b. b — i.a. a — i.a — a ...a — pe

celle d’une boule noire; et par conséquent, 1a probabilité d'amener une boule blanche, veste toujours égale à On peut aussi remarquer que cette proposition s'accorde, dans le cas où les nombres a et b sont infinis, avec une autre qui sera démontrée dans la suite de cet outrage, et suivant laquelle il est certaio que les nombres m et n seront entre eux comme a et 6; alors, on est donc assuré que les nombres n' et b' , des boules restantes dans l’urne sont encore entre eux comme net b , en sorte que la chance et la probabilité de l’arrivée d’une nouvelle boule blanche, ne sont

plus distinctes l'une de l’autre, et ont pour valeur le rapport % égal à .

ce qni coïncide avec une formule connue et analogue à celle du binôme. Dans cette formule et dans toutes celles dé ce genre , chaque quantité telle que a. a — i .a — i. ..a — w-(- 1; est un produit de m facteurs pour lequel on doit prendre J’unité quand m = o: d'où il résulte que cette formule ne convient pas au cas de/u = o; exception qui a lieu également pour la formule du binôme appliquée à la puissance zéro.

(19). Au lieu de faire fi tirages successifs sans remettre les boules sorties de A, il est évident que la probabilité d’amener m boules blanches et n boules noires serait encore la même, si l’on tirait en une seule fois m+nou a boules de cette urne. C'est effectivement ce qu'on peut vérifier de la manière suivante.

Je désigne généralement par G H le nombre de groupes composés chacun de fi foules , que l’on peut former avec les c boules contenues dans A. On aura *

.e . c — 1 ,c — 3. . .c—f* • I .2.3* . .jM

En effet, pour former tous ces groupes au moyen de ceux de fi — 1 boules, il faudra combiner chacun de ceux-ci avec les c — fi 4-1 boules qu’il ne contient pas; ce qui donnerait un nombre (c — ^ + de groupes de fi boules ; mais comme il y a un nombre fi de groupes de fi — 1 boules qui donnent un même groupe de fi boules; on devra . diviser ce produit ( c — fi -f- 1 ) G,, , par fi pour avoir le nombre de groupes différents, composés de n boules. On aura donc ,

' J rr— ~

or, pour n= 1, on a évidemment G, =c ; si donc on fait successive^ ment f*:=a, = 5 , = 4 » etc., il en résultera

°4 r G> rTTTïl

et enfin l’expression de G^ qu’il s’agissait de démontrer.

En représentant ce que devient G, par G'*, lorsqu’on y change c et p en a et m, et part G"„ quand on y fait le changement de c et p en b et n , nous aurons de même

Le produit de G', et G", sera le nombre de groupes de m-f-« ou u. boules que l’on peut former avec les a + é ou c boules contenues dans A, et dont chacun renfermera m boules blanches et n boules noires; la probabilité d’amener un de ces groupes en tirant à la foisyts boules de l’urne A , est d’ailleurs égale à leur nombre divisé par celui de tous les groupes de p boules que A renferme , c’^t -à-dire à ce produit G'„G*., divisé par G,,; en la désignant par n, on aura donc

ce qui coïncide avec la valeur de II du numéro précédent. L’ex- . pression de P du même numéro est aussi la probabilité d'amener au moins m boules blanchés en tirant à la fois p boules de l’urne A.

. (ao). Dans l’exemple de ce n* 18, la chance de l’événement E variait pendant les épreuves, parce qu’à chaque nouvelle épreuve, elle dépendait des nombres de fois que E et l’événement contraire F avaient eu lieu précédemment; mais il y a d’autres questions dans lesquelles ces deux événements, d’une nature quelconque, ont des chances propres, indépendantes à chaque épreuve, de ce qui est arrivé jusque là, et qui varient d’une épreuve à une antre.

Généralement, dans une série de p épreuves que l’on va faire ou qui ont eu lieu, soient p, et q, les chances de E et F à la première épreuve , p. et q, à la seconde .... et à la dernière, de sorte qu’on ait

Pour obtenir la probabilité que E arrivera ou est arrivé un nombre in de fois et F un nombre n ou p — m, dans un ordre quelconque, je désigne par P„ le produit d’un nombre m des fractions p„ p ,, p „ . . ,p M , et par Q, celui d’un nombre n des fractions q,,q,, .q H , qui

n’entrent dans aucune des équations précédentes, avec l’une des fractions comprises dans P„, de manière que si I*. renferme la fraction quelconque p,, la fraction correspondante q, n’entrera pas dans Q,, et que si P m ne contient pas p„ la fraction q, entrera dans Q,. Je multiplie ensuite ces deux produits P m et Q. l’un par l’autre, puis je fais la somme de toutes les quantités possibles P„Q. , ainsi formées, et dont le nombre sera celui que l’on a désigné par K dans le n* 14 : cette somme exprimera la probabilité demandée.

