CHAPITRE II
Suite des règles générales; probabilités des causes et des é^^énements future ^ déduites de l'observation des és^énements passés ,
(27). Dans le chapitre précédent^ les règles que nous ayons considérées supposaient données les chances de certains événements, et avaient pour objet d'en déduire les probabilités d'autres événements composés des premiers. Dans celui-ci , on exposera les règles qui servent à calculer les probabilités des causes, d'après les événements observés, et, par suite, celles des événements futurs. Mais auparavant , il convient d'expliquer le sens précis que nous donnerons a ce mot cause ^ et qui n'est pas le même que celui qu'il a dans le langage ordinaire.
Quand on dit communément qu'une chose est la cause d^unc autre, on attribue à la première \q pouvoir de produire nécessairement la seconde, sans vouloir toutefois, exprimer par-là que l'on connaisse la nature de cette puissance, et comment elle s'exerce. Nous reviendrons à la Hn de ce chapitre sur cette notion de la causalité. Il nous suffit, quant à présent, de dire que le mot cause a, dans le calcul des probabilités , une signification plus étendue : on y considère une cause C, relative à un événement quelconque E, comme étant la chose qui donne à l'arrivée de £, la chance déterminée qui lui est propre; dans l'acception ordinaire du mot , C serait la cause de cette chance, et non de l'événement même ; et quand E arrive eflfectivement , c'est par le concours de G avec d'autres causes ou circonstances qui n'influent pas sur la chance propre de cet événement. Si p est cette chance, connue ou inconnue, et distincte en général de la probabilité, C donne en même * temps la chance i — p\k l'événement contraire F : dans le cas Aepz=. i , la chose G produit nécessairement l'événement E, et en est la cause proprement dite; dans le cas de p s= o, elle est celle de F.
8o RECHERCHES
L ensemble des causes qai concourent à la production d'un événement sans influer sur la grandeur de sa chance^ c'est-à*dire, sur le rapport du nombre de cas favorables à son arrivée au nombre total des cas possibles , est ce qu'on doit entendre par le hasard. Ainsi y par exemple, aux jeux de dés^ révëneraent qui arrive à chaque coup, est la conséquence du nombre des faces, des irrégularités de formes et de densité que le iie peut présenter, et des agitations nombreuses qu'on lui fait subir dans le cornet. Or , ces agitations sont des causes qui n'influent nullement sur la chance de l'arrivée d'une face déterminée ; elles ont pour objet de faire disparaître Tinfluence de la position du dé dans le cornet ayant ces mouvements, dans la crainte que cette position initiale ne soit connue de l'un des joueurs ; et quand ce but est atteint, la chance relative à l'arrivée de chaque face, ne dépend plus que du nombre des faces , et des défauts du dé qui peuvent rendre les chances inégales pour les faces différentes. On dira qu'une chose est faite au hasard , lorsqu'elle est exécutée sans rien changer aux chances respectives des divers événements qui peuvent arriver. Une urne renfermant des boules blanches et des boules noires , on en tirera une bople au hasard, si l'on ne regarde pas leur disposition dans l'intérieur de l'urne avant d'y porter la main : en supposant toutes les boules d'un même diamètrej la chance d'amener une boule blanche ne pourra évidemment dépendre que du nombre de boules blanches et du nombre de boules noires; et l'on démontre qu'elle est égale au rapport du premier de ces deux nombres à leur somme*
La cause C peut être une chose physique ou une chose morale : au jeu de croix et pile^ c'est la constitution physique de la pièce qui donne une chance généralement peu différente de f à l'arrivée de croix ou à celle de pile; dans un jugement criminel, la chance de la vérité ou de l'erreur du vote de chaque juré est déterminée par sa moralité, en comprenant, dans cette cause, sa capacité et sa conscience. Quelquesfois la cause C résulte du concours d'une chose morale et d'une chose physique : par exemple , dans chaque espèce de mesures on d'observations, la chance d'une erreur de grandeur donnée, dépend de l'habileté de l'observateur et de la construction, plus ou moins parfaite, de Finstrament dont il fait usage. Mais, dans tous les cas, les diverses causes des éyénements sont considérées, dans le calcul des probabilités, indépen^
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 8i
darnment de leurs nature particulière et sous le seul rapport de la grandeur des chances qu'elles produisent; et c'est pour cela que ce calcul s'applique également aux choses morales et aux choses physiques. Toutefois , dans la plupart des questions, la chance que détermine une cause donnée C n'est pas connue à priori , et la cause même d'un événement ou de sa chance est quelquefois inconnue : si la chance est constante, on la détermine, comme on le verra par la suite, au moyen d'une série d'épreuves suffisamment prolongée ; mais dans le vote d'un juré, par exemple, la chance d'erreur varie d'un juré à un autre, et sans doute, pour un même juré, dans les différentes affaires; et la répétition des épreuves , pour chaque juré et chaque espèce d'affaires, étant impossible , ce n'est pas la chance d'erreur propre à un juré que Ton peut déduire de l'observation, mais bien, comme on le verra par la suite, une certaine probabilité , relative à l'ensemble des jurés de tout le ressort d'une cour d'assises, et qu'il lui suffira de connaître pour la solution des problèmes qui sont l'objet spécial de cet ouvrage. Il y a souvent plusieurs causes différentes qui peuvent amener, en se combinant avec le hasard, un événement donné E ou l'événement contraire F; avant que l'un ou l'autre de ces deux événements ait eu lieu , chacune de ces causes a une certaine probabilité , qui change après que E ou F a été observé ; or, en supposant connue la chance que chacune des causes possibles donnerait, si elle était certaine, à l'arrivée de E ou de F, nous allons déterminer d'abord les probabilités de toutes ces causes après l'observation, el ensuite la probabilité de tout autre événement futur, dépendant des mêmes causes que E et F. (:28). Soit donc E un événement observé. On suppose que son arrivée peut être attribuée à un nombre m de causes distinctes, que ces m causes sont les seules possibles, qu'elles s'excluent mutuellement, et qu'avant l'observation , elles étaient toutes également probables. L'arrivée de E a rendu ces causes hypothétiques inégalement probables ; il s'agit de déterminer la probabilité de chacune d'elles, r&ultante de l'observation; ce qu'on fera au moyen du théorème suivant.
La probabilité de chacune des causes possibles d'un événement observé est égale a celle que cette cause donnerait à l'événement , si elle était certaine, divisée par la somme des probabilités de cet événement qui résulteraient pareillement de toutes les causes auquel on peut l'attribuer.
82 RECHEILCUES
Ainsi, appelons
les m causes possibles de révenement E; soient
Pî9 P^9 PSJ' • 'Pmj • • •Pm J
les probabilités connues de son arrivée, relatives à ces diverses causes ; de nianièi^ que p. exprime la probabilité de E qui aurait lieu si la cause C. était unique, ou, ce qui est la même chose, si elle était certaine, ce qui exdurait toutes les autres. Désig^ns ensuite par
les probabilités inconnues de ces méfnes causes; en sorte que v, soit la probabilité de la cause C. , ou , autrement dit , la probabilité que c'est à cette cause qu'est due l'arrivée de E. Il s'agira de prouver qu'on doit avoir
Pt +P% +P3 + . • . +Pm + . . . +Pm
Or, quel que soit l'événement E, on peut l'assimiler, pour fixer les idées, à l'arrivée d'une boule blanche, extraite d'une urne qui contenait des boules de cette couleur et des boules npires. On supposera , pour cette assimilation^ qu'il y avait un nombre m de semblables urnes
Al, Ag, A), • . .An , • . • A„,
dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans Tume quelconque A« , le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit égal à la fraction p^. Chacune de ces urnes sur lesquelles la main a pu se porter au hasard pour en extraire la boule blanche, représente une des causes de son arrivée 3 l'urne A. répond à la cause C.; et la question consiste à déterminer la probabilité que la boule blanche est sortie de A..
Pour cela, supposons que Ton réduise les fractions />,,/>«, /'s, etc.,
au n\éme dénominateur, et que Ion ait ensuite
fi et les nnmératears a,, ««, etc. , étant des nombres entiers. On ne changera rien à la chance de tirer une boule blanche de l'urne A. , en y remplaçant les boules qu'elle contient , par un nombre di. de boules blanches et un nombre fi de boules^ tant blanches que noires; et de même pour toutes las autres nroes* Le nombre total des boules étant actuellement le même dans toutes ces umes^ il résulte du lemme du n^ lo^ que si on les réunit dans une même urne A, et que Ton donne le n* i à celles qui proviennent de A,, le n^ 2 aux boules provenant de A., etc., la probabilité 9, qu'une boule blanche extraite de l'ensemble de ces urnes A,, A», A3, etc., provient de A,, est la même que îa probabilité qu'une boule blanche sortie de A, portera le n* n ; laquelle a pour valeur le rapport de «« à la somme des m quantités «,, «•', 013, etc., puisque cette somme est tk nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, cM|ue dans cette somme, il y en aura un nombre as. qui portera le n* n. On aura donc aussi
quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes], avec l'eiqpression de w. qu'il s'agissait de démontrer.
(rig). En calculant les probabilités de plusieurs événements successifs, il faut non-seulement tenir compte de Tinfluence que peut avoir l'arrivée de l'un d'eux sur la chance de celui qui le suit (n* g) ; mais on doit aussi quelquefois avoir égard , dans l'évaluation de cette chance , aux probabilités des diverses causes de l'événement précédent, ou des différentes manières dont il a pu avoir lieu. C'est ce qu'on verra , par exemple, dans le problème suivant.
