avait la même probabilité que la culpabilité. Je fais aussi m = | ; en sorte qu'il y ait trois à parier contre un que chaque juré ne se trompera pas. En prenant pour n le nombre ordinaire des jurés, et faisant n = 12 et i = 5, on trouve d'à bord

on trouve, en outre,

et l'on en déduit, à très peu près,

ce qui montre que dans cet exemple, la probabilité i — P, de l'erreur dune condamnation prononcée à la majorité de deux voix au Qioins, est à peine un septième de la probabilité i — p, de l'erreur à craindre dans un jugement rendu à celte majorité de deux voix précisément, ou par sept voix contre cinq.

Les formules (4), (5), (6), (7), (S), (9), (1 o), s'appliqueront sans difficulté au cas où l'accusé traduit devant le jury que nous considérons, aura déjà été condamné ou acquitté par un autre jrryj on prendra alors pour la quantité A' que ces formules renferment, la probabilité que l'accusé est coupable, résultant du premier jugement, et que l'une de ces formules aura servi à déterminer.

(121). Lorsque n — / et i seront de très grands nombres, on sera obligé de recourir aux méthodes d'approximation , pour calculer les valeurs de U. et V.

Pour cela , j'observe qu'en faisant i — u=^v, la quantité U; est la somme des i -\- \ premiers ternies du développement de («-(-i')", ordonné suivant les puissances croissantes de v ; elle devra donc coïncider avec la formule (8) du n° yS, en mettant dans celle-ci, u, v, i, n, au lieu de /^, (j, n, fx,; par conséquent, d'après les formules (i5) du n° 77, nous aurons

^ -x J 6 Z\/-;rni{n— i)

6 étant une quantité positive dont le carré a pour valeur

e* = /log -r^j—: 4- ( « + I — /) log ^^4^=^ ;

el en employant la première ou la seconde de ces deux expressions de U, , selon que - surpassera le rapport - -— — -— . , ou sera moindre.

Si l'accusé a été condamné, et que toutes les majorités puissent avoir eu lieu, depuis la plus petite, de une ou deux voix, jusqu'à l'unanimité, le nombre n+ i et le rapport -— ., seront à très peu pi'ès

double de i et l'unité ; on devra donc employer la première ou la seconde formule (i i), selon que l'on aura (^ >• ii ou c <; «; et si « et f diffèrent notablement de î^, ou ^uv de l'unité, on aura , aussi à très peu près ,

G» = aog7^.

Alors, puisque i est un très grand nombre, la valeur de 6 sera assez considérable pour rendre insensible, les intégrales et les exponentielles contenues dans les formules (i i). La quantité U, se réduira donc à l'unité ou à zéro, selon que u surpassera v ou sera moindre; et comme , dans le cas que nous examinons , la somme de U, el V, est l'unité, exactement ou à très peu près selon que i est impair ou pair, il s'ensuit

que V, sera zéro quaud on aura i^ > f, et l'uuifé dans le cas de u ■< v. De là, on conclut que, si la probabilité k de la culpabilité de l'accuse avant le jugement, n'est pas une très petite fraction, il y aura une probabilité P, 1res approchante de la certitude, pour sa culpabilité après qu'il aura été condamné par un jury composé d'un très grand nombre Ji de jurés, si la chance i> de l'ei-reur de chaque juré est notablement moindre que la chance contraire u; résultat qui tient à ce que ce grand nombre n, rend alors très peu probable que le jugement soit prononcé à une faible majorité. Au contraire, cette probabilité P,, de la bonté d'un jugement, sera une très petite fraction, et l'innocence de l'accusé, très probable, si c'est u qui est sensiblement moindre que V, et que, de plus, k ne soit pas une fraction très approchante de l'unité. Les probabilités c, de la condamnation et d, de l'acquittement, données par les formules (6), seront très peu différentes de k et I — k, quand u surpassera v', ou, au contraire, de i — A- et k lorsqu'on aura v "^ u.