On peut énoncer cette règle d'une autre manière qui nous sera utile dans la suite.

Soient u et v deux quantités indéterminées; faisons

R = («P. 4 - *!• ) ( U P. + « 7 .) ( «pi 4- « 7 ,) ( «E» -f- ^ ) >

de manière que R exprime un produit de p. ou m+n facteurs. Si l'on effectue ce produit, on aura un polynôme de p-\- 1 termes, ordonné suivant les puissances de u et de v. Or, le coefficient de u m v“ dans ce polynôme sera la probabilité que nous considérons, de l’arrivée m fois de E et n fois de F, dans un ordre quelconque. Prenons , par exemple, /n = 3 . Nous aurons

R = u'p,p.p, -f- u‘v (p.p.q, -I- p,psq. -f- p.ptf. )

■+■ uv ' (MW* + Pj7.7*) + ‘' 3 9'7*7«-

Le coefficient dew J est évidemment la probabilité de l'arrivée de trois fois E ; le coefficient de «V est celle de l’arrivée de deux fois E et une fois F, ce qui peut avoir lieu parce que E arrive aux deux premières épreuves et F a la dernière, F à la seconde épreuve et E aux deux autres, F à la première épreuve et E aux deux dernières; le coefficient de uv * exprime de même la probabilité de l’arrivée de deux fois F et d’une fois E; enfin, celui de v 3 est évidemment la probabilité de l’arrivée de trois fois F.

Si à chaque épreuve, E peut avoir lieu de plusieurs manières également possibles, on prendra pour la chance de E à cette épreuve, con-

formémeutà la règle du n" 10 , la somme des probabilités respectives de ces diverses manières, divisée par leur nombre. En retranchant de l’unité cette chance moyenne de E, on aura celle de f ; et c’est d’après ces deux chances moyennes à chaque épreuve, que l’on devra calculer la probabilité que E et F arriveront m et n fois dans m + n épreuves, ou celle de tout autre événement composé de E et F. Quoique les chances partielles de E et F varient en nombre et en grandeur, d’une épreuve à uue autre; si leurs chances moyennes demeurent constantes, les probabilités des événements composés suivront les mêmes lois que dans le cas des chances invariables.

(ai). Une des applications les plus fréquentes du calcul des probabilités a pour objet de déterminer les avantages ou les désavantages attachés aux choses éventuelles, d'après le gain ou la perte quelles doivent produire, et les chances de leurs arrivées. Elle est fondée sur la règle suivante.

Supposons que l’un des événements E, F, G, H, etc., en nombre quelconque, doive avoir lieu; et désignons leurs probabilités par p, (], r, s, etc. , de sorte qu'on ait

P 4* <7 “t" r + ■* ri - e,c - = * •

Supposons aussi qu’un gain g soit attaché à l’arrivée de E pour une première personne, à celle de F pour une deuxième personne, etc. ; si toutes ces personnes conviennent de partager g avant que le sort ait décidé, ou bien, si elles y sont obligées par des raisons quelconques, ce gain devra être partagé entre elles proportionnellement à leurs probabilités respectives de gagner, c’est-à-dire, que gp devra être la part de la première personne, gq celle de la seconde, etc.

En effet, soit m le nombre de tous les cas également possibles , et parmi ces cas, soient a, b, c, d, etc., les nombres de ceux qui sont favorables à E, F, G, H, etc. , de manière qu’on ait

fl + fc + c-f-rf-f- etc . =m,

et ensuite

S’il y avait un nombre m de personnes dont chacune dût gagner par l’arrivée de l'un des m cas possibles *1 est évident qu’il faudrait diviser g

également entre elles toutes, et que ^g serait la part de chacune; or, la

personne dont/? est la probabilité de gagner, ou qui a pour elle un nombre a de cas possibles, devra aussi réunir un pareil nombre de ces parts

égales; sa part entière devra donc être —g, ou pg-, et de même celles

des autres personnes seront i/g, rg, sg, etc.