Je suppose qu'on ait un nombre m d'urnes A, B, C^ D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances d'extraire une boule blanche soient a , de l'urne A, 6 de B, c de G, etc. On tire au hasard une première boule de l'une de ceg urnes, puis une seconde boule de l'une des urnes d'où la première n'est pas sortie , puis une troisième de l'une des urnes d'où les deux premières ne sont pas sorties, etc., c'est-à-dire, qu'après chaque tirage ^ on supprime Turne d'où la boule a été extraite. On demande la probabilité d'amener, de
cette manière j un nombre n de boules blanches, dans un pareil nombre de tirages; n étant moindre que m ou égal à m. Faisons, pour abréger,
[a + i + c-|-£f+ etc. = ^, ,
ab + ^^ + ^+ ic 4- MH- cd+ etc. = s^,
abc + aW 4- bcd^ etc. = ^s >
/ïôcrf -|- etc. = ^4 ,
etc. ;
de sorte que .^i soit la somme des fractions a, b, c, dj etc., que s^ représente la somme de leurs produits deux à deux dont le nombre est
-^ — ^^^^, que Si désigne la somme de leurs produits trois à trois dont
le nombre est — — "" ' ~ > ^tc. La probabilit^d*amener une boule
blanche au premier tirage, sera — J.. Si la boule blanche ou noire, extraite à ce tirage , est sortie de A, la probabilité d'amener une boule blanche au second tirage aura —-^ {s^ — a) pour valeur; cette probabilité sera — -^^^ (j,— 6), si la première boule est sortie de B; elle
sera ^ ( j, — c\s\ la première boule a été extraite de Cj et ainsi
de suite. De là et des règles des n°' g et lo, on conclut
liîiZ=Jîl+ «Ç£i.=l*)+2d£im)^.etc.,
lîi — 1 • m— I m— 1 ' '
pour la probabilité complète de l'arrivée d'une boule blanche au second tirage ; at, étant la probabilité que la boule extraite au premier est sortie de A, C la probabilité qu'elle est sortie de B, y qu'elle est sortie de C, etc. Or, ces probabilités tf , €, y 9 etc., ne sont point égales entre elles (*) : d'après ce qu'on a vu dans le numéro précédent , on a
(^) Faate d'avoir eu égard à cette circonstance, la solution de ce problème qui se trouve dans le n^ 17 de mon mémoire sur la /^n^po/tion des naissances des deux sexes, est inexacte, et j'en ai déduit une fausse conséquence.
ou a aussi , identiquement ,
a (î^, — a) + & (j, — b) +c(^, — c)H-ctc. = 2^.;
la probabilité d'amener une boule blanche au second tirage deviendra donc; — -. De même, la probabilité d'amener une boule blanche
au troisième tirage sera {s^^^a — b) , si les deux boules blanches
ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A
et B; cette probabilité sera ^ («^t*— ^ — c), si ces deux boules ont
été extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilité d'amener une boule blanche au troisième tirage, aura pour valeur complète
g, h, ky etc., désignant les probabilités que les boules extraites dans 4es deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilités sont, d'après le numéro pi^édent,
g=-, A=— , Ar— ,etc-,
et comme on a identiquement
ab (^, — a — b) + ac (x, —a — c) + *c(j. — b — c) -f- etc. = Sj, , la probabilité de Tarrivée d'une boule blanche au troisième tirage deviendra 7— — W-*
On continuera sans difficulté ce raisonnement autant qu'on voudra. Il en résultera
pour les probabilités d'amener des boules blanches à chacun des n pre^ roiers tirages; la probabilité demandée sera donc le produit de ces n
fractions (n* 5), qui se réduit à - j., en faisant
m (to — i)(m — 2). ...(m — n+i )
de sorte que fju soît le nombre des produite n k n des m lettres Uf b, c, dy etc. , desquels j. est la somme.
On vérifie cette valeur- j,, en observant que chacun de ces produits est la probabilité de tirer n boules blanches de n urnes déterrainées, prises parmi A , B, C, D/ etc. , et que^ par conséquent ^ la somme de taa« ces produits divisée par leur nombre est la probabilité d'extraire n boules blanches de /i de ces urnes « prises au hasard; la* quelle probabilité est évidemment la même que celle qu'il s'agissait d'obtenir. Dans le cas de tz =: tis, on a ft = i, et cette probabilité est j„, ce qui résulte immédiatement de la règle du n« 5.
(3o). Maintenant, soit E' un autre événement, différent de E, mais dépendant des mêmes causes que Fou a désignées par C,, C^^ Cs, etc. Représentons par
Ptf P %f • 'P uf - 'P m f
les chances de E' relatives à ces diverses causes, de sorte quep'. soit la probabilité donnée que E' arriverait si la cause C. était certaine ; cette cause étant seulement probable, et sa probabilité ayant été représentée par ^. , l'arrivée de E' en vertu de cette cause, sera un événement composé dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probar bilités (n* 5). De plus, la probabilité complète de E' sera la somme des chances relatives aux m manières différentes dont cet événement peut avoir lieu (nMo), c'est-à-dire, la somme des valeurs de />', <r, qui se rapportent aux m causes possibles C^, C^, C»» etc.„ de E et de E\ En désignant par 9' cette probabilité complète de E' , nous aurons donc
ou bien, en mettant pour^., 4r«, etc., leurs valeurs,
^' PtPLirtiEiEJ + y +P« p'« + * > » +PmP'm
Pi +/>. + • . • +Pa + •• • +Pm
SUR LA PROBABILIT£ DBS JUGEMENTS. 87
Telle est la formule qni sert a calculer la probabilité des ëvéoonents futurs, d'après l'observatîoD des éTénements passés. On parvient aussi à la méoie expression, saas riutennédiaire des causes communes à E et E", en les considérant comme deux événements composés qui dépendent d'un même événement simple; les raisonuements qui nous y ont conduits, s'appliqueraient également à cette antre manière d'efiTÎ* sager la question; mais on peut, si l'on veut, la faire rentrer immé^ diatement dans la précédente.
En effet, si E et £' sont deux événements composés d'un même événement G, et que G soit susceptible de différentes dianoes
toutes également probables avant que l'événement E ait été observé, on pourra les considérer comme autant de causes distinctes de E et de E'; en prenant donc g, pour la cause que l'on a appelée précédemment €, , la probabilité de g, sera la valeur de «. que nous avons trouvée, c'est*à-dire que nif„ sera la probabilité que la chance de G est égale à g, : Texpression précédente de ^' sera ensuite la probabilité de Farrivée de R , résultante de m valeurs possibles de la chance de G. Dans cette formule, p^ et//, exprimeront les probabilités données des arrivées de E et E' , si g. était certainement la chance de G.
(3i). On ne doit pas oonfiotidre cette détermination de la pro^ habilité de E', d'après l'observation de E, avec une influence quel* conque de l'arrivée des événements passés sur celle des événements (uturs, qu'il serait absurde de supposer. Si je suis sûr, par exemple, qu'une urne A renferme trois boules blanches et une boule noire, il est certain pour moi que la chance de l'extraction d'une
boule blanche est 7; par conséquent, si E' est la sortie de deux boules blanches tirées de A , en y remettant la première boule qui sera extraite > la chance de E' sera le carré de 7 ou -^^quel quesoitl'événe-
ment E que j'aurai pu observer ; et en supposant que £ soit la sortie d'un certain nombre de houles blanches , et d'ua certain nombre de boules noires , extraites successivement de A et femises à chaque fois dans cette urne, je devrai toujours, sans avoir égard k la prc^iortion
de ces deux nombres, parier 9 contre 7 pour Tarrivé de E'. Mais lorsque la chance de révénement simple G ne m'esl pas connue, et que je sais seulement qu'elle n'est susceptible que de certaines yalenrs , l'observation de E me fait connaître la probabilité de chacune d'elles, d'où je conclus ensuite la probabilité de E^ Cette observation augmente ou diminue la raison que j'avais de croire à l'arrivée de E', sans influer aucunement sur cet événement futur, ou sur la chance qui lui est pro* pre; de telle sorte que pour quelqu'un qui aurait observé un autre événement E. , dépendant du même événement simple G , la raison de croire à l'arrivée de E^ pourrait être beaucoup plus forte ou beaucoup moindre que pour moi; ce qui ne changerait rien à la chance propre deE^ Relativement à ce cas de deux personnes, dont l'une a observé un événement E, et Tautre un événement E,, composés tous les deux d'un même événement G, il ne faut pas oublier que si E. comprend E et quelque chose de plus, l'opinion de la seconde personne sur l'arrivée d'un nouvel événement E', dépendant aussi de G , sera plus éclairée que celle de la première personne, et devra être adoptée préférablement ( n* I )• En supposant que l'observation de E| ait conduit à une probabilité k de l'événement futur E^, et celle de E à joflxe probabilité h du même événement , la seconde personne, sera plus fondée à parier k contre i — A: que la première h contre i— /<, pour l'arrivée de E'; quelles
que soient d'ailleurs les fractions h et k, plus grandes ou moindres que -,
et la diflerence A— A:, positive ou négativç.
(52). Il est bon, avant d'aller plus loin, de donner quelques exemples simples de l'usage des expressions précédentes de ^. et nsr% que nous mettrons d'abord sous la forme abrégée :
la caractéristique 2 indiquant une somme qui s'étend aux m valeurs de l'indice n, depuis /i= i jusqu'à ns=m.
On sait qu'une urne B renferme m boules blanches ou noires; on en a tiré une blanche; et l'on demande la probabilité qu'elle contenait un nombre n de boules de cette couleur.
