KO
pour la probabilité que dans le jugement rendu contre l'accusé, la chance u de ne pas se tromper, commune à tous les jurés, a été comprise entre les limites
n— i r /zi [n—î)
Dans la même hypothèse, qui rend nulle une des deux intégrales que renferme le numérateur de la formule (12}, on aura
^z'Kdf-,'' "'"^
pour la probabilité que cette chance a été renfermée entre les limites
On peut donner à cT et €, des valeurs assez grandes sans être très considérables, pour que les intégrales relatives à x diffèrent très peu de y/^t; alors la somme de ces deux valeurs de \ différera aussi très peu de l'unité ; et il sera à très peu près certain que la chance moyenne u a été comprise, soit entre les premières limites, qui s'écartent peu de
la fraction supérieure à - , soit entre les dernières, qui s'écartent peu de la fraction - moindre que -. Si l'on suppose <p f- j insensible ou négligeable par rapport à (p ( j , le second cas sera exclu ,
et l'on pourra regarder comme à peu près certain que la valeur de u s'est très peu écartée du rapport , ou, autrement dit, que les
chances m et i — m de ne pas se tromper et de se tromper, ont été entre elles comme les nombres 71 — /' et i des voix de condamnation et d'acquittement.
Il semblerait, d'après cela, que la probabilité Çi au lieu de se réduire sensiblement à l'unité , devrait différer très peu de la valeur de pi
relative à m = " ~ '. Mais il faut remarquer que la probabilité />( répondant au cas oix la chance u n'a certainement qu'une seule valeur possible; pour faire rentrer ce cas dans celui auquel répond l'expression de Çi, il faudrait supposer que <^u n'a de valeurs autres que zéro.
SUR LA PRODABILITÉ DES JUGEiMENTS. 35;
que dans une étendue infiniment petite de part et d'autre de la valeur possible de m, et qu'elle décroît très rapidement près de cette valeur ; or, l'analyse du numéro précédent suppose essentiellement, comme on l'a vu , que <^u ne varie point ainsi de part ou d'autre de la valeur
— ^- de u; par conséquent l'expression de Ç, , déduite de cette analyse, n'est point applicable au cas auquel répond l'expression de yj, du n° iig. On peut d'ailleurs observer que cello-ci est comprise dans la formule (i 3). En effet, si l'on représente, en général, par v la seule valeur possible de m, et paru un infiniment petit positif; et si l'on prend pour (pw une fonction qui soit nulle pour toutes les valeurs de u , non comprises entre i'=p:>', les limites des intégrales que contient la formule (i5)se réduiront à v^z'a; dans leur étendue, les facteurs î^'""(i — if)'etM'(i — m)"~' seront constants; en les faisant sortir hors
des signes y, et supprimant ensuite l'intégrale / (pudu qui se trou-
vera facteur commun au numérateur et au dénominateur de la formule (i3), elle coïncidera avec la formule (7) appliquée à uz=.v.
Si les deux fractions et - ne différaient pas sensiblement l'une
de l'autre, et que l'on prît g=J^, les valeurs précédentes de ^1 se rapporteraient aux mêmes limites de la chance u; mais leur valeur commune différerait des précédentes, et serait indépendante de k et égale
à —-Z. I e~^V/a7, parce que, dans ce cas particulier, les deux intégrales contenues au numérateur de la formule (12) sont sensiblement égales, ainsi que celles qui se trouvent à son dénominateur.
(i3o). Pour déterminer les valeurs approchées des intégrales que renferment les formules (i4)j il faudra exprimer celles de U|et Y, au moyen des formules (11).
La première de celles-ci ayant lieu quand surpasse ., et
la seconde dans le cas contraire, il s'ensuit que la première subsistera depuis M=o jusqu'à u=ct, et la seconde depuis u= a jusqu'à u=i,
en prenant n pour ?i-{- i et faisant -^^ = a. D'après l'équation qui
détermine la quantité 9 contenue dans ces formules (11), on aura
c'est-à-dire la même équation qu'on avait tout-à-l'heure entre u^\. x , et de laquelle on tirera
Mais ô devant toujours être une quantité positive (n°i2i), ses valeurs esront ô=oo, 6 = 0, 9 = 00, pour u=.o, u-=.a., uz=.\ :1a variable u croissant depuis u = o jusqu'à z^ = «> la variable ô décroîtra depuis 6 = QO jusqu'à G = o; et u croissant de nouveau depuis M = a jusqu'à u=i, cette même variable G croîtra depuis 6 = o jusqu'à 6 = co . Cela posé, nous aurons, d'après les formules (n),
J^ J "■ \/:tJ o\J i /^ dà 3\/-^m(n—i)J i> ^^'
On obtiendra, eu séries convergentes, les valeurs de ces intégrales, simples et doubles, relatives à G, en substituant sous les signes y la série précédente à la place de u, son coefficient différentiel au lieu de
du j ' i • ^ •
^, et développant aussi (pu en série, ce qui suppose que cette fonction ne varie pas très rapidement de part ou d'autre de la valeur particulière a de u. Si l'on néglige les termes de l'ordre de petitesse de
-, On fera simplement
. û /azfn — 0 du , / 21(11 — 0 u=:a-^H\/ -—- — -, -y-=,/— -f ^u = <pac.
Le radical w- — - — sera susceptible du double signe zt; on prendra
le signe supérieur dans les intégrales où la variable G est croissante, et le signe inférieur dans celle oii elle est décroissante ; en changeant ensuite le signe de ces dernières, et intervertissant l'ordre de leurs limites, nous aurons
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEIVffiNTS. SSg
et en ajoutant ces deux formules, il en résultera
/ \],<puciu = / (pudu.
