VÎ

4f> ' . RECHERCHES -

le rapport du second nombre au premier, ou, ce qui est la même

chose,

■ quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes , avec la valeur de p qu’il s’agissait de démontrer.

( 11 ). Pour appliquer cette règle à des exemples, supposons d’a~ lx)rd qu’il soit à la connaissance d’une personne qu’une boule a été extraite, ou d’une urne A contenant cinq boules blanches et une houle noire, ou d’une urne B renfermant trois boules blanches et quatre 4 boules noires, et quelle n’ait aucune raison de croire que cette boule soit sortie plutôt de l’une que de l’autre des deux urnes. Pour cette personne , la probabilité m .que la boule extraite est une boule blanche sera . . . ■

• : . . ' ar — i *6 + ;* 5 — 8} ;

car pour elle , cet événement a pu arriver.de deux manières différentes , et les probabilités p, et p , qui s’y rapportent sont

Pour une autre personne , qui sait que la boule extraite est sortie de B, la probabilité p quelle est noire a pour valeur

, Les fractions ~ et surpassant ^ , la première personne doit penser

que la boule extraite est blanche , et la seconde quelle est noire. Entre ces deux opinions contraires , c’est 1a dernière que nous devons adopter, parce que la seconde personne est plus instruite que la première en ce qui concerne l’événement dont il s'agit; et cependant

là probabilité -y , sur laquelle cette seconde personne appuie son opi-

nion, est moindre que la probabilité sur laquelle l’autre personne appuyait la sienne. C'est un exemple fort simple, et qu’on pourra

aisément multiplier, de ce qni a été dit précédemment ( n* i), sur les jugements contraires portés dans une même question pa/ des personnes différemment instruites.

Supposons encore que nous sachions qu’une urne A renferme un nombre donné n de boules blancheset de boules noires, dans une proportion qui nous est absolument inconnue. Nous pourrons faire sur cette proportion, « + i hypothèses différentes et également possibles, qui. seront autant de manières distinctes dont l’extraction d'une boule blanche pourra avoir lieu. Ces hypothèses seront « boules blanches, «— i boulçs blanches et une noire, n a boules blanches et deux noires,. . . . n boules noires; toutes ces suppositions étant également

possibles, la probabilité de chacune d’elles sera ^~r;par conséquept,

les probabilités partielles de l’extraction d’une boule blanche, dans ces diverses hypothèses, auront pour valeurs

' " + P* — „ + , ■ „ t h — ~ £7 • «te.

et la probabilité complété ® de cet événement sera . ' •

i wAMTinilniaïUi n, / ji.ti-. - , ..a.,' , . y ,,,;,,

t= — i ( n - -J. 7ni n jzl L — «v

quantité qui se réduit à comme cela devait être, puisque nous n avons aucune raison de croire à l’arrivée dune boule blanche plutôt qu’à celle d'une boule noire. ™

Mais si nous savons que dans l’nrne A,- le nombre des boules blanches est certainement plus grand que celui des boules noires la valeur de <sr surpassera i; et pour la déterminer, il faudra distinguer les deux cas de n impair et de n pair. Si l’on désigne par / un nom bre entier quelconque et qu’on ait n = a/ + ,, on ne pourra faire que . + i hypothèses différentes et également possibles, savoir a /+, boules blanches, ai’ boules blanches et une noire,.. / + , ’ })OI 7L

blancheset « boules noires; et dans ce premier cas, la valeur complète de <rsr sera .. "

.•WT* ,• + ,

2t ' ti -f-

quantité qui se re’duit à

Elle est l’unitc , comme cela doit être , pour i = o; elle s'approche indéfiniment de en diminuant toujours, à mesure que i augmente" de plus en plus. Dans le cas de n = ai -f- a, on peut aussi faire i -f- i hypothèses également possibles : on peut supposer que A renferme ai 4- a boules blanches, ai -J- i boules blanches et une boule noire» ... i- f- a boules blanches et i boules noires. 11 en résulte

