I.2.cS.../«>I*3*9'*«a«i*2.3...^.I«2.3...c

ce qui permettra d'étendre facilement cette expression au cas où A renfermerait des boules de trois ou d'un plus grand nombre de couleurs différentes.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 6i

En sopprimant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, cette formule devient plus simplement (^)

i./»^a.../»^ii+i fl.fl— i.a— 2...a— m+i.ô.ô— i.ft— 2..,,^— n+i

i.a«3...ii * ce— I .c— a. . «c— /«^i

La probabilité que sur le nombre ft de tirages il sortira de A au moins m boules blanches , sera la somme des ra + i valeurs de FI que l'on.

(*) Après les ^ tirages qui ont amené m boaks blanches et n noires, la chance d'amener une blanche dans un nouveau tirage, dépend de ces nombres m et n, et est

égale à -p. Mais pour une personne qui saurait seulement qu'on a tiré de l'urne un

nombre f« de boules, et qui ignorerait la proportion des blanches et des noires qui en sont sorties, la probabilité de l'arrivée d'une boule blanche, dans un nou-

▼eau tirage, serait très différente de cette chance -» ; et d'après une note que vient de m'adresser M. Emile Mondésir, ancien élève de l'École Polytechnique, la probabilité dont il s'agit est indépendante des nombres m et rf ,. et égale à p comme

avant les tirages.

Pour vérifier cette proposition sur un exemple, supposons qu*on ait

a=s4i 6 = 3, css'jy ^ = a^ c'^ = 5.

Relativement aux nombres m et n, il y aura trois cas possibles ^ mais inégalement probables, savoir yn= a et nsso, m:=i et n=i, m sas o et 11 = a. Les probabilités de ces trois cas différents, déduites de l'expression de n, seront respec-

tivement -, -t, -^ dans ces mêmes cas, les chances de l'arrivée d'une blanche 7 7 7

2 3 X dansun tirage subséquent, auront pour valeurs^, 79 |; d'après les règles des

n^ 5 et 10, la probabilité complète de l'extraction d'une boule blanche, sera donc la somme des produits de - «^ ?» -^ «^ §1 - et |; laquelle sonune est effectivement égale à -, on à - . Je renverrai, pour la démonstration générale, à la note de

M. Mondésir, qu'il se propose d'insérer dans le journal de M. Liouville.

La proposition est évidente quand on a â = 6 ; car dans ce cas , pour une personne qui ne connaît pas les boules extraites de Turne, il n'j a pas plus de raison de croire, après comme avant cette extraction, à l'arrivée d'une boule blanche quTà

62 RË€HE31GHËS

obtient , ea mettatit successiveraeiit au lieu -de m et n éans cette dernière formule, ju et zéro, /et — i et i^ /x •*- a et 21, . . ./t -— n et m En daignant cette probabilité par P, nous aurons , de cette manière ,

+ ^'^^ ",&.^ — r.a. a— 1 .a— 2. . .a — AtH- 5

-H ^'^^' y — '^'^ — '** — a.a.a— i.a — 2.. .a — )tt + 4

•j- ^ ^ ■ *^ ' — 5 C*— — l.6.é-i^.^ii^|.fl.fl.-i..^-m+i.

Dans le cas de m sas o et n = /Et^ on devra avoir P ss 1; on en conclut donc

ce— i.c — 3...C — fc-f» I ssa.a-— i.a — 2.. .a— ft + i

+ ^'^"" *^^ .6.6— 1.6— 2.a.a-l.a— 2« ..a— ft+4 1.2.3

+ /A.b.b'^ i.b — 2, . .6 — f^H- 2. a + 6.6 — 1.6 '^a. ..b '^fJL +1 ;

celle d'une boule noire; et par conséquent, la probabilité' d'amener une boule blanche, reste touj ours égale à { « On peut aussi remarquer quie cette propontion s'accorde, dans le cas où les nombres a et 5 sont infinis, avec une autre qui sera démoAtrée danslasuit&de cet ourrage, et suivant laquelle il est certain que les nombresm et n seront entre eux comme a et 6 ; alors, on est donc assuré que les nombres a' et à\ des boules restantes dans l'urne sont encore entre eux comme âet 6 j en soi'te que la chance et la probabilité de l'arrivée d'une nouvelle boule blanche, ne sont

plus distinctes l'une de l'autre, et ont pour valeur le rapport -7 égal à -»

ce qui coïacîd^ ay^ une. formule connue et analogue à celle du binôme. Dana eette for nuile et dans toutes celles de ce genre $ chaque quantité telle que a. a — i.a — 3. .«a-fr-mTh i; est un produit de m facteurs pour lequel on doit prendre l'unité quand m = o: d'où il résulte que cette formule ne conrient pas au cas de /a =: o ; exception qui a lieu également pour la formule du binôme appliquée à la puissance zéro.