Dans les jeux déjà commencés, cette règle fera connaître ce qui reviendrait à chaque joueur d’après sa probabilité d’achever de gagner la partie, si l’on convenait de se séparer avant delà terminer. On en conclut aussi que la mise de chaque joueur avant que la partie commence doit être proportionnelle à sa chance de la gagner; car si, au lieu de jouer, on convenait de se séparer, chaque joueur devrait retirer sa mise; et, d'après la règle précédente, ce qui lui reviendrait devrait aussi être égal à la somme des mises, multipliée par la probabilité de gagner la partie entière. Celte probabilité, dans les jeux de pur hasard, dépend des règles du jeu, et peut se calculer à priori, quand elles ne sont pas très compliquées. Dans les jeux où le succès-dépend de l'habileté de chaque joueur, sa probabilité de gagner est fondée ordinairement sur sa réputatiou, et ne pourrait être déterminée, avec quelque exactitude, que par une longue expérience.

Les probabilités de deux événements contraires E et F étant p et </, de sorte qu’on ait />+</= i, si A parie une somme a pour l’arrivée de E, et B une somme £ pour celle de F, il faudra pour que les paris soient égaux , que ces sommes a et £ soient entre elles comme p et </, ou qu’on ait

Mais ou ne doit pas oublier que ces probabilités p et q sont, en général, différentes des chances propres de F, et F, et dépendent des connaissances que A et B peuvent avoir en ce qui concerne ces événements. Si ces probabilités sont fondées sur les mêmes connaissances pour A et pour B, le pari est équitable, quoiqu’il puisse favoriser beaucoup l’une de ces deux personnes aux dépens de l’autre. Si elles n’ont pas les mêmes données sur les événements E et F, la proportion des sommes

a et S n'est plus celle des probabilités que A et B supposaient à ces événements, et il n’y a plus moyen de la régler équitablement.

(22). On calculera sans peine, »u moyen des formules du n" 19, les diverses chances de la loterie de France, heureusement supprimée par une loi récente. En les comparant aux multiples des mises que la loterie payait pour les billets gagnants, on verra que ces multiples étaient beaucoup au-dessous de ceux qu’elle aurait dû payer pour que le jeu fût égal, et qu'il en résultait pour la loterie, aux dépens des joueurs, un avantage exorbitant que la loi aurait puni comme illicite, dans uue spéculation particulière.

Soient, en général, n le nombre de numéros dont uue loterie est composée, /« celui des uuméros qui sortent à chaque tirage, l le nombre de ceux qui sont portés sur le billet qu'un joueur a choisi, et A la probabilité que ces derniers numéros sortiront. Les nombres de groupes de l numéros qu’on peut former, soit avec les n numéros de la lolerie, soit avec les m numéros qui sortent à chaque tirage, seront, d aprés les formules du numéro cité,

et la probabilité A aura pour valeur le rapport du second nombre au premier, c’est-à-dire,

En prenant pour unité, la mise du joueur, celle de la loterie devra, être le rapport de 1 — A à A ; et en cas de gain , la loterie devra aussi rendre au joueur la mise qu'il a payée d’avance ; si l’on appelle /u le multiple de cette mise que la loterie devra payer au gagnant, ou aura donc

Soit aussi x le nombre de tirages nécessaire pour que l'on puisse parier un contre un, que les numéros portés au billet du joueur sorti-

ront au moins une fois; on aura, d’après la règle du n* 8 ,

et quand la probabilité A sera une très petite fraction, il en résultera, à très peu près,

en preuant 0,69515 pour le logarithme népérien du nombre .r.

Dans la loterie de France, on avait

n= go, m — 5.

Pour un terne, il fallait prendre /= 3 ; d’où il résultait

yL. * ' . , 4 __ ug, . « Jr-iW 1

La loterie aurait donc dù payer au gagnant, pour que le jeu fût égal, 1 1748 fois sa mise : elle lui payait seulement 55 oo fois, c’est-àdire, moins de moitié. La disproportion était encore plus grande dans le cas du quateme et du quine; elle était moindre pour Yambe et Y extrait. Il y avait de l’avantage à parier un contre un, qu’un terne douné sortirait au moins une fois en 8144 tirages, et du désavantage à parier aussi un contre un, qu’il sortirait en 8143 épreuves. Relativement à un numéro désigné d’avance, on aurait

( l— Të) = »' ’ r== log" 18— - log. 17 = ,3 ' ,5 7 '

il y avait donc désavantage à parier un contre un que ce numéro sortirait au moins une fois en ia tirages, et il aurait fallu i 5 tirages, pour qu’il fût avantageux de parier un contre un que ce numéro sortirait. 11 y avait aussi un contre un à parier que les 90 numéros sortiraient au moins une fois en 85 ou 84 tirages (*).