« -f- i + 2'a»+a‘ai-f-a~ ' ai -|- a/’

ou , ce qui est la même chose ,

a * ai 4- a '

pour la valeur complète de <w. Comme la précédente, elle est «■ = r et <w = pour les valeurs extrêmes t = o et i = eo. Pour tout autre

nombre entier i, elle excède la précédente d’une fraction 77 1- — * -■■ ■ ■ ■ „

dont le maximum est ^ et répond à « ss 1 . •

Une urne A Contenant un nombre total c de boules, dont a boules blanches, concevons que ces boules soient partagées dans son intérieur, eu -groupes tels que] le premier renferme c, boules dont a, blanches, le deuxième c, boules dont a, blanches, etc., de sorte que l’on ait

c. 4- c, 4 - c, 4- etc. = c, a, 4- a % 4* 4- «te* — a

Soit p la probabilité d’extraire une boule blanche de cette urne; elle devra être égale à ° ; ce qui fournira simplement une vérification de

la règle du numéro précédent. Une boule blanche pourra sortir du premier groupe; et pour cela, la chance sera le produit de la probabilité ~ que la main se portera sur ce groupe, et de la chance j quelle

en extraira une boule blaocbe. Il en sera de même à l’égard de tous les autres groupes; d’où l'on conclura

p = £t.i + ïî.S + fî.2î + etc.,

r c c, ' c Cg • c c 3 ' 1

pour la valeur complète de p ; laquelle se réduit effectivement à

en vertu de la seconde des deux équations précédentes. Mais si l'on place tous ces groupes dans des urnes différentes A , , A,, A,, etc., la

chance d’en extraire ensuite une boule blanche, ne sera plus * , si ce

n’est dans le cas où tous les nombres c,, c„ c,, etc. , seront égaux : généralement, elle dépendra de la manière dont les boules blanches et noires de A se trouveront distribuées entre A, , A„ A,, etc. ; et nous ne pourrons la calculer que quand cette distribution nous sera connue. Cependant, pour quelqu’un qui ne la connaît pas, la raison de croire à l’arrivée d’une boule blanche , en tirant au hasard dans l’ensemble des urnes A,, A,, Ai, etc., est évidemment la même que celle de croire h la sortie d’une pareille boule, extraite de A ; par conséquent, la probabilité de cette sortie, distincte de sa chance propre, sera, pour

cette personne, égale à*. Je suppose, par exemple, que A renferme

deux boules blanches et une boule noire, et que l'on ait mis deux boules dans A, et la troisième dans A è . Pour cette personne , il y aura trois distributions également possibles des trois houles de A entre A, et A., savoir ; les deux blanches dans A, , et la boule noire dans A,; une boule blanche et la noire dans A ,, et l'autre boule ()lu|che dans A,; cette seconde boule blanche et la boule noire dans A, , et la première boule blanche dans A,. Dans ces trois cas, les probabilités d’extraire une boule blanche de l’une ou l’autre des urnes A, et A„ seront

en prenant leur somme et la divisant par trois, on aura donc | pour ■ la probabilité complète de cette extraction , comme pour celle d’une boule blanche, de l'urne A.

Considérons enfin un système d’urnes D, , D,, Dj, etc., dont la première renferme un nombrec, de boules parmi lesquelles a, boules bkn-

5o . ' RECHERCHES

ciies, la deuxième ua nombre c, de boules dont a t boules blanches, etc.; et supposons que par une raison quelconque , il n’y ait' pas la même chance pour toutes ces urnes, que la main s’y portera pour en extraire une boule blanche ou noire. Désignons alors par A, la probabilité quelle se portera sur l’urne D,, par A. la probabilité qu’elle se portera sur l’urne D, , etc. Par la règle du n® 5, la probabilité d’extraire une boule blanche de la première urne sera k, de la seconde A, — , etc.; ces produits exprimeront donc les probabilités par-

tiellcs p,,p,, p 3 , etc., relatives aux diverses manières dont l’extraction d’une boule blanche pourra avoir lieu ; par conséquent , la probabilité complète '*■ de cet événement aura pour valeur

-f-elc.