(19}. Au lieu de faire /ul tirages successifs sans remettre les boules sorties de A ^ il est évident que la probabilité d'amener m boules blanches et n bou)es iioiras serait encore la même ^ si l'on tirait en une seule km m-^nonfi boules de eette urne. C'est ^edivement ce qu'on peut v^fler de la manière suivante.

Je désigne généralement par G^ les nombre de groupés composés chacun de fi boules , qne Ton peut forméir avec les o boules contenues dtins A. On aura

En effet, pour former tous ces groupes au moyen de ceux de /ia «— i boules, il faudra combiner chacun de ceux-ci avec les c — fi^i boules qu'il ne contient pas ; ce qui donnerait un nombre (c— ^i + i)Gyu — t de groupes de f« boules ; mais comme il y a un nœnbre yu de groupes de /{«— fi boules qui donnent un même groupe de ^ boule») on devra diviser œ produit ( c -^fA -*!*-■) G^. i par ft pour avoir le nombre de groupes difiérenta, cooaposéa de fi boules. On aura donc

G as^-H^L+Uft

or, pour ^fc=3 I, on a évidemment G, =c; si donc on fait successivement fftt=a, =:5, 2=4, etc., il ei^ résultera

G.«î=li.G.

2 •^' iT^»

^ — 2 /> ce— I.C

et enfin l'expression de G^ qu'il s'agissait de démontrer.

En représentant ce que devient 6. par G'., lorsqu'on y change c et fe en a et m, et part G'^., quand on y fait le changement de c et fc enb et n , nous aurons de même

^/ û.fl — i.a — a. . •«— m + 1

ljr« = - ■* T" ' >

Le produit de G'„ et G"« sera le nombre de groupes de m 4-^ ou /a boules que l'on peut former avec les a + ^ ou c boules contenues dans A, et dont chacun renfermera m boules blanches et n boules noi* res ; la probabilité d amener i^n de ces groupes en tirant à la fois pt, boules de l'urne A , est d'ailleurs éga][e à leur nombre divisé par celui de tous les groupes de fe boules que A renferme , c^est-à-dire à ce produit G'„G'.y divisé par G^; en la désignant par IIi on aura donc

ce qui coïncide avec la valeur de II du numéro précédent. L'ex-> pression de P du même numéro est aussi la probabilité d'amener au moins m boules blanches en tirant à la fois fi boules de l'urne A.

(ao). Dans l'exemple de ce n* iS, la chance de l'événement E variait pendant les épreuves, parce qu'à chaque nouvelle épreuve, elle dépendait des nombres de fois que £ et l'événement contraire F avaient eu lien précédemment; mais il y a d'autres cpiestions dans lesquelles ces deux événements , d'une nature quelconque p ont des chances propres, indépendantes à chaque épreuve, de ce qui est arrivé jusque là , et qui varient d'une épreuve à une autre.

Généralement, dans une série de fi épreuves que l'on va faire ou qui ont eu lieu, soient p^ et q^ les chances de E et F à la première épreuve j p^ et ç, à la seconde . . . . fv* ^* ?/» ^ 1* dernière^ de sorle qu'on ait

Pour obtenir la probabilité qae E arrivera ou est arrivé un nombre Il de fois et F un nombre n ou fi — m^ dans un ordre quelconque, je désigne par P« le produit d'nn nombre m des fractions />„ p^^ p^, • . .p^, et par Q. celui d'un nombre n des fractions 9, , 9. , 93 9 • • • «f/uy <pii n'entrent dans aucune des équations précédentes, avec l'une des fractions comprises dans P. , de manière que si P« renferme la fraction quelconque Pi, la fraction correspondante q^ n'entrera pas dansQ.^ et que si P^ ne contient pas p,, la fraction qi entrera dans Q.. Je multiplié ensuite ces deux produits P. et Q^Tun par l'autre, puis je fais la somme de toutes les quantités possibles P^Q., ainsi formées, et dont le nombre sera celui que l'on a désigné par K dans le n"" 14 : cette somme exprimera la probabilité demandée.

On peut énoncer cette règle d'une autre manière qui nous sera utile dans la suite.