Parmi les joueurs, les uns choisissaient des numéros parce qu’ils n ’é-

(*) Théorie analytique des probabilités ; page 198.

taient pas sortis depuis long-temps, d autres choisissaient, au contraire, ceux qui sortaient le plus souvent. Ces deux préférences étaient également mal fondées : quoique, par exemple, il y eût une probabilité très approchante de la certitude et égale à i — , oui peu près

0,^97, qu’un numéro déterminé sortiraitau moins une fois dans 100 tirages successifs ; si cependant, il ne fiit pas sorti dans les 88 premiers, la probabilité de sa sortie dans les 13 derniers aurait toujours été à peu

près comme pour tout autre numéro déterminé. Quant aux numéros

dont la sortie avait été plus fréquente que celle des autres , cette circonstance ne devait être considérée que comme un effet du hasard , compatible avec légalité évidente de chance de tons les numéros à chaque tirage. A tous les jeux de hasard où les chances égales ou inégales sont connues d’une manière certaine, les événements passés n'ont aucune influence sur la probabilité des événements futurs, et toutes les combinaisons que les joueurs imaginent ne peuvent augmenter le gain ni diminuer la perte, qui résultent de ces chances d’après la règle du numéro précédent.

Dans les jeux publics de Paris, l’avantage du banquier h chaque coup est peu considérable: au jeu de trente-et-quarante par exemple, il est un peu au-dessous de onze millièmes de chaque mise (*); mais h raison de la rapidité de ces jenx et du grand nombre de coups qui se jouent en peu d’heures, il en résulte pour le banquier des bénéfices assurés, à peu près constants chaque année, et sur lesquels il peut payer annuellement cinq à six millions à l'administration publique, qui lui en concède le monopole. Us sont encore plus préjudiciables que la loterie ne pouvait l’être ; car l'argent qu'on y joue dans la capitale seulement s’élève chaque année à plusieurs centaines de millions, et surpasse de beauconp celui que l’on mettait à la loterie dans la France entière. Ce n’est pas ici le lieu de discuter les raisons que l’on a coutume de donner pour la conservation des jeux publics; je n’ai jamais pu les trouver bonnes; et il devrait suflire que ces jeux fussent la cause de beaucoup de

(*) Voyez sur les chances de ce jeu, le mémoire que j’ai inséré dans le journal de M. Gergonne; tome XVI, n° 6 ; décembre i8a5.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 7 i

malheurs et peut-être de crimes , pour que l'administration les interdit au lieu de partager les bénéfices qu’ils procurent, avec les hommes auxquels elle en vend le privilège (*).

(a3). Le produit d'un gainetde la probabilité de l'obtenir est ce qu'ou appelle Yespérance mathématique de chaque personne intéressée dans une spéculation quelconque. Si ce gain est 60,000 fr. , par exemple ,

et que ^ soit la chance de l'événement auquel il est attaché, la personne qui devra recevoir cette somme éventuellement , pourra considérer le tiers de 60,000 fr., comme un bien quelle possède , et que l’on devrait comprendre dans l’inventaire de sa fortune actuelle.

En général, si quelqu’un doit gagner une somme g à l’arrivée d’un événement E, une somme g’ à l’arrivée d’un autre événement E’, etc., et que les chances de ces événements soient p, p',p", etc., son espérance mathématique aura pour valeur la somme gp+g'^’-j-g'p'-f-etc. Lorsqu’une ou plusieurs des quantités g , g', g*, etc., exprimerout des pertes que cette personne aura à craindre, on leur donnera le signe — dans cette somme, en conservant le signe -f- à celles qui sont des gains éventuels. Selon que la valeur totale de l’espérance sera positive ou négative , elle représentera une augmentation ou une diminution du surplus de la fortune, et devra être comprise actuellement parmi les créances ou les dettes , si l’on ne veut pas attendre l’issue des événements. Il est bien entendu que quand les gains ou pertes ne devront avoir lieu qua des époques éloignées de celle que l’on considère, il faudra les escompter pour les convertir en valeurs actuelles, indépendamment de leur éventualité. Si g ne doit être payé, à la personne dont on évalue la fortune, que dans un nombre n d’années, g' dans un nombre n 1 , etc., ces quantités valent aujourd'hui g, g', g", etc., divisées respectivement par les puissances n, n', n", etc., de 1 -+• 8, en désignant par 8 le taux de l’intérêt annuel. Par conséquent, si l’on appelle < la partie de cette fortune qui résulte de l’es-