En général, si l'on désigne par a et a^ deux valeurs de u telles que l'on ait a •< a et a^ >• a, et que l'on représente par b et b^ les valeurs positives de G qui répondent à « = « et tt = <2^, on aura, au degré I l'approximation où nous nous arrêtons,
Par le procédé de l'intégration par partie , on a d'ailleurs et , par conséquent ,
Je mets actuellement V, àla place de U. dans les formules (i i), et j'y change,en conséquence, m en i — tt(n° 1 1 8). La première aura lieu quand
-^ surpassera -— -^ -., c'est-à-dire depuis m=i — a, jusqu'à m = i , en
prenant n pour 7i+ i , et faisant toujours a=: . La seconde sub
sistera depuis u = o jusqu'à u= i — a. En représentant par 9' ce que devient G par le changement de m en i — m, et continuant de négliger
36o RECHERCHES
les termes de l'ordre de petitesse de-, nous aurons d'abord
et, par coaséquent,
/ y,(p«<^«= j ''<pudu.
Ensuite, si a' et a' ^ sont deux valeurs de u telles que l'on ait a'-< i — a. eta'^> I — et, et si l'on de'signe par b' et b\ les valeurs positives de 6', tirées de l'équation
et qui répondent à m = a' et m = «',, on aura aussi
(i3i). Les valeurs approchées des intégrales contenues dans les formules fi4) étant ainsi déterminées, nous aurons
k I çudu Z,= -^ '
ipudu-{-(i — k) I çudu
pour la probabilité que l'accusé est coupable, après qu'il a été condamné par un nombre de voix au moins égal à n- — i, dans un jury d'un très
grand nombre ii de jurés. Le rapport a ou étant alors plus grand
que-, si l'on suppose la fonction (pu insensible ou nalle pour les valeurs de u moindres que -, l'intégrale / Çiidu le sera aussi, et si
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 36i
k n'est pas une très petite fraction, la valeur de Z, sera sensiblement égale à l'unité. Dans le cas de (p{\ — u) = (pu pour toutes les valeurs de u, on aura
/ ^ '^(pudu = — r ''(p( i — u)du = r '(pudu ;
ce qui réduira la valeur de Z, à k, comme cela doit être.
Si l'on prend a= i — a et a'^ = a, les valeurs correspondantes b et b\ de 6 et â' seront égales; en les désignant par c et ayant égard à ce que a. représente, c sera la quantité positive déterminée par l'équation
(« — // /"-* = i- (n — /)"-'e-^' ; on aura
/' V^udu ^^.sj ^^ (./; e--^d. +-: - e-) , d'où il résultera
pour la probabilité, dans la condamnation dont il s'agit, que la chance u de ne pas se trom|;er, commune à tous les jurés, a été comprise
entre i — a et a , c'est-à-dire entre - et . Celte probabilité
est très faible à cause du facteur très petit y j-^ : il s'ensuit qu'il est au contraire très probable que la chance ii a été, ou plus grande que a. , ou plus petite que i — a.
Pour le vérifier, je prends «^==1 et a/ = 1 , les valeurs corres-r pondantes de 6 et 6' sont è^ = oo et />/ = oc; il en résulte
yjU,(pM^M = fyudu — l<Px V~^ .
si , de cette dernière intégrale , on retranche la valeur précédente
de I y,(pudu, il vient
et, au moyen des valeurs de / \],<pndu et / N^tpadu, on aura
k r\udu—V-1iipa—{i—k)<p{\—»)(e "' — cl e ''' dxj U/ --, —
k j çiidu -{- ( I — /r) I (piidu
pour la probabilité que la chance u était comprise entre uz=ia et z^ = I , ou supérieure à a. Je prends aussi a = o et fl'=o; ou aura è = oc et è' = 00 ; il en résultera
J o J o 2 V TTM*
de cette dernière intégrale, je retranche la valeur précédente de f U,(piirfM , ce qui donne
J 1 — fit
et des valeurs de f '~''\]i<pudu et ^^ ''Yçudu, on conclut
* 1 pi p \ —a.
k ipudu+{i—k) <pudu
pour la probabilité que la chance u a été comprise entre m = o et u:^ , ac, ou inférieure à i — a. La somme des deux dernières valeurs de Y, est à très peu près égale à l'unité; ce qu'il s'agissait de vérifier. Quand les valeurs de (pu, relatives à zi< î, sont nulles ou insensibles, la dernière valeur de Y, est très petite, et la précédente
très peu différente de la certitude. Dans tous les cas, la somme des trois valeurs de Y, qu'on vient de calculer est, comme cela doit être, égale à un.
(i32). Lors même que le nombre n des jurés est très grand, ou est donc obligé, d'après ce qui précède, de faire une hypothèse sur la fonction <pu, ou sur la loi de probabilité des chances de ne pas se tromper, pour pouvoir conclure la probabilité qu'un condamné est coupable, des nombres n — / et i des jurés qui ont voté pour ou contre lui. A plus forte raison, cela est-il nécessaire, dans le cas ordinaire, où le nombre ti n'est pas très considérable.
L'hypothèse que Laplacc a faite pour cet objet, consiste à supposer que la fonction pu soit zéro pour toutes les valeurs de ii moindres que
-, et qu'elle ait une même valeur pour toutes celles de u qui surpassent - ; ce qui revieat à dire que toute chance de ne pas se tromper moindre que la chance de se tromper est regardée comme impossible , et que les chances de ne pas se tromper plus grandes que celles de se tromper sont foutes également problables. Elle est permise; car
on satisfait à la condition / <pudu=ii, de la manière qu'on a expliquée
précédemment (n" 123) : la moyenne des valeurs possibles de «, ou
u<pudu, serait alors comprise entre - et -?, et dépendrait de la valeur
de pu, pour m >-.
Dans cette hypothèse, %u étant zéro pour m < -, et une quantité constante pour w > - , les limites des intégrales que renferme la formule (i 3) se réduiront à m=o et m ^ -: on pourra faire sortir <pu
hors des signes f ; et comme on a
/ , u'{ I — uy-'du = I ""~'( I — ufdu ,
celte formule deviendra
k f,'w~'{i — u)' du
kf'w-'Çi—uydu 4- (i— A) r'«-'(i— «;
t du
en supprimant le facteur constant (pu, qui serait commun à son numérateur et à son de'nominateur.
Laplace n'ayant point eu égard à la probabilité Â- de la culpabilité avant le jugement , il faut, pour faire coïncider cette formule avec la sienne, supposer que cette culpabilité ne soit ni plus ni moins probable que la non-culpabilité, et faire, en conséquence , A= -, ce qui donne -
L' u''-'{\ — uydu
'''" r'w-'(i—uydu
On aurait donc aussi
r^u"-'(i—uyc
du
f' u"-'{ï — uydu ou bien, en effectuant les intégrations,
pour la probabilité que l'accusé n'est pas coupable, lorsqu'il a été condamné à la majorité de n — 2/ voix dans un jury de n jurés.
Cette dernière formule est, en effet, celle de Laplace (*J. La quantité comprise entre les parenthèses , se compose de / -+- i
(*) Premier supplément à la Théorie analjiique des probabilités , page 33.
Sm LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiMS. 36
«cimes, et se réduit à l'unité dans le cas de z=ro; d'où il résulte -i^. pour la probabilité de l'erreur d'une condamnalioa orononcée à I'iuk.n.m.lc. En ne prenant pas A=i, et faisant / = o/on aurait
quantité plus petite ou plus grande que ^, selon que k surpasse '-
ou est moindre. ^
J)ansje cas ordinaire de « = 12, si l'on fait succes.sivemeut
'.~"°' — '' = 2, = 5,=4, = 5, la formule (i5) donne les frac-
tions
8192' 8192' S192' 8192' 8192' 8iT^'
pour la probabilité de l'erreur des condamnations prononcées par ks 12 jurés, par 11 contre 1, par 10 contre 2, par 9 contre 3, par 8 contre 4, par 7 contre 5. A la plus petite majorité, la probabilité de l'erreur serait presque égale à ^ ; de sorte que sur un très yrand nombre d'accusés, condamnés à la majorité de sept voix contre cinq, il serait très probable que les deux septièmes n'auraient pas dû l'être; ce serait à peu près un huitième à la majorité de huit voix contre quatre. En appliquant l'hypothèse de Laplace h la formule (12); désignant par c^ une quantité positive et qui n'excède pas - ; et faisant k=-, *==-» ^ = - + c^; on trouve
u"-'{i—uy du
J u"-'{i — li/du
pour la probabilité que la chance u de ne pas se tromper, qui na pas pu, suivant l'hypothèse, s'abaisser au-dessous de -, a été comprise entre - et - -f- cT, dans une condamnation prononcée par n - i contre
i jurés. Les intégrations s'effectueront sans difficulté. Dans le cas de / = o, ou de l'unanimité, on aura
si l'on prend, par exemple, «:=i2 et er = o,448} on trouve, à très peu près A,= -, de sorte qu'il )' a un à parier contre un que la
chance u a été comprise entre o,5, et 0,948. En faisant J'z= j, et ne supposant pas i^ o, on a
pour la probabilité que la chance u a été comprise entre- et -;, ou
plus rapprochée de - que de l'unité. Pour n=ia et /=5, la valeur de
cette quantité est o,gi5. . . .; en sorte qu'il y a un peu plus de dix à
parier contre un, que dans le cas de la plus petite majorité, cette
chance u a ete au-dessous de 7.
(i35). Puisque la formule (i5) est déduite d'une autre dans laquelle la chance ii de ne pas se tromper était la même pour tous les jurés, cette quantité ne saurait être, quoique Laplace ait omis de le dire, la chance propre à chacun des ?i jurés qui ont jugé l'accusé; elle doit représenter la chance moyenne relative à la liste générale sur laquelle ces «jurés ont été pris au hasard (n" 122). Sur cette liste, il j a sans doute des personnes pour lesquelles la chance de ne pas se tromper,
au moins dans les affaires difficiles , est au-dessous de -, ou moindre
que la chance de se tromper. L'hypothèse de Laplace exige donc que leur nombre soit assez peu considérable pour ne pas empêcher la
chance moyenne d'être toujours plus grande que -. L'illustre géomètre suppose, en outre , qu'au-dessus de -, les valeurs de cette
chance, depuis m = - jusqu'à u= 1, sont toutes également probables.
La seule raison qu'il donne de cette double supposition est que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à terreur. Mais, en partant de ce principe, on en conclurait seulement que la fonction <pu par laquelle nous avons exprimé la loi de probabilité des valeurs de la chance moyenne, doit être une plus grande quantité pour les valeurs
de u qui sont au-dessus de - que pour celles qui sont au-dessous; condition qui peut être remplie d'une infinité de manières différentes, sans qu'on soit obligé de supposer <pu=o pour u < -, et cette fonction
(pu constante pour u > -. L'ii) pothèse que nous examinons n'est donc
pas suffisamment motivée à priori; et, comme on \ a le voir, les conséqueuces qui s'en déduisent la rendent tout-à-fait inadmissible.
En effet, la formule (i5), qui est une de ses conséquences nécessaires, ne renferme rien qui dépende de la capacité des personnes portées sur la liste générale des jurés; quelqu'un qui saurait, par exemple, que deux condamnations ont été prononcées à une même majorité, et par des jurys d'un même nombre de jurés, mais pris sur deux listes différentes, aurait donc la même raison de croire que ces deux jugements sont erronés, quoiqu'il sût que les personnes portées sur l'une des listes ont une capacité bien supérieure à celle des personnes portées sur l'autre; or, c'est déjà ce qu'il est impossible d'admettre.