Soient u et t^ deux quantités indéterminées; faisons

^^{up*^^,) (^Pm+^9*) {^Pi + ^9s)* • • •(«Pa* + ^/»)»

de manière que R exprime un produit de /x ou m«f-/i facteurs. Si l'on effectue ce produit, on aura un polynôme de ft+i termes, ordonné suivant les puissances de u et de p. Or, le coefficient de u"(^ dans ce polynôme sera la probabilité que nous considérons, de l'arrivée m fois de E et 71 fois de F, dans un ordre quelconque. Prenons , par exemple, m =s 3. Nous aurons

R = u'^p.pjfs + u^i^ {ptPJIz + />.M* + P»P«9' )

Le coefficient de u^ est évidemment la probabilité de l'arrivée de trois fois E ; le coefficient de u^9 est celle de l'arrivée de deux fois E et une fois F, ce qui peut avoir lieu parce que E arrive aux deux premières épreuves et F à la dernière , F à la seconde épreuve et E aux deux autres, F à la première épreuve et E aux deux dernières; le coefficient de uv^ exprime de même la probabilité de l'arrivée de deux fois F et d'une fois E; enfin » celui de «^ est évidemment la probabilité de l'arrivée de trois fois F.

Si à chaque épreuve, E peut avoir lieu de plusieurs manières également possibles, on prendra pour la chance de E à cette épreuve, cou-

formémeotà la règle du n" lo^ la somme des probabilités respectives de ces diverses manières, divisée par leur nombre. En retranchant de l'u- Hité cette chance moyenne de E^ on aura celle de F ; et c'est d'après ces deux chances moyennes à chaque épreuve, que Ton devra calculer la probabilité que E et F arriveront m et n fois dans m 4* ^^ épreuves, ou celle de tout autre événement composé de E et F. Quoique les chances partielles de E et F varient en nombre et en grandeur, d'une épreuve à une autre ; si leurs chances moyennes demeurent constan* tes, les probabilités des événements composés suivront les mêmes lois que dans le cas des chances invariables.

(21). Une des applications les plus fréquentes du calcul des probabilités a pour objet de déterminer les avantages ou les désavantages attachés aux choses éventuelles, d'après le gain ou la perte qu'elles doivent produire 1 et les chances de leurs arrivées. Elle est fondée sur la règle suivante.

Supposons que l'un des événements E, F, G, H, etc., en nombre quelconque, doive avoir lieu; et désignons leurs probabilités par Pf 9f O ^f etc. , de sorte qu*on ait

P + î H- '' + «^rf- etc. = I.

Supposons aussi qu'un gain g soit attaché à l'arrivée de £ pour une

première personne^ à celle de F pour une deuxième personne, etc. ; si

toutes ces personnes conviennent de partager g avant que le sort ait

décidé, ou bien, si elles y sont obligées par des raisons quelconques,

ce gain devra être partagé entre elles proportionnellement à leurs

probabilités respectives de gagner, c'est-à-dire, que g/? devra être la

part de la première personne, gq celle de la seconde, etc.

En effet, soit m le nombre de tous les cas également possibles , et

parmi ces cas, soient a^ b, c, d, etc., les nombres de ceux qui sont

favorables à E, F, G, H, etc. , de manière qu'on ait

û + ô -f- c + rf-f- etc. := w I

et ensuite

S'il y avait an nombre m de personnes dont chacune dût gagner par Tarrivée de l'un des m cas possibles, il est évident qu'il faudrait diviser g

également entre elles toutes, et que —g serait la part de chacune; or, la

personne dontj? est la probabilité de gagner, ou qui a pour elle un nombre a de cas possibles, devra aussi réunir un pareil nombre de ces parts

égales; sa part entière devra donc être — g, ou /7g ; et de même celles

des autres personnes seront qg, rgj sg, etc.

Dans les jeux déjà commencés, cette règle fera connaître ce qui reviendrait à chaque joueur d'après sa probabilité d'achever de gagner la partie, si l'on convenait de se séparer avant delà terminer. On en conclut aussi que la mise de chaque joueur avant que la partie commence

doit être proportionnelle à sa chance de la gagner; car si, au lieu de jouer, on convenait de se séparer, chaque joueur devrait retirer sa mise; et, d'après la règle précédente, ce qui lui reviendrait devrait aussi être égal à la somme des mises, multipliée par la probabilité de gagner la partie entière. Cette probabilité, dans les jeux de pur hasard , dépend des règles du jeu^ et peut se calculer à priori, quand elles ne sont pas très compliquées. Dans les jeux où le succès dépend de l'habileté dé chaque joueur, sa probabilité de gagner est fondée ordinairement sur sa réputation, et ne pourrait être déterminée, avec quelque exactitude^ que par une longue expérience.

