JUS

~(l -f- J*). Les chances des deux autres combinaisons seront égaies entre elles, et exprimées chacune parle produit dej ( i -f-J') et| (i — J'); leur somme, ou la probabilité de la dissimilitude, aura donc j(i — /•) pour valeur; laquelle est moindre que celle de la similitude, dans le

rapport de la différence 1 — /* à la somme 1 ■+■ <f*, ou de 1 —

à l’unité. Si A parie un franc pour la similitude, et que B parie contre, il faudra , pour rendre le jeu égal, que B parie un franc diminué de la

fraction — ^ , c’est-à-dire à peu près 98 centimes, si l'on avait / = — , par exemple.

Lorsque la pièce devra être projetée trois fois de suite, huit combinaisons différentes pourront avoir lieu : trois fois croix et trois fois pile serout celles de la similitude; les six autres lui seront contraires , savoir, trois composées de deux fois croix et une (oh pile, et trois composées de deux fois pile et une fois croix. En supposant qu’on eût exactement cf = o , les chances de ces huit combinaisous seraient égales entre elles, et, par conséquent, A pariant toujours pour la similitude, sa mise devrait être le tiers de celle de B. Mais J' n’étant saus doute pas zéro, cette proportion des mises donnerait à A un avantage encore plus grand que dans le cas de deux projections successives. En effet , la probabilité de la similitude sera la somme des cubes de ; ( t -f- J ) et -j (1 — <f), qui se réduit à 5 (1 -f- en la retranchant de l’unité, on aura immédiatement celle de la dissiroilitude ou de l’événement contraire, qui aura ainsi 5 (1 — S') pour valeur; laquelle est moindre que le triple de la précédente , dans le rapport de 1 — J *

à 1 + 5 <f * ou de 1 — à l’nnité, c’esl-à-dire dans un rapport

plus désavantageux que celui de 1-

à l’unité. On étendra sans

difficulté ce raisonnement à plus de trois épreuves, et si l’on veut, à d'autres jeux où il y ait plus de deux événements possibles, dont les chances inconnues peuvent être inégales.

Quand deux personnes jouent ensemble, à un jeu où l’habileté peut quelque chose sur le résultat , il n’est pas vraisemblable qu’elles soient également habiles; et cela étant, sans connaître la personne qui joue le mieux, il faut parier que ce sera un même joueur qui

gagnera les deux premières parties Mais lors même que l’on conr naîtra le joueur le plus habile, on n’aura pas toujours de l’avantage à parier que ce ^era lui qui gagnera ces deux parties; car, sur quatre combinaisons qui pourront arriver, on en aurait alors trois contre soi et une seule favorable; et quoique celle-ci fut la plus probable, sa chance pourrait ne pas balancer celles des trois autres ensemble.

En général, soit p la probabilité connue d'un événement E de nature quelconque, et q celle de l’événement contraire F, de sorte qu on ait P -h 7 = i . Supposons , en outre . qu’une cause quelconque puisse augmenter la chance de l’un de ces deux événements, sans qu’on sache lequel, et diminueren même tenipscellede l’autre, d’une fraction inconnue a. Désignons par -ar la probabilité que sur un nombre m d'éprpuves,cesera le même événement, Eou F, qui arrivera constamment. Si E est l’événement favorisé par la chance inconnue, la probabilité de la similitude de m événements successifs, sera, d’après la règle du n* ro ,

car elle pourra avoir lieu de deux manières différentes, c’est-à-dire, selon que E ou F arrivera à toutes les épreuves. Si, au contraire, c’est F qui est l’événement favorisé, la probabilité de la similitude de m événements successifs aura pour expression

Or, puisque l'on ignore quel est celui des deux événements E et F dont la chance est augmentée ou diminuée, ces deux valeurs différentes de là probabilité qui répond à la similitude , sont pour nous également possibles ; la probabilité de chacune d’elles est donc i; et, toujours par la règle du n* 10, la somme de ces deux valeurs multipliées par -j, est la probabilité totale de la similitude. Par conséquent, on a

ou, ce qui est la même chose,

en faisant . pour abréger.

fti m ■ i fH . //I I • in * ■ fH J J * i

p - r + ■ -nr- ? * + ^ ^ a + e,c - •

TTT31

Si Ix chance ambiguë n’existait pas, c’est-à-dire, si l’on avait 1 = 0. la probabilité de la similitude serait simplement />” + ?"; toute cause qui accroît la chance de l'un des deux événements contraires E et F. sans qu’on sache lequel, augmente donc aussi la probabilité de la similitude des événements dans une série d’épreuves, puisqu’elle rend la valeur , de <sr évidemment plus grande que p m -f- </”.