Dans le cas de m = v:=-j, et en faisant nz= 2/+ i ou «= 2/-|- 2, selon que n sera impair ou pair, le rapport — -r — -—■ sera un peu

moindre que -, ou que l'unité; il faudra donc employer la première formule (n); et comme la valeur de 9 sera une très petite fraction, on aura, à très peu près,

en négligeant le carré de 6 , ainsi que les termes cpii auraient / pour diviseur, et observant qu'on a alors

y* e - ^' dxz=. \ \'7r — 6.

Si n est impair, que l'on fasse «= 2i -f- i , et qu'on mette \ pour u et V, on aura

Ô' = -zlog(n-;)-(e + 2)log(i-^^-);

en développant les logarithmes en séries, on en déduit, aii degré

d'approximation où nous nous arrêtons

la somme de V, et U; étant l'unité , V, sera aussi { ; et l'on aura P, = A, comme cela doit être, quel que soit d'ailleurs le nombre des jurés, lorsque leur chance est égale pour se tromper et pour ne pas se tromper. Si n est un nombre pair, et qu'on fasse Ji = 2i-\- 2, u = j, V = \ , on aura

e^=aog(,4-|)-(.+3)log(.-^^);

d'où l'on déduira

mais d'après la valeur de H, du n° 118, on a, dans ce cas,

yTti on aura donc

et ces valeurs de U^ et V. étant égales, il en résultera P,= ^, cgnime dans le cas précédent. La probabilité c, de la condamnation, que nous considérons, sera indépendante de A-, et égale à U,, ou un peu moindre que^.

(122). En supposant toujours que le jury soit composé d'un nombre quelconque n de jurés, concevons maintenant que pour chaque juré , la chance de ne pas se tromper puisse avoir ug nombre v de valeurs différentes et inégalement probables. Soient jc,, x^, X3, . . . . .r, , les valeurs de ces chances pour un premier juré; jr/, xj , X3 , . . . .x,' ^ pour un second juré; x,", x', X3, .... x', pour un troisième juré, etc. Désiguons, en général, par X,, X,/, X,^", etc., les probabilités que les chances x^, J?,/, J^,,/', etc., auront lieu, et qui serontaussi les probabilités des chances correspondantes i — x. , i — J?,/, 1 — Xiil',f etc. Comme une des chances x,, x^, Xj, ..

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. SSg

lieu certainement; qu'il en sera de même à leoard de l'une des

chances jt/, xJ , X3, x'; ainsi que pour l'une des chances jt,",

•^. » -^s"» • • • • oc," \ et ainsi de suite, on devra avoir

etc.

Si donc, on fait

X,j:, + X»a-j 4- XsJ^s + .... + X,a-, = u, ■ X,'.r.'H- X>,'+ X3'.r,'H- .... 4- X,V= «',

etc.,

on aura , en même temps ,

X;(i x,") 4- X/(i - a-;') +....+ X,"(i - x:) = 1 «', etc. ;

et u, u, ii\ etc. , seront les valeurs moyennes des chances de ne pas se tromper, pour le i", a*, 5% . . .juré, et i — u, 1 — u' , i — m", etc., les valeurs moyennes de leurs chances de se tromper.

Cela posé, la probabilité qu'aucun des 11 jurés ne se trompera , correspondante auxchancesT,, j:',-> J^", ■> etc., de ne pas se tromper, sera le produit de ces chances et de leurs probabilités respectives X,, X',, , X", , etc. j en la désignant par FI, on aura donc

n = X.X',,X",,etc.x^'.-ar",,elc.

Soit P la probabilité qu'aucun juré ne se trompera , quelle que soit celle de ses chances possibles de ne pas se tromper, qui aura lieu. Par la règle du n" 10, P sera la somme des nv valeurs de FT que l'on obtiendra, en y mettant successivement chacun des nombres i, 2, 5, . . . . > , à la place de chacun des n nombres /, î , i" , etc. Or, il est facile de voir que cette somme sera le produit des n moyennes u, u', xi', etc.;

en sorte que l'on aura

P = uii'u"eic. ,

quels que soient les nombres n et v.

