a, — sq. m

et si l’on substitue cette valeur de a, dans celle de *&,, et que l’on supprime le facteur s qui sera commun au numérateur et au dénominateur, il en résultera

Cela posé, les différents groupes d’urnes que nous venons de considérer, représentent toutes les causes possibles C,, C,, C,, etc., de l’événement E, dont le nombre est i, et qui étaient inégalement probables à priori. La fraction 7. exprime la probabilité, avant l’observation, que l’événement qui arriverait serait du à la cause C. ; après l’observation , <ar, exprime, la probabilité que l’événement E qui a eu lieu , a été produit par cette même cause; et comme les causes C,, C„ (J,, etc., s’excluent mutuellement , 7. et <tr. sont les probabilités, antérieure et postérieure à l’observation, de l’existence de cette cause. L’expression de nsr, montre donc que la probabilité de chacune des causes possibles d’un événement observé, est égale au produit de la probabilité 7. de cette cause avant l’observation et de la probabilité p, qu’elle donnerait à cet événement, si elle était certaine, divisé par la

gô RECHERCHES

somme des produits semblables , qui se rapportent à toutes les causes auxquelles l'événement peut être attribué.

La probabilité de l’événement futur E' qui dépend des mêmes causes que E, aura, comme plus haut, pour valeur, en em-

ployant dans cette somme l’expression de <sr, que l’on vient de déterminer; ce qui donne

Supposons que E' soit aussi observé après E. Soit E* un troisième événement dépendant toujours des mêmes causes ; et désignons par p'„ la chance que la cause C., si elle était certaine, donnerait à l’arrivée future de E". La probabilité de cette cause était <ar. après l’observation de E et avant celle de E*; par la règle précédente, elle est devenue

’• , après l’observation de E'; en mettant dans sa valeur celle

de «■„, elle devient et en la multipliant par p"., on aura lapro-

habilité de l’arrivée de E", en vertu de la cause C,. Par conséquent, si nous désignons par <ar’ la probabilité complète de cette arrivée, nous aurons

expression qui se déduit aussi de celle de 'or , par la substitution de p' t au lieu de p', et de p.p à la place de p.. Et, en effet, relativement à la cause C., ce produit p,p' m est la chance de l’événement observé, c’est-à-dire, de la succession des événements E et E'.

(35). Pour donner un exemple très simple de la règle précédente, qui pourra servir à en vérifier l’exactitude et la nécessité, je suppose que l’on trouve sur une table deux cartes dont les couleurs sont inconnues , et qu’en en retournant une , on observe quelle est rouge. On ne pourra faire que deux hypothèses sur les couleurs de ces cartes : • quelles sont toutes deux rouges, ou que l’une est rouge et l’autre noire. Si l’on ignore absolument d’où ces cartes proviennent , ces deux causes hypothétiques de l’événement observé seront également

probables à priori ; et après l’observation , la probabilité de la première hypothèse aura | pour valeur, comme on l’a vu dans un des

exemples du n° 5 a; en sorte que l’on pourrait parier deux contre un, que la carte non-retournée est rouge comme la carte retournée. Mais il n'en sera plus de même, si l’on sait, par exemple, que les deux caries ont été prises au hasard dans un jeu de piquet , composé de seize cartes rouges et d’autant de cartes noires. Avant l’observation, on aura (n* 18)

~ 3ïT3î’ — a * SïTSF’

pour les probabilités de la première et de la seconde hypothèse; on a, en même temps ,

P > = 1 > A = ïi

d’ou l'on déduit

mr = 9‘P' l 5

pour la probabilité de la première hypothèse, après l'observation; de manière qu’au lieu de deux contre un , il y a, au contraire , moins de un contre un, et seulement i 5 contre 16 à parier que la carte inconnue est rouge comme celle qui a été retournée. Cette valeur de •nr, sq vérifie immédiatement ; car il est évident que la question est la même que si, après avoir tiré une carte rouge du jeu entier, on demandait la probabilité de tirer encore une carte rouge des 5 i cartes restantes et qui n’en contiennent plus que i 5 de cette couleur.