La fraction -étant plus petite que-, quand l'accusé est condamné
à la majorité de n — i voix contre /; la quantité <p(-) est zéro ou
insensible dans l'hypothèse que nous examinons , ce qui rend la probabilité Ç', de la culpabilité du condamné très approchante de l'unité, lorsque le nombre n est très grand, et quel que soit l'excès de n — i sur i (n° 129). Ainsi, par exemple, en supposant le jury composé de 1000 jurés, et l'accusé condamne par 620 jurés et acquitté par 480 > on devrait regarder comme à peu près certain le fait de sa culpabilité, quoiqu'il soit nié par ces 480 jurés, pour lesquels on suppose que la chance de ne pas se tromper a été la même que pour les 5 20 autres; conséquence qui suffirait pour faire
rejeter l'hjpothèse d'où elle est de'duite; car personne, évidemment, n'accorderait une grande confiance à un tel jugement, et surtout la même confiance qu'à celui qui serait prononcé à la presque unanimité par les looo jurés. Dans celte hypothèse, si la capacité des personnes portées sur la liste générale des jurés vient à changer, si elle est plus grande dans un pays que dans un autre, si elle est difTérente pour différentes sortes d'affaires, la probabilité des chances de ne pas se tromper augmente suivant le même rapport, pour celles qui se rapprochent le
plus de l'unité et pour celles qui diffèrent le moins de - ; or, tel n'est pas
ce qui a lieu réellement : quand cette capacité augmente, par une cause quelconque, les chances de ne pas se tromper les plus voisines de la certitude acquièrent une probabilité plus grande que celle qu'elles avaient anparavant; et le contraire a lieu à l'égard de celles qui s'éloignent le plus de l'unité. En prenant pour Ça une fonction qui puisse remplir ces conditions, et qui ne soit pas d'ailleurs absolument nulle ou insensible au-dessous de M =- , on fera disparaître les difficultés que nous venons d'indiquer, mais elles sont insuffisantes pour déterminer la fonction <pu : une infinité de formes différentes de cette fonction continue ou discontinue, satisfont à ces conditions, et conduiraient à des valeurs très inégales de la probabilité T, , exprimée par la formule (i 5), pour un même nombre n de jurés, et une même différence entre les nombres fi — /et i.
Ainsi , d'après la connaissance de ces nombres dans une condamnalion isolée, et soit que l'on suppose la probabilité antérieure k égale à -
ou à toute autre fraction, on ne peut pas, comme nous l'avons déjà dit, déterminer la probabilité réelle de la bonté de ce jugement, qui dépend de la chance de ne pas se tromper, propre à chaque juré et que nous ne pouvons pas connaître; mais on doit aussi regarder comme impossible de calculer ce que serait cette probabilité, pour quelqu'un qui saurait seulement que les «jurés ont été pris au hasard sur la liste générale, et pour qui la raison de croire à la bonté du jugement ne dépendrait plus que de la chance moyenne de ne pas se tromper, relative à cette liste et commune aux n jurés (n' \ii, ; car, pour ce calcul, on serait obligé de faire, sur la loi de probabilité des valeurs de la chance moyenne de-
SUR LA PROBABlI.irf: DES JUGEMENTS. Sfig
puis zéro jusqu'à l'unité, une hypothèse particulière, qui ne serait m celle de Laplace, ni aucune autre que l'on pût sufllsamnient motiver. Si donc, il n'avait été rendu qu'un seul jugement par des jurés pris sur celte liste, les formules précédenles ne seraient susceptibles d'aucune application utile; il en seraitencore de même, s'il avait été rendu un nom])re peu considérable de jugements; mais nous savons, au contraire, que de très grands nombres de condamnations et d'acquittements, dans des proportions connues, ont été prononcés par des jurys pris successivement au hasard sur une même liste générale, or, c'est sur celte considération qu'est fondée, comme on va le voir, l'applicaiion des formules (/,), (5), (6), (7), (8), (9), (10), qui ne contiennent que deux constantes inconnues k èl u, et n'exigeront, en conséquence, que deux données de l'observation. La détermination do ces données va d'abord nous occuper.
(i34). La liste générale des citoyens qui peuvent être jurés contient un nombre quelconque de noms: chaque jury se compose de «jurés; on a lire au sort sur la liste générale, les jurys d'une ou plusieurs années, qui ont jugé un très grand nombre fz d'accusés; et l'on représente par rt, , le nombre de ces accusés que ces jurys ont condamnés à la majorité d'au moins n — i contre i voix ; ce qui suppose que / soit zéro, ou un des nombres moindres que la moitié de >i. La chance d'une telle condamnation, avant que l'accusé fût jugé, a dû varier d'un jugement à un autre; mais, quelle que soit cette variation, la moyenne des valeurs inconnues de cette chance qui ont eu lieu dans les /u. jugements prononcés, a été tiès probablement et à très peu près égale au rapport
— (n°95). De plus, les valeurs de cette chance moyenne et de ce rapport
varieront très peu avec le nombre a'- supposé très grand; et, si ce nombre augmente encore de plus en plus, elles convergeront indéfiniment vers une constante spéciale, qu'elles atteindraient s'ifx, pouvait devenir infini, sans que les causes diveises d'une condamnation à la majoriU: dont il s'agit, vinssent à éprouver aucun changement. Cette quantitéspéciale, que je représenterai par R,, est la somme des chances que toutes les causes possibles de cette condamnation, ou de l'événement que nous considérons, donnent à son arrivée, multipliées par les probabilités respectives de ces mêmes causes (n° io4). Il serait impossible d'en faire l'énumération et de calculer à p/von leur influence; mais ces causes ne
nous sont pas nécessaires à connaître : il nous suffit de supposer qu'elles ne varient ni dans leurs probabilités respectives, ni dans les chances qu'elles donnent aux condamnations; et l'observation même nous fera connaître si cette supposition est conforme à la vérité. Dans ce cas, en désignant par a\, le nombre des condamnations à la majorité d'au moins n — i contre / voix, qui ont eu lieu pour un autre très grand nombre u'
d'accusés, la différence -7 — — sera très probablement une très petite
fi fi '^ r
fraction (n" log'; et si, au contraire, elle n'est pas très petite, on sera fondé à croire que, dans l'intervalle des deux séries de jugements, il est survenu quelque changement notable dans les causes des condamnations. Le calcul ne peut, au reste, que nous avertir de l'existertce de ce changement, sans nous en faire connaître la nature.
