XX

en substituant pour « sa valeur précédente^ et changeant la somme Z en une intégrale. La quantité X' sera dans chaque exemple une fonction donnée de x. '

Dans le cas où les diverses valeurs de x seront inégalement probables avant l'observation de E, on désignera par \dx la probabilité infiniment petite et antérieure à cette observation, de la chance ^ de E ; et en mettant \dx au lieu de ç. dans les formules du n"" 34, on en conclura

^ XY</ar pour la probabilité de cette chance x après l'arrivée de E, et

J^ XYdx

pour la probabilité de Tarrivée future de E":

(44)* Si Ton est certain, à priori, que la valeur de x ne peut pas s'étendre depuis x=:o jusqua x^^ i, et qu'elle doit étfe comprise entre des limites donn^, on prendra ces limites pouf celles des intégrales définies que ces formules renferment, ou bien, si Ton veut conserver leurs limites zéro et Tunité, on supppsera que Y soit une fonction discontinue de x, qui sera nulle en dehors des limites données de cette variable. Soit que x soit susceptible de toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité, soit que cette variable doive être renfermée entre des limites données; si l'on appelle A la probabilité que sa valeur inconnue est efiectivement comprise , d'après l'événement observé E , entre d'autres limites plus resserrées que les premières, ^ sera la somme des valeurs de v relatives à celles de x qui sont contenues entre ces

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. . lai

autres limites; en sorte qu'en désignant celles-d par «e et é^, on aura

Dans un calcul d'approzimation , on pourra employer celte formule, lorsque le nombre de causes auxquelles révénement E peut être attribué, au lieu d'être infini ^ sera seulement très considérable. Supposons, par exemple, que E soit la sortie de n boules blanches ^ tirées successivement et sans interruption , d'une urne B qui contient un très grand nombre de boules , tant blanches que noires , et dans laquelle , on remet k chaque fois la boule qui en a été extraite* La probabilité X de E , correspondante à un rapport x du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, sera la puissance n de ce rapport. Si Ton demande la probabilité que le nombre de boules blanches qu'elle renferme excède celui des boules qoires , on prendra a=:^ et Cssi, dans l'expression de cette probabilité A. Si , de plus, toutes les valeurs possibles de x étaient également probables avant les tirages, Y ne variera pas avec x, et disparaîtra , en con- . séquence, de cette expression. On aura donc

et, par conséquent ,

avec d'autant plus d'exactitude que B contiendra un plus grand nombre de boules noires ou blanches. Avant les tirages, il j avait un con*tre un à parier que le nombre des blanches excédait celui des noires; il suffira qu'en tirant une boule de B, elle soit blanche pour qu'on ait X=s ^, ou qu'il y ait trois à parier contre un pour la supériorité du nombre de boules de cette couleur; et quand on aura tiré de B un nombre un peu considérable de boules blanches, sans en amener de noires, la probabilité A que les blanches y sont en plus grand nombre que les noires, approchera beaucoup de la certitude.

12a tuECsmam

(45). Mm que je l'ai déjà dît (n'' 5o), oo peut con^dén?r E et Z' comme des éyéaements composes d'un même événement simple G ^ et liés l'un à l'autre par leur dépendance commune de cet événement.

La chance de G est inconnue; la, probabilité qu'elle a x pour valeur est Ydx avant l'arrivée de E, et mr après cette arrivée; et comme cette chance a certainement une des valeurs comprises depuis x= o jusqu'à xzssï, il faut que la somme des valeurs correspondantes de "ïdx sott rumtéy comme- cela a diéjck lieu pour la somme des valeurs de nsr, La fonction donnée Y de x^ quelle qu'elle sok d'ailleurs^ continue ou discontinue , devra donc toujours satisfaire à la iîondition

fïdxzsi. .

D'après la règle de l'espérance mathématique (ty* 25), appliquée a la chance de G, on devra prendre pour sa valeur^ ava^ l'observation de£, la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées par leurs probabilités respectives , c'est-à-dire, la somme de tou3 lea produits de X et*de Ydx, depuis a: =o jusqu'à or = x. En désignaat par y, cette chance de G, ou, plus exactement, ce qu'on doit preodre pour sa valeur inconnue, avant que E ait été observé, on aura donc

y= r xXdxi

et l'on peut remarquer que si Ton considère x et Y comme l'abscisse et l'ordonnée d'une courbe plane , et si l'on observe que l'aire entière de cette courbe, ou l'intégrale f\dx est l'unité, y sera l'abscisse du centre de gravité de cette même aire. C'est d'après cette valeur de y prise pour la chance de G, que l'on d«irrait parier pour une première arrivée de cet événement , mais non pas pour plusieurs arrivées succeeisives; car selon que G auraeu'lieu ix^ n'aura pas ou lieu dans une pittcaiàre épreuve, la probabilité de son arrivée jsera alimentée ou diminuée dansrles épreuves suivantes.

Si, par exemple, toutes les valeurs de x sont également prab^ables à priori ^ la quantité Y devra être indépecpdante de x; d'apvès les deux équations précédentes , on aura donc

SUR LA PROBABILUt DES JUGEMENTS. laS

et, en efiet^ nous n'avons alon aiKone nrîsair de croire , dans urne première épreuve , à rarrivëé de G plutôt qu'à celle de reVenement contraire. Mais si l'on pnmd poor chacuD des é véDemeftU E et E' reVënetnent simple G^ auquel cas on aura ,

il en r^hera

. pSXdx

Hdx

pour la probabilité que G étant arrivé une première fois , arrivera encore une seconde fois , de manière que la probabilité de son arrivée , aura augmenté de ^, de la première à la seconde épreuve. Elle diminuera de la même fraction, et se réduira à^ — s^yOu-Jp^àla seconde épreuve , lorsque l'événement contraire aura eu lieu à la première ; car en prenant celui-ci pour E, et toujours G pour E'i c'est-à-dire en faisant

on en conclura

pour la probabilité que G n'ayant point eu Heu la première fois, arrivera à la seconde épreuve.

A priori, la probabilité que G arrivera deux fois de suite sera, par la règle du n* 9, le produit de la probabilité ~ qu'il aura lieu une première fois , et de la probabilité | qu'étant arrivé cette fois-là , il arrivera encore à la seconde épreuve ; elle sera donc \ , au lieu de \ , qui serait sa valeur si la probabilité de G était ; à la seconde épreuve comme à la première. La similitude des deux événements qui arriveront dans les deux premières épreuves , aura une probabilité doftble ou égale à | ; car cette similitude aura lieu , soit par la répëtitton de Ç,

soit par celle de réTéoement coatraire , qai sont toutes deux égalemenl probables.

En comparant | ou | (i + •;) ^ à la probabilité 7(1 + ^') de la

similitude, que nous ayons trouvée dans le n"" 37» on aura J^ss — ^.

Lors donc qu'à priori nous n'ayons aucune donnée sur la chance d'un éyénement G, de sorte que nous puissions supposer également à x toutes les yaleurs possibles, la probabilité de la similitude dans deux épreuyes consécutives, est la même que s'il y avait, entre les

chances de G et de l'événement contraire • une différence —7= • saiis

que l'on connût la chance la plus favorable. Nous déterminerons

tout à llieure la probabilité de la similitude dans les cas où l'on sait

à priori que toutes les yaleurs possibles de x , au lieu d'être également

possibles , s'écartent très probablement fort peu d'une fraction connue

ou inconnue.

(46). Maintenant, l'événement simple dont la chance est inconnue, étant toujours désigné par G , appelons H l'événement contraire dont la chance sera l'unité diminuée de celle de G, et supposons : 1*, que révénement observé E soit l'arrivée de G un nombre m de fois et de H un nombre n de fois , dans un ordre quelconque; a"", que l'événement futur E' soit l'arrivée de G un nombre ni de fois et de H un nombre n' de fois, aussi dans un ordre quelconque.

Pour la valeur x de la chance de G et i — - x de celH de H, les probabilités X etX' de E et £' seront (n* i4)

X = Kjc- (i — x)\ X'= K'jc-'(x — xYi

K et K' désignant des nombres indépendants de x. On aura donc

p^Xaf" {i ^ xydx

poui la probabilité de F après l'observation de £. Le nombre K a disparu de cette formule; la valeur qu'on y mettra pour K', sera

SUR LA PROBABIUTÉ DES JUGEMENTS. laS

I • 2 • 3 • • • fl' *f- R I«3«3«««lll •I.2.3««*7I

Si E' était rarriTee de m' et n' ëTénements 6 et H dans un ordre déterminé , il fiiadrait remplacer K' par l'unité.

Lorsque ayant l'observation de E, on n'aura aucune raison de croire aucune des valeurs de x ]dus probable qu'une autre, on prendra l'unité pour la quantité Y. Au moyen de l'intégration par partie, on a d'ailleurs

ou f plus simplement ,

raf-{i^xydx = p^,

en faisant, pour abréger $

pour un nