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quantité, comme on voit , un peu au-dessous d’un six-cent millionième. Il faudrait, en conséquence, essayer un peu plus de six-cent

millions de fois pour qu’il y eût une probabilité égale ou à peu

près deux à parier contre un, que les seine cartes rouges sortiraient au moins une fois sans interruption.

( 10 ). Si un événement E peut avoir lieu de plusieurs manières distinctes et indépendantes entre elles; que d’une première manière, la probabilité' de son arrivée soit p, ; que d’une seconde manière, elle soit p,; etc. , la probabilité complète sera la somme de toutes ces probabilités partielles, de sorte qu’en la désignant par p, on aura

P — p.-hp.+Pi+e le. »

Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait uti nombre donné i . d'urnes À, contenant des boules blanches et des boules noires, et que le nombre total de boules et le nombre de boules blanches soient c , et ^ dans une première urne, c, et a, dans une seconde, etc. Supposons aussi que E soit l’extraction d’une boule blanche, en mettant la main au hasard dans l’une de ces urnes. Cet événement pourra alors . arriver de i manières différentes, puisque i est le nombre d’urnes d’où la boule blanche pourra sortir. La probabilité que la main se portera

sur l’une de ces urnes sera la même pour toutes et égale à 1» chtfhce

d’extraire une boule blanche sera - , —, ^ , etc. , selon l’urne sur la-

quelle la main se portera effectivement; d’après la règle du n“ 5, les prq» habilités p , , p,, p,, etc. , des diverses manières dont E pourra arriver, seront donc

P'=lf P.

r — , n, = T -, etc.;

I C, ’ ' a I fj’

et il l’agira de prouver que la probabilité complète p de l'extraction d’une boule blanche, de l’une ou de l’autre de toutes les urnes A, aura pour valeur • , ' ,

La démonstration de cette règle est fondée sur un lerame qui sera également utile dans d’autres occasions.

Concevons un nombre quelconque t d’urnes C, contenant des boules v blanches et des boules noires en proportions diverses, mais dont le nombre total soit le même et représenté par p. pour chacune de ces

* tf

urnes; la probabilité d’extraire de leur ensemble une boule blanche ne changera pas si l'on réunit les i/w boules qu’elles contiennent dans une seule urne B. En effet, elles y formeront des groupes disposés d’une mauière quelconque, dont chacun contiendra les boules provenant d’une même urne C, et qui seront tous composés d’un même nombre fi • de boules , ce qui suffit pour que la chance d'y porter la main soit

la même pour tous ces groupes, et égale à -. , comme quand chaque

groupe était renfermé dans une urne C. La chance de tirer une houle blanche du groupe où la main se portera n'aura pas non plus changé; par conséquent, la probabilité d'extraire une boule blanche sera la même pour l’urne B et pour le système des urnes C. Cette conclusion n’aurait plus lieu, si les nombres de boules que les urnes C renfermeut étaient inégaux; quels qu’ils soient, la chance que la main se portera

sur l’une des urnes sera la même, et égale à i; mais quand toutes les

boules auront été réunies dans l’urne B , les groupes qu’elles y formeront contenant des nombres inégaux de boules , la chance que la main s’y portera ne sera pas égale pour tous ces groupes : elle est évidemment plus grande pour ceux qui seront formés d’un plus grand nombre de boules.

Cela posé, réduisons toutes les fractions -, - , -, etc., à un même

C, fj Cj

dénominateur, que nous désignerons par fi. Soient alors a,, a,, a J? etc., leurs numérateurs, de sorte qu’on ait

fj ,

îf, etc.

La chance d’extraire une boule blanche de chacnne des urnes A , et par conséquent de l’ensemble de ces urnes, ne changera pas si l’ou remplace chacun des nombres c,, c,, c,, etc., de boules blanches ou noires, par le même nombre fi, et les nombres a,, a,, <?,, etc., de boules blanches, par a, , etc. La probabilité de l’extraction

d’une boule blanche ne changera pas non plus, si l’on réunit ensuite toutes ces boules dans une même urne C. Or, cette urne contenant’* alors un nombre total ifi de boules, parmi lesquelles il y aura un . nombre «, -f- «j-j-etc., de boules blanches, cette probabilité sera