Ce que nous disons à l'égard des condamnations prononcées à la majorité d'au moins ti- — / contre / voix, convient é^^alement à celles qui ont eu lieu à cette majorité même de n — / contre /. Si l'on désigne par hj, le nombre de celles-ci pour le nombre At d'accusés, il y aura aussi une constante spéciale que je représenterai par r„ dont
le rapport — s'approchera indéfiniment à mesure que /x augmentera
encore de plus en plus, et qu'il atteindrait si p. pouvait devenir infini , sans que les causes des condamnations éprouvassent aucun changement ; et si h'i est ce nombre de condamnations pour le nombre
fJi' d'accusés , la différence —, sera très probablement une frac-
fC fi
tion très petite." On aura évidemment
a; = h: + ft/. + b:^ + + b\,
Ri = i-i -t- ri, + /■;, -}- 4- 1\.
Cela posé, prenons pour a une quantité positive très petite par rapport à \//a et \ f/,' , et faisons
D'après les formules du n^ 112, cette quantité P sera la probabilité commune à certaines limites des deux inconnues R/ et r, , et
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMElNTS. Syi
des différences -I '- et —, -, savoir:
pour la première inconnue ,
pour la seconde inconnue ;
pour la première différence, et
pour la deuxième.
Toutes choses d'ailleurs égales, à mesure que jw et yw' augmenteront , les amplitudes de ces limites décroîtront à peu près suivant la raison inverse des racines carrées de ces grands nombres. parce que a, et ^j croîtront à peu près comme le nombre ix , et que al et bl croîtront de même avec ij.' . Elles auront aussi d'autant moins d'étendue que la quantité a sera plus petite 5 mais leur probabilité P diminuera en même temps que a.
(i55). Toutes les données numériques dont je vais faire usage sont tirées, comme je l'ai dit danâ le préambule de cet ouvrage, des Comptes généraux de VJdministration de la justice criminelle , publiés par le Gouvernement.
Depuis 1825 jusqu'à i83o inclusivement, les nombres des affaires soumises annuellement aux jurys, dans la France entière, ont été
5t2i, 55oî , 5287, 5721, 55û6, 5o68;
et les nombres des accusés, dans ces procès criminels, se sont élevés à
ce qui fait chaque année, à peu près sept accusés pour cinq affaires.
Les nombres des condamnés à la majorité d'au moins sept voix contre cinq, ont été, dans ces mêmes années ,
d où il résulte , pour les lapports de ces derniers nombres aux précédents ,
o,Go68, 0,6222, o,Gii5, o,Gi53, 0,6069, 0,5932;
où l'on voit déjà que ces rapports annuels ont très peu varié, dans cet intervalle de six années pendant lesquelles la législation ci iminelle n'a pas changé.
Je prends pour ^w. la somme des nombres des accusés pendant ces six années, et pour m celle des nombres correspondants des condamnés. On aura
//:^'|23oo, (75=25777;
au moyen de quoi les limites (n) deviendront
0,6094 rp a. (o,oo355);
et si l'on fait a, =r 2, par exemple, on aura aussi
pour la probabilité, très approchante de la certitude, que l'inconnue R5 et la fraction 0,6094 ne diffèrent pas de 0,0067, l'une de l'autre. Si l'on partage les six années que nous considérons en deux périodes égales, dont l'une comprenne les trois premières années et l'autre les trois dernières, on aura pour les nombres des accusés,
^ = ao56g, ij! = v.i^/ii ;
et, en même temps, pour ceux des condamnés,
«5= 12621, a'5^i3i56; d'où il résulte
ft fi ' K K
Or, les limites (c) de cette différence seront
qz a (0,00671 );
SUR LA PROBABliaTE DES JUGEMENTS. 573
en prenant a = 1,2, elles deviendront qp o,oo8o5 j et Ion aura
Il y aurait donc à très peu près dix à parier contre un que la différence
des deux rapports — et -7 tomberait entre les limites np: o,oo8oj; et
quoique, abstraction faite du signe, la différence observéerfco,oo82 seu écarte un peu, l'écart et la probabilité P qu'il ne devrait pas avoir lieu, ne sont point assez considérables pour qu'on soit bien fondé a croire qu'il y ait eu quelque changement notable dans les causes.
Pendant l'année i85i, le nombre des in lividus jugés par les jurjs s'est élevé à 7606, et celui des condamnés à /jogS. La loi exigeait alors la majorité d'au moins huit voix contre quatre pour la condamnation ; à cette majorité, on avait donc
ytt = 76o6, «4 = 4098, -^ = o,5388.
Excepîé la majorité exigée, si les autres causes qui influent sur les jugements des jurys ont été les mêmes dans cette année que dans les
précédentes, on aura la valeur du rapport — en retranchant de la valeur de - celle de -, c'esl-à-dire en retranchant 0,5388 de la fraction
[A fi
0,6094, trouvée plus haut; ce qui donne
Pour vérifier ce résultat, j'observe que depuis 1823 jusqu'à i83o, la loi prescrivait l'intervention des juges composant la cour d'assises, toutes les fois que la décision du jury était rendue à la plus petite majorité de sept voix contre cinq; or, on trouve, dans les Comptes généraux, que pendant les cinq dernières de ces six années, cette intervention a eu lieu des nombres de fois à peu près égaux, .--avoir :
ou, au total, dans 191 1 affaires; mais on ne fait pas connaître le nombre des accusés auxquels ces affaires se rapportent. C'est donc au nombre des affaires jugées pendant les mêmes années, et non pas à celui des individus mis en jugement, qu'il faut comparer ce nombre
donne 191 1 : dans cet intervalle de cinq années, le nombre total des afïaires criminelles s'est élevé à 20883; on a donc eu à la fois
yti= 20885, ^5=igii;
d'où il résulte
ce qui diffère très peu du résultat précédent. Cet accord entre les deux
valeurs de —, montre que dans l'année 1 83 1 , les probabilités u et A dont
ce rapport dépend, sont restées à très peu près les mêmes que dans les années précédentes. Toutefois, on doit remarquer que le calcul de la dernière valeur est fondé sur l'hypothèse que le nombre des condamnés a la majorité de sept voix contre cinq, est an nombre total des accusés, comme le nombre des affaires où cette majorité a eu lieu, est au nombre tolal des affaires; proportion que l'on ne peut pas justiKer à priori , faute de données qui ne se trouvent pas dans les Comptes généraux. Dans les années i832 et i855, les nombres des accusés, défalcation faite des affaires politiques, ont été ySSS et 6964- La différence considérable qu'ils présentent provient d'une nouvelle disposition législative , d'après laquelle, en i855, plusieurs genres d'affaires ont été enlevés aux cours d'assises et renvoyés à la police correctionnelle. Les nombres des condamnés, à la majorité d'au moins huit voix contre quatre comme en i83i, se sont élevés à 444^ *^* ^\oS; d'où il résulte pour ces deux années ,
Ces rapports diffèrent, comme on voit, très peu l'un de l'autre; mais
leur moyenne o,5888 surpasse la valeur o,5388 de — , qui avait lieu en
i85i, de o,o5, ou d'environ un dixième de cette valeur; ce qui serait hors de toute vraisemblance, d'après les limites (c) et leur probabilité P, s'il n'était survenu aucun changement dans les causes qui peuvent influer sur les votes des jurés. La législation criminelle a subi, eneftc't, un tel changement, qui consiste dans la question des circonstances atténuantes , posée aux jurys depuis i832; question qui
if
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. SyS
enlraîne, dans le cas de l'affirmative, une diminution de pénalité; ce qui a rendu les condamnations plus faciles et plus nombreuses.