(*) Ce numéro de mon ouvrage était écrit avant que la dernière loi de finance* edt heureusement prohibé les jeux de haurd à partir du i*' janvier >838.

pérance mathématique de celte personne, on aura

, 1? *>' i «Y . elc

— (1+6)* ^ (.+3)*' ^ (i +l)-” ^ elC ’

Pour se charger des gains et pertes que les événements amèneront, e est la somme qu’une autre personne devrait payer aujourd'hui à celle-là , ou recevoir d’elle, selon que cette quantité t est positive ou négative.

Le calcul des rentes viagères sur une ou plusieurs tètes , des assurances sur la vie, des pensions, est fondé sur celte formule et sur les tables de mortalité, ainsi qu’on peut le voir dans les ouvrages qui traitent spécialement de ces questions.

(a4). Comme l’avantage qu’un gain procure à quelqu’un dépend de l’état de sa fortune, on a distingué cet avantage relatif, de l’espérance mathématique, et on l’a nommé espérance morale. Lorsqu’il est une quantité infiniment petite, on prend son rapport à la fortune actuelle de la personne , pour la mesure de l’espérance morale, qui peut d’ailleurs être positive ou négative, selon qu’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution éventuelle de cette fortune. Par le calcul intégral, on déduit ensuite de celte mesure des conséquences qui s’accordent avec les règles que la prudence indique sur la manière dont chacun doit diriger ses spéculations. On a aussi trouvé, dans les résultats de ce calcul, des raisons de ne pas jouer, même à jeu égal, qui ne sont peut-être pas les meilleures que l’on puisse donner. L’argument sans réponse contre le jeu , quand il a cessé detre un simple amusement, c’est qu’il ne crée pas de valeurs, et que les joueurs qui gagnent ne peuvent trouver leur avantage que dans le malheur et quelquefois la ruine de ceux qui perdent. Le commerce est aussi un jeu, en ce sens que le succès des spéculations les plus prudentes, n’a jamais qu’une forte probabilité, et qu’il reste toujours des chances de perte que l’habileté et la prévoyance peuvent seulement atténuer; mais il augmente la valeur des choses par leur transport d’un lieu dans un autre; et c’est dans cet accroissement de valeur que le commerçant trouve son bénéfice, en procurant aussi un avantage 'aux consommateurs.

(s5). lia règle du n* ai, quelque simple et naturelle qu’elle soit,

donne lieu cependant à une difficulté dont on s’est autrefois beaucoup . v occupe. •

Deux persouues A et B jouent à croix et pile; les conditions du jeu sont : i*. que la partie se terminera lorsque croix arrivera; a», que B donnera à A deux francs si croix arrive au premier coup , quatre francs s’il arrive au deuxième coup,... et généralement a* francs si croix arrive au coup; 5*. que la partie sera nulle si croix n’arrive pas dans les ni premiers coups, limitation sans laquelle la partie pourrait être interminable. Ou suppose que la pièce n’a aucune tendance à retomber plutôt sur une face que sur l’autre, de sorte qu’à

chaque coup, la chance d’amener croix soit ^ comme celle d’amener

pile. Il s'ensuit que — sera la probabilité que croèrarrivera aun"""coup sans qu’il ail paru auparavant; car, pour cela, il faudra qu’on amène pile n — i fois de suite, ce qui a pour probabilité ; et que l’on amène •

croix au coup suivant, autre événement dont la probabilité est î. Par ' conséquent, la probabilité que croix arrivera au n""' coup pour la première fois, aura le produit de et de ou ^ pour valeur. Dans ce

Cas, A recevra 2 * francs; ce qui donne un franc pour la valeur corres- ' pondanl^dc son espérance mathématique ; et comme elle est la même pour chacun coups dont la partie peut se composer, il s’ensuit

que la valeur entière de l’espérance mathématique de A sera un Iran» répété m fois. Pour que le jeu fut égal , A devrait donc donner m francs à B, c’est-à-dire mille francs, un million de francs, si la partie pouvait durer jusqu’à mille coups, un million de coups, et même une somme infinie, si elle pouvait se prolonger indéfiniment. Cependant, il n’y a persoune qui exposât une somme un peu considérable, mille francs par exemple, à un pareil jeu. Ici la règle de l’espérance mathématique parait donc en défaut; et c’est pour lever la difficulté que nous signalons, que l’on a imaginé la règle de l’espérance morale et sa mesure Mais on doit remarquer que cette difficulté tient à ce que, dans les conditions du jeu, on a fait abstraction de la possibilité pour B, de payer toutes les sommes que les chances du jeu pourront valoir à A.