Nous pouvons faire sur les nombres de boules blanches que l'urne
contenait ^ m hypothèses différentes qui consistent k supposer successivement qu'elle renfermait m boules blanches^ m— i boules blanches et une noire, m— a boules blanches et deux noires, • « • une boule blanche et m-^i noires. Toutes ces hypothèses étant également possibles et s'excluant mutuellement, on peut les prendre pour les m causes C. , C., C9, etc., de Tévénement fi, qui est ici l'extraction d'une boule blanche, sortie de B. Or, dans la supposition que parmi les m boules cou* tenues dans B, il y avait n boules blanches, la probabilité de cette extraction serait le rapport de n à /n, on a donc
d'où l'on conclut
et, par conséquent,
pour la probabilité que B contenait effectivement n boules blanches. Elle ne peut être 7 que quand on a m = /i = 3. En général , la probabilité que B ne contienne que des boules blanches, ou qu'on ait
71= m, après qu'on en a vu sortir une boule de cette couleur, aura .
pour valeur.
Si E' est l'extraction d'une nouvelle boule blanche de B , sa probabilité «' sera différente , selon que la boule blanche déjà sortie aura été ou n'aura pas été remise dans cette ume«
Dans le premier cas , on aura
p'. = p,z=^, •S.p,p', = ^ Xn« ; ;
m ' * -1 - mr
mais on a, comme on sait.
n(/i+ I) m(in + i)(m + a) ^yj '»('»4-i) .
90 i^BCRli&CiffiS
d'où l'oo déduit
et; en consëqueoce,
f 2yii4- i
Dans le second cas, le nombre de boules blandies et le nombre total de boules que B renferme, étant diminués d'une unité à la seconde épreuve, on aura
on aura toujours
et à cause de
on en cooclura
La probabilité d'extraire une boule blanche d'une urne , d'où il est déjà sorti une bouie de cette couleur que Ton n'y a pas remise , est donc indépendante du nombre m ée boules blaticlies ou pi(HPes que l'urne renfermait, et toujours égale à f • La valeur de <Z9*' relative au premier cas se réduit aussi à cette fraction f , comme cela devait être , lorsque m est un nonïbre très grand et qu'on le considère comme infini.
Sur un nombre quelconque m de boules blanches ou noires que B renfermait primitivement , si Ton savait qu'il en a été extrait m — i
boules blanches , il y aurait la probabilité — ^— , que la boule restante
est aussi blandie. On ne pourrait &ire alors que deux hypothèses C.
SUR LA PROBABOilTË BiS JUGEMENTS. 91
et C. I savoir : la supposition C^ que les m boules ëltiieât Uanehes, et la supposition Q qu'il y avait une seule boule noire. Dans la première hypothèse, la probabilité de Tévenement observé est la certitude; dans la seconde , cette probabilité, c'est-à-dire la chance d'extraire de B les m — i boules blanches est la même que celle d'y laisser la boule noire ; et comme , à priori^ la botile restante peut être également chacune des m boules contenues dans B, la probabilité que c'est la
boule noire a — pour valeur. On a donc
d'où il résulte
pour la probabilité de la première hypothèse, ou, ce qui est la même chose , pour la probabilité que la boule restante dans l'urne soit blanche comme toutes celles qui en ont été extraites. Le cas de m sa i n'est pas compria dans cette valeur de v,, non plus que dans la seconde des deux valeurs précédentes de «t»'. ,
(33). Voici encore une application immédiate des formules précédentes, dans laquelle on ne connaît pas le nombre totfl de boules blanches ou noires que IWne B renferme; on sait seulement, par exemple, que ce nombre ne peut pas excéder trois. L'événement observé E est la sortie de x boules blanches f dans une série de n titrages où l'on a remis à chaque fois dans B, la boule blanche ou noire qui en était sortie. Si x n'est ni zéro, ni égal à /i, on ne pourra (aire sur les boules contenues dansB que trois hypothèses, savoir : Thypothèse C, d'une boule blanche et d'une noire , C« de deux boules blanches et d'une noire, C3 de deux boules noires et d'une blanche. Les probabilités de E qui répondent à ces trois causes distinctes, seront
on , ce qui est k même chose ,
en faisant ponr abréger,
on aura donc
pour les probabilités de C, , C. , C,. En prenant pour révénement futur E', l'extraction d'une nouvelle boule blanche, les probabilités de E' relatives à ces trois hypothèses seront
p\ = i, p\ — h P's = i; par conséqueut, sa probabilité complète «s-' aura poyr valeur
Dans le cas de /i s= 2X^ on aura
fsr^ = <Ws =
La valeur de ^'est ^, comme cela devait être; caries boules blanches et noires étant sorties en même nombre de B , il n'y a pas de raison pour croire plutôt à l'arrivée d'une boule blanche qu'à celle d'une boyle noire dans un nouveau tirage. Néanmoins^ il faudra que 9' surpasse le double de 8*, ou que x soit plus grand que cinq, pour que l'on puisse parier plus d'un contre un ^ que le nombre de boules blanches est le même que celui des boules noires dans B, ou que cette urne renferme une boule blanche et une boule noire. La probabilité ^, de cette hypothèse diffère très peu de la certitude , lorsque a: est un très grand nombre.
Si i est un nombre entier^ et qu'on ait x =c 2i et n = 3i ^ il en ré-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. gS
sultera
quantité qui différera très peu de | , lorsque î sera très grand. En même temps, la probabilité ^. que B renferme deux boules blanches et une boule noire y différera aussi très peu de la certitude.
Supposons encore que Ton ait n = 3^. La valeur correspondante de tm^ deviendra
lorsque x sera très grand y elle se réduira à très peu près a ~ , et la probabilité Vj que B renfermera une boule blanche et deux boules noires, sera aussi à très peu près la certitude.
Dans les trois cas où le nombre de tirages a été supposé très grand, on voit que la probabilité ^' de l'arrivée d'une nouvelle boule blanche a eu pour valeur très approchée , le rapport du nombre des boules blanches sorties de B au nombre total des épreuves , et que , dans cha-que cas, ce rapport a aussi été, avec une probabilité très approchante de la certitude, celui du nombre de boules blanches au nombre total de boules contemies dans B, c'es(«à-dire la chance propre de l'extraction d'une boule blauche de cette urne. On verra effectivement, dans la suite, que quand un événement, d'une nature quelconque, a été observé un certain nombre de fois, dans un très grand nombre d'épreuves, le rapport du premier nombre au second est la valeur très probable et très approchée de la chance connue ou inconnue de cet événement. Dans l'exemple que nous considérons, cette chance
ne pouvant être que - , ^ , ôt ^^ s'ensuit que les valeurs - = -, = 5, = ^ ,
sont aussi les seules qu'on doive supposer, avec vraisemblance , quand xein sont de très grands nombres.
(34)« Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu'avant l'arrivée de E toutes les causes C^, C^^ Cj, etc., auxquelles on peut attribuer cet événement étaient également possibles; mais si l'on avait à priori
quelque raison de croire plutôt a l'existence de l'une de ces causés qu^à celle d'une autre , il serait nécessaire d'avoir égard à cette illégalité des chances de C, , C^, Cs, etc., antérieures à l'observation, d^ns Tévaluation des probabilités que ces diverses causes ont acquises après l'arrivée de £« Cette nécessité est on point impartant de la thjéorie des probabilités, surtout dans la question: relative aux jugements des tribunaux, ainsi qu'on l'a expliqué dans le jpréambule de cet ouvctge. La démonstration du n^ 28 est d'ailleurs facile à étendre au cas général où les causes de E avaient , antérieurement à l'observation,, des probabilités quelconques dont les valeurs sont données.
En effet, comme dans ce numéro, remplaçons l'événépcient £ par l'extraction d'une boule blanche qui a pu sortir de l'une des urnes A, , A. 9 A3, etc., et supposons d'abord que la sortie de chacune d'eUes a été également possible pour toutes. La probabilité qu'elle est sortie de
l'urne A, sera ^ , en désignant toujours par/)« le rapport du nombre
de boules blanches au nombre toial de boules contenues dans Â.^ et éiendant la somme 2 à toutes les urnes A,, A^, As, etc. Pomr d'autres urnes A^^ A.'', etc., comprises parmi celles-Ui, cette probabilité sera de
même ^ j ^ , etc. ; d'après la règle du u* 10, la probabilité que la
boule blanche est sortie de Tune dès urnes A», A«/ , A«„ , etc., sera la somme
qui se réduira à l'une de ces fractions multipîltée par leur nombre, lorsque les quantités />„, /?,m Pm» j etc., seront égales entre elles.
Cela étant, concevons que les urnes A| , A», A3, etc., se .composent d'un nombre a, d'urnes A, dans chacune desquelles/?, soit le rapport de la quantité de boules blanches à celle des boules blanches, oa noires , d'un nombre a^ d'urnes A, dans lesquelles ce rapport «lit p^^*:. et enfin d'un nombre ai d'urnes A; où ce mèmerâppcMrt soit /i|>; de ma-* nière que i exprime le nombre de ces groupes d'urnci^ semblables , et qu'en appelant s le nombre de toutes les urnes , nous a jons
j = a, -f- tf^ *f- aj *f- • • • • *f- ^<.
SUR LA PROBABILITË DES JUGEMENTS. gS
La somme Zp. ëlendve à toutes les unies pourra être remplaeëe par celle-ci 2a^/i. qui s'ëfendra à tons les groupes, ou a toutes les valeurs de Tindice n , depuis »sa i jusqu'à fi= i. Si donc les urnes Aj, , A.' , A,i», etc,5 forment un des groupes et sont en nombre o^ , la probabilité que ia boule Manche extraite de Fune des s urnes , soit sortie de ce
groupe , aura pour valeur le rapport -^ — , multiplié par «.; en sorte
qu'en la désignant par ^r. , nous aurons
Mais avant Tobservatioa, la probabilité que la boule blanche ou noire qui senit extraite, sortirait de ce même groupe , était évidemment — ; en la représentant par 9, , on aura donc
et si Ton substitue ^ette valeur de a. dans celle de «zr,, et que Ton supprime le facteur s qui se^a irommun au numérateur et au dénominateur , il en résultera
Cela pasé , les différents groupes d'urnes que nous venons de considérer, représentent toutes les causes possibles C., C., €3, etc., de l'événement E, dont le nombre est / , et qui étaient inégalement probables à priori. La fraction 9, exprime la probabilité, avant Tobservation , que l'événement qui arriverait serait dû à la cause C. ; après l'observation , ^. exprime la probabilité que l'événement E qui a eu lieu , a été produit par cette môme cause; et comme les causes C,, C«, C3, etc., s'excluent mutuellement, 7. et tr^. sont les probabilités, antérieure et postérieure k l'observation, de l'existence de cette cause . L'expression de ^. montre donc que la probabilité de chacune des causes possibles d'un événement observé , est égale au produit de la probabilité j. de cette cause avant Tobservatlon et de la probabilité/», qu'elle donnerait à cet événement, si elle était certaine, divisé par la
sOfnm£ ^mPm des produits semblables , qui se rapportent à toutes les causes auxquelles l'évenenient peut être attribue.
La probabilité for' de 1 eveneaient futur E' qui dépend 'des mêmes causes que £, aura^ comme plus haut,.Z«.p's pour valeur , en employant dans cette somme l'expression de ^^ que l'on /vient de ^déter* miner; ce qui donne
(fSf ZSZ -—- ^.
Supposons que E' soit aussi observé après E. Soit E' un troisième événement dépendant toujours des mêmes causes; et désignons par /?%, la chance que la cause C., si elle était certaine, donnerait à l'arrivée future de E". La probabilité de cette cause était ^z^*. après l'observation de E et avant celle de E^; par la règle précédente^ elle est devenue
^ f , après l'observation de E'; en mettant dans sa valeur celle
de «2^,, elle devient ^^"^; et en la multipliant par p",, on aura la probabilité de l'arrivée de E'', en vertu de la cause C.. Par conséquent, si
nous désignons par <29-' la probabilité complète de cette arrivée , nous aurons
^/ ,-, ^ÇnPnp'»p''n , ^mP»p'n '
expression qui se déduit aussi de celle de ^, par la substitution de/7\ au lieu de /?', et de p^^, a la place de /?«. Et , en effet , relativement à la cause C., ce produit />.p', est la chance de l'événement observé, c'est-à-dire, de la succession des événements E et E^
(55). Pour donner un exemple très simple de la règle précédente, qui pourra servir à en vérifier l'exactitude et la nécessité, je suppose que l'on trouve sur une table deux cartes dont les couleurs sont inconnues , et qu'en en retournant une , on observe qu'elle est rouge. On ne pourra faire que deux hypothèses sur les couleurs de ces cartes : qu'elles sont toutes deux rouges, ou que l'une est rouge et l'autre noire. Si l'on ignore absolument d'où ces cartes proviennent , ces ' deux causes hypothétiques de l'événement observé seront également
probables à priori; et après l'observation , la probabilité de la première hypothèse aura 7 pour valeur , comme ou Ta vu dans un des
exemples du n^ 32 ; en sorte que Ton pourrait parier deux contre un, que la carte non-retoumée est rouge comme la carte retournée. Mais il n'en sera plus de même, si Ton sait, par exemple, que les deux cartes ont élé prises au hasaird dans un jeu de piquet , compose de seize cartes rouges et d'autant de cartes noires. Avant l'observation, on aura (n"" 18)
pour les probabilités de la première et de la seconde hypothèse; on a^ en même temps ,
d'où Ton déduit
9 = ?»^' -^ iË
' ^•/'l + îa/'. 3i'
pour la probabilité de la première hypothèse, après Tobservation ; de manière qu'au lieu de deui^ contre un , il y a, au contraire , moins de un contre un, et seulement 1 5 contre 16 à parier que la carte inconnue est rouge comme celle qui a été retournée. Cette valeur de nv^^ se vérifie immédiatement ; car il est évident que la question est la même que si, après avoir tiré une carte rouge du jeu entier, on demandait la probabilité de tirer encore une carte rouge des 5 1 cartes restantes et qui n'en contiennent plus que 1 5 de cette couleur.
En général , si Ton a un tas de m cartes dont a rouges et b noires , que Ton y prenne au hasard un nombre n de cartes, et qu'en retournant un nombre /z — « i de celles-ci , ou en trouve a' rouges et b' noires , on obtiendra, par la règle précédente,
pour la probabilité ^r, que la 7/^' carte est rouge, et pour la probabt-
gd RECHERCHES
Irté «OTg qu'elle eA noire. Cette valeur de «, esi aosii , camne ceki dt^ vaitétre, la probabilité de tirer une carte rooge du tas primitif, réduit k 7»— n-f-i cartes, dont a-^al rouges, par Textraction de ^rouges et b^ norres. La valeur de ^« se vérifie de même ; à cause de a^h^s:nn et nf'^l/^ssn — i, on a daitteurs 4r, + 4rg2:sri.
(36). La couséquenee générale de la règle du n* 34 » est que si deux évéoemenis E et E' dépendent d'une même cause ^ la probabilité de révénement futur E' ne résultera pas seulement de 1 eréoement ob« serve E : on devra avoir égard dans son évaluation aux connaissances antérieures à Tobservation que Ton pouvait avoir dur ce qui concerne la cause commune de E et £' ; de telle sorte que la probabilité de E' pourra étife diflGerente pour deux personnes qui avrout observé le même événement E, mais qui avaient auparavant des données di (Térentes sur la question.
.De même, dans les questions de doute ou de critique auxquelles s'applique aussi le calcul des probabilités (n"* 3); lorsqu'il s'agira de savoir si un fait attesté par un témoin est vrai ou faux, on devra tenir compte , non-seulement de la chance d'erreur do témoin, mais^ encore de nos coianaissances antérieures à son témoignage.
Ainsi, en «epré^eutant par p la probabilité que le ténM>in ne nous trompe pas, involontairement ou à dessein, et par q la probabilité de la vérité du fiait avant qu'il fût attesté par le témoin, sa probabilité après le témoignage dépendra de p et q, et se déterminera de la manière suivante.
L'événement observé est ici Tattestation d'un fait qui n'est point incontestable. Dan» la supposition qu'il est vrai , le témoiu ne nous trompe pas, etp est, par conséquent, la probabilité de l'événement Sa probabilité est i -— p dans l'hypothèse que le fait est faux, puîsqu'alors le témoin nous trompe. Avant le témoignage, q était la probabilité de la première hypothèse et i «— ^ celle de la seconde. En appelant r la probabilité de la première hypothèse, ou de la vérité du fait, après le témoignage qui l'atteste, on aura donc, par la règle du n^ 34?
Ou tire de là
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. gg
ce qui montre que la différence r—q est de aiAme signe que p — j; d*où il résulte que le témoignage augmente ou diminue la probabilité de la vérité du fait, qui ayait lieu auparavant^ selon qu'on suppose ^ > 7 ou /> < I : la différence est nulle et le témoignage ne change rien à la probabilité antérieure | dans le cas' de p = ^, où il y a'un contre un à parier que le témoin dit ou ne dit pas la vérité. Lorsque » à priori , on n'a aucune raison de croire plutôt h. la vérité qu'à la fausseté du fait que le témoin atteste , la probabilité ^ est ^ ; il s'ensuit r^^p\ et, dans ce cas, la probabilité que le fait est vrai; ne dépend plus que de la véracité et des lumières du témoin.
On ne peut pas supposer que Tune des deux quantités petq soit l'unité et l'autre zéro ; mais si p approche )>eaucoup de la certitude et que q approche encore plus de l'impossibilité, de manière que le raj^rtde q à I — *p soit une très petite fraction, la probabilité r sera aussi très petite , et à peu près égale à cq rapport* Cest Iç cas d'un &it contraire aux lois générales de la nature, et attesté par un témoin auquel oir accorderait^ sans cette opposition, un grand degré deconfiance» Ces lois générales sont pour nous le résultat de longues séries d'expériences; ce qui» leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une très forte probabilité, encore augmentée par l'harmonie qu'elles présentent, et qu'aucun témoignage ne saurait balancer/ Si donc le fait attesté est contraire à ces lois, la probabilité qu'il n'est point inexact sera à 1res peu près nulle avant le témoignage 3 et en supposant même le témoin de bonne foi , il suffira qu'il ne soit point infaillible pour que sa chance d'erreur T — ^ soit extrêmement grande par rapport è cette probsbité antérieure 9, et que la probabilité r, après le témoignage, puisse encore être considérée comme insensible* En pareil cas, il *^rait raisonna^ ble de rejeter notre propre témoignage, et d.e penser que noqs sommes trompés par nos sens qui nous présenteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature.
(57). Sgpposons que le fait dont nous venons de considérer la probabilité,' soit aussi «tteité par un açcond témoin^ daignons par p^ la probabilité que ce témoin ne nous trompe pas, et par^ la probabilité de la vérité du fait , résultante d« ilouble témoignage ; en observant
loo RECHERCHES
que la probabilité de la vérité de ce &it était déjà r, indépendamment de la seconde attestation , on en condura que Texpression 'de / doit se déduire de celle de r, par le changement de /> et 9 , en fl et r; ce qui donne
ou bien; en mettant pour r et i — r leurs valeurs ,
ri— ■ 9PP'
Si le second témoin atteste la fausseté du fait dont la vérité a été affirmée par le premier ^ on remarquera qu'indépendamment du second témoignage j la probabilité que le fait est faux avait déjà i — r pour valeur, en désignant donc par r, la probabilité de la fausseté du fait, résultante des deux attestations contraires, l'expression de n devra se déduire de celle de r du numéro précédent, par le changement de j9 et q^ en p' et i -— r, et de cette manière, on aura
ou ; ce qui est la mêoie- chose ,
Dans le cas dBp=/)', cette valeur de r, se réduit à i— ç; et, en effet, les denx témoignages contraires et de même poids se détruisent, et la pnobabîlité de ]a fausseté du fait doit demeurer la même qu'au-panavant.