Relativement aux chances quelconques jt,, jt',,» x",., etc., de ne pas se tromper, la probabilité qu'un seul jure se trompera, se déduira de n en y remplaçant x, par i — x, si c'est le premier juré, x',' par I — x'i, si c'est le second, etc. En appelant n' la probabilité totale qu'un seul juré se trompera, correspondante à ces chances x,, x'r, x",r, etc., on aura donc

n' = X.X'„X",„ etc. [(i — x)'x',,x'\„ etc. + x,{i — a?'„) x",.. etc.

-\-XiX'i, (i — x'^,,) etc. + etc.].

Si l'on désigne ensuite par P' la probabilité qu'en ayant égard, pour chaque juré, à toutes les chances possibles de ne pas se tromper, il y aura un seul juré qui se trompera , P' sera la somme des nv valeurs de n' que l'on obtiendra en y mettant successivement pour chacun des n indices ?, i' , i", etc., tous les nombres i, 2, 5, ... . r; et il est facile de voir que cette somme ne dépendra que des moyennes u, 1/ , u" , etc. , et aura pour valeur

P' z= (i — u)u'u' etc. + u(i — u'ju" etc. -\- uu'Çi — u") etc. + etc.

En continuant ainsi, on parviendra à cette proposition générale : La probabilité que parmi les /zjurés, >i — i ne se tromperont pas, et / se tromperont , sera la même que si la chance de ne pas se tromper n'avait qu'une seule valeur possible pour chaque juré, savoir, u pour le premier juré, u' pour le second, n" pour le troisième, etc. Par conséquent, si ces chances moyennes u, u' , lî', etc., sont inégales, les diverses probabilités d'une condamnation à des majorités données, et celles de la culpabilité du condamné, se détermineront par les règles du n° I t6, étendues à un nombre quelconque n de jurés. Si elles .sont toutes égales entre elles, les probabilités dont il s'agit s'exprimeront au moyen des formules (4), (5), (G), (7), (8), (9), (10), en y mettant pour u la chance moyenne commune à tous les jurés.

On se représentera avec précision la possibilité pour chaque jure, de plusieurs chances inégalement probables de ne pas se tromper, en con-

cevant que la liste sur laquelle chaque juré doit être pris , soit divisée en un nombre v de classes de personnes , telles que toutes les personnes d'une même classe aient une même chance de ne pas se tromper : pour la liste sur laquelle le premier juré doit être pris, soient jc, cette chance correspondante à l'une des classes, et X, le rapport du du nombre de personnes de cette classe au nombre de celles qui sont portées sur la liste entière j la chance que ce juré ne se trompera pas, sera j:, s'il appartient à cette classe, et X, sera la probabilité que cela aura lieu, c'est-à-dire la probabilité de celte chance a:,. Si le second juré doit être pris sur une autre liste, et que jc\, soit la chance de ne pas se tromper, pour les personnes de l'une des classes de cette liste , et X',' le rapport de leur nombre à celui des personnes portées sur la liste entière, x',, sera la chance que le second juré ne se trompera pas s'il appartient à cette classe , et IS^', la probabilité qu'il en fera partie, ou la probabilité de cette chance jc',,; et ainsi de suite, pour tous les autres jurés. Les jurés, d'une session de cour d'assises, étant pris au hasard sur une même liste, formée de toutes les personnes qui peuvent être jurés dans le ressort de cette cour, il s'ensuit qu'avant le tirage au sort, les chances moyennes u, iil , li' , etc., sont égales entre elles. Leur valeur commune peut d'ailleurs n'être pas la même dans les ressorts des différentes cours; et cela étant, s'il y avait des affaires où le jury dût être composé d'un juré pris dans une partie déterminée du royaume, un second dans une autre partie, etc., ce serait le cas où les moyennes m, m', ?/, etc., pourraient être différentes. Mais, dans tous les cas, on ne doit pas confondre ces chances moyennes qui ont lieu avant le tirage des jurés, avec les chances de ne pas se tromper, propres aux jurés que le sort aura désignés, quand le tirage sera effectué ; nous reviendrons tout à l'heure sur cette distinction essentielle.

