C.= -TT^ -^ ^ . (l

h I ;/»-'(i — ii)'çiidu + (l — ^) / II' {l — u)"-' çudii J o J o

Cette probabilité ^, sera zéro ou l'unité en même temps que k. En mettant son expression sous la forme

/t(, A) 1 r' !/»-'(! — u/çudii — I u'{i — u]"-'çudii I

Ki = ^-i 777 ^ wi »

k I u°-'(i — i/Yfudu + (i — k) I u'(i — uy~'q>udu J o J o

on voit que pour toute autre valeur de k, la probabilité que l'accusé est coupable, après le jugement, sera plus grande ou plus petite qu'auparavant, selon que la première des deux intégrales

/ ' u'-'^i — u)' <pudu et f u'(\ — u)'~'(piidu sera plus grande ou

plus petite que la seconde : quand elles seront égales, ce qui aura toiijours lieu dans le cas de nz=2i et dans celui de (p(i — ii) = <pu, on aura Ç, = Â:- et, en e'ffet, la probabilité que l'accusé est coupable ne peut être aucunement changée par un jugement dans lequel les voix se sont partagées également, non plus que par un jugement dans lequel les valeurs ^^ et i — z^, ou ^=t: |(t— 211), de la change de ne pas se tromper, sont supposées également probables.

Dans tout autre cas , Ç, ne dépendra pas seulement, comme pi, de la majorité m ou n — 2/ à laquelle le jugement a été prononcé, et de la quantité A,- la valeur de ^, dépendra aussi du nombre total n des jurés et de la loi de probabilité des chances de pas se tromper, exprimée par la fonction (^u. ■

Ainsi, par exemple, si une condamnation est prononcée à une seule voix de raajorik', par un jury composé de aoi jurés; ou bien, si l'accusé est condamné, dans un autre cas, par un seul juré, et qu'on soit certain que la chance de ne pas se tromper a été égale pour ce juré unique et pour chacun des 20 1 autres jurés, la bonté du jugement aura exactement la même probabilité dans les deux cas : seulement, dans le premier cas, si celte chance diffère notablement de ^, l'événement observé sera un fait extraordinaire, ou dont la probabilité sera très faible, et qui arrivera très rarement ; et si cette chance de ne pas se tromper est égale à ï, la probabilité de ce premier cas sera un peu au-dessus de un neuvième, d'après l'expression de ^ du n" 119. Mais si la chance que chaque juré ne se trompera point, ne nous est pas connue avant le jugement , et que nous la déduisions du jugement même qui a été prononcé, la culpabilité de l'accusé est beaucoup moins probable, lorsqu'il est condamné par ici jurés et absous par 100 autres , que s'il n'y avait qu'un seul juré par lequel il eût aussi été condamné ; non pas que le jugement de ici personnes contre lOu, soit moins bon en luimême que celui d'une seule personne; mais parce que le partage de 201 voix en deux nombres qui ne diffèrent que d'une unité, rend très probable que la chance de ne pas se tromper a été peu différente de ï, sans doute à raison de la difficulté que l'affaire présentait.

(127). Afin de se former une idée précise de la signification qu'on doit attacher aux formules (12) et (i5}, il faut supposer une personne qui ait, avant le jugement du jury, une certaine raison de croire l'accusé coupable, exprimée par la probabilité k; qui ne connaisse aucun des n jurés, ni l'affaire qu'ils ont eu à juger; et qui sache seulement qu'on les a pris au hasard sur la liste générale. Pour cette personne, la probabilité qu'un juré ne s'est pas trompé dans son vote, est égale pour tous les jurés (u° 122), mais inconnue; avant le jugement elle peut supposer à cette inconnue u, toutes les valeurs possibles depuis «:=:o jusqu'à u = i : par des considérations quelconques que nous n'examinons point ici, la probabilité infiniment petite que la personne attribue à la variable u est exprimée par ifudu; et (pu est une fonction

donnée qui doit satisfaire à la condition / (piuiu=i, puisque la valeur de it est certainement contenue entre les limites de cette inté-