On déterminera de même, sans difficidté, la probabilité qu'un fait est vrai ou faux , lorsqu'il est attesté par des témoins et nié^ par d'autres, en nombre quelconque. -Si le fait est attesté par tous les témoins à la fois $ l'expression de la probabilité qu'il est vfai prendra la forme suivante.
Soit toujours , antérieurement à tous les témoignages , q la proba^ bilité que le fait est vrai; désignons par^^ ce que devient cette proba-
JUGEMENTS. loi
bilité après que le fait a été attesté par un nombre quelconque x de témoins ; ^,^, sera cette même probabilité, quand lé fait est attesté seulement par on nombre x — i de témoins; et si Ton représente par p ayec un nombre j:— i d'accents, c'est-à-dire par /^*~'\ la probabilité que le témoin, qui n'est pas compris dans ceux-ci, ne nous trompe pas, lorsqu'il atteste aussi la vérité, du fait, l'expression de^, se déduira de celle de r du numéro précédent , en y mettant p^""'^ et Jm^x au lieu de /? et 9, de sorte que l'on aura
La yalenr éej; sera la probabilité primitive 9; et si l'on &it successiyement a: ss i, ^^ 3, =3, etc.^ on déduira de cette formule
Y — . £2 r sB——£^ etc •
d'oà l'on coifidora la valeur de/*, par Télimination dejr, , celle de ^3 par l'élimination de/», et afinsi de suite. Mais, si l'on &it, pour abréger,
Féqualion précédente, aux différences finies du premier ordre, se changera ep celle-ci :
' . •^'~7,..+PxCi-j^,-.)'
dont l'intégrale çraaplite est *
en d&ignatit par c ia constance arbitraire. Eu mettant j^ -* i au lieu de X dans c^te expression de r«9 ou en déduit effectivement
102 RECHEILCIIES
et ces valeurs jointes à celle àejr^ rendent identique Téquation donnée*
On déterminera la constante c au moyen d'une valeur particulière de^,^ et, si l'op vei^t, au moyen de celle qui répond à orsco; çn prenant alors Funité pour le produit f,f^f^9• . ^p^fà^ x facteur^ il en résultera ^o = 7 = c; et, pour un nombre quelconque x de témoins ^ nous aurons ensuite
•^' y -f ( « — yfft^fS; • 'fx
Relativement au témoin qui répond à l'indice quelconque i, la quantité fi est le rapport de la probabilité qu'il nous trompe à la probabilité qu'il ne nous trompe pas, de sorte qu'on s^ p^^i ou Pi<if selon que la première probabilité est supérieure ou^ inférieure à la seconde et pi = I quand elles sont égales. Si le nombre des témoins est très prand et considéré conanae infini, et que f ^ surpiasse l'iuiîté ppur tous les témoini», )a pn^biH^^/, de la vérité d^ fiiil %yl!'\\% att^tent sent aéro à une exception près; et au' contraire , da^s ce cas de.x infini^ cette probabilité sera Tunité ou la certitude, aussi à une eiA:eption près, lorsque fi sera moindre que l'unité pQUP tous les témoins. L'exception aura lieu, quand les quantités />, , p., Ps, etc., décroîtront ou croîtront continuellement, mftis en s'i^pproqfe^nt ipdë^niœeqt de Tu-^ nité. Prenons, par exemple, pour leur terme général,
TF désignant le rapportée la circonférence au dtamàtre, et g une consv tante donnée qui ne surpassera pas l'unité , afin qu'aucune des quantités />,, p., 1^3, etc., ne soit négative* Par une fbemule connue ^ îeur produit sera égal à cosg; on aura donc
quantité qui différera beaucoup de l'unité, quand g différera de
SUR LA PROBABIUTÊ DES JUGEMENTS. io5
même de - w*. Si^Pon fait g= A v/— i , là nouveHe constante h pourra
être plus petite ou plus grande que Tunité. En désignant par e la base des logarithmes népériens , il en résultera
et si h ne surpasse pas l'unitd, ou seulement si h n'est pas un très grand nombre , cette probabilité/^ ne sera pas très petite. ToutefiMS, il sera facile de s'assurer que la première valeur de jr^ , sera tottjovrs supérieure à la probabilité q antérieure aux témc^gnage», et la seconde toujours inférieure.
Ces formules supposent que tous fes témoignages soient directs ; nous examinerons tout à l'heure le cas ou un seul est direct , et tons les autres sont traditionnels.
(38). Quand un témoin ne se borne point a dire qu'une chose soit traie ou fausse, mais qu'il atteste l'arrivée d'un événement, dans un cas où il 7 en avait plusieurs qui fussent possibles; révënement qu'O peut annoncer, quand il se trompe ou qo'il veut tromper, n'esl point unique j et doit être seulement un de ceux qui n'ont point eu ou qu'il ne croit point avinr eu lieu; or, cette circonstance influe, conmie on va le voir, sur la probabilité de l'événement après le témoignage, indépendamment de celle qu'il avait auparavant. . Je suppose, pour fixer les idées, qu'une urne A renferme un nombre fc de boules , dont a, portent le n^ i , a^ le n^ a, . . . a^ le n* m, de sorte qu'on ait \
et que m soit le. nombve de numéiios différeata que celte «rue reiw fbrnM; si nnebonle en est sortie, on pourra aussi ûure m hjpcAhèses dfiféreale» C|, C., Csy-C., aor le nimiéro de cette boaie; leurs probabiKtés atsat aocun téoioignage, étant déNgnéea f>ar ç.f ^m. f^ • • . 7«, on aura
to4 RECIffiRCHES
et si un témoin annonce que la boule sortie de A porte le n^ n, les pro^babilitës de ces hypothèses prendront les valeurs ^g, ^^f ^$9' • -^m • qu'il s'agira de déterminer par la règle du n* 54* Ici révénement observé sera Fannonce, par le témoin, de la sortie du n"" n; chacune des hypothèses donnera une certaine probabilité à cet événement, dont il faudra d'abord former l'expression ; on représentera par p^, p^^ p^^ . . .p., ses probabilités résultantes des m hypothèses; et d'après ces' diverses notations, G|, qt^^i^Pi^ répondront à la sortie d'ua numéro quelconque {', et, en particulier , Qi, 9«, «zr,, p., à la sortie du u*/i annoncé par le témoin.
Je désigne par u la probabilité que ce témoin ne se trompe pas, et par if la probabilité qu'il ne veut pas tromper ; i — u sera la probabilité qu'il se trompe, et 1 — i^ qu'il veut tromper. Dans la n""' hypothèse, (^t-à-dire, dans la supposition que n est réellement le numéro extrait de A, le témoin annoncera la sortie de ce numéro $ s'il ne trompe pas ets'il ne veut pas tromper, combinaison dont la probabilité est uv par la règle du n"" S. S'il se trompe, il croira que la boule sortie de A porte un numéro quelconque n' difiërent de 71; et en même temps, s'il veut tromper, il annoncera un numéro différent de n\ ou pris parmi les m — 1 autres numéros; la chance qui en résultera pour le n"" n'
d'être précisément celui que le témoin annoncera , sera donc ,
en admettant, toutefois, que le témoin n'ait aucune prédilection pour un numéro plutôt que pour un autre; par conséquent, d'après la règle citée, la probabilité que ce numéro.sera annoncé par un témoin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions I — u, 1 — i^, — - — \ Soit que le témoin se trompe .et ne veuille
pas tromper, soit qu'il ne se trompe p^et veuille tromper, le téipoin n'annoncera pas la sortie du û?n; car, dans le prea\ier cas, il voudra annoncer le numéro qu'il oroira sorti et qui ne sera pas le n*" n, et, dans le second, il saura que ce numéro est sprti et nC; voudra pas l'annoncer. De toute cette discussipn et d'après la règle dim"" 10, on conclut
« — fyo ^ (' — " ) ^lZZ!ll
SUR LÀ PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io5
pour la probabilité complète que Thypothèse C^, si elle était certaine, donnerait à Tévénement observé.
Dans l*bypothèse Q, correspondante à la sortie d'un n' i différent de /i, le témoin n'annoncera pas le n* n, s'il ne se trompe pas et ne veut pas tromper. S'il ne se trompe pas et qu'il veuille tromper, il saura que le rv i est sorti, mais il annoncera la sortie de l'un des m — - i autres numéros; et la chance pour que ce soit
le n* n, sera -~-; d'où il résulte " ^ ' JJ *^- pour la probabilité
que ce H"" n sera effectivement annoncé par le témoin. S'il se trompe et qu'il ne veuille pas tromper , cette probabilité sera égale à
<^[' — »; , ^^^ 1^ témoin pourra croire que le numéro sorti est un des m — I numéros différents de i; il annoncera celui qu'il croira sorti; et — ^— sera la chance pour que n soit ce numéro* Enfin ^ si le témoin se trompe et qu'il veuille tromper, il faudra d*abord^ qu'il croie sorti de A , un des m—» i numéros différents de celui qu'il annonce;
— — — sera donc la probabilité qu'il croira sorti un numéro déterminé n'; cette fraction exprimera aussi la probabilité qu'il annoncera le n* n, parmi les in-*i numéros différents de n'; on aura donc
— — — Tï pour la probabilité que le témoin croira sorti le n* n' et qu'il
annoncera la sortie de n. La chance qui en résultera pour ce n<> it
d'être annoncé sera, par conséquent, la fraction .^^ .^ multipliée
par le nombre des numéros tds que n' , que le témoin a pu croire sortis de A; lequel nombre est seulement m — a, puisque le témoin qui se trompe et qui veut tromper, ne peut croire sorti ni le n^ i qui Pest réellement , ni le n* n qu'il annonce. D'un autre c6té, la probabilité de cette double erreur est le produit (i— £i) (i«»(^); la probabilité que le n® n sera effectivement annoncé par ce témoin , aura donc pour valeur le produit (i— •») (i — (^)
multiplié par la chance r — ~ , ^ Je réunis les probabilités de cette
annonce dans ks trois cas distincts où elle peut avoir lieu; il en résulte
io6
pour la probabilité complète de révënement observé, dans uoe des m — I hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de pi est d'ailleurs liée à celle de /?. par Téquation
résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du a"* n, correspondante a«x m hypothèses C,, C«, C31 . . . • C„, y ^t être égale a Vunité.