Les probabilités de deux événements cpntraires E et F étant p etq, de sorte qu'on ait /? 4*9 = '9 si A parie une somme a pour l'arrivée de E, et B une somme 6 pour celle de F, il faudra pour que les paris soient égaux , que ces sommes a ei€ soient entre elles comme p et 9, ou qu'on ait

p6z=iqA.

Mais on ne doit pas oublier que ces probabilités petq sont, en général, différentes des chances propres de E et F^ et dépendent des connaissances que A et B peuvent avoir en ce qui concerne ces événements. Si ces probabilités sont fondées sur les mêmes connaissances pour A et pour B, le pari est équitable, quoiqu'il puisse &voriser beaucoup Tune de ces deux personnes aux dépens de l'autre. Si elles n'ont pas les mêmes données sur les événements E et F, la proportion des sommes

a et € n'est plus celle des probabilités que A et B supposaient à ces événements, et il n'y a plus moyen de la régler équitablement.

(22). On calculera sans .peine , au moyen des formules du n** ig, les diverses chances de la loterie de France^ heureusement supprimée par une loi récente. En les comparant aux multiples des mises cfie la loterie payait pour les billets gagnants, on verra que ces multiples étaient beaucoup au-dessous de ceux qu'elle aurait dû payer pour que le jeu fut égal y et qu'il en résultait pour la loterie, aux dépens des joueurs, un avantage exorbitant que la loi aurait puni comme illicite, dans une spéculation particulière.

Soient, en général, n le nombre de nilméros dont une loterie est composée, m celui des numéros qui sortent à chaque tirage, l le nom* bre de ceux qui sont portés sur le billet qu'un joueur a choisi, et A la probabilité que ces derniers numéros sortiront. Les nombres de groupes de /.numéros qu'on peut former, soit avec les n numéros de la loterie , soit avec les m numéros qui sortent à chaque tirage, seront, d'après les formules du numéro cité ,

et la probabilité X aura pour valeur le rapport du second nombre au premier, c'est-à-dire.

En prenant pour unité, la mise du joueur, celle de la loterie devra être le rapport dé i-^X à X; et en cas de gain, la loterie devra aussi rendre au joueur la mise qu'il a payée d'avance; si l'on appelle /u le multiple de cette mise que la loterie devra payer au gagnant, on aura donc

Soit aussi jc le nombre de tirages nécessaire pour que l'on puisse parier un contre un, que les numéros portés au billet du joueur sorti-

ront au moins une fois ; oa aura, d'après la règle do n* 8 «

et quand la probabilité A sera une très petite fraction, il en résultera^ à très peu près,

jcr = i (0,69315 ),

en prenanto^GgSiS pour le logarithme népe'rie» du nombre x. Dans la loterie de France^ on avait

Pour un ferrie, il fallait prendre /sssSj d'où il résultait

La loterie aurait donc dû payer au gagnant, pour que le jeu fôt égal, 1 1 748 fois sa mise : elle lui payait seulement 55oo fois, c'est-àdire, moins de moitié. La disproportion était encore plus grande dans le cas du quateme et du quine; elle était moindre pour Yambe et V extrait. Il y avait de l'avantage à parier un contre un , qu'un terne donné sortirait au moins une fois en 8 1 44 tirages, et du désavantage à parier aussi un contre un, qu'il sortirait en 814S épreuves. Relativement à un numéro désigné d'avance , on aurait

il y avait donc désavantage à parier un contre un que ce numéro sortirait au D;ioins une fois en la tirages, et il aurait fallu i5 tirages, pour qu'il fût avantageux de parier un contre un que ce numéro sortirait. Il y avait aussi un contre un à parier que les 90 numéros sortiraient au moins une fois en 85 ou 84 tirages (^). . Parmi les joueurs, les uns choisissaient des numéros parce qu'ils n'é-

(*) Théorie analytique des probabilités s f^fS^t icji.

