lt.l.2.3... 71. I
pour là probabilité que le premier des événements E, F, G, arrivera m fois, le second n fois, le troisième o fois. On aura, en même temps,
et la probabilité dont il s'agit sera le terme général du développement du trinôme f' + 9 + ^ élevé à la puissance /x.
Ce cas est celui d'une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs différentes, dans les proportions marquées par les fractions p, 9, r, et où les événements E , F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant à chaque fois dans l'urne la boule qui en est sortie.
En prenant dans le développement de fp +9+ r/*» la somme des termes qui renferment une puissance de p, égale ou supérieure à /n, on aura la probabilité que Ë arrivera au moins un nombre m de fois dans un nombre /t d'épreuves. Quel que soit le nombre des événements E, F, G , etc. , parmi lesqufibs nn seul arrivera à chaque épreuve, on peut aussi déduire immédiatement cette probabilité, de l'expression ^ précédente de P. En effet, représentons toujours par p, 9, r, etc., les chances constantes de E , F, G , etc. ; à chaque épreuve , l'arrivée /de l'iin ou l'autre des éyénements E> F, G, etc., peut être considérée
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Sj
comme un ëvénement composé, que j'appellerai F'; en désignant par q' sa probabilité, on aura
y' = 9 + '^ H- etc. , /i + ^' = I ;
E et P seront alors deux événements contraires, dont un seul aura lieu à chaque épreuve; par conséquent, la probabilité que E arrivera au moins m fois, dans une série de fi épreuves, s'obtiendra en mettant q' au lieu de q dans l'expression de P.
Pour donner un exemple de cette règle fondée sur le développemei^t de la puissance d'un polynôme , je suppose qu'une urne A renferme un nombre m de boules portant les n°* i , a , S , . . . m; on tire /x fois de suite une boule de cette urne , en y remettant à chaque fois la boule sortie; la chance , a chaque tirage , de l'arrivée d'une boule portant un numéro déterminé , est la même pour toutes les boules ,
constante pendant les épreuves, et égale à — ; cela étant, désignons
par Hi, ii», ^s,,.. n., des nombres donnés qui peuvent être zéro, égaux, inégaux, pourvu qu'on ait toujours
et soit U la probid)ililé qu'on amènera, dans un ordre quelconque, fi. fois le n* I , n. fois le n* 2,. . ./i» fois le n"" m : si l'on fiiit
et que fou développe 6 suivant les puissances et les produits des indéterminées ^,, /., ^3,... t^, la valeur de Usera le terme de ce
développement , contenant le produit t^* /. * ^s ' • • • ^« "1 dans lequel on fera toutes ces indéterminées égales à — . En représentant par N le coefficient numérique de ce produit , nous aurons donc
«^ N étant un nombre entier, qui dépendra de ft et des nombres ii|, n«, Hs,. . . . n», savoir.
JJ —g .
5S BECHEHCIffiB
où l'on prendra l'uniDé pouv le prodaît t*2.i. • «n,, quand n, serm zéro, et de même pour chacun des produits semUablesl
Cela posé , soit s la somme des numéros sortis dans les /a tirages , on aura
* sK /i, -f- 2/1, -f- 5^3 -f- . . . + mn^.
Par copséquexrt, si s est un nombre donné ; que l'on prenne successivement pour n^,n^f /^t»- • • ^j tous les nombres entiers ou zéro qui satisfont à cette équation et dont la soname est égale à /t; et que Fon désigne par N'y N", N'^', etc., les valeurs correspondantes de N^ et par y la somme de celles de U, il en résultera '
'Vs=— (N' H- N* +. N"'+ etc.),
TTIT
pour la probabilité d'avoir, dans un nombre ^6 de tirages, une somme de numéros donnée et égale à s.
On calculera plus aisément la valeur de V en changeant dans les indéterminées r,, t^, ^j,... ^, dans les puissances^, r% ^.. . r, d'une même quantité t : si l'on désigne par T ce que ô deviendra , on aura
et il est aisé de voir que la somme N'+N"+N'"+etc. ne sera autre chose que le coefficient numérique de i* dans le développement de T ; par conséquent , si l'on représente ce coefficient par M, , il en résultera
Ce coefficient M, dépendra des nombres donnés /t , m, ^ , et s'obtiendra facilement dans chaque exemple.