.. Maint efoaat^ pM* la règle du n* 34, nous aurons
IfVSÂQnoinies S s'étendant à toutes Jea valenrs de l'indicé i^ depuis i ^=^ i jnsqu'a i^mf ^excepté i ss n. Et comme. la quantité pi est indépendante de i, et que la somme des valeurs de qij moins celle qui répond
k isszn^ est ^'^^" ^ l'expression de '»•, deviendra
"{(w^i)iiv+(i-ii)(i-v)](m-Oa.+[('w-i)(i-i')w+(ii>-iXi*«)H-(»»-a)(i-M)(^
après qu'on y aura substitué les valeuns dçp^, q^ p^, qi/e% ipnUipUé son ^ numérateur et son dénominateur parju(m — 1)'. Ce sera donc la probabilité que. le- numéro n annoncé par le témoin est réellement sorti de A; la probaitnlité qu'il tie Test pas aura 1 «^ «nv posir valeur; et, en particulier, celle -delà sortie d'un t^ut autm niiméra cbélerminé i se déduira de Teapression de i «^ «v., eii la multipliant par le rapport de qipikt q^pi^ <m de ai à ^ — Og; en sorte que l'on a«rà
On doit remarquer que pour obtenir ces résultats, nous avons admis que quand le témoin se trompe ou qu'il veut tromper, le numéro qu'il: am^o^ce est détermrié p^r, 1^ hajiard sctuieitiMt^ itt iioik>pirr^pi^que cause particulière. Il n'en serait pas de même, lorsqu'ilt vept
SUR LA PROBAIIUXÊ DBS JUGEMENTS. 107
tromper, ^i armt mie raison qneicôn^e pour faiiecroird kV\ d'un nmwéro plutôt <ju'à celle d'im autre ^ iri quand il se trompe, si son erreur était produite , par exemple , par la ressemblance du numéro qu'il croit sorti et qu'il annonce, avec le numéro réellement extrait de A, Ces circonstances difficiles à apprécier et dont nous avons fait abstraction pourraient influer beaucoup sur la probabilité de la sortie du numéro annonce par le témoin.
Au lieu de boules portant un nombre m de numéros différents, l'urne A pourrait contenir des boules d'un pareil nombre de couleurs diverses. Si elle renferme seulement des boules blanches et des boules noires, les premières en nombre a et les secondes en nombre ^i — a, et que la sortie d'une boule blanche soit annoncée par te témroin, on fera m = a et a, = a , dans l'expression de <»•, ; en désignant par r, ce qu'elle devient alors , on aura
pour la probabâité qu'il est effectivemeut sorti une boule bknche de A.
On peut asiiniilcr à ce cas particulier, celui d'un fait vrai ou faux, attesté par un témoin : ootprendra pour ce £ût l'extraction de la boule blanche; rwra la probalnlité qu'il est vrai; et son expression devra coïncider avec celle du n*' 36. Noos aurons d'abord
p= ttt; + (i— tt)(i — i/),
pour la probabilité que le témoin ne nous trompe pas ; car cela peut avoir lieu parce qu'il ne se trompe pas et ne veut pas tromper, on bien aussi parce qu'il se trompe et vent tromper, c'est-à-dire parce que entre les deux seules choses possibles, lextraction dTune boule blanche et celle d'une boule noire , représentant la vérité et la fausseté du fait attesté, le témoin croit le contraire de ce qtti est, on dit le contraire de ce qu'il croit. La probabiltlé qu'il nous trompe sera , en même temps ,
ce qui se déduit de la valeur de p, ou s'obtient directement en obser-
io8 hecherches
vaut que le témoia peut nous tromper, soit qa'il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu'il se trompe et ne veuille pas tromper. Ou aura encore
a ié'^ a
pour les probabilités avant le témoignage , de la vérité et de la fausseté du fait que le témoin atteste. Ces diverses valeurs rendent^ en effet, l'expression de r du n? 56 identique avec celle que Ton vient décrire.
Quand l'urne A ne renferme qu'une seule boule portant chaque numéro, depuis le n"" i jusqu'au n^ m, on a ^. = i et /u = m; ce qui simplifie beaucoup l'expression générale de «z^. , et la réduit à
<0-,= Mi;-f-
Cette probabilité que le n^'n annoncé par le témoin est réellement sorti de l'urne A , ne difiere pas , dans ce cas , de celle qui a été désignée plus haut par p. , c'est-à-dire de la probabilité que le témoin annonceia le n"" n , dans la supposition de la sortie de ce numéro. Elle diminue à mesure que le nombre m des numéros contenus dans Fume devient plus grand, et serait égale à la probabilité que le témoin ne se trompe ni ne veut tromper, si ce nombre pouvait devenir infini.
(39). Il resterait à considérer le cas général où il existe plusieurs témoinddont les uns ont une connaissance directe du fait qu'ils attestent, et les autres le connaissent seulement par tradition; mais pour ne pas donner une trop grande étendue à cette digression sur la probabilité des témoignages, nous nous bornerons à résoudre une question particulière de cette espèce.
Nous appellerons T, T,, T.,... T,|, T., les témoins dont le nombre sera x -f- i. Comme dans le problème précédent, une boule a été extraite de l'urne A, son numéro est à la connaissance directe de T , chacun des autres témoins tient de celui qui le précède que cette boule portait le n° /t; en sorte que ce £ait est transmis du premier témoin T au dernier T,, et de celui-ci à nous, par une chaîne traditionnelle, non interrompue. Le témoin T^ étant donc 1^ seul que nous ayons entendu, 1 événement observé, dans cette question, est
SUR LA PROBABUilTÊ DES JUGEMENTS. 109
r«ttestation,par ce témoin, qn'il tient de T«., qoele n^ liest sorti de A; et il s'agit de déterminer la probabilité qae ce numéro soit effectivement celui qui a été extrait de cette urne.
Soient jr, la probabilité de l'événement observé, dans l'hypothèse C«
de la sortie du n^'n de A, et y,, dans l'hypothèse Cj de l'extraction d'un
autre n"" L En désignant toujours par a. et a^ les nombres de boules
n* n et n* i contenus dans A , et par fi le nombre total de boules que
cette urne renferme, la fraction -^ sera, à priori , la chance de la sor-
tie du n* 71, et ^ celle de la sortie du n* î. Par la règle du n* 34» nous
aurons
pour la probabilité de l'hypothèse C.; la somme 2 s'étendant à tous les indices i, depuisî= i jusqu'à ir= m, excepté i:=:n. On verra tout à l'heure que l'expression de y s est indépendante de 1 ; et la somme des valeurs de^i, excepté a. , étant f^'^^a^, cette valeur de <z^« est la même chose que
On en déduira la probabilité 9| de toute autre hypothèse Q, en multipliant I — «« par le rapport de ^à ft —-a..
Le problème se réduit donc à la détermination des inconnues^, et y s en fonctions de x. Pour cela, je représente par k^ 1^ probabilité que le témoin T« ne nous trompe pas, de sorte que i — ^, soit la probabilité qu'il nous trompe , involontairement ou à dessein. Le té-moin Tg annoncera la sortie du n^ n de A , s'il ne nous trompe pas et que Te., ait aussi annoncé l'extraction de ce n**; combinaison dont la probabilité est le produit A:«j,.i, dans l'hypothèse C„ en observant que jg^^ exprime à l'égard de T^, , ce que j^ représente relativement a T«. U pourra encore annoncer la sortie du n* n, s'il nous trompe . et qu'en même temps T«., ait annoncé celle d'un autre numéro; dans Thypothèse C., la probabilité de cette combinaison est le praduit ( I -— A'*) ( I --T—O y ^^^^ ^^ chance que n sera le numéro qu'annoncera T«
ijo KECHEKCHES
jiarcni les m «^ i numéros <}u'îl ae croit pas annoncés |M)D'T^i , étant
seulement , cette considération réduira à ^^j»^r) ^^ ^^^
habilité de Tannonce du n* n. Enfin, le témoin T^ n'œnoncera
pas la sortie de ce numéro, soit quand il nous trompeva et ^ue T^^^i
l'aura annoncé, soit quand il ne nous trompera pas et que T^^. aura
annoncé la sortie d'un autre numéro* Nous aurons donc .
pour la probabilité complète de Tévénement observé, dans Thypothèse C.. On trouvera de même
pour cette probabilité dans toute autre hypothèse Cj ; en sorte que les deux inconnues 7« et j^, dépendront d'une même équation aux différences finies du premier ordre, et ne différeront l'une de l'autre que par la constante arbitraire.