70 aECHERCHES

taieot.pas sortis depuis long-leinps^ d'autres choisiflsaieDt ^ aa coatraire, ceux qui sortaient le plus souvent. Ces deux préférences étaient également mal fondées : quoique, par exemple > il y eût une probabilité très approchante de la certitude et égale à i — f^ , ou à peu près

o,997,qu'un numéro déterminé sortiraitau moins une fois dans loo tirages successifs ; si cependant « il ne 6Cit pas sorti dans les 88 premiers, la probabilité de sa sortie da ns les 1 2 derniers aurait toujours été à peu

près -, comme pour tout autre numéro déterminé. Quant aux numéros

dont la sortie avait été plus fréquente que celle des autres , cette cir* constance ne devait être considérée que comme un effet du hasard , compatible avec l'égalité évidente de chance de tous les numéros à chaque tirage. A tous les jeux de hasard où les chances égales ou inégales sont connues d'une manière certaine, les événements passés n'ont aucune influence sur la probabilité des événements futurs, et toutes les combinaisons que les joueurs imaginent ne peuvent augmenter le gain ni diminuer la perte , qui résultent de ces chances d'après la règle du numéro précédent.

Dans les jeux publics de Paris, l'avantage du banquier à chaque coup est peu considérable : au jeu de trente^-et-quarante par exemple, il est un peu au-dessous de onze millièmes de chaque mise (^); mais à raison de la rapidité de ces jeux et du grand nombre de coups qui se jouent en peu d'heures, il en résulte pour le banquier des bénéfices assurés, à peu près constants chaque année, et sur lesquels il peut payer annuellement cinq à six millions k l'administration publique, qui lui en concède le monopole. Ils sont encore plus préjudiciables que la loterie ne pouvait l'être ; car l'argent qu'on y joue dans la capitale seulement s'élève chaque année à plusieurs ceutaines de millions, et surpasse de beaucoup celui que Ton mettait à la loterie dans la France entière. Ce n'est pas ici le lieu de discuter les raisons que l'on a coutume de donner pour la conservation des jeux publics; je n'ai jamais pu les trouver bonnes; et il devrait suffire que ces jeux fussent la cause de beaucoup de

C*'} Voyez sur les chances de ce jeu, le mémoire que j'ai inséré dans le journal de M. Gergonne ; tome XVI, n« 6 ; décembre iSaS.

malheurs et peut-être de crimes , pour que radministratioii les interdit au lieu de partager les bénéfices qu'ils procurent, avec les hommes auxquels elle en vend le privilège (^).

(a3)« Le produit d'un gain et de la probabilité de l'obtenir est ce qu'on appelle \ espérance mathénatique de chaque personne intéressée dans une spéculation quelconque. Si ce gain est 60,000 fr. , par exemple ^

et que ^ soit la chance de l'événement auquel il est attaché, la personne qui devra recevoir cette somme éventuellement , pourra considérer le tiers de 60^000 fr., comme un bien qu'elle possède, et que Von devrait comprendre dans l'inventaire de sa fortune ac* tuelle.

En général, si quelqu'un doit gagner une somme g à l'arrivée d'un événement E, une somme g' à l'arrivée d'un autre événement E^ etc., et que les chances de ces événements soient^, p'^ p^', etc. , son espérance mathématique aura pour valeur la somme gp^g'p* '^^p' +etc. Lorsqu'une ou plusieurs des quantités g , g\ g^, etc., exprimeront des pertes que cette personne aura à craindre, on leur donnera le signe — dans cette somme, en conservant le signe -f- à celles qui sont des gains éventuels. Selon que la valeur totale de l'espérance sera positive ou négative, elle représentera une augmentation ou une diminution du surplus de la fortune, et devra être comprise actuellement parmi les créances ou les dettes , si Ton ne veut pas atteîidre l'issue des événements. Il est bien entendu que quand les gains ou pertes ne devront avoir lieu qu'à des époques éloignées de celle que Ton considère, il faudra les escompter pour les convertir en valeurs actuelles, indépendamment de leur éventualité. Si g ne doit être payé, à la per-* soùne dont on évalue la fortune , que dans un nombre n d'années , g' dans un nombre n', etc., ces quantités valent aujourd'hui gf fff fl'f etc., divisées respectivement par les puissances n, n'^ n", etc.; de I -f- 8» en désignant par fl le taux de l'intérêt annuel. Par consc* quent, si l'on appelle 6 la partie de cette fortune qui résulte de l'es*

C*') Ce numéro de mon ouvrage était écrit avant que la dernière loi de finance eût benieusement prohibé les jeux de hasard à partir du i** janvier i838.

M IDlKMn

pérance mathématique de cette personne » on aura

Pour se charger des gains et pertes que les événements amèneront ^ i est la somme qu'une autre personne devrait payer aujourd'hui à celle-là , ou recevoir d'elle , selon que cette^quantité é est positive ou négative.