grale : après que le jugemenl est prononcé, et la personne sachant que l'accusé a été absous par / voix et condamné par les « — i autres, cette connaissance est une nouvelle donnée d'après laquelle il y a, pour cette personne , la probabilité 7^, que la chance u de ne pas se tromper a été, dans ce jugement, comprise entre les limites Z et l' pour tous les jurés. La raison de croire à la culpabilité de l'accusé a aussi augmenté ou diminué : la probabilité A: qui l'exprimait avant le jugement est devenue^, après qu'il est rendu; elle serait différente pour une auti'e personne qui aurait d'autres données sur la question , et l'on ne doit pas la confondre avec la chance même de la culpabilité. Celle-ci dépend de k, et de la chance de ne pas se tromper, propre à chacun des jurés qui ont concouru au jugement, différente pour les différents jurés, d'après leurs divers degrés de capacité et la nature de l'affaire soumise à leurs décisions. Si les valeurs numériques u, u', u", etc. , de cette chance, nous étaient données pour tous les jurés, ainsi que la valeur de k, la chance véritable de la culpabilité de l'accusé après le jugement, se calculerait par les règles du n' 1 16, étendues au cas de n jurés; mais l'impossibilité de connaître ces valeurs à priori, rend également impossible l'application de ces règles.

Si l'on sait seulement que l'accusé a été condamné à la majorité d'au moins m ou n — 2/ voix, de sorte qu'elle ait pu être de m-{-2, m+4,. • . . voix, jusqu'à l'unanimité; et si l'on représente, dans ce cas, par Y, la probabilité que la chance de ne pas se tromper, commune à tous les jurés, a été comprise entre les limites t et /, et par Z, la probabilité que le condamné soit coupable, on obtiendra les expressions de Y, et Z, par le même raisonnement que celles de A, et Ç,, mais en faisant usage des valeurs de c, et P, (n''' 1 1 S et 1 20), au lieu d'employer, comme nous l'avons fait pour parvenir aux formules (12} et (i5), les valeurs de 5., et p,. De cette manière , on aura

k f'ilçudu -t- (i — ^) r N.<pudu

k f ' \],mdu -f- (i — k) 1 \.(pudu

k I \J,(pudu

rr J o

k f ' \i,<pudu + (i — A) r \i(pudu

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 35i

On pourrait géaëraliser ces expressions, aiasi que les formules (12) et (i5), et les étendre au cas où l'on saurait qu'une partie n' des «jurés a été prise au hasard sur une première liste, une autre partie n" sur uue autre liste, etc. ; et où l'on supposerait que pour la première lislc une valeur u' de la chance moyenne de ne pas se tromper a une probabilité (p'u'du; que pour la seconde liste, (p''u!'di^' est la probabilité d'une valeur ii' de cette chance moyenne; et ainsi de suite. Mais cette extension ne présentant ni dilHculté, ni application utile, nous nous dispenserons d'écrire les formules compliquées auxquelles elle donnerait lieu.

(r28). Quand i et n — i seront de très grands nombres, il faudra avoir recours à la méthode du n" 67 pour calculer les vr.leurs approchées des intégrales contenues dans les formules (12), (i3), (14). Je considérerai d'abord celles que renferment les formules (12) et (i5).

Depuis «=o jusqu'à u=i, le produit u'-Hi—u)' na qu'un seul maximum; ]e représenterai par ë sa valeur, et par a celle de u à laquelle il répond; on aura

Je fais ensuite

ou bien, eu passant aux logarithmes

X* = log g — (« — i) \ogu — Hog ( I — u).

La variable j: croîtra continuellement depuis ar= — 00 jusqu'à ^=00 ; les valeurs x=. — 00, x = o, x=:k> , répondront ;i u = o, u= a, u^i; et les Jimites de l'intégrale relative à x seront ± oc , quand celles qui se rapportaient à u étaient zéro et l'unité. En général , si l'on appelle A et A' les limites relatives à x , correspondantes à des limites / et V relatives à u , on aura

X = ±v/(«-/) log'i^-i+ / log^^-, A' = =t sjin - i) log "~J + i log ^^- ,

d'après les valeurs précédentes de € et de x*. Lorsque l et /' surpasseront a, les valeurs de A et A' devant alors être positives, on prendra les signes supérieurs devant les radicaux; on prendra les signes inférieurs, quand l et /' seront moindres que « ; et quand ou aura / ■< a et /' >■ «, on prendra le signe supérieur devant le second radical et le signe inférieur devant le premier, afin que la valeur de X soit négative et que celle de A' soit positive.

Pour exprimer u en série ordonnée suivant les puissances de x, soient y, y', y", etc., des coefficients constants, et faisons

u=:ct-{~yx-i- y'x* -f- y"x^ + etc. ;

en ayant égard aux valeurs de a, Q, x*, il en résultera

^' = ^i(^) (y^ ■+■ >'^' + y"^' + etc )•

+ mEr$ (y^ + >'^* + >"*' + «'^O' H- etc.;

en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de cette équation, on en déduira les valeurs de y, y', y", etc., au moyen desquelles, on aura

et, en même temps,

^u = x/^^^^ dx - ^-^^ H- etc.