(i5f>). Les diOerents rapports que nous venons de calculer pour la France entière , ne sont pas les mêmes pour toutes les parties du royaume; mais si l'on excepte le département de la Seine et quelques autres départements, les nombres des aflaires criminelles qui ont été jugées en quelques années ne sont pas assez considérables pour que l'on en puisse déduire , avec une probabilité suffisante et pour chaque ressort de cours d'assises, la quantité constante vers laquelle doit converger le rapport du nombre des condamnés à celui des accu.sés. Voici les résultats relatifs à la cour d'assises de Paris.
De 1825 à i83o, les nombres d'individus qu'elle a jugés annuellement ont été
et ceux des condamnés
ce qui donne pour les rapports des uns aux autres
En prenant pour yw. la somme des six premiers nombres, et pour </s celle des six nombres suivants, on aura
ju=488i, 05=3177, — =o,65og.
D'après les nombres 425oo et 2577g d'accusés et de condamnés, relatifs à la France entière, pendant les mêmes années, nous avons trouvé que ce rapport doit ditTérer très peu de o,6og4; fraction moindre que la précédente, de 0,0416, ou d'environ un quinzième de sa valeur; or les iinaites (c) et leur probabilité P rendraient un tel écart tout-à-fait invraisemblable, s'il n'y avait pas, pourle déparleraent de la Seine, une cause particulière qui rendit les condamnations plus faciles que dans le reste de la France. Quelle est cette cause ? C'est ce que le calcul ne saurait nous apprendre. Toutefois, nous ferons remarquer que dans ce département, dont la population est à peine un trente-sixième de celle
du royaume, le nombre des accusés surpasse un neuvième de celui qui a lieu, pour un même intervalle de temps, dans la France entière; en sorte qu'il est proportionnellement quatre tbisaussi grand; circonstance qui rend la répression des crimes plus nécessaire, et qui, peut-être pour cette raison, est cause d'une plus grande sévérité des jurés. Au moyen de ces valeurs de /u,et a^, les limites (a) deviennent
et si l'on prend a =2, on aura
c'est-à-dire plus de 200 à parier contre un, que l'inconnue R5 ne diffère de o,65o9, que de 0,0 ig5, en plus ou en moins.
Le dernier 0,6020 des six rapports cité^plus haut étant notablement moindre que la moyenne des cinq autres, il y a lieu d'examiner si cette différence indique suffisamment l'existence de quelque cause particulière qui aurait rendu les jurés moins sévères en i83o que dans les années précédentes. Or, en prenant pour /j. et a^ les sommes des nombres d'accusés et de condamnés dans le département de la Seine, depuis 1825 jusqu'à 1829, et pour ^' et a'^ les nombres relatifs à l'année i85o, on a
/i = 4077, rts = 2695, u.' =8o\, «'5 = 484; doii il résulte
Les limites (c) deviennent aussi
en sorte qu'en faisant a = 2, il y aurait plus de 200 h parier contre un que la différence des rapporis - et ^^ n'aurait pas dû excéder o,o55i4 : elle a surpassé cette fraction, d'à peu près uu 1 0* de savaleur; on peut doue
SUR FiA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 377
croire qu'il y a eu à cette époque quelque anomalie réelle daus les voles des jurés; et la cause de celte anomalie, qui les a rendus uu peu moins sévères, a pu être la Révolulioti de i85o. Celte cause, quelle qu'elle soit, paraît avoir agi sur les jurés de la France entière; car, en i85o, le rapport du nombre des condamnés à celui des accusés dans tout le royaume, s'est abaissé à près de 0,09, tandis que sa valeur moyenne avait été 0,61 pour les cinq années précédctites.
Depuis 1826 jusqu'à i83o inclusivement, le nombre des atVaires criminelles s'est élevé, dans le département de la Seine, à 2965; et dans ce nombre il y a eu ig4 affaires où la condamnation par le jury a été prononcée à la majorité de sept voix contre cinq, et où la cour a dû intervenir. En prenant le rapport de ig:} à 2965 pour la valeur
de —, on aura donc
— .= o,ouo5;
quantité un peu moindre que la valeur du même rapport pour la France entière.
(iSy). Si nous considérions séparément, comme dans les Comptes généraux, toutes les espèces de crimes dont les cours d'assises ont eu à s'occuper, les nombres d'accusés et de condamnés pour chaque espèce en particulier, ne seraient pas assez grands pour donner lieu à des rapports constants, et servir de base à nos calculs. Mais dans ces Comptes^ on a aussi groupé toutes les affaires criminelles en deux classes, dont l'une renferme les crimes contre les personnes, et l'autre les crimes contre les propriétés ; et ces deux grandes divisions ont présenté annuellement des rapports très différents l'un de l'autre, mais h peu près invariables pour chacune d'elles. Ce sont ces rapports que nous allons citer.