Au lieu d'une seule urne V^ on peut supposer qu'on ait un nombre /JL d'urnes A., A,^ A3,. • .A^, dont chacune contienne m boules numérotées i, 2, 5,.. .m, et ti««r en tn&tne temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi remplacer ces uraes par un pareil nombre de dés : s'il s'agit de dés ordinaires , à six faces ^ portant les n*' I, :2, 3, 4» ^1 69 ^^ ^^^^ m >= 6, et V exprimera la probabilité qu'en projetant simultanément un nombre /t de dés^ on amènera une
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5g
somme de Muaénos égaie à s. Soit, par exemple, f6 ssS, et ccmséquemment
T = /»(i + ^ + /•+ ^s -1- i* + fi)\ V = g5 M,-
Le^déreloppemtntde Tseoomposera de seiae termes ; les coefficieotsrdes termes ëgâlemttiitékMg«ës4es extpémes^ tels que M3 et M,t , M4 et Mt^^ • . . M,(^ et Mn 9 seront égaux; la somme ^e tons les troefficientfrauFa poor vdeur colle de Tcpii répond 4i ^ es i^ ou G'; la somme des huit pre*mieps ooeflBcientB M3 ^ M^ • . . , M,» , sera égale kj&, anusi^e Ja somme des huit derniers M,|^ M.g. . . M.g; d'où Ton conclut qu'en projetant trois déskia £cm, k probabilité d'amener 10 4>u un nombre moindre est 7, nomme odled-«mener 11 ou un nombre phis^^nd ; en soFlequIon peut parier à jeu ^al^ounn contre im, qneilasonmiedes trois numéros qui arriveront vpassera oune passera pas ienombre'dîx. -C'est sur ce résultart qu'est fondé le jeu qu^appeUe le passe-diau Sans le secours d'aucun calcul, on s'assure aisément de l'égaUté de ckanœ de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposées d'un même dé, porte ks numéros dont la somme est sept, tels que un et six^ deux et cinq, trois et quatre. Il s'ensuit alors, que quand les trois dés tombent sur le tapis j la somme des trois numéros supé* rieurs , jointe à celle des trois numéros inférieurs ^ forme toujours le nombre ai; par conséquent, si la première somme est au-dessus de dix , la seconde sera au-dessous et réciproquement. Les deux joueurs sont donc dans le ménae cas que si l'un pariait que ce sont les numéros supérieurs qui passeront dix , et l'autre que ce sont les numéros infé* rieurs. Or, il est évident que les cbances de ces deux événements seront égales ; car quels que soient les trois numéros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l'événement contraire, c'està-dire l'arrivée de ceux-ci au-dessus et de ceux-là au-dessous, sera également possible. Mais .pour connaître les chnnces des diverses valeurs de^, depuis ^-s= 3 jusqu'à j= 18, il est nécessaire de recourir au développement de T. On trouve, en l'effectuant
M,s=M^3ts.i, M^sbMi^ssS^ M5SsM||=;=6, Me^xsMisscsïio,
M,=sM,4=:i5, Ms==Mi3^2i, M,=M„=a5, M^^ssBt^^euaj^
6o RECHERCHES
pour lés nombres des combinaisons de trois numéros qui peuvent amener les sommes 5 ou i8^ 4 ^^ i7,...io ou ii :en les divisant par 6' ou ai6, on aura les chances de ces diverses sommes.
(i8). Lorsque la chance de Tëvénement E varie pendant la durée des épreuves, la probabilité de sa répétition un nombre de fois donné, dépend de la loi de cette variation. Supposons $ comme dans le n"* g, que E soit l'extraction d'une boule blanche, tirée d'une urne A qui Contient des boules de cette couleur et des boules noires, et dans laquelle on ne remet pas la boule sortie à chaque tirage. Soient a et b les nombres de boules blanches et de boules noires que A renfer^ mait avant les épreuves , ^t le nombre des tirages, et4rla probabilité qu'il sortira m boules blanches et n boules noires, dans un ordre déterminé ; la valeur de ^ sera donnée par la formule du numéro cité ; et cette valeur étant indépendante de l'ordre suivant lequel les boules des deux couleurs se succéderont, si nous désignons par n la probabilité qu'elles arriveront dans un ordre quelconque^ nous aurons
K étant le même nombre que dans le n"" i4 » et en Csdsant toujours
Faisons aussi
a — m:=za\ 6 — n = A', c — /jl^ss a' + b's^c';
en sorte que a', ô', c\ soient ce que deviennent, après les tirages, les nombres de boules des deux couleurs et leur somme , qui étaient primitivement a , & , c. En ayant égard aux expressions de K et de ^, celle de n pourra s'écrire ainsi