Si la fonction <pu ne décroît pas très rapidement de part ou d'autre de la valeur particulière a de ii, on pourra, après y avoir substitué cette valeur de ii en série, développer aussi (pu suivant les puissances de u — a, et par suite, suivant les puissances de x; on aura, de cette manière ,

Au moyen de ces diverses valeurs, l'expression en série de

/ u"~'(i — uy<pudu renfermera les intégrales prises depuis x:=. — oo

jusqu'à j: = oo, de la différentielle e—''<ir multipliée par des puissances paires ou impaires de jt; les intégrales relatives aux puissances paires auront des valeurs connues, les autres s'évanouiront; et les nombres i et n — i étant du même ordre de grandeur que n, la série dont il s'agit se trouvera ordonnée suivant des quantités de l'ordre de petitesse

de —,- , — -,=, -^ , etc. En nous arrêtant à son premier terme , et

observant que l'intégrale / e—^'dx est égale à \^'7r, nous aurons^

y ^ oc

/; „.-,.„,..„.„ = '>=ir^|<a^ii,(i^);

d'où Ton conclut aussi

/ u\i — u)" '(Dudu = -^ — — ■ <P ( - ),

par la permutation des nombres i eln — i.

Si l'on désigne par ê' une quantité positive et très petite par rapport à \Jn ; que l'on fasse

et qu'on développe en séries les logarithmes contenus dans les expressions de A et A', on trouvera A= — cT et A' = J", en négligeant

le|{ termes de l'ordre de petitesse de —-. D'après cela, on aura

aux quantités près de l'ordre de -. A mesure que S^ augmentera, cette

intégrale relative à x s'approchera d'être égale à s/t, pour qu'elle en diffère très peu, il suiHra que J soit un nombre tel que 2 ou 5.

Pour des limites l ou /' qui seront toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que , l'intégrale relative à u serait seosiblemenl

nulle.

En désignant par i une quantité positive et très petite par rapport à V" j et faisant

nous aurons de même

Pour des limites l et l', toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que - , la valeur de cette intégrale relative à u serait sensiblement zéro.

Si les fractions et - diffèrent notablement l'une de l'autre , les

premières des valeurs précédentes de / et /', différeront de même de la valeur - de n qui répond au maximum de u\\ — w)"~', ce qui reu-

u'(i — u)''~'(pudu correspondante à ces limites, et, en même temps, les dernières de ces valeurs de l et l' différeront aussi notablement de la valeur '^— de u rela-

tive au maximum de u'~'{i — a)', ce qui rendra aussi à très peu près zéro l'intégrale / u''~\i — u)'<pudu, qui répond aux autres limites.

(129). En substituant dans la formule (r5) les valeurs approchées des intégrales qu'elle contient, et supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, il vient

SUR LA PROlJABILlTt DES JUGEiVlEiNTS. 555

pour la probabilité qu'un accusé est coupable, quand il est condamné à la majorité de m ou n — li voix, par un jury composé d'un très grand nombre n de jurés. On voit qu'elle dépend du rapport de / à ii, ou, si l'on veut du rapport de ii — /à /, et non pas de la difTéreiice de ces nombres, comme la probabilité pi qui a lieu dans le cas où la chance u de ne pas se tromper est donnée à priori (n" i ig). Par exemple, si l'accusé est condamné par looo voix et absous par 5oo voix, dans un jury composé de i5oo jurés, ou bien s'il est condamné par loo voix et acquitté par les 5o autres, quand il y a i5o jures, la probabilité 'Ci est la même et la probabilité p, très différente dans ces deux cas. Au contraire , le second jury et sa décision restant les mêmes , si le premier jury était composé de io5o jurés, dont 55o eussent condamné l'accusé et 5oo l'eussent absous, ce serait p, qui ne changerait pas et 'C, qui pourrait beaucoup changer.

L'accusé étant condamné, " ~ surpasse - et -est moindre; or,

si l'on suppose qu'au-dessous de «= 7, la fonction (pu soit sensiblement nulle, c'est-à-dire si l'on regarde comme tout-à-fait invraisemblable, une chance moyenne de ne pas se tromper, qui tomberait au-dessous de 7, ou serait moindre que celle de se tromper; et si, de plus, la fraction k n'est pas très approchante de zéro, on pourra négliger le second terme du dénominateur de Zt par rapport au premier; d'où il résultera Ç, = i , ou, du moins, une probabilité Tj très approchante de la certitude.

Au moyen des valeurs approchées des intégrales contenues dans la

formule {12), et en supposant que les fractions et - ne soient

pas très peu différentes l'une de l'autre, on aura