m. i.a.3.. . n. 1.2 3. . lo

pour la probabilité que le premier des événements E, F, G, arrivera m fois, le second n fois, le troisième o fois. On aura, eu même temps,

P + H - {-'•=!, m •+• n + o = ft-,

et la probabilité dont il s’agit sera le terme général du développement du trinôme p + q -f- rélevé à la puissance p.

Ce cas est celui d’une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs différentes, dans les proportions marquées par les fractions />, q, r, et où les événements E , F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant à chaque fois dans l’urne la boule qui en est sortie.

En prenant dans le développement de (p -f- q -+- r'f , la somme des termes qui renferment une puissance de p, égale ou supérieure à m, on aura la probabilité que E arrivera au moins un nombre m de fois dans un nombre p d’épreuves. Quel que soit le nombre des événements E , F, G , etc. , parmi lesquels un seul arrivera à chaque épreuve , ou peut aussi déduire immédiatement cette probabilité, de l’expression précédente de P. En effet, représentons toujours par p , q, r, etc., les chances constantes de E, F, G, etc.; à chaque épreuve, l’arrivée de l’un ou l’autre des événements E, F, G, etc., peut être considérée

comme un événement composé, que j’appellerai F'; en désignant par q' sa probabilité, ou aura

?' = q +'' + etc. , p + q' = i ;

E et P seront alors deux événements contraires, dont un seul aura lieu à chaque épreuve; par conséquent, la probabilité que E arrivera au moins m fois, dans une série de p. épreuves, s’obtiendra en mettant q' au lieu de q dans l’expression de P.

Pour donner un exemple de cette règle fondée sur le développement de la puissance d’un polynôme , je suppose qu’une urne A renferme un nombre m de boules portant les n" i , a , 3 , . . . m; on tire p. foisde suite une boule de cette urne , en y remettant à chaque fois la boule sortie; la chance, à chaque tirage, de l’arrivée d’une boule portant un numéro déterminé, est la meme pour toutes les boules,

constante pendant les épreuves, et égale à ; cela étant, désignons

par n„ /»,, n m , des nombres donnés qui peuvent être zéro,

égaux, inégaux, pourvu qu’on ait toujours