Pi

et soit U la probabilité qu’on amènera, dans un ordre quelconque, n, fois le n* i , n, fois le n* a, . . . n m fois le n” m : si l’on fait £

(G + <■ 4- • • 4" Uy = 0,

et que. l’on développe 8 suivant les puissances et les produits des indéterminées t,, t,, t„ . . . t„ , la valeur de U sera le terme de ce

développement , contenant le produit t, ' t, ‘ . . t."*, dans lequel

on fera toutes ces indéterminées égales à En représentant par N le coefficient numérique de ce produit , nous aurons donc

N étant un nombre entier, qui dépendra de p et des nombres n,, n„ rit, «■, savoir,

où l’on prendra l’unité pour le produit i.a.5...n, » quand n, sera zéro, et de même pour chacuu des produits semblables.

Cela posé , soit s la somme des numéros sortis dans les fi tirages , ou aura

s =: ri, 4* an, + 3tjj mn m .

Par conséquent, si s est un nombre douué; que 1 on prenne successivement pour zi, , 7/,, 77,,. . . 77„, tous les nombres entiers ou zéro qui satisfont à cette équation et dont la somme est égale à u; et que 1 on désigne par N', N", N'", etc., les valeurs correspondantes de N , et par V la somme de celles de U, il en résultera

V = - (N' 4- N* 4* N'"+ etc.),

pour la probabilité d’avoir, dans un nombre fi de tirages, une somme de numéros donnée et égale à s. •

On calculera plus aisément la valeur de V en changeant dans S les indéterminées t„ t„ t m , dans les puissances t, t', t 3 ... r,

d’une même quantité t : si l’on désigne par T ce que 0 deviendra , on aura

T'a= (<+*■ + ^4-.. •+ rfi

et^fcst aisé de voir que la somme N'4-N"4-N"'4-etc. ne sera autre chose que le coefficient numérique de /'dans le développement de T ; par conséquent , si l’on représente ce coefficient par M, , il en résultera

Ce coefficient M, dépendra des nombres donnés n,m, s , et s’obtiendra facilement dans chaque exemple.

Au lien d’une seule urne V, on peut supposer qu’on ait un nombre fi d’urnes A„ A,, A,,...A^, dont chacune contienne m boules numérotées t, *2, 5,... 7», et tirer en même temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi remplacer ces urnes par un pareil nombre de dés : s’il s’agit de des ordinaires , à six faces , portant les n** i, a, 3, 4, 5, 6, ou aura m = 6, et V exprimera la probabilité qu’en projetant simultanément un nombre fi de dés , on amènera une

somme de numéros égale à s. Soit , par exemple . p. =3. et conséquemment

* T = t»(i + ( + c+(i + (<+ /»)», V = gj M„

LedéveloppementdeTsecomposera de seize termes; les coefficients des termes également éloignés des extrêmes, tels que M 3 et M,i, et M„,

. . .M I0 etM„, seront égaux; la somme de tous les coefficients aura pour, valeur celle de T qui répond à t ss j , ou 6*; la somme des huit pre- iniers coefficients Mj, M 4 . . . , M,, , sera égale à £ 6’, ainsi que la somme des huit derniers M„, M„. . . M,,; d’où l’on conclut qu’en projetant trois rféràla fois, la probabilité d’amener io ou un nombre moindre est comme celle d’amener 1 1 ou un nombre plus grand; ensortequ'on peut parier à jeu égal, ou un contre un, que la somme des trois numéros qéi arriveront passera ou ne passera pas le nombre dix.

C’est sur ce résultat qu’est fondé le jeu qu’on appelle le passe-dix. Sans le secours d'aucun calcul , on s'assure aisément de l’égalité de chance de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposées d’un même dé, porte les numéros dont la somme est Sept, tels que un et six, deux et cinq, trois et quatre. U s'^auit alors, que quand les trois dés tombent sur le tapis , la somme des trois numéros supérieurs , jointe à celle des trois numéros inférieurs , forme toujours le nombre a i ; par conséquent , si la première somme est au-dessus de d ix , la seconde sera au-dessous et réciproquement. Les deux joueurs m

sont donc dans le même cas que si l’un pariait que ce sont les numéros supérieurs qui passeront dix, et l’autre que ce sont les numéros inférieurs. Or, il est évident que les chances de ces deux événements seront égales ; car quels que soient les trois numéros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l’événeurent contraire, c'està-dire l’arrivée de ceux-ci au-dessus et de ceux-là au-dessous, sera également possible. Mais pour connaître les chances des diverses valeurs de s , depuis s = 3 jusqu'à s as 1 8 , il est nécessaire de recourir au développement de T. On trouve, en l’effectuant

M 4 « M , 7 sar > , M 5 - — M , | — 6, io,

• 6o * . RECHERCHES

pour les nombres des combinaisons de trois numéros qui peuvent amener les sommes 3 ou i8, 4 ou >7,^..io ou 1 1 : en les divisant par 6* ou ai6, on aura les chances de ces diverses sommes.