En considérant j^ et désignant cette constante par c , l'intégrale complète de l'équation donnée sera
^ ï , c{mki — i)(mAa — i)..- .(mA,,— i) (mA,— i)
car en y mettant x — i au lieu de x, on en déduit
^^^ m — 1 c{mk^ — i) (mÀ". — i) . . . . ( m^x— i — .
et ces valeurs jointes à celle de j'g rendent identique i'équatîon donnée. Pour déterminer la constante c, je £ais x =& o dans l'intégrale, et j'observe que la probabilité j^, qui se rapporte au témoin direet T, doit être celle que l'on a désignée par p^ dans le numéro précédent. En prenant, dans ce cas de x as o , l'unité pour le produit des (acteurs que l'intégrale renferme, on aura donc
SUR LA PROMlHvlTÉ DES JUGEMENTS. 1 1 1
Pour une valeur quelconque de a: , on aura donc ensuite
où l'on a fait, pour abréger ^
En observant que la probabilité y, relative an témoin direct T, dans une hypothèse quelconque G| différente de G., doit aussi être œlle que l'on a exprimée par pi dans le numéro précédent ^ nous aurons de même
quantité ind^)endante de i, puisque y^i ne dépend pas de ce nombre. Je substitue ces valeurs dans celle de <v,; il en résulte
[t + («p»— QXK
[i +(m/i.— i)X]an + [i +{rnpi— i)X](/i — a«)
pour la probabilité que le u'' n annoncé par le dernier témoin T« est réellemeot sorti de TiH-ne Ai C6 «qu'il s'agissait de déterminer. Le produit représeaté par X peui être remplace par celui-ei :
en faisant , pour abréger ^
Le nombre m étant toujours plus grand que un, et A:, désignant une fraction positive qui ne peut pas surpasser l'unité^ il s'ensuit que chacun des facteurs deX pourra être positif ou négatif, sans sortir jamais des Umites db j . Lorsque le nomlure a: des fiEurteurs sera trèa^ grand , ce produit sera insensible ^ et tout-à-fait nul> si ce nombJ^ était infini , en
exceptant toutefois les cas particuliers où les facteurs A,^ A.^ h$, etc.» formeront une série de fractions continuellement convergentes vers funité. Cela étant, si Ton néglige dans l'expression de w., les
termes qui contiennent X, elle se réduira à — ; d'où il résulte qu'en
général, la probabilité d'un événement qui nous est transmis par une chaine traditionnelle d'un très grand nombre de témoins , ne diffère pas sensiblement de la chance propre de cet événement , ou indépendante du témoignage ; tandis que l'attestation d'un gi*and nombre de témoins directs d'un événement rend sa probabilité très approdiante de la certitude , lorsqu'il y a pour chacun de ces témoins plus d'un contre un à parier qu'il ne nous trompe pas (n* Zj).
Dans le cas particulier où Fume A ne contient qu'une seule boule de chaque numéro , et où l'on a, en conséquence, a. = i et^ = m| la valeur de «• se réduit k
*».= l[i +(iiip.— i)X], en vertu de l'équation du numéro précédent «
Cette probabilité coïncide donc alors avec Xsf c'est-*à-dire, avec la probabilité de l'annonce du n® n par le témoin T^, dans Thypothèse C« que ce numéro est réellement celui qui a été extrait de A. Mais on ne pouvait pas , comme dans la solution que Laplace a donnée de ce problème (^)9 prendre à priori Tune pour Tautre , ces deux probabilités T^etv^, qui ne sont d'ailleurs identiques que quand le rapport de /t — a. à a, est égal à celui de m — i à l'unité.
(4o). On peut ^ si Ton veut, exprimer chacune des quantités iE^. , Â:,, Ats, etc., au moyen du nombre m et des probabilités que le témoin auquel elle se rapporte, ne se trompe pas et ne veut pas tromper. J'appellerai u,, la probabilité que le témoin quelconque T^ appartenant à la chaîne traditionnelle , ne s'est pas trompé , et v^f la probabilité
(^ Théorie analytique des probabilités } ipà%t i^S^ .
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ii3
qn'il n'a pas vonlu tromper. Si ces deux circonstances ont concouru, le témoin n'aura pas trompé; il aura pu aussi ne pas tromper, s^il s'est
trompé et qu'il ait voulu tromper ; uiaia dans ce second cas , ^- est
la chance qu'il aura annoncé le n"" n, parmi les m — i numéros qu'il ne croyait pas sortis de A ; et ces deux cas étant les seuls où il n'aura pas trompé, en annonçant ce numéro, la valeur complète de k,, sera
kg, :=: Ug^Vg, -f- :
pour x'^o, elle coïncide avec la valeur de p. du numéro précédent, en prenant ii. et (^i pour les quantités m et f^que celle-ci renferme.
Cette quantité Ar«/ est la probabilité qu'on doit attacher au témoignage de Tg,^ ou la valeurj de ce témoignage, considéré en lui-même, c'està-dire, la raison qu'on a de croire a la sortie d'un n* n, d'une urne A, qui peut contenir un nombre m d'espèces de numéros différents , lorsque l'on sait seulement que cette sortie est attestée par un témoin T«/ pour lequel u,, et if^, sont les probabilités qu'il ne se trompe pas et qu'il ne veut pas tromper. Si l'on est certain que T«/ se trompe et veut tromper , on aura ii^ =: o et (^«/ = o , et la probabilité à„ que le n* n est sorti, résultante de son témoignage, sera néanmoins égale à
— ^2~~. Ce sera la certitude, dans le cas de m ==2 ; et, en effet, le témoin annonçant celui des deux numéros qu'il ne croit pas sorti , et croyant sorti le numéro qui ne l'est pas, se trouvera avoir annoncé nécessairement la vérité. Dans le cas de m = 5, il y aura un contre un à parier pour la sortie de celui des trois numéros que le témoin aura annoncé; ce qu'on vérifiera aisément par l'énumération de toutes les
combinaisons possibles; et l'on vérifiera de même la valeur — ^^ 'de
la probabilité Âg, relative à un nombre quelconque m.
On ne doit pas confondre le cas d'un témoin qui se trompe et veut certainement tromper , avec celui où la chaîne traditionnelle est interrompue, de manière que le témoin T«/.« qui précède T«/ n'existe pas. Il est certain qu'alors le témoin T^ veut tromper, puisqu'il suppose l'existence de Tmf^i ; on a donc i^^f^^o; mais la probabilité que T«/ ne
ni RECHERCHES
se trompe pas, n'est point nulle : ce te'ofioin n ayant; dans ce cas, aa-> cnne notion sur révénement arriyé, la probabilité qnll annonce le
naméro rëellenient sorti , est -r ; par la même raison , c'est aussi la
valeur de son témoignage; et en effet, si Von fait u^* s= ~ et
i^g, = o, dans la formule précédente , il vient k^, = — . Cette valeur de
Âg, rend nul le facteur h,, de X, et réduit, par conséquent, la proba<-
biUté «ZD*. de la sortie du n* 7t à -^, c*est-à-dire, k la chance propre de
cet événement, comme cela doit être évidemment.
(4i)* Au moyen de la règle relative à la probabilité des causes, nous pouvons actuellement compléter ce qui a été dit à la fin du n^ 7» sur la tendance de notre esprit à ne pas douter que certains événements niaient une cause spéciale, indépendante du hasard.
Lorsque nous avons observé un événement qui avait en lui-même une très faible probabilité ; s'il présente quelque symétrie, ou quelque autre chose de remarquable, nous sommes naturellement portés à penser qu'il n'est pas Teffet du hasard, ou plus généralement de la cause unique qui lui donnerait cette faible chance, mais qu'il est dû k une. cause plus paissante, telle que la volonté de quelqu'un qui aurait eu un but particulier en le produisant. Si , par exemple, nous trouvons sur une table, en caractères d'imprimerie , les 126 lettres de Talphabet , rangées dans l'ordre naturel a, 6^ c, . • • . j:, jr, z, nous ne faisons aucun doute que quelqu'un ne les ait ainsi disposées par un acte de. sa volonté ; cependant cet arrangement n'est pas en lui-même plus improbable que tout autre qui ne nous présenterait rien de rémarquahle^et que ponrcette raison nous n'hésiterions pas à attribuer au seul hasard. Sî ces 26 lettre^ devaient être tirées successivement et au hasard, d'une urne où elles seraient renfermées, il y aurait la même chance qu'ellesarriveraient dans l'ordre naturel, ou dans un ordre déterminé d'avance, comme celui-ci bf p, (v,« . . 9, a, ^, que je choisis arbitrairement : cette chance serait aussi petite, mais. pas moindre, pour le premier arrangement que pour le second. De mcma» si une urne renferme, en nombres égaux, des boules Uancheset des boules noires, et qu'bn en doive extraire successivememt 5o bouleg^ en y remettant à chaque fois la
SUR l PROBAIIILITÈ DES JUGEMENTS. ii5
boule extrftite^ Improbabilité que ces 5o boules seront blancbes , aura pour valeur la 3o* puissance de -, c'est-à-dire, à peu près TuDité divisée par un milliard. Mais Fa probabilité de la sortie de 3o boules, les uijes blauclies et les autres noires, dam tel ordre et dans telle proportion que Ton voudra assigner d'avance, ne sera ni plus grande ni plus petite que celle de Textractiofi de 3q boules blanches; et il y aura également environ un «nilKard à parier contre un que cet autre arrangement déterminé n'arrivera pas. Cependant, si nous voyons sortir de 1 urne 3o fois de suite une boule blanche, nous ne pourrons pas croire que cet événement soit dû au hasard, taudis que nous lui attribuerons sans difEcnlté l'arrivée de 3o boules qui ne nous offrira rien de régulier et de remarquable;
Ce que nous appelons hasard (pf^ 27), produit, pour ainsi dire, avec la même facilité, un événement que nous trouvons remarquable et celui qui ne l'est pas. Les événements de la première espèce sont beaucoup plus rares que ceux de la seconde, lorsque tous les événements également possibles sont très nombreux. Pour c^tte raison, Tarrivée des premiers frappe d'avantage notre esprit; ce qui nous porte à leur chercher une cause spéciale. L'existence de cette cause est , en effet, très probable ; mais sa grande probabilité ne résulte pas de la rareté des événécuents remarquables : elle est fondée sur un autre priqcipe auquel nous allons appliquer les règles précédemm^t démontrées.