Le calcul des rentes viagères sur une ou plusieurs têtes , des assurances sur la vie , des pensions , est fondé sur cette formule et sur les tables de mortalité j ainsi qu'on peut le voir dans les ouvrages qui traitent spécialement de ces questions.

(24)- Comme l'avantage qu'un gain procure à quelqu'un dépend de l'état de sa fortune, âa a distingué cet avantage relatif, de l'espérance mathématique, et on Fa nommé espérance morale. Lorsqu'il est une quantité infiniment petite, on prend son rapport à la fortune actuelle de la personne , pour la mesure de l'espérance morale, qui peut d'ailleurs être positive ou négative, selon qu'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution éventuelle de cette fortune. Par lé calcul intégral , on déduit ensuite de cette mesure des conséquences qui s'accordent avec les règles que la prudence indique sur la manière dont chacun doit diriger ses .spéculations. On a aussi trouvé, dans les résultats de ce calcul, des raisons de ne pas jouer, même èjeu égal, qui ne sont peut-être pas les meilleures que l'on puisse donner. L'argument sans réponse contre le jeu, quand il a cessé d'être un simple amusement, c'est qu'il ne crée pas de valeurs^ et que les joueurs qui gagnent ne peuvent trouver leur avantage que dans le malheur et quelquefois la ruine de ceux 'qui perdent. Le commerce est aussi un jeu, en ce sens que le succès des spéculatioqs les plus prudentes, n'a jamais qu'une forte probabilité, et qu'il reste toujours des chances de perte que l'habileté et la prévoyance peuvent seulement atténuer; mais il augmente la valeur des choses par leur transport d'un lieu dans un autre ; et c'est dans cet accroissement de valeur que le commerçant trouve son bénéfice, en procurant aussi un avantage aux consommateurs.

(25). La règle du n* 21, quelque simple et naturelle qu'elle soit,

xlonne lieu cependant à nna difficulté dont on s'est autrefois beaucoup occupe. ^

Deux personnes A et B jouent k croix et pile; les conditions du jeu sont : I *. que la partie se terminera lorsque croix arrivera ; 2». que B donnera k A deux francs si croix arrive au premier coup , quatre francs s'il arrive au deuxième coup,... et généralement 2" francs si croix arrive au /i""' coup; 3*. que la partie sera nulle si croix n'arrive pas dans les m premiers coups, limitation sans laquelle la partie pourrait être interminable. On suppose que la pièce n'a aucune tendance à retomber plutôt sur une fiice que sur l'autre , de sorte qu'à

chaque coup, la chance d'amener crûix soit - comme celle d'amener

pile. Il s'ensuit que — sera la probabilité que croixarrivera au/t"'"coup sans qu'il ait paru auparavant; car, pour cela, il faudra qu'on amène pile n — I fois de suite, ce qui a -^r; pour probabilité ; et que l'on amène

cwix au coup suivant , autre événement dont la probabilité est - . Par conséqueni, la probabilité que croix arrivera au n^*^' coup pour la première fois , aura le produit de -^^ et de -, ou — pour valeur. Dans ce

cas, A recevra s' francs; ce qui donne un franc pour la valeur correspondante de son espérance mathématique ; et comme elle est la même pour chacun des m coups dont la partie peut se composer, il s'ensuit que la valeur entière de l'espérance mathématique de A sera un franc répété m fois. Pour que le jeu fût égal , A devrait donc donner m francs à B, c'est-à-dire mille francs, un million de francs, si la partie pouvait durer jusqu'à mille coups, un million de coups, et même une somme infinie , si elle pouvait se prolonger indéfiniment. Cependant, il n'y a personne qui exposât une somme un peu considérable , mille francs par exemple, à un pareil jeu. Ici la règle de l'espérance mathématique parait donc en déBiut; et c'est pour lever la difficulté que nous signalons, que l'on a imaginé la règle de l'espérance morale et sa mesure. Mais on doit remarquer que cette difficulté tient à ce que, dans les conditions du jeu, on a fait abstraction de la possibilité pour B, de payer toutes les spmnies que les chances du jeu pourront valoir à A-

Quelle cfue grande qu'on la suppose , la fortune de B est nécessairement limitée; si donc on la désigne par un nombre b de francs. A* ne pourra jamais recevoir une somme plus grande que b; ce qui diminue, dans un très g^and rapport , son espérance mathématique. En effet, on aura toujours

