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qui montrent que la probabilité II , ou le produit Kp»y", est le terme du rang m + i dans le développement de (p + qY ordonné suivant les puissances croissantes de p , ou le terme du rang n -f- 1 dans ce développement ordonné suivant les puissances croissantes de q.

On conclut delà que dans le cas que nous examinons , où les chances p et 9 des deux événements contraires E et F sont constantes, celles de tous les événements composés qui peuvent arriver dans un nombre /a d'épreuves ont pour expressions, les différents termes de la formule du binôme P'^q âevé à la puissance /t.

lie nombre de ces événements «st fê -4- >• Ils sont in^alement probables , soit à cause de la multiplicité des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimée, pour chacun d'eux, par le nombre K, soit à raison de l'inégalité des- chances p et q. Dans le cas de /» = 9, l'événement le {Ans probable est celui qui répond à m = n^ lorsque /t

est uD nombre pair, et Tan des doux qui répondent à m -**nas rbi, quand fJL est un nombre impair. ^

(i5). Soit P la probabilité que E arrivera au moins m fois dans le nombre ft d'épreuves. Cet événement composé pourra avoir lieu de m -|- I manières différentes , savoir, lorsque £ arrivera ks nombres de fois fJLf fi — 1 9 ^i — 2, . • • et enfin fA^^noiain; les probabilités relatives à ces m + i manières se déduiront de l'expression précédente de n , en mettant successivement /x et zéro , a — i et i , /^ — 2 , et 2 , • • . jusqu a m et /i , au lieu de ces deux derniers nombres ; d'après la règle du n*" 10, la valeur complète de P sera donc la somme de ces 7z-|- I probabilités partielles; et, par conséquent, on aura

V=.f+^p>^-^q + tJ^J.^-^q^ + .

de sorte que P sera la somme des n^ i premiers termes du développement de (/> -f- qY 9 ordonné suivant les puissances croissantes de q.

Pour m = o , ou 71 = jEi , on aura

ce qui doit être, en effet, puisqu'alors Tévéoement composé comprenant toutes les combinaisons de £ et F qui peuvent arriver, sa pro^ babilité P doit être la certitude. Pour m =;: i , cet événement est le contraire de l'arrivée de F à toutes les épreuves; et, effectivement,

la valeur de P est , dans ce cas , le développement entier de {p -+- q)i^ »

moins son dernier terme q^i ce qui s'accorde avec la valeur de r du n* 8.

Si f» est un nombre impair 21 -f- 1, et si l'on demande la probabilité que E arrivera plus sowent <|iie F, en la déduira de l'expression générale de P, en y ûiisant m ss £ «f- i et /i sss i. Si fb est un nombre p^ir ai, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant de fois que F, en Causant m = n ss î, dans cette nâme expression.

(16). On déduit aussi de cette formule la solution du premier pro-

hlème de probabilité que Ton ait résolu , qae nous avons indiqué au conomencement de cet ouvrage, et qni est connu sons le nom de problème des partis. Deux joueurs A et B jouent ensemble à un jeu quelconqae, où lun des deux doit gagner un point à chaque coup; p est la probabilité de A, 7 celle de B, pour gagner ce point; il reste à A un nombre a et à B un nombre b de points à prendre pour gagner la partie. On demande la probabilité a que ce sera A qui gagnera , ou la probabilité € que ce sera B. L'un de ces deux événements contraires devant nécessairement arriver, la somme a -+- € sera l'unité, et l'on aura seulement « à déterminer.

Observons d'abord que la partie sera terminée en un nombre de coups qui ne saiurait excéder ^ + ^ --~i ; car dans ce nomfire de coups, il arrivera nécessaii^ment que A aura gagné au moins un nombre a de points, ou que B en aura gagné au moins un nombre b. De plus, sans rien changer à leurs chances respectives de gagner la partie, les deux joueurs peuvent convenir de jouer ce nombre a + b — 1 de coups; cardans cette série de coups, un seul joueur pourra pœndre le nombre de points dont il a besoin : selon que A aura pris a points avant que B en ait pris b, ou que B en aura pris un nombre b avant que A en ait pris a, ce sera A ou B qui aura gagné la partie, quelque chose qui arrive ensuite. Pour déterminer les chances a et €, nous pouvons donc supposer qu'il sera toujours joué le nombre a + b^^ 1 de coups. Alors a sera la probabilité que sur ce nombre d'épreuves, un événement E dont la chance est pk chaque épreuve, arrivera au moins un nombre de fois a; par conséquent, sa valeur se déduira de TexpressioD précédente de P , en j faisant

ft s a

-hb

ïp m = Uf n ss b

Si l'on a , par exemple ,

on trouvera

lia fi i3i a43' ^~*a43'

et C surpassant «, il s'ensuit qu'un joueur A dont Thabileté est double

de celle de B , ou qui a une chance double de gagner chaque point , ne peut néanmoins parier, sans désavantage , de gagner quatre points ayant que B en ait pris deux.

Si les deux joueurs conviennent de se retirer sans achever la partie , on verra plus loin que ce qui reviendra à A sera Venjeu multiplié par la chance « de gagner, et à B le produit de Tenjeu et de la "chance Q^ c'est-à-dire qu'ils devront partager l'enjeu proportionnellement aux fractions a et ^.

(17). Au lieu de deux événements E et F, supposons qu'il y en a un plus grand nombre , trois, par exemple, que nous désignerons par E, F, G, et dont un seul devra arrivera chaque épreuve. Soient p, 9, r, leurs probabilités constantes , et /x le nombre des épreuves. Par une extension facile de la méthode du n* 14» on trouvera