(laS). Si le nombre v des chances possibles x, , x,, Xj, etc., est infini, la probabilité de chacune d'elles sera infiniment petite. Soit alors ^dx la probabilité que la chance de ne pas se tromper, pour un juré pris au hasard sur une liste donnée, sera égale à x; soit aussi u la moyenne de toutes les chances possibles, en ayant égard à leurs probabilités respectives; la somme qui doit être égale à l'unité, et celle qui doit former la valeur de u, d'après ce qui précède, se changeront en des intégrales définies, prises depuis a- = o jusqu'à ar= i; en sorte

que l'on aura

La quantité positive X pourra être une fonction continue ou discontinue de .r, entièrement arbitraire, pourvu qu'elle satisfasse à la première de ces équations : pour chaque expression donnée de X, il y aura une valeur numérique de u, tout-à-fait déterminée; mais à chaque valeur donnée de u, correspondront une infinité d'expressions différentes de X, ou de lois différentes de probabilités.

Lorsque toutes les valeurs de x, depuis zéro jusqu'à l'unité, seront également possibles, la quantité X sera indépendante dex, et devra être l'unité pour satisfaire à la première des deux équations précédentes ; en vertu de la seconde, on aura alors u = j. Si cette quantité X est croissante depuis j::=o jusqu'à x= ifcle manière que la chance qu'un juré ne se trompera pas, soit elle-même d'autant plus probable qu'elle approchera davantage de la certitude; si, de plus, X croît uniformément , on fera

X = ax ~\~ ê;

a et ê étant des constantes positives. On aura alors

f^' Xdx=la+ €=. i; d'oîi l'on tire

€ = 1 — -a, X=i — -a-f- etx:

ce qui exige que l'on n'ait pas a > 2. Il en résultera

en sorte que la chance moyenne ne pourra par excéder |, ni être moindre que j , qui répondent à a = 2 et a = o.

Supposons encore que X varie en progression géométrique, pour des accroissements égaux de x; et prenons

valeur qui satisfait à la condition / Xdx = i, quelle que soit la

constante a, et dans laquelle e est, à l'ordinaire, la base des logarithmes népériens. Nous aurons

d'oii l'on conclut qu'en faisant croître a. depuis a =: — co jusqu'à a. = 00 , la chance mo}'enne u sera susceptible, dans ce cas, de toutes les valeurs possibles, depuis ii = o jusqu'à u = i : pour a = — ixi,a:::=o, a = oo,on aura m = o, u = ^ , u=i. Si les diverses chances de ne pas se tromper doivent être renferaîées entre des limites plus étroites que zéro et l'unité; par exemple, si la chance jc ne doit pas s'abaisser au-dessous de |, et, en outre, si an-dessus de ^, toutes ses valeurs doivent être également possibles, on prendra pour X une fonction discontinue, que l'on déterminera de cette manière. Je désigne par £ une quantité positive et de grandeur finie, mais tout-à-fait insensible; soityir une fonction qui varie très rapidement depuis jc = -^ — ê jusqu'à x = l, qui s'évanouisse pour toutes les valeurs de x, comprises depuis a: = o jusqu'à x=\ — £, et qui ait pour valeur une constante donnée g , depuis x = j jusqu'à ar = 1 ; cela étant, je fais

X=Jx.

Par la nature de cette fonction yi-, on aura

yj Xdx = ^g +fl ^ fxdx;

à cause de / ILdx = i , on aura donc

j[Jxdx = I — \g;

ce qui exigera que g ne surpasse pas 2, puisque fx ne peut avoir

que des valeurs positives. Dans l'intégrale j, xfxdx, on pourra,

en-dehors de jx , regarder x comme une constante égale à j ; on aura donc aussi

/ j xjxdx — -^ —"* 4 & >

et en observant qu'on a

r ' xfxdx = n xfxdx + n xfxdx -{- r xfxdx ,

on en conclura

ou bien, en réduisant,

Par conséquent, dans ce cas, la chance moyenne ne pourra pas excéder M = I , qui répond à g = 2 , ni être moindre que u z=^, qui répond à g ^ o.