S étant un nombre entier, et h une quantité positive et plus petite que Tunité. Si Ton a C )> m, ou seulement ^ s m, B pourra payer toutes les sommes qui échoiront à A; mais dans le cas de £ <i^f B ne pourra plus les payer, lorsque croix arrivera pour la première fois audelà des Ç premiers coups. L'espérance mathématique de A sera donc € pour ces premiers coups; mais au-delà, c'est-à-dire pour les m — € coups suivants, elle se réduira à la somme constante b ou

2^(i + h), multipliée par leurs probabilités respectives, depuis -^ • ^

jusqu'à — . En désignant donc par ê la valeur complète de Fespérance

mathématique de A, ou ce qu'il doit donner à B pour que le jeu soit égal, on aura

ou, ce qui est la même chjse,

quantité qui n'est plus croissante avec m, et qui est, au contraire, à très peu près indépendante de ce nombre, et se réduit sensiblement à

quand il est très grand. Or, la fortune de B ne peut jamais être assers grande pour que S cesse d'être un nombre peu considérable; et, conséquemnient, A ne doit exposer au jeu dont il s'agit, qu'une somme peu considérable, comprise entre ff+ï ^^ 6-^2. Si l'on suppose que B soit un banquier qui possède cent millions e francs, on trouvera 26pourla plus grande puissance de 2 comprise dans b, c'est-à-dire pour le

SUR LA probâhlité des jugements. 75

nombre €; en sorte que A aurait réellement du désavantage à parier 28 francs ou plus, contre le propriétaire de cette fortune colossale.

La règle de Tesperance morale , appliquée à cette question (^) , couduit 11 une fixation différente de la somme que A peut jouer, et que Ton trouve alors dépendante de la fortune de A et non de celle de B; mais il me semble qu'à ce jeu, c'est la possibilité d'être payé intégralement par B, qui doit limiter la somme que A doit lui donner avant que le jeu commence.

(a6). Je terminerai ce chapitre par quelques remarques sur Tinfluence d'une chance favorable à un événement , sans qu'on sache lequel ^ et qui augmente toujours, comme on va le voir, la probabilité de la similitude des événements dans une série dVpreuves.

Au jeu de croix et pile^ par exemple, il y a toujours lieu de croire que la pièce, d'après sa constitution physique, a une tendance un peu plus grande à tomber plutôt sur une face que sur l'autre; nynis on ignore à priori , si c'est croix ou pile dont l'arrivée est favorisée par cette circonstance; or, cela n'empêche pas qu'elle n'augmente la probabilité que ce sera la même face qui arrivera plusieurs fois de suite.

Four le faire voir, désignons par î (1 + <^) la chance relative à la &ce que la constitution de la pièce favorise, et, conséquemment , par ^ (i — cT) celle de l'arrivée de l'autre face; de sorte que J^ soit une petite fraction positive dont la valeur est inconnue, et de sorte aussi que l'on ne sache pas laquelle de ces deux chances inégales appartient à croix ou à pile. Si Ton doit jouer un seul coup, on n'aura aucune raison de croire que la face choisie par l'un des joueurs soit la plus on la moins fiivorisée; la probabilité de son arrivée sera doncl, comme si S" était zéro. Mais si l'on doit jouer deux coups ^ il y aura de l'avantage îi parier pour la similitude des deux faces qui arriveront. En effet, quatre comKinaiâms pourront a^r lieu : deux pour la similitude ^ croix- croix et pite*pile; deux povr k dipsimrilitiide , craix^pHe et pilecroix. Les chances des deux premières seront les carrés de 7 (1 -f" ^) eki{i — ^); la probabilité qve Ynue de ces combinaisons aura fieu sera donc, d'après la règle du n® 10, la somme de ces carrés, ou

(^ Tlkéonc analytique âtM probabilités y page 43g«

lO..

j (i + ^*)- Les chances des deux autres corabiuaisons seront égales entre elles , et exprimées chacune par le produit de 7( i +J^) et 7 ( t — J") ; leur somme , ou la probabilité de la dissimilitude , aura donc 7(1 — J"*) pour valeur; laquelle est moindre que celle de la similitude ^ dans le

rapport de la différence i — /• à la somme i + J^*, ou de i ^^

à l'unité. Si A parie un franc pour la similitude, et que B parie contre, il faudra , pour i^ndre le jeu égal, que B parie un franc diminué de la

fraction -^j^ > c'est-a-dire à peu près 98 centimes, si Ton avait J^ = — ,

par exemple.