Laconsiderationduiisystèmedurues A,,A„ Aj,etc., pour lesquelles les probabilitésA, , A., A Jf etc., sont égaies entre elles, a suffi à la démonstration de la règle du numéro précédeut dans toute sa généralité; et cette règle étant ainsi démontrée, son application à d’autres urnes D,, D,, D,, etc., pour lesquelles les chances A, , A,, A», etc., ont des valeurs quelconques, conduit ensuite, comme on voit , à l’expression de®qui se rapporte à ce cas général.

( 1 3). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, ou qui s’excluent mutuellement, et dont l’un des denx doit toujours arriver. Désignons par p et y leurs probabilités respectives , de sorte qa’on ait

Supposons que chacun de ccs événements puisse avoir lieu de diverses manières , dont nous représenterons les probabilités par p , , p„ p 3 , etc. , relativement à E, et par q,, q„ q s , etc., par rapport à F. En appliquant successivement la règle précédente à E et à F, nous aurons

p = p, -f- p. -h p, + etc., q = ?■ + ?• ■+" "I - e,Cl *

et, par conséquent,

♦ p, -f- p, ■+■ />j 4* -f • q, + q, + j ■+• etc. = i.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5r

Dans une question quelconque d’éventualité, les termes du premier membre de cette équation sont les probabilités des diverses combinaisons favorables ou contraires à l'arrivée de E; cette équation exprime donc que leur somme doit toujours être égale à l'unité ou à la certitude; ce qui doit être, en elTet , si l’on a épuisé toutes les combinaisons possibles.

En vertu de cette même équation, l’expression de p peut être mise sous la forme

lp, 4- lp , -t- lf>3 4- oc. .

” lp, + lp. -t- Ips + etc. + ’q, + lq, + Iqj ■+■ etc. ’

l étant une quantité que l’on prendra à volonté. Les termes de cette fraction seront proportionnels aux chances p,, />, , etc., q„ q,, etc., des cas favorables ou contraires à l’arrivée de E. Or, si l’on suppose que parmi les termes du numérateur, il y en ait un nombre a! qui soient égaux entre eux et représentés par un nombre a" égaux entre eux et exprimés par etc.; si l’on suppose de même que parmi les termes du dénominateur, il y ait un nombre c' de termes égaux dont la valeur commune soit y', un nombre c" d’autres termes égaux dont y" soit la valeur commune, etc., l’expression de p deviendra

• a -b <t*a* -j - a*a * -f- etc .

P 7? + v c" -J- y “c“ + etc.”

Donc, lorsque tous les cas favorables ou contraires à un événement E, n’auront pas une meme chance, on obtiendra la probabilité de E, en multipliant les nombres de cas également probables, (tardes quantités proportionnelles à leurs probabilités respectives, et divisant ensuite la somme de ces produits relatifs à tous les cas favorables, par ta somme de ces mêmes produits relatifs à tous les cas possibles. Cette règle est plus géuérale, et souvent pluscommode à appliquer, que celle du n" a, en ce qu’elle n’exige pas que l’on ait réduit à une égalité de chance, tous les cas favorables ou contraires, d’où dépend, dans chaque question, l’arrivée d’un événement dont on veut connaître la probabilité.

(*4). k es règles des n** 5 et 10 suflisent pour obtenir )es formules relatives à la répétition, dans une série d’épreuves, d’un événement dont les chances sont connues, soit qu’elles demeurent constantes, soit quelles varient pendant les épreuves.