(18). Lorsque la chance de l’événement E varie pendant la duree des épreuves, la probabilité de sa répétition un nombre de fois donné, dépend de la loi de cette variation. Supposons, comme dans le n” 9, que E soit l'extraction d'une boule blanche, tirée d'une urne A qui ■ contient des boules de cette couleur et des boules noires, et dans laquelle on ne remet pas la boule sortie à chaque tirage. Soient a et h les nombres de boules blanches et de boules noires que A renfermait avant les épreuves , n le nombre des tirages, et «la probabilité qu’il sortira m boules blanches et n boules noires, dans un ordre déterminé; la valeur de sera donnée par la formule du numéro cité; et cette valeur étant indépendante de l’ordre suivant lëquel les boules des deux couleurs se succéderont, si nous désignons par n la probabilité qu’elles arriveront dans un ordre quelconque, nous au-

rons

K étant le même nombre que dans le n" 14, et en faisant toujours

m 4- n ss fi, a -f- b = c.

Faisons aussi

a — m = a’ , b — n = b', c — = a' + b'ss c' ;

en sorte que a', b’, c soientce que deviennent, après les tirages, les nombres de boules des deux couleurs et leur somme, qui étaient primitivement a, b, c. En ayant égard aux expressions de K et de celle de fl pourra s’écrire ainsi

^ i.a.3,. .m.i .a. 3. . .n. 1 .a. 3. . .ai . 1 .2.3. . .i'. 1 .a. 3. . .c '

ce qui permettra d’étendre facilement cette expression au cas où A renfermerait des boules de trois ou d’un plus grand nombre de couleurs différentes. .

En supprimant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, cette formule devient plus simplement (*)

jj __ />■/• — i-p — » - - i“ — «+i i .a.3. . .n

La probabilité que sur le nombre p de tirages il sortira de A au moins m boules blanches, sera la somme des n + 1 valeurs de fl, que l’on

(*} Après les p tirages qui ont amené m boules blanches et n noires, la chance d’amener une blanche dans un nouveau tirage, dépend de ces nombres m et n, et est

égale à Mais pour une personne qui saurait seulement qu’on a tiré de l’urne un

nombre s* de boules, et qui ignorerait la proportion des blanches et' des noires qui en sont- sorties, la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche, dans un nouveau tirage, serait très différente de cette chance ~ ; et d’après une note que vient de m’adresser M Émile Mondésir, ancien élève de l’École Polytechnique, la pro— habilité dont il s’agit est indépendante des nombres m cl n, et égale 1 - comme avant les tirages.

Pour vérifier cette proposition sur un exemple, supposons qu’on ait a = 4, 4 = 3, c = 7, * = 2 , e’ = 5.

Relativement aux nombres m et n, il y aura trois cas possibles, mais inégale-: ment probables, savoir m = a etn=o, m = 1 etn = 1 , m = o et n = 2 . Lee probabilités de ces trois cas différents, déduites de l’expression de n, seront respectivement -, -, - ; dans ces mêmes cas , les chances de l’arrivée d’une blanche 3 7 7

dans un tirage subséquent, auront pour valeurs g, d’après les règles des n°* 5 et 10 , la probabilité complète de l’extraction d’une bonle blanche, sera donc la somme des produits de î et |, - et - et g; laquelle somme est effective- A G

ment égale à -, ou à - . Je renverrai, pour la démonstration générale, à la note de ' 7 c

M. Mondésir, qu’il se propose d’insérer dans Te journal de M. Liouville. „

La proposition est évidente quand on a a = 4; car dans ce cas, pour une personne qui ne connaît pas les boules extraites de l’urne, il n’y a pas plus de raison de croire, après comine avant cette extraction, A l’arrivée d’nne boule blanche qu’à

lia RECHERCHES

obtient , en mettant successivement au lieu de m et n dans cette dernière formule, fx et zéro, y. — i et i, /* — a et a,. . .fx — n et ». En désignant cette probabilité par P, nous aurons , de cette manière ,

•»— a...c — /*-+• 1 = a.a — i.a — a ...a — jt-j- i /ib.a.a — x .a — a.. .fl — /»■+* a

-f- * '* ■ j — .b. b — x .a. a — i.fl — 2 . ..a — fi-\- 5 + — -.b.bt—i.b — a .a.a — i.a — 2. ..a — + 4

Dans le cas de m = o et n = /x , on devra avoir P = 1 j on en conclut donc

i.c — 2...C — ft. -f- > — a.a — 1 . a — 2 ... a — ft -f- 1 + f* .b. a. a — i.a — a. ..a — f* + 2