On pourrait faire ainsi une infinité d'hypothèses différentes sur la forme de la fonction X. Si l'une d'elles était certaine , la valeur correspondante de la chance moyenne u le serait aussi ; si , au contraire , elles sont toutes possibles, leurs probabilités respectives seront infiniment petites, et il en sera de même à l'égard des diverses valeurs de la chance moyenne qui résulteront de ces hypothèses. Le dernier cas aura lieu , lorsque les valeurs différentes dont est susceptible la chance qu'un juré ne se trompera pas, nous seront inconnues, et que nous ne connaîtrons même pas la loi de leurs probabilités, de sorte que nous puissions faire sur cette loi toutes les suppositions possibles, qui donneront à la chance moyenne des valeurs inégalement probables. Aloi's en représentant par (pudu la probabilité infiniment petite que cette chance sera égale à u précisément, <pu sera une fonction continue ou

discontinue, telle que l'on ait / <piedu = i. el susceptible des mêmes

remarques que l'on vient de faire relativement à X.

(124)- Les formules précédentes donneraient les solutions complètes de toutes les questions relatives à l'objet de ce chapitre, si avant le jugement, la probabilité k de la culpabilité était connue, et que l'on connût aussi, pouf chaque juré et dans chaque affaire, la probabilité qu'il ne se trompera pas ; ou bien , si cette chance de ne pas se tromper a plusieurs valeurs possibles, il faudrait que toutes ces valeurs fussent données, ainsi que leurs probabilités respectives; ou bien encore, quand ces valeurs sont en nombre infini et ont chacune une probabilité infiniment petite , il serait nécessaire que nous connussions la fonction qui exprime la loi de leurs probabilités. Mais aucun de ces éléments indispensables ne nous est donné à priori. Avant que l'accuse paraisse devant le jury, sa mise en accusation et la procédure qui la déterminée, rendent sans doute sa culpabilité plus probable que son innocence; il y a donc lieu de croire que k surpasse ^, mais de combien? Nous ne pouvons aucunement le savoir d'avance. Cela dépend de l'habileté et de la sévérité des magistrats chargés de l'instruction préliminaire, et peut varier dans les différents genres d'affaires. Nous ne pouvons pas non plus connaître, soit avant le tirage au sort sur la liste des citoyens qui peuvent être jurés , soit après ce tirage, la chance qu'un juré ne se trompera pas : elle dipend, pour chaque juré, de ses lumières, de l'opportunité qu'il attache à la répression de telle ou telle sorte de crimes, de la pitié que lui inspire l'âge ou le sexe de l'accusé , etc. ; toutes circonstances oui nous sont inconnues, et dont nous ne pourrions pas d'ailleurs évaluer en nombres, l'influence sur les votes des jurés. Il est donc nécessaire, pour qu'on puisse faire usage des formules précédentes, d'en éliminer les éléments inconnus qu'elles renferment; c'est ce qui va maintenant nous occuper.

(126). Considérons le cas où la chance de ne pas se tromper est égale pour tous les jurés. On suppose qu'elle soit inconnue avant le jugement, et susceptible de toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu'à l'unité, et l'on représente par <pudu la probabilité infiniment petite d'une valeur u de cette chance. Si cette valeur était certaine, c'est-à-dire si la chance de ne pas se tromper était certainement u pour

chaque juré, la probabilité que l'accusé coupable ou innocent serait condamné par n — i voix et absous par les i autres voix , aurait pour expression la formule (4j; n étant le nombre total des jurés, et k la probabilité, avant le jugement, de la culpabilité de l'accusé. Par conséquent, la probabilité de ce partage de voix sera réellement égale à cette formule multipliée par <piidu; et quand ce partage aura eu lieu effectivement, la probabilité que la chance de ne pas se tromper, commune à tous les- jurés, a été u, sera le produit de la formule (4) fit de <pudu, divisé par la somme des valeurs de ce même produit qui répondent à toutes celles de u, depuis ii = o , jusqu'à «= I (n'*43); de sorte qu'en désignant par ù)idu cette probabilité inflnimeut petite, nous aurons