-r’' CHAPITRE II.

Suite des règles générales y probabilités (les causes et des événements futurs , déduites de l’ observation des événements passés. V .

(37). Dans le chapitre précédent, les règles que nous avons considérées supposaient données les chances decertains événements, et avaient pour objet d'en déduire les probabilités d'autres événements composés des premiers. Dans celui-ci. on exposera les règles qui servent à calculer les probabilités des causes, d’après les événements observés, et, par suite, celles des événements futurs. Mais auparavant, il convient d'expliquer le sens précis que nous donnerons à ce mot c cuise , et qui n'est pas le même que celui qu’il a dans le langage ordinaire.

Quand 011 dit communément qu'une chose est la cause d'une autre, on attribue à la première le pouvoir de produire nécessairement la seconde, sans vouloir toutefois, exprimer par-là que l’on connaisse la nature de cette puissance, et comment elle s’exerce^Nous reviendrons à la fin de ce chapitre sur cette notion de la causalité. R .nous sulEt, quant à présent, de dire que le mot cause a, dans le calcul des probabilités, une signification plus étendue : Ou y considère une cause C, relative à un événement quelconque E, comme étant la chose qui donne à l’arrivée de E, la chance déterminée qui lui est propre; dans l’acception ordinaire du mot , C serait la cause de cette chance, et npn de l’événement même; et quand E arrive effectivement, c’est par le concours de C avec d’autres causes ou circonstances qui n’influent pas sur la chance propre de cet événement. Si p est cette chance, connue ou inconnue, et distincte en général de la probabilité, C donne en même temps la chance 1 — p à l'événement contraire F :dans le cas dep= 1 , la chose C produit nécessairement l'événement E, et en est la cause |iropremeut dite; dans le cas de p = o, elle est celle de F.

L'ensemble des causes qui concourent à la production d'un événement sans influer sur la grandeur de sa chance, c’est-à-dire, sur le rapport du nombre de cas favorables à son arrivée au nombre total des cas possibles, est ce qu'on doit entendre par le hasard. Ainsi, par exemple, aux jeux de ries, l’événement qui arrive à chaque coup, est la conséquence du nombre des laces, des irrégularités de formes et de densité que le dé peut présenter, et des agitations nombreuses qu’on lui fait subir dans le cornet. Or, ces agitations sont des causes qui n’influent nullement sur la chance de l’arrivée d’une face déterminée : elles ont pour objet de faire disparaitre l’influence de la position du dé dans le cornet avant ces mouvements, dans la crainte que cette position initiale ne soit counue de l’un des joueurs ; et quand ce but est atteint, la chance relative à l'arrivée de chaque face, ne dépend plus que du nombre des faces, et des défauts du dé qui peuvent rendre les chances inégales pour les laces différentes. On dira qu’une chose est faite au hasard , lorsqu’elle est exécutée sans rien changer aux chances respectives des divers événements qui peuvent arriver. Une urne renfermant des boules blanches et des boules noires, on en tirera une boule au hasard, si l'on ne regarde pas leur disposition dans l'intérieur de l'urne avant d’y porter la main : en supposant toutes les boules d’un même diamètre, la chance d'amener une boule blanche ne pourra évidemment dépendre que du nombre de boules blanches et du nombre de boules noifts; et l'on démontre qu’elle est égale au rapport du premier de ces deux nombres à leur somme.