Appelons toujours E et F les événements contraires, d'une nature quelconque, dont l’un des deux aura lieu à chaque épreuve. Supposons, en premier lieu, que leurs probabilités soient constantes et données; et représentons, dans chaque épreuve, par p la chance de E et par q celle de F. Désignons aussi par p le nombre total des épreuves, par m le nombre de fois que E arrivera, par n le nombre de fois que F aura lieu! Nous aurons

La probabilité que ces m et n arrivées de E et F auront lieu dans un ordre déterminé, est indépendante de cet ordre particulier, et égale à p m q' (n° 7); par conséquent, si l'on appelle n la probabilité qu elles auront lieu dans un ordre quelconque , et K le nombre de manières différentes, dont m événements E et n événements F peuvent se succéder dans un nombre p- d'épreuves, on aura, d’après la règle du n" 10,

Pour déterminer K , je suppose d’abord qne les p événements qui doivent avoir lieu soient tous différents, et je les désigne par les lettres A, B, C, D, etc. Ce nombre K sera alors celui des permutations que l’on peut faire subir à u lettres disposées comme les facteurs d’un produit ; or, il aura pour valeur

car si on le représente par K' pour p — 1 lettres , et qu’on ajoute ensuite une lettre de plus , celle-ci pouvant occuper fi. places distinctes dans chacune des permutations de p — 1 lettres, il en résultera pK' pour le nombre de permutations de p lettres; et comme ce nombre est l’unité quand p = 1 , il s’ensuit qu’il sera successivement 1.2, j. a. 5, i . 3 . 5 . 4 , etc., pour p= 2, — 5, = 4 , etc - Maintenant, si un nombre m des lettres A , B, C, D, etc, représentent un même événement E, celles de leurs permutations qui ne diffèrent que par les places de E seront aussi les mêmes ; ce qui réduira le nombre des permutations distinctes, au produit précédent, divisé par le nombre

de permutations dont ces m lettres E sont susceptibles, et qui est

Si les p — m ou n autres lettres représentent aussi un même événement F , il faudra également diviser ce produit par le nombre de permutations de ces n lettres F, ou par

Par conséquent, le nombre de permutations distinctes que l’on peut faire avec n» événements E et n événements F, c’est-à-dire la valeur de K qu’il s'agissait d’obtenir, sera

A cause de p =n m -(- n , cette quantité K est symétrique par rapport à m et à n; mais on peut aussi l'écrire sous ces deux autres formes .-

« jM— 2.../»— m-f- i

ft.ft — i .ft — a . ■ ./* — n 4- i 1.3.3... n

qui montrent que la probabilité n , ou le produit Kp m q m , est le terme du rangm -f- i dans le développement de ( p + qf ordonné suivant les puissances croissantes de p, ou le tcrme.du rang n- f - 1 dans ce développement ordonné suivant les puissances croissantes de q.

On conclut de là que dans le cas que nous examinons , où les chances p et q des deux événements contraires E et F sont constantes* celles de tous les événements composésqui peuvent amver dans un nombre p d’épreuves ont pour expressions) les différents ternies de la formule du binôme p-\~ q élevé à la puissance p.

Le nombre de ces événements est p -f- i. Ils sont inégalement probables, soit à cause de la multiplicité des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimée, pour chacun d’eux, par le nombre K, soit à raison de l’inégalité des chances p et q. Dans le cas de p—q, l'événement le plus probable est celui qui répond à m = n, lorsque p

est un nombre pair, -et l’on des deux qui répondent à m — bst±i, quand fi. est un nombre impair.

(i 5 ). Soit F la probabilité que E arrivera au moins m fois dans le nombre fi. d'épreuves. Cet événement composé pourra avoir lien de m -f~ ■ manières différente*, savoir, lorsque E arrivera les nombres de fois (â, , fi. — t, fi. — 2, ... et eulin ft » ou m ; les probabilités relatives à ces m -f- 1 manières se déduiront de l'expression précédenteden, en mettant successivement /tel séro, u. — i et i,ju — a, et a , . . . jusqu'à m et n , au lieu de ces deux derniers nombres ; d'après la règle du n io, la valeur complète de P sera donc la somme de ces n i probabilités partiel l^-ct, par conséquent, on aura

de sorte que F sera la somme des n -f- i premiers termes du développement de (p •+• qY . ordonné suivant les puissances croissantes de q.