Lorsque la pièce devra être projetée trois fois de suite, huit combi-^ naisons différentes pourront avoir lieu : trois fois croix et trois fois pile seront celles de la similitude; les six autres lui seront contraires , savoir, trois composées de deux fois croix et une (oispilcj et trois com->posées^le deux (oh pile et une fois croix. En supposant qu'on eut exactement J^ = o , les chances de ces huit^combinaisons seraient égales entre elles, et, par conséquent, A pariant toujours pour la similitude, sa mise devrait être le tiers de celle de B. Mais J" n'étant sans doute pas zéro, cette proportion des mises donnerait à A un avantage encore plus grand que dans le cas de deux projections successives. En effet , la probabilité de la similitude sera la somme des cubes de i ( k 4~ ^) et 7 (i — ^)^ qui se réduit à ^ (i -f- ScT*); en la retranchant de l'unité, on aura immédiatement celle de la dissimilitude ou de l'événement contraire, qui aura ainsi | f i — «T*) pour valeur; laquelle est moindre que le triple de la précédente , dans le rapport de l -— J '

à I +5J^* ou de I ^- !L\U ^ l*«°îté, c'est-à-dire dans un rapport

plus désavantageux que celui de I 'JTF^ ^ Tunité. On étendra sans

dif^culté ce raisonnement à plus de trois épreuves ,' et si Ton veut , à d'autres jeux où il y ait pluis de deux événements possibles, dont les chances inconnues peuvent être inégales.

Quand deux personnes jouent ensemble, à un jeu où l'habileté peut quelque chose sur le résultat , il n'est pas vraisemblable qu'elles soient également habiles; et cela étant, sans connaître la personne qui joue le mie;ux , il faut parier que ce sera un même joueur qui

StJR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 77

gagnera les deux premières parties. Mais lors même que l'oa con* naîtra le joueur le plus habile » on n'aura pas toujours de l'ayantage à parier que ce sera lui qui gagnera ces deux parties; car, sut quatre combinaisons qui pourront arriver, on en aurait alors trois contre soi et une seule favorable; et quoique celle-ci fût la plus probable, sa chance pourrait ne pas balancer celles des trois autres ensemble.

En général, soit p la probabilité connue d'un événement E de nature quelconque 9 et q celle de l'événement contraire F, de sorte qu'on ait P + 9 ^ I • Supposons , en outre , qu'une cause quelconque . puisse augmenter la chance de l'un de ces deux événements, sans qu'on sache lequel, et diminuer en même tempscellede l'autre, d'une fraction inconnue a. Daignons par « la probabilité que sur un nombre m d'épreuves, ce sera le même événement, E ou F, qui arrivera constamment. Si E est l'événement favorisé par la chance inconnue, la probabilité de la si* militude de m événements successifs, sera, d'après la règle du n* 10 ^

car elle pourra avoir lieu de deux manières dilTérentes , c'est-à-dire , selon que E ou F arrivera à toutes les épreuves. Si, au contraire, c'est F qui est l'événement favorisé, la probabilité de la similitude de m événements successif aura pour expression

Or, puisque Ton ignore quel est celui des deux événements E et F dont la chance est augmentée ou diminuée, ces deux valeurs diflerentes de la probabilité qui répond à la similitude , sont pour nous également possibles ; la probabaité de chacune d'eUes est donc i; et, toujoure par la règle du n* 10, la somme de ces deux valeurs multipliées par i, est la probabilité totale de la similitude. Par conséquent, on a

^=i(i'^-*)-+i(9-«)-^-U/'-«)-^-Kî^-«^

ou , ce qui est la même chose ,

en faisant , pour abréger,

P^ , Htm— I . ^ ^ , m.m — I .wi — 2.m — 3 « ^ * . =/^+ -rr-/' • + nx4 f^"^ "»- «*c-'

Q^ , ïn,Tn''-^i «... wi.fTi — I ,F?i — 2.?if — 3 ^ , , =9*+ -rrr -9" ••H rxir «^~ * + **'''

Si la chance ambiguë n'existait pas, c est*à-dire, si l'on avait a =s: o, la probabilité de la similitude serait simplemeot />*" + 9" ; toute cause qui accroît la chance de l'un des deux événemûnts contraires E et F, sans qu'on sache lequel, augmente donc au6si la probabilité âa la similitude des événements dans une série d'épreuvesi puisqu'elle rend la valeur de V évidemment plus grande que/»**f- f"*.

SUR LA PROBABE.ITÉ DES JUGEMENTS. 7g

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