La cause C peut être une chose physique ou une chose morale : au jeu de croix et pile, c’est la constitution physique de la pièce qui donne une chance généralement peu différente de J- à l'arrivée de croix ou à celle de pile ; dans un jugement criminel, la chance de la vérité ou de l’erreur du vote de chaque juré est déterminée par sa moralité, en comprenant, dans cette cause, sa capacité et sa conscience. Quelquefois la cause C résulte du concours d’une chose morale et d'une chose physique: par exemple, dans chaque espèce de mesures ou d'observations, la chance d’une erreur de grandeur donnée, dépend de l’habileté de l’observateur et de la construction, plus ou moins parfaite, de l’instrument dont il fait usage. Mais, dans tous les cas, les diverses causes des événements sont considérées, dans le calcul des probabilités, indépeu-

JHI

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 8t

damaient de leurs nature particulière et sous le seul rapport de la grandeur des chances quelles produisent; et c’est pour cela que ce calcul s’applique egalement aux choses morales et aux choses physiques. Toutefois, dans la plupart des questions, la chance que détermine une cause donnée C n’est pas connue à priori , et la cause même d’un événement ou de sa chance est quelquefois inconnue : si la chance est constante, on la détermine, comme on le verra par la suite, au moyen d’une série d’épreuves suffisamment prolongée; mais dans le vote d'un juré, par exemple, la chance d’erreur varie d'un juré à un autre, et sans doute, pour un même juré, dans les différentes affaires; et la répétition des épreuves , pour chaque juré et chaque espèce d’affaires, étant impossible , ce n’est pas la chance d’erreur propre à un juré que l’on peut déduire de l’observation, mais bien, comme on le verra par la suite, une certaine probabilité, relative à l'ensemble des jurés de tout le ressort d'une cour d'assises, et qu’il lui suffira de connaître pour la solution des problèmes qui sont l’objet spécial de cet ouvrage.

Il y a souvent plusieurs causes différentes qui peuvent amener, en se combinant avec le hasard, un événement donné E ou l'événement contraire F ; avant que l’un ou l'autre de ces deux événements ait eu lieu , chacune de ces causes a une certaine probabilité , qui change après que E ou F a été observé; or, eu supposant connue la chance que chacune des causes possibles donnerait, si elle était certaine, à l’arrivée de E ou de F, nous allons déterminer d'abord les probabilités de toutes ces causes après l’observation , et ensuite la probabilité de tout autre événement futur, dépendant des mêmes causes que E et F>

(a8). Soit donc E un événement observé. On suppose que sou arrivée peut être attribuée à un nombre m de causes distinctes , que ces ni causes sont les seules possibles, qu'elles s’excluent mutuellement, et qu'avant l’observation, elles étaient toutes également probables. L’arrivée de E a rendu ces causes hypothétiques inégalement probables; il s'agit de déterminer la probabilité de chacune d'elles, résultante de l'observation; ce qu’on fera au moyen du théorème suivant.

La probabilité de chacune descauses possibles d'un événement observé est égale à celle que cette cause donnerait à l’événement , si elle était certaine, divisée par la somme des probabilités de cet événement qui résulteraient pareillement de toutes les causes auquel on peut l'attribuer.

8a RECHERCHES

Ainsi, appelons

C| , C. , Cj, . . . C, , . . . C , les m causes possibles de l 'événement E; soient Pl > Pt I Pi î • • ’Pm > • • ’Pm ,

les probabilités connues de son arrivée, relatives à ces diverses causes ; de manière que p, exprime la probabilité de E qui aurait lieu si la cause C. était unique, ou, ce qui est la même chose, si elle était certaine, ce qui exclurait toutes les autres. Désignons ensuite par

les probabilités inconnues de ces mêmes causes; en sorte que nr, soit la probabilité de la cause C„, ou, autrement dit, la probabilité que c’est à cette cause qu’est due l'arrivée de E. I) s’agira de prouver qu’on doit avoir

^ Pjt

" Pl+fl+^l + '-.+i’l+.-.+fn

Or, quel que soit l’événement E, on peut l’assimiler, pour fixer les idées, à l’arrivée d'une boule blanche, extraite d'une urue qui contenait des houles de cette couleur et des boules noires. On supposera , pour cette assimilation, qu’il y avait un nombre m de semblables urnes

dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans l’urne quelconque A, , le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit égal à la fraction p,. Chacune de ces urnes sur lesquelles la maiu a pu se porter an hasard pour en extraire la boule blanche, représente une des causes de son arrivée; l’urne A, répond à la cause C. ; et la question consiste à déterminer la probabilité que la boule blanche est sortie de A..