Pendant les six années comprises depuis 1825 jusqu'à i85o, les nombres des accusés de crimes contre les personnes, ont été, pour la France entière,
1897, 1907, 191 1, ,844, 1791, 1666, et contre les propriétés
SyS RECHERCHES
les nombres correspondants des condamnés, sous l'empire d'une même léi^islation criminelle, se sont élevés à
pour les crimes de la première espèce, et à
pour ceux de la seconde. De là, ou déduit
pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les personnes, et
pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les propriétés; où l'on voit que les uns et les autres n'ont pas beaucoup varié d'une année à une autre, mais que les derniers excèdent notablement les premiers.
En prenant pour f/, et a^ les sommes des nombres d'accusés et de condamnés dans le cas des crimes contre les personnes, et pour /a' et a's leurs sommes dans le cas des crimes contre les propriétés, nous aurons
/A =11016, «5=5268, |t*' = 31284, «'5 = 20509; d'où il résulte ces deux rapports :
dont le second surpasse le premier d'un peu plus du tiers de celui-ci. Au moyen de ces nombres, on trouve
0,4782 zp a. (0,00675)
pour les limites (a) de l'inconnue R5 , relative aux crimes contre les personnes, et
o,6556 =p Cf. (o,oo38o) ,
pour ces limites relativj^ aux autres crimes. En faisant a = 2, il y aura une probabilité très approcliantede la certitude, que cette inconnue R5 ne difTcre pas de la fraction Oj/^yHa, de plus de 0,01 55, dans le premier cas, et de la fraction o,6556, de plus de 0,0076, dans le second.
Eu i83i, où les condamnations ont été prononcées à la majorité d'au moins huit voix contre quatre , si l'on prend pour fx, et pour a^ les nombres d'accusés et de condamnés, relatifs aux crimes contre les personnes , et pour [à.' et a\ ces nombres relatifs aux crimes contre les propriétés, on a
At = 2046 , «4 = 745 , jj.' = 556o , a\ = 3355 ;
d'où l'on tire
et en retranchant ces rapports des précédents , il vient
— = OjIIOl , -r = 0,OD22 ,
fi fC
pour les rapports du nombre des condamnés à la plus petite majorité de sept voix contre cinq au nombre des accusés, dans les deux sortes de
crimes. Il est remarquable que le rapport -^ , relatif aux crimes contre les personnes, soit à peu près double du rapport -/, relatif aux crimes contre les propriétés , tandis qu'au contraire c'est le rapport -r relatif à ces derniers crimes, qui surpasse d'environ un tiers
le rapport— relatif aux premiers. Ainsi, non -seulement les condamnations prononcées par les jurys ont été proportionnellement plus nombreuses dans le cas des crimes contre les propriétés, mais elles ont aussi été prononcées à de plus grandes majorités.
Les rapports que nous considérons ne sont pas non plus tout-àfait les mêmes pour les deux sexes. Chaque année , le nombre des femmes traduites aux cours d'assises est, à très peu près constamment, les dix-huit centièmes du nombre total des accusés des deux
3Ho HECHEKCHES
sexes. Dans les cinq années écoulées depuis ([^26 jusqu'à i83o inclusivemenl , si l'on appelle |W et fx' les nombres de femmes accusées de crimes contre les personnes et de crimes contre les propriétés , et que l'on désigne dans ces nombres, par a^ et a' ç, ceux des femmes condamnées, on aura
doù l'on déduit
cl en comparant ces rapports aux
valeurs précédentes de — et -7^,
on
voit qu'ils sont moindres, mais seulement d'à peu près un 16' ou un 12° de ces valeurs.
Relativement aux années i852 et i855, pendant lesquelles les condamnations ont été prononcées à la majorité d'au moins huit voix contre quatre et avec la question des circonslances atténuantes , on a eu, pour les accusés et les condamnés ds deux sexes,
et, par conséquent,
les lettres accentuées répondant , comme plus haut, aux crimes contre les propriétés, et les lettres non accentuées aux crimes contre les personnes. Ea faisant :t= 2 dans l'expression des limites [a), ou trouve qu'il y a une probabilité très approchante de la certitude que l'inconnue R5 ne s'écarle pas de la fraction o,/^5c)Z, de plus de 0,022, ou de la fraction 0,6395, de pins de 0,01 33, selon qu'il s'agit des crimes de la seconde ou de la première espèce. On peut remarquer
que les valeurs de — et —r ont conservé entre elles, à très peu
^ fC fi ^
près, le rapport qui existait entre celles de — et —/qu'on a trouvées
plus haut. En comparant ces quantités — et -7, à leurs analogues en i85i , on peut aussi observer que l'influence de la question des
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 58i
circonstances atténuantes a aufjmcnte le rapport ~ relatif aux crimes contre les propriétés, seulement d'un i5% et le rapport —,
relatif aux crimes contre les personnes, de près d'un tiere de sa valeur.
(i38^. Maintenant, d'après ce qu'on a vu dans le n" iria, la chance, pour un accusé, d'être condamné par un jury pris au hasard sur la liste générale d'un département ou du ressort d'une cour d'assises, est la même que si la chance de ne pas se tromper était égale pour tous les membres de ce jury j à la majorité d'au moins n — i contre /voix , la chance de la condamnation est donc exprimée par la première formule (6), et à la majorité de n — i voix contre /, par la formule (4); par conséquent, pour chaque département et pour chaque genre d'affaires criminelles , les quantités c^ et ji, exprimées par ces formules,
sont celles dont les rapports — et — approchent indéfiniment à me-
sure que le nombre «, supposé très grand, augmente encore davantage; ou, autrement dît, les quantités f, et yi coïncident avec les inconnues R, et r^ du n" i34, lorsque l'on considère des affaires d'un même genre, dans un même département, et même pour chaque sexe des accusés séparément. Nous rangerons en deux classes distinctes tous les genres d'affaires criminelles : l'une de ces classes comprenant, comme plus haut , les crimes contre les personnes , et l'autre les crime» contre les propriétés. Mais, pour ne pas trop compliquer les calculs, nous n'aurons point égard au sexe des accusés, dont l'influence sur la proportion des condamnations peut être négligée, si l'on considère que, dans le nombre total des prévenus, le nombre des femmes n'est pas un cinquième de celui des hommes. Les lettres ;i, a,, b^, c,, y,, répondant aux affaires de la première espèce, et les mêmes lettres accentuées désignant les quantités analogues relativement aux afl'aires de la seconde espèce, nous aurons, pour chaque département en particulier,
a, bi a'i I b'i , , ^,
avec d'autant pins d'approximation et de probabilité que les nombres /A et \x seront plus considérables.