[Au«-< {i— u)' + (i — k)ià (i — uy-'l^u ( '[Au"-'' (i — iiY 4- (i — *)u' (i — u)''-*>îirf«

en supprimant le facteur Nj de la formule (4), indépendant de u et qui serait commun au numérateur et au dénominateur de oji. Si l'on représente par ^j la probabilité que la chance u de ne pas se tromper a été comprise entre des limites données / et Z', cette quantité sera l'intégrale de co^du, prise depuis u =1 jusqu'à u = l' ; on aura donc

k I «"-'(l — «)''(fi/rfM + (I — k) I u'{i — u)'-'<pudu

k I a"-'(i — uyçjidu -{- (i — k) I u' (i — u)''-'(iudu

Dans le cas de n pair et d'un partage égal des voix, on a ?i =s zi, et, par conséquent,

I u'{t — u)'pudu

/ II' {i — uyçudu

en sorte que la probabilité Aj est alors indépendante de k, dont elle dépend , en général , quand les voix sont inégalement partagées. Lorsque deux valeurs quelconques de u également éloignées des extrêmes zéro et l'unité, ou de la moyenne u ^ -^j sont également pro-

bables, de sorte qu'on ait <p (i — «) = (p;^, il en résulte

j «"-'(i — uy(pudu = r u' (x — u)''-'(pudu. Si l'on a, de plus, Z < j et Z' = i — Z, on aura aussi

^ II"-' (i — ujipudu =: I u'(ï — uy-'^udu ;

Ja formule (la) deviendra donc

ri — i

/ «""'(i — u)'(puclu

et sera encore indépendante de k, quels que soient les nombres n — / et i suivant lesquels la totalité des voix se sera divisée.

En faisant / = -i et Z' = i, dans la formule (12), et en désignant par A'j ce qu'elle devient, il en résulte

k /^' u^-'^l—nyçiudu +{i — k) C' u' (1 — ii)''-'(fudu %f à 2

k j u''-'{i — u)'q,udu ■\-{i — k) I u' {i — u)''-'(pudu

pour la probabilité que la chance u est comprise entre 7 et i , ou surpasse \. Si l'on fait de même Z = o et /' = j , et qu'on représente par A"i ce que devient la formule (12), on aura

k f^u''-'ii—iiy(pudu + {i—k) r^ u'jii —iiy-'çudu

^t — — -^, jr, ,

k u'-'ii — uY^pudu + ii—k) u' {l — u)--'<fudu

pour la proJiabilité que u soit moindre que {. Or, la probabilité qu'on a précisément u = ^ étant infiniment petite, la somme de ces deux quantités A'jetA"j doit être l'unité; ce qu'on vérifiera immédiatement en observant que leurs dénominateurs sont égaux, que la somme des intégrales multipliés par k à leurs numérateurs, est égale à l'intégrale multipliée par k au dénominateur, et qu'il en est de même à l'égard des intégrales multipliées par 1 ^ k.

(126) La probabilité que la chance de ne pas se tromper pour chaque juré a été égale à u dans un jugement où n -^ i jurés ont condamné l'accusé et les / autres l'ont absous, étant exprimé par a^dUf et la probabilité que l'accusé soit coupable après le jugement, étant la quantité/?) du n° 1 ig, si cette chance était certainement u; il suit des règles des n" 5 et 10, que la probabilité de la culpabilité aura pour valeur complète l'intégrale du produit pii'if/», prise depuis m=o jusqu'à 11=. I. Donc, en la désignant par 'Cj, et ayant égard aux expressions de &)( et de pi , nous aurons