Pour cela, supposons que l’on réduise les fractions p, , p t , p,, etc., au même dénominateur, et que l’on ait ensuite

H et les numérateurs etc. , étant des nombres entiers. On ne

changera rien à la chance de tirer une boule blanche de l’urne A. , en y remplaçant les boules qu'elle contient , par un nombre a. de boules blanches etun nombre fi de boules, tant blanches que noires; et de même pour toutes les autres urnes. Le nombre total des boules étant actuellement le même dans toutes ces urnes, il résulte du lemme du n° 10, que si on les réunit dans une même urne A, et que l’on donne le n* i à celles qui proviennent de A,, le n° a aux boules provenant de A„ etc., la probabilité ’sr, qu’une boule blanche extraite de l'ensemble de ces urnes A,, A,, Aj, etc., provient de A., est la même que la probabilité qu’une boule blanche sortie de A, portera le n* n; laquelle a pour valeur le rapport de et, à la somme des m quantités a,', ct s , etc., puisque cette somme est le nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, et que dans cette somme, il y en aura un nombre et, qui portera le n* n. On aura donc aussi

quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes', avec l'expression de <s r, qu’il s'agissait de démontrer.

(29). En calculant les probabilités de plusieurs événements successifs, il faut non-seulement tenir compte de l’influence que peut avoir l’arrivée de l’un d’eux sur la chance de celui qui le suit (n° 9); mais on doit aussi quelquefois avoir égard , dans l'évaluation de cette chance , aux probabilités des diverses causes de l'événement précédent, ou des différentes manières dont il a pu avoir lieu. C’est ce qu’on verra, par exemple, dans le problème suivant.

Je suppose qu’on ait un nombre m d’urnes A, B, C, D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances d'extraire une boule blanche soient a , de l’urne A, b de B, c de C, etc. On tire au hasard une première boule de l’une de ces urnes, puis une seconde boule de l’une des urnes d’où la première n’est pas sortie, puis une troisième de l’une des urnes d’où les deux premières ne sont pas sorties, etc., c’est-à-dire, qu’après chaque tirage, on supprime l’urne d’où la boule a été extraite. On demande la probabilité d’amener, de

cette manière, un nombre n de boules blanches, dans un pareil nombre de tirages; n étant moindre que m ou égal à m.

Faisons, pour abréger,

[a -4- b •+• c -h d -f- etc. = s, ,

ab + ac -f- ad -+- bc + bd + cd-\- etc. = s % ,

abc -j- abd + bcd -f- etc. = r, ,

abcd -f- etc. = x 4 ,

etc. ;

de sorte que s, soit la somme des fractions a, b, c, d, etc., que s, représente La somme de leurs produits deux à deux dont le nombre est

— - , que $i désigne la somme de leurs produits trois à trois dont le nombre est — -* etc. La probabilité d’amener une boule

blanche au premier tarage, sera ^ s,. Si la boule blanche ou noire, extraite à ce tirage , est sortie de A, la probabilité d’amener une boule blanche au second tirage aura — (s, — a) pour valeur; cette pro-

babilité sera [ (<, — b), si la première boule est sortie de B; elle sera - (a, — c), si la première boule a été extraite de C; et ainsi

de suite. De là et des règles des n”' 9 et 10, on conclut

+ etc.,

pour la probabilité complète de l’arrivée d'une houle blanche au second tirage; a étant la probabilité que la boule extraite an premier est sortie de A, G la probabilité qu’elle est sortie de B, y quelle est sortie de C, etc. Or, ces probabilités a, G, y, etc., ne sont point égales entre elles (*) : d’après ce qu’on a vu dans le numéro précédent , on a

(*) Faute d'avoir eu egard à cette circonstance, la solution de ce problème qui se trouve dans le n® 17 de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes, est inexacte, et j’eu ai déduit une fausse conséquence.

ou a aussi, identiquement,

a ('s, — a) -f- b (s, — b) -h c( s, — c) etc. = a s t ;

la probabilité d’amener une boule blanche au second tirage deviendra donc, — — — . De même, la probabilité d’amener une boule blanche