Si les rapports qui forment les premiers membres de ces équations étaient donnés pour les difierents départements, ces quatre équations suffiraient pour déterminer les inconnues A' et u contenues dans c, et y,, et leurs analogues dans c, et y\ que je désigiïerai par k! et u ; mais la nécessité de très grands nombres (jl et ^' rend impossible, quant à présent, l'application des équations (16) à chaque département isolément, et pour s*en servir, on sera obligé de supposer que les inconnues u, u' , h, k' , ne varient pas beaucoup, en général, d'un département à un autre; ce qui permettra d'employer dans leurs premiers membres, les rapports relatifs à la France entière. Les quantités u et u' que l'on déterminera de celte manière seront exactement les chances de ne pas se tromper qui auraient lieu si les listes de jurés de tous les départements étaient réunies en une seule , et que chaque juré fût pris au hasard sur celle liste totale. Dans cette hypothèse, les quantités k et k' , en ce qu'elles dépendent da l'habileté des magistrats qui dirigent l'instruction préliminaire, pourraient encore n'être pas les mêmes dans les différents départements; mais les équations (16) étant linéaires par rapport à ces inconnues, leurs valeurs que l'on obtiendra, seraient alors les moyennes de celles qui ont réellement lieu pour tous les départe- Kieuts. Au reste, on doit observer que si l'on est obligé de se contenter de ces valeurs générales de u, u' , k, k' , c'est seulement faute de données complètes de l'observation, et non pas par quelque imperfection de la théorie que nous exposons.
Les ex pressions deCj et ^j ne changent paslorsqu'ony meli — Aeti — u
au lieu de k et u (n°' 117 et 118); pour des valeurs données de —et — ,
s'il y a un couple de valeurs de k et u plus grandes que - , qui satisfassent aux deux premières équations (16), il y aura donc aussi un couple de valeui's de k et de u plus petites que -qui satisferont également à ces équations. Or, on doit supposer que la probabilité moyenne de la culpabilité des accusés avant le jugement, surpasse celle de leur innocence, et que, chez les jurés, la chance moyenne de ne pas se tromper est plus grande que celle de l'erreur; ce sont
donc les valeurs de A" et u plus grandes que - qu'il faudra employer;
et l'on devra rejeter les autres comme étrangères à la question. La même remarque convient aux deux dernières équations (i6), et aux valeurs de A' et //.' qui s'en déduiront. Toutefois, si l'on appliquait ces équations aux jugements en matière politique, rendus en grand nombre dans les temps malheureux de la Révolution, on pourrait employer, ainsi qu'on l'a expliqué dans le préambule de cet ouvrage, leurs racines moindres que -; car alors l'innocence légale des accusés avant
le jugement pouvait être plus probable que leur culpabilité; et pour les jurés, la probabilité qu'ils se tromperaient volontairement pouvait surpasser leur chance de ne pas se tromper.
(iSg). Je fais « = 12 et i = 5, dans les formules (4) et (6)j les coe/Bcients qu'elles contiennent auront pour valeurs
N,= i, N, = i2, N,=66, N3=22o, N^ = 495, iN5=792.
Je fais aussi
Oô bi ^ t 1
la seconde équation (i6) devient
et, on observant qu'on a
la première équation (16) pourra s'écrire sous cette forme :
Ces équations ( 17) et (18) répondent aux crimes contre les personnes; celles qui se rapportent aux crimes contre les propriétés s'en déduiront en y changeant les quantités c, y, k, t , dans leurs anologues, que je représenterai par c', y', k' , t' .
L'inconnue t est susceptible de toutes les valeurs, depuis <=:o qui répond à ;^ = o, jusqu'à i = co qui répond à « = i ; mais ses valeurs plus grandes que l'unité étant celles qui se rapportent aux valeurs cfe u
supérieures à -, ce sont les seules qu'il faudra considérer. De plus,
l'inconnue k devant être comprise entre - et l'unité, il suit de l'équation (17) que la valeur de t devra être telle que l'on ait
(i + nf c ^
ce qui servira à en déterminer des limites. On remarquera, à cet eflet, que la première de ces deux fonctions de t, décroît continuellement depuis tz=o jusqu'à i = 00 , et que la seconde augmente d'aboi d depuis ^= I jusqu'à f = ^, pour décroître ensuite jusqu'à t=co .
En éliminant k entre les équations (17) et (18) on parviendrait à une équation du 2l\' degré par rapport a t , au geni'e des équations réciproques, et réductible, parconséquent, à une équation du 1 2* degré; mais il sera beaucoup plus facile de calculer directement par des essais successifs , les valeurs simultanées de k et u qui satisfont au système des équations (17) et (18).
(140). Relativement aux six années comprises depuis 1825 jusqu'à î85o, on a
Pour z=2, la quantité — surpasserait cette valeur de •) ; pour <^3,
ce serait celte valeur qui surpasserait l'autre quantité —-—-; la valeur •
de t doit donc être plus grande que deux et plus petite que trois; limites entre lesquelles il est facile de s'assurer que cette inconnue n'a qu'une seule valeur possible. Après quelques essais, j'ai pris 2,113 pour cette valeur; l'équation (iq) donne alors o,5554 pour celle de k; et en substituant ces valeurs dans le second membre de l'équation (18), on le trouve égal à 0,4785, ce qui ne diffère du premier membre que de 0,0001 ; ou a donc, avec une très grande approximation,
Eour les mêmes années, on a
vSUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 585