Pour T?» = o , ou n = u , on aura

ce qui doit être, en effet, puisqn’alors l'événement composé comprenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa probabilité P doit être la certitude. Pour tw = i , cet événement est le. contraire de l’arrivée de F à toutes les épreuves; et, effectivement, la valeur de P est, dans ce cas, le développement entier de (p q)r ,

moins son dernier terme y*; cé qui s’accorde avec la valeur de r du n* 8.

Si fi. est un nombre impair a»' -J- i, et si l’on demande la probabilité que £ arrivera plus souvent que F, on la déduira de l’expression générale de P, en y faisant m =* i •+• i et ti at= i. Si pt wt ua nombre pair ai, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant de fois que F, en taisant m — n — i, dans cette même expression. - (16). On déduit aussi de cette formule 1 a solation du premier pro-

blême de probabilité que l’on ait résolu , qti* nous avons indiqué au commencement de cet ouvrage, et qui est connu sous le nom de problème des partit. Deux joueurs A et B jouent ensemble à un jeu quelconque, où l'un des deux doit gagner un point à chaque coup; p est la probabilité de A , </ celle de B, pour gagner ce point; il reste à A un nombre a et à B un nombre b de points h prendre pour gagner la partie. On demande la probabilité a que ce sera A qui gagnera, ou la probabilité S que ce sera B. L’un de ces deux événements contraires devant nécessairement arriver, la somme a -4- 6 sera l'unité, et l’on aura seulement a à déterminer.

Observons d'alrard que la partie sera terminée en un nombre de coups qui ne saurait excéder a -f- b — i ; car dans ce nombre de coups, il arrivera nécessairement que A aura gagné au moins un nombre a de points, ou que B en aura gagné au moins un nombre b. De plus, sans rien changer à leurs chances respectives de gagner la partie, les deux joueurs peuvent convenir de jouer ce nombre a b -r- i de coups; cardans cette série de coups, un seul joueur pourra prendre le nombre de points dont il a besoin : Selon que A aura pris a points avant que B en ait pris b, ou que B en aura pris un nombre b avant que A en ait pris a, ce sera A ou B qui aura gagné la partie, quelque chose qui arrive ensuite. Pour déterminer les chances a et £, nous pouvons donc supposer qu’il sera toujours joué le nombre a -f- b— i de coups. Alor* « sera la probabilité que sur ce nombre d 'épreuves , un événement E dont la chance est p i chaque épreuve, arrivera au moins un nombre de fois aj par conséquent, sa valeur se déduira de l’uxpres6ioo précédente de P, eu y faisant

Si l’on a , par exemple ,

on trouvera

ua P i3i * ^ Sp’ 6=3 ÏÎ3 5

et C surpassant a, il s'ensuit qu'un joueur A dont l’habileté est double

5t> ' RECHERCHES ' ; -

de celle de B, ou qui #une chance double de gagner chaque point-, ne peut néanmoins parier, sans désavantage , de gagner quatre points avant que B en ait pris deux.

Si les deux joueurs conviennent de se retirer sans achever la partie, on verra plus loin que ce qui reviendra à A sera V enjeu multiplié par la chance « de gagner, et à B le produit de l’enjeu et de la chance S, ccst-à-dire qu’ils devront partager l’enjeu proportionnellement aux fractions a et S.

(17). Au lieu de deux événements E et F, supposons qu’il y en a un plus grand nombre, trois, par exemple, que nous désignerons par E, F, G, et dont un seul devra arrivera chaque épreuve. Soient p, q, r, leurs probabilités constantes, et p. le nombre des épreuves. Par une extension facile de la méthode du n* 14, on trouvera