(m — ij /,

au troisième tirage sera (■£, — a — b), si les deux boules blanches

ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A

et B; cette probabilité sera (s, — « — c), si ces deux boules ont

été extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilité d'amener une boule blanche au troisième tirage, aura pour valeur complète

-4- etc;

g, h, k, etc., désignant les probabilités que les boules extraites dans les deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilités sont, d’après le numéro précédent,

g== , h=-, k=—, etc. ;

et comme on a identiquement

ab (j, — a — A) -f- ac (s, — a — c) -f- bc(s, — b — c) + etc. = 3 s,, la probabilité de l’arrivée d'une boule blanche au troisième tirage deviendra ; — .

On continuera sans difficulté ce raisonnement autant qn’on voudra. 11 en résultera

pour les probabilités d’amener des boules blanches à chacun des n premiers tirages; la probabilité demandée sera donc le produit de ces n

• sjf

fractions (n* 5), qui se réduit à - s„ en faisant

de sorte que p. soit le nombre des produits n h n des m lettres a, b, c, d, etc. , desquels s, est la somme.

On vérifie cette valeur - s m , en observant que chacun de ces pro-

duitsest la probabilité de tirer n boules blanches de n urnes déterminées, prises parmi A, B, C, D, etc., et que, par conséquent , la somme de tous ces produits divisée par leur nombre est la probabilité d’extraire n boules blanches de n de ces urnes, prises au hasard; laquelle probabilité est évidemment la même que celle qu’il s’agissait d'obtenir. Dans le cas de asm, ona/t = i, et cette probabilité est s„ , ce qui résulte immédiatement de la règle du n» 5.

(3o). Maintenant, soit E' un autre événement, différent de E, mais dépendant des mêmes causes que l'on a désignées par C„ C,, C 3 , etc. Représentons par

les chances de E' relatives à ces diverses causes , de sorte que p', soit la probabilité donnée que E' arriverait si la cause C, était certaine; cette cause étant seulement probable, et sa probabilité ayant été représentée par <ar. , l’arrivée de E' en vertu de cette cause, sera un événement composé dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probabilités (n* 5). De plus, la probabilité complète de E' sera la somme des chances relatives aux m manières différentes dont cet événement peut avoir lieu (n° io), c’est-à-dire, la somme des valeurs de p' m <w. qui se rapportent aux m causes possibles C,, C,, C,, etc., de E et de E'. En désignant par cette probabilité complète de E', nous aurons donc

— p',<ar, -f- p'»'® - , -f- . . . -f -p' m 'B’.-f- • . • + p'm'&m > ou bien , en mettant pour etc. , leurs valeurs ,

i P,P< 4 - PtP. + •■ • + P.P. + ■■■ + PmP'm

rne

Telle est la formule qui sert à calculer la probabilité des événements futurs, d'après l’observation des événements passés. On parvient aussi à la même expression, sans l’intermédiaire des causes communes à E et E', en les considérant comme deux événements composés qui dépendent d’un même événement simple; les raisonnements qui nous y ont conduits, s’appliqueraient également à cette autre manière d’envisager la question; mais on peut, si l’on veut, la faire rentrer immédiatement dans la précédente.

En effet, si E et E' sont deux événements composés d’un même événement G, et que G soit susceptible de différentes chances

toutes également probables avant que l’événement E ait été observé, on pourra les considérer comme autant de causes distinctes de E et de E'; en prenant donc g. pour la cause que l’on a appelée précédemment C. , la probabilité de g. sera la valeur de <ar, que nous avons trouvée, c’est-à-dire que nr , sera la probabilité que la chance de G est égale à g m : l’expression précédente de <ar' sera ensuite la probabilité de l'arrivée de E’, résultante de m valeurs possibles de la chance de G. Dans cette formule, p, et p\ exprimeront les probabilités données des arrivées de E et E', si g. était certainement la chance de G.