.'V • Jà •

Quelle que grande qu’on la suppose, la fortune de B est nécessairement limitée; si donc on la désigne par un nombre b de fralics, A ne pourra jamais recevoir une somme plus grande que b\ ce qui diminue, dans un très grand rapport , son espérauce mathématique.

En effet, on aura toujours

g étant un nombre entier, et h une quantité positive et plus petite que l'unité. Si l’on a G > m, ou seulement g = m, B pourra payer toutes les sommes qui échoiront à A ; mais dans le cas de 6 < m , B ne pourra plus les payer, lorsque croix arrivera pour la première fois audelà des g premiers coups. L’espérance mathématique de A sera doue g pour ces premiers coups; mais au-delà, c’est-à-dire pour les m g coups suivants, elle se réduira à la somme constante b ou

a C(i h), multipliée par leurs probabilités respectives, depuis -j-— ;

jusqu’à En désignant donc par i la valeur complète de l’espérance

mathématique de A, ou ce qu’il doit donner à B pour que le jeu soit égal, ou aura .

ou , ce qui est la même ch >se , m » *

quantité qui n’est plus croissante avec m, et qui est, au contraire , à très peu près indépendante de ce nombre, et se réduit sensiblement à

quand il est très grand. Or, la fortune de B ne peut jamais être assez, grande pour que 6 cesse d’être un nombre peu considérable; et, conséquemment , A ne doit exposer au jeu dont il s’agit , qu’une somme peu considérable, comprise entre 6-f-i et C-f- a. Si l'on suppose que B soit . un banquier qui possède cent millions e francs, on trouvera a6pour la plus grande puissance de a comprise dans b , c’est-à-dire pour le

nombre S ; eu sorte que A aurait réellement du désavantage à parier 38 francs ou plus, contre le propriétaire de cette fortune colossale.

La règle de l’espérance morale , appliquée à cette question (*), conduit à une fixation différente de la somme que A peut jouer, et que l’on trouve alors dépendante de la fortune de A. et non de celle de B; mais il nie semble qu’à ce jeu , c’est la possibilité d’être payé intégralement par B, qui doit limiter la somme que A doit lui donner avant que le jeu commence.

(36). Je terminerai ce chapitre par quelques remarques sur l'influence d’une chance favorable à un événement, sans qu’on sache lequel, et qui augmente toujours, comme on va le voir, la probabilité de la similitude des événements dans une série d’épreuves.

Au jeu de croix et pile , par exemple, il y a toujours liou de croire que la pièce, d'après sa constitution physique, a une teudancc un peu plus grande à tomber plutôt sur uuo face que sur l'autre; mais ou ignore à priori , si c’est croix ou pile- dont l’arrivée est favorisée par cette circonstance ; or, cela n’cmpèchc pas quelle n'augmente la probabilité que ce sera la même face qui arrivera plusieurs fois de suite.

Pour le faire voir, désignons par£ (1 + <f) la chance relative à la face que la constitution de la pièce favorise, et, conséquemment, par ; (1 — J 1 ) celle de l’arrivée de l’autre face; de sorte que J' soit une petite fraction, positive dont la valeur est inconnue, et de sorte aussi que l’on ne sache pas laquelle de ces deux chances inégales appartient à croix ou à pile. Si l’on doit jouer un seul coup, on 11'aura aucune raison de croire que la face choisie par l'un des joueurs soit la plus ou la moins favorisée; la probabilité de son arrivée sera donc 7, comme si / était zéro. Mais si l’on doit jouer deux coups, il y aura de l’avantage à parier pour la similitude des deux faces qui arriveront. En effet , quatre combinaisons pourront avoir lieu : deux pour la similitude, croix croix et pile-pile ; deux pour la difsimilitude, croix-pile et pilecroix. Les chances des deux premières seront les carrés de £ ( 1 /)

et i (1 — J ); la probabilité que l'une de ces combinaisons aura lieu sera donc, d’après la règle du n° 10, la somme de ces carrés, ou

(*) Théorie analytique des probabilités ; page 43t>.