(43). AfupclonsEï, E^y £3, etc., les événemenfs remarquables qui peuvent avoir lieu , et F,, F«, F3, etc., les événements non remarquables. Lorsqu'il s'agira , par exemple, de 3o boules extraites d'une urne qui contient des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, les événements £, , E., £3, etc., seront l'arrivée de 3o boules de la même couleur, celle de 3p boules alternativement blanches et noires, celle de i5 booles d'un* couleur suivies de i5 boules de Tautre couletxr, etc. Dans le casd'.une trentaine de caractères dlmprimerie, rangés à la suite l'un de Vautre, les événements £„ t^, £9, etc., seront ceux où ces lettres se trouverontidisposées, soit dans l'ordre alphabétique, soit dans l'ordre inverse , ou bien ceux où elles formeront une phrase de la langue française, ou d'une autre langue. Dans tous les cas, dési- |[nons par m leur nombre, et par n celui des autres événements F,,
ii6 RECHERGHBS
F., Fg, etc.; supposons qu'ils soient tous également possibles y lorsqu'ils sont dus uniquement au hasard; de sorte qu en représentant alors par p la probabilité de chacun d'eux ^ on ait
aussi bien quand il appartient à la première série , que quand il fait partie de la seconde. Il n'easera plus de même, si ces événements, doivent être produits par une cause particulière C, indépendante de la probabilité /?, et qui sera^ pour fixer les idées, la volonté d'une personne et le choix qu'elle fera de Tun d'entre eux. Mous admettrons que ce choix sera déterminé par les diverses circonstances qui rendent remarquable une partie des événements possibles. Ainsi, il y aura une certaine probabilité p^, que le choix de cette personne se portera sur E,, une autre probabilité p^ qu'il se portera sur E^, etc.; il n'y aura aucune probabilité qu'il doive se porter sur. un des événements F| , F., Fs f etc. ; et ces divers événements étant les seuls possibles, il faudra qu'on ait
Pi\+,P% + Fs 4- etc. = 1.
Si les probabilités /7| , p., /?3, etc., sont toutes égales , leur valeur com-
. mune sera —, et, par conséquent, très grande relativement a /), quand
le nombre total m^n des cas possibles sera très grand en lui-même et par rapport au nombre m des cas remarquables. Généralement, ces probabilités pourront être fort inégales,* nous n'avons aucun moyen de les connaître ; mais il nous suffira qu'elles soient très grandes eu égard à la probabilité /^ ; ce qui ne peut manquer d'avoir lieu, loreque celle-ci est extrêmement petite, ou le nombre m^n excessivement grand , comme dans les exemples qu'on vient de citer. ' Tel est le principe dont nous partirons pour déterminer la probabilité de la cause C, d'après l'observation de l'un des événements E, , E^, E3, etc., F,, F., Fa, etc., ou, du moins, pour faire voir qu'elle est très grande, quand l'événement observé appartient à la première série.
Supposons que E, soit cet événement. On pourra faire deux hypothèses, la première qu'il est dû à la cause C, laT seconde qu'il est le ré-
Sttltat du hasard. Si la première hypothèse était certaine , p^ serait la probabilité de l'arrivée d^ E,; si c'était la seconde qoi le fût, cette probabilité aurait p pour valeur; en appelant donc ria probabilité de la première hypothèse apirès l'observation , et regardant les Aeux hy pothèses comme paiement probables â^/ion, nous aurons , parla règle du n* 28,
Pt + P
Or, il suffit que la probabilité /y. soit très grande eu égard à la très petite chance /7^ pour que cette valeur de r diffère très peu de l'unité ou de la certitude. Dans l'un des exemples précédents, où le nombre des événements possibles surpassait un milliard, et où p était au-dessous de Tunité divisée par mille millions; si l'on suppose que 1000 soit le nombre des événements assez remarquables pour déterminer une personne à choisir l'un d'entre eux, et si.l'on prend l'unité divisée par ce nombre pour la valeur de j9„ celle der différera de l'unité, de moins d'un millionième, et dfe beaucoup moiris encore, si $ comme on peut le croire, la probabilité p, est au-dessus d'un millième. Lors donc que l'un de ces événements remarquables, aura été observé, par exemple, l'extraction de 3o boules d'une méqie couleur, thréé^ d'une urne qui contient, en égale proportion , des boules de deux couleui*s différentes , on devra l'attribuer, sans aucun scrupule, comme on le fait naturellement, à la volonté de qi^^lqu'un, OU à toute autre cause spéciale, et ne pas le considérer comme un simple effet du hasard.
Toutefois, la probabilité r de la cause C serait beaucoup diminuée, si avant l'observation, soit existence et sa |ion-existence n'étaient pas également possibles , comme le suppose la formule précédente, et que ce soit sa non-«xistence^qui fût primitivement li^ plus probable. C'est ce qui aura lieu dans l'exemple qu'on vient de citer^ lorsqu'on aura pris, avant le tirage, beaucoup de précautions pour soustraire l'extraction des boules à l'influence d'aucune volonté. En ayant égard à cette circonstance , antérieure à robscrvation, la règle du n"* 34 rendra sensible la diminution de la valeur de r. Cette probabilité sera aussi augmentée on diminuée, quelquefois dans de trèç. grands rapports, quand tous les événements "£,, É», E», etc., F,^ F., Ft, etc., ne seront point égale*
T l8 recherches
tnent ^asil>les c augaientëe^ si Ja chasce pnopre de chaque éTirfnement est plus petite pour ceux de la première série que poar les événenienls de la seconde série ; diminoée , d^na le eas contf aire^
L'harmonie qtie nous obserrons dans la nature n'est| sans doute pos l'effet du hasard ; mais par un examen attentifet long*»temps ffrtAougé^ on est parvenu, pour un très grand nombre de phénomènes, à en dé* couvrir les causes physiques qui donnent à leur arrivée, sinon una certitude absolue, du moins une probabilité très approchante de l'unité. En les regardant comme des choses E, , E. , Ea , etc., qui présentent des circOBSlianc^ remarquables, ce serait le cas où ces choses ont par «lles-^mémes %ine assez forte probabilité , pour rendre très impro* bable et to«t-à-fait inutile à considérei*^ l'intervention de la cause que nous avons appelée C^ Qoant aux phénomènes physiques, dont les causes ndos sont encore inconapes , il est raisonnable de les attribuer «1 .des causes analogues à celles que nous connaissons, et soumises aux mêmes lois. Leur nombre diminue au reste de jour en joirr, par le progrès des sciences : aujourd'hui^ par exemple , nous savons ce qui produit la foudre , et coçiment les -planètes sont retenues dans leurs Orbites, connaissances que n'avciieût pas nos prédécesseurs; et ceux qui viendront après nous, connaîtront les causes d'autres phénomènes, actuellement inconnues. " '.
(43 j. Lorsque le nombre^de causes distinctes auxquelles on peut attribuei? un .événement observé E*" est infini, leuins probabilités, soit avant, soit après TarriYée de E, deviennent infiniment petites, et les soitimes 2 cotitenues dans les formules des n""' 3a et 2^4 » se changent en des intégrales définies^
Pour effectam- oetie transformation ,' supposons que Tévénq^ent observé E soit l'extraction d'upe boule blanche^ d'une urne A<{ui conte-, nait u£ie infinité ^e.bo«iles blanche' o« noires.' On ^Myirra i&ire sur le rapport inconnu du nombre de boules blanches au nombre total des boules, une infinité d'hypothèses que l'on prendra pour autant de causes distinctes de l'arrivée de E^ et exidusives les unes des autres. Désignons ce rapport par jr ,,diB sorte que x soit une <^wïtité susceptible de toutes les valeurs croissantes par degrés infiniment petits, et comprises depuis x infiniitieivlt petit, qui répond au cas oùla'boulç extraite serait la seule boule blanchç que A reqfermkit , jusqu'à xz=^i ,
qui répond à l'autre cas extrême où cette urne ne contteadmit que des boules blanches.
Représentons aussi par X la probabilité que ce rapport, si s^ valeur X était certaine, donnerait à l'arrivée de E, de maqière'que X soit, dans chaque question, une fonction connue de x. En considérant donc cette valeur comme une des causes possibles de £, il s'agira de dtter- . miner la probabilité infiniment petite de Xy spit quand toutes ces causes sont également probables avant l'observation, soit quand elle^ont, à priori , des chances différentes.
Dans le premier cas, la probabilité demandée se déduira de la quantité ^, du n« aS, en y supposant m infini, et y mettayt pour p^ , P»fPs9 ^tc, les valeurs de x relatives à toutes celles de X.
En faisant d'abord usage du signe 2 , comme dans le n^ 3^ , et appelant <iar la probabilité de x , nous aurons donc
'^— ix-
Mais, d'après le théorème fondamental des intégrales définies, on aura aussi
SX^x^sj Xdx;
par conséquent, si l'on suppose comtante la di^ifrentielle dxy et qu'on multiplie par dx les deu^ termes do U fraction précédente, il en résultent
Xdx
En même temps , si l'on désigne par X' la probabilité correspondante à X, d'un événement futur E' qui dépend des mêmes causes que E, et par ^ la probabilité complète de l'arrivée de E', on aura, d'après kl règle du n* So^,
lâo RECHERCHES
oa , ce qui est la même chose ,