(5i). On ne doit pas confondre cette détermination de la probabilité de E', d’après l’observation de E, avec une influence quelconque de l’arrivée des événements passes sur celle des événements futurs, qu’il serait absurde de supposer. Si je suis sûr , par exemple, qu’une urne A renferme trois boules blanches et uue boule noire, il est certain pour moi que la chance de l’extraction d’une

boule blanche est par conséquent, si E' est la sortie de deux boules blanches tirées de A, en y remettant la première boule qui sera extraite , la chance dcE' sera le carré de ? ou ^,quel que soit l’événement E que j’aurai pu observer; et en supposant que E soit la sortie d’un certain nombre de boules blanches, et d’un certain nombre de boules noires, extraites successivement de A et remises à chaque fois dans cette urne, je devrai toujours, sans avoir égard à la proportion

Vf.

DigithA d by Üooglé

de ces deux nombres, parier ç) contre 7 pour l’arrivé de E'. Mais lorsque la chance del événement simple G ne m’est pas connue, et que je sais seulement quelle 11’est susceptible que de certaines valeurs, l’observation de E me fait connaître la probabilité de chacune d’elles, d’où je conclus ensuite la probabilité de E'. Cette observation augmente ou diminue la raison que j’avais de croire à l’arrivée de E', sans influer aucunement sur cet événement futur, ou sur la chance qui lui est propre ; de telle sorte que pour quelqu’un qui aurait observé un autre événement E, , dépendant du même événement simple G, la raison de croire à l’arrivée de E' pourrait être beaucoup plus forte ou beaucoup moindre que pour moi; ce qui ne changerait rien à la chance propre deE'.

Relativement à ce cas de deux personnes, dont l’une a, observé un événement E, et l’autre un événement E,, composés tous les deux d’un même événement G, il ne faut pas oublier que si E, comprend E et quelque chose de plus, l’opinion de la seconde personne sur l’arrivée d’un nouvel événement E”, dépendant aussi de G, sera plus éclairée que celle de la première personne, et devra être adoptée préférablement ( n" 1 ). En supposant que l’observation de E, ait conduit à une probabilité k de l’événement futur E', et celle de E à une probabilité h du même événement , la seconde personne, sera plus fondée à parier k contre 1 — A que la première h contre 1 — h, pour l’arrivce de E'; quelles

que soient d’ailleurs les fractions h et k, plus grandes ou moindres que

et la différence h — k, positive ou négative.

( 5 a). Il est bon, avant d’aller plus loin, de donner quelques exemples simples de l’usage des expressions précédentes de «•, et <w', que nous mettrons d’abord sous la forme abrégée :

la caractéristique 2 indiquant une somme qui s’étend aux m valeurs de l’indice n, depuis n= 1 jusqu’à n = m.

On sait qu’une urne B renferme m boules. blanches ou noires; on eu a tiré une blanche ; et l’on demande la probabilité quelle contenait un nombre n de bonles de cette couleur.

Nous pouvons faire sur les nombres de boules blanches que l’urne

contenait, m hypothèses différentes qui consistent à supposer successivement qu’elle renfermait m houles blanches, m — 1 boules blanches et une noire, m — 2 boules blanches et deux noires,. . . une boule blanche et m — 1 noires. Toutes ces hypothèses étant également possibles et s'excluant mutuellement, on peut les prendre pour les m causes C, , C., Cj, etc., de l’événement E, qui est ici l’extraction d’une boule blanche, sortie de B. Or, dansla supposition que parmi les m boules contenues dans B, il y avait n boules blanches, la probabilité de cette extraction serait le rapport de n à m, on a donc

d’où l’on conclut

et, par conséquent,

pour la probabilité que B contenait effectivement n boules blanches. Elle ne peut être j que quand on a m = n = 5 . En général , la probabilité que B ne contienne que des boules blanches, ou qu’on ait

n=m, après qu’on en a vu sortir une boule de cette couleur, aura m ^ t pour valeur.

Si E' est l’extraction d’une nouvelle boule blanche de B , sa probabilité sera différente, selon que la boule blanche déjà sortie aura été ou n’aura pas été remise dans cette urne.