En général , si l’on a un tas de m cartes dont a rouges et b noires , que l'on y prenne au hasard un nombre n de cartes, et qu'en retournant un nombre n — 1 de celles-ci , ou en trouve n* rouges et b' noires, on obtiendra, par la règle précédente,

a — et b — b' *

pour la probabilité tr, que la n Um ' carte est rouge, et pour la probabi-

gS RECHERCHES

lité 'or, quelle est noire. Cette valeur de mr, est aussi, comme cela devait être, la probabilité de tirer une carte rouge du tas primitif, réduit à m-n- f - 1 cartes, dont a — a rouges, par l’extraction de a' rouges et b' noires. La valeur de <nr, se vérifie de même; à cause de a-\-b—m et a! b‘ — n — j , on a d'ailleurs <sr, -f- «■, = i .

(56). La conséquence générale de la règle du n° 54, est que si deux événements E et E' dépendent d’une même cause, la probabilité de l’événement futur E' ne résultera pas seulement de l’événement observé E : on devra avoir égard dans son évaluation aux connaissances antérieures à l’observation que l’on pouvait avoir sur ce qui concerne la cause commune de E et E' ; de telle sorte que la probabilité de E' pourra être différente pour deux personnes qui auront observé le même événement E, mais qui avaient auparavant des données différentes sur la question.

De même, dans les questions de doute ou de critique auxquelles s’applique aussi le calcul des probabilités (n° 5); lorsqu’il s’agira de savoir si un fait- attesté par un témoin est vrai ou faux, on devra tenir compte , non-seulement de la chance d’erreur du témoin, mais encore de nos connaissances antérieures à son témoignage.

Ainsi, en représentant par p la probabilité que le témoin ne nous trompe pas, involontairement ou à dessein, et par q la probabilité de la vérité du fait avant qu’il fut attesté par le témoin, sa probabilité après le témoignage dépendra de p et q , et se déterminera de la manière suivante.

L’événement observé est ici l’attestation d’un fait qui n’est point incontestable. Dans la supposition qu’il est vrai, le témoin ne nous trompe pas, et p est, par conséquent, la probabilité de l’événement. Sa probabilité est i — p dans l’hypothèse que le fait est faux, puisqu’alors le témoin nous trompe. Avant le témoignage, q était la probabilité de la première hypothèse et i — q celle de la seconde. En appelant rla probabilité de la première hypothèse, ou de la vérité. du fait, après le témoignage qui l’atteste, on aura donc, par la règle du n° 54.

tî .

•On tire de là

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. yg

; . 1 pq + ( »— p) ( t — q)'

ce qui montre que la différence r — q est de même signe que p — d'où il résulte que le témoignage augmente ou diminue la probabilité de la vérité du fait , qui avait lieu auparavant , selon qu'on suppose p > j ou p < j : la différence est nulle et le témoignage ne change rien à la probabilité antérieure, dans le cas de />=!, où il y a un contre un à parier que le témoin dit ou ne Jit pas la vérité. Lorsque , à priori , on n’a aucune raison de croire plutôt à la vérité qu’à la fausseté du fait que le témoin atteste, la probabilité q est il s'ensuit r=p-, et, dans ce cas, la probabilité que le fait est vrai, ne dépend plus qne de la véracité et des lumières du témoin.

On ne peut pas supposer que l’une des deux quantités p et q soit l’unité et l’autre zéro; mais si p approche beaucoup de la certitude et que q approche encore plus de l’impossibilité, de manière que le rapport de q à i — p soit une très petite fraction, la probabilité r sera aussi très petite, et à peu près égale à ce rapport.. C’est le cas d’un fait contraire aux lois générales de la nature, et attesté par un témoin auquel on accorderait, sans cette opposition, un grand degré dé confiance. Ces lois générales sont pour nous le résultat de longues séries d’expériences; ce qui leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une très forte probabilité, encore augmentée par l’harmonie qu’elles présentent, et qu’aucun témoignage ne saurait balancer. Si donc le fait attesté est contraire à ces lois, la probabilité qu’il n’est point inexact sera à très peu près nulle avant le témoignage ; et en supposant même le témoin de bonne foi. il suffira qu'il ne soit point infaillible pour que sa chance d’erreur i — p soit extrêmement grande par rapport à cette probahité antérieure q, et que la probabilité r, après le témoignage, puisse encore, être considérée comme insensible. En pareil cas, il serait raisonuable de rejeter notre propre témoignage, et de penser que nous sommes trompés par nos sens qui nous présenteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature.

(37). Supposons que le fait dont nous venons de considérer la probabilité, soit aussi attesté par un second témoin; désignons par p' la probabilité que ce témoin uc nous trompe pas, et par r' la probabilité de la vérité du fait, résultante du double témoignage; en observant