Dans le premier cas, on aura

p' m = p.= l, Zp.p' m = £-.2n‘;

mais on a, comme on sait,

d’où l’on déduit

+ ( am + ') 1.3.3 ’

et, en conséquence.

sm 4. i

Dans le second cas, le nombre de boules blanches et le nombre total de boules que B renferme , étant diminués d’une unité à la seconde épreuve, on aura

P'- = ^T=T7' *P-P'.= —Tj Zn(n - »);

on aura toujours

et à cause de

* i.a — rxi *

on en conclura

La probabilité d’extraire une boule blanche d’une urne , d’où il est déjà sorti une boule de cette couleur que l’on n’y a pas remise , est donc indépendante du nombre m de boules blanches ou noires que l’urne renfermait, et toujours égaie à -j. La valeur de <ar' relative au premier cas se réduit aussi à cette fraction }, comme cela devait être, lorsque m est un nombre très grand et qu’on le considère comme infini.

Sur un nombre quelconque m de boules blanches ou noires que B renfermait primitivement, si l’on savait qu’il en a été extrait m — i

boules blanches , il y aurait la probabilité , que la boule restante est aussi blanche. On ne pourrait faire alors que deux hypothèses C, *

et C, , savoir : la supposition C, que les m boules étaient blanches, et la supposition C, qu’il y avait une seule boule noire. Dans la première hypothèse , la probabilité de l'événement observé est la certitude ; dans la seconde, cette probabilité, c’est-à-dire la chance d’extraire de B les m — 1 boules blanches est la même que celle d’y laisser la boule noire; et comme, à priori, la boule restante peut être également chacune des m boules contenues dans B, la probabilité que c'est la

boule Doire a L pour valeur. On a donc

d’où il résulte

pour la probabilité de la première hypothèse, ou, ce qui est la même chose , pour la probabilité que la boule restante dans l’urne soit blanche comme toutes celles qui en ont été extraites. Le cas de m = 1 n'est pas compris dans cette valeur de <isr,, non plus que dans la seconde des deux valeurs précédentes de <sr’.

(33). Voici encore une application immédiate des formules précédentes, dans laquelle on ne connaît pas le nombre total de boules blanches ou noires que l’urne B renferme; on sait seulement, par exemple, que ce nombre ne peut pas excéder trois. L’événement observé E est la sortie de x boules blanches, dans une série de n tirages où l’on a remis à chaque fois dans B, la boule blanche ou noire qui en était sortie. Si x n’est ni zéro, ni égal à n, on ne pourra faire sur les boules contenues dans B que trois hypothèses, savoir : l’hypothèse C, d’une boule blanche et d’une noire , C. de deux boules blanches et d’une noire, C s de deux boules noires et d’une blanche. Les probabilités de E qui répondent à ces trois causes distinctes, seront

/>. = (i)* Ci) a = P* = (i)*

ou , ce qui est la même chose ,

P‘ — P» — 3» t Pi — •}« »

en faisant pour abréger,

3* -f- 2 * + * -f- a** - * = fi,

on aura donc

pour les probabilités de C, , C, , C,. En prenant ponr l’événement futur E', l’extraction d’une nouvelle boule blanche, les probabilités de E' relatives à ces trois hypothèses seront

par conséquent, sa probabilité complète tr' aura pour valeur

Dans le cas de n = ax, on aura -ar,

.La valeur de ts ' est z, comme cela devait être; caries boules blanches et noires étant sorties en même nombre de B, il n’y a pas de raison pour croire plutôt à l’arrivée d’une boule blanche qu’à celle d’une boule noire dans un nouveau tirage. Néanmoins, il faudra que g* surpasse le double de 8*, ou que x soit plus grand que cinq, pour que l’on puisse parier plus d’un contre un , que le nombre de boules blanches est le même que celui des boules noires dans B, ou que celte urne renferme une boule blanche et une boule noire. La probabilité ta-, de cette hypothèse diffère très peu de la certitude , lorsque a: est un très grand nombre.

Si i est un nombre entier, et qn’on ait x s= ai et n — 3 i, il en ré-

sultera

, HnY + ; m 1 + i («sj 1 .

quantité qui différera très peu de 5 , lorsque i sera très grand. En môme temps, la probabilité <sr, que B renferme deux boules blanches et une boule noire, différera aussi très peu de la certitude.

Supposons encore que l’on ait n = 3.x. La valeur correspondante de n r' deviendra •

ï(a7)'-Hî('6)'+î(3a)'.

lorsque x sera très grand, elle se réduira à très peu près à -j , et la probabilité <Wj que B renfermera une boule blanche et deux boules noires, sera aussi à très peu près la certitude.

Dans les trois cas où le nombre de tirages a été supposé très grand, on voit que la probabilité «r' de l’arrivée d’une nouvelle boule blanche a eu pour valeur très approchée , le rapport du nombre des houles blanches sorties de B au nombre total des épreuves , et que , dans chaque cas, ce rapport a aussi été, avec une probabilité très approchante de la certitude , celui du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, c’est-à-dire la chance propre de l’extraction d’une boule blauche de cette urne. On verra effectivement, dans la suite, que quand un événement, d’une nature quelconque, a été observé un certain nombre de fois, dans un très grand nombre d’épreuves, le rapport du premier nombre au second est la valeur très probable et très approchée de la chance connue ou inconnue de cet événement. Dans l’exemple que nous considérons, cette chance

ne pouvant être que il s'ensuit que les valeurs ^ = ^, =

sont aussi les seules qu’on doive supposer, avec vraisemblance, quand x et n sont de très grands nombres.

(34). Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu'avant l'arrivée de E toutes les causes C,, C,, C», etc., auxquelles on peut attribuer cet événement étaient également possibles ; mais si l'on avait à priori

quelque raison de croire plutôt à l’existence de l’une dé ces causes qu’à celle d’une autre, il serait nécessaire d’avoir égard à cette inégalité des chances de C, , C, , C 3 , etc., antérieures à l'observation, dans l'évaluation des probabilités que ces diverses causes ont acquises après l'arrivée de E. Cette nécessité est un point important de la théorie des probabilités, surtout dans la question relative aux jugements des tribunaux, ainsi qu'on l’a expliqué dans le préambule de cet ouvrage. La démonstration du n° 28 est d’ailleurs facile à étendre au cas général où les causes de E avaient, antérieurement à l’observation, des probabilités quelconques dont les valeurs sont données.

En effet, comme dans ce numéro, remplaçons l’événément E par l’extraction d’une boule blanche qui a pu sortir de l'une des urnes A, , A,, A,, etc., et supposons d’abord que la sortie de chacune d’elles a été également possible pour toutes. La probabilité quelle est sortie de

l’urne A. sera ,

en désignant toujours par p. le rapport du nombre

de boules blanches an nombre total de boules contenues dam A., et étendant la somme 2 à toutes les urnes A,, A„ A„ etc. Pour d’autres urnes A»,, A»>r, etc., comprises parmi celles-là, cette probabilité sera de

même — , , etc. ; d’après la règle du n* 10, la probabilité que la

houle blanche est sortie de l’une des urnes A., A., , A.„ , etc., sera la

somme

£j>. ^ Z/>, ^ Zf>.

etc..

qui se réduira à l’une de ces fractions multipliée par leur nombre, lorsque les quantités p m , p.- , p ,., , etc., seront égales entre .elles.

Cela étant, concevons que les urnes A, , A,, A,, etc., se composent d’un nombre a, d’urnes A, dans chacune desquelles p, soit le rapport de la quantité de boules blanches à celle des boules blanches ou noires, d'un nombre a, d'urnes A, dans lesquelles ce rapport soit p, . . . . et enfin d'un nombre a. d’urnes A, où ce même rapport soit p, ; de manière que i exprime le nombre de ces groupes d’urnes semblables , et qu’en appelant s le nombre de toutes les urnes , nous ayons

s = a, -f- a, -f- a, -f- .... -f- ai.

SUK LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. g 5

La somme Z/>. étendue à toutes les urnes pourra être remplacée par celle-ci la.p. qui s’étendra à tous le&,groupes, ou à toutes les valeurs de l’indice n , depuis n = 1 jusqu’à n= /. Si donc les urnes A. , A.- , A.., etc,, forment un des groupes et sont en nombre a , , la probabilité que la boule blanche extraite de l’une des s urnes , soit sortie de ce

groupe, aura pour valeur le rapport , multiplié par a.; en sorte qu’en la désignant par <v m , nous aurons

-nr.

ïa.p.’

Mais avant l’observation, la probabilité que la boule blanche ou noire qui serait extraite, sortirait de ce même groupe , était évidemment ; en la représentant par 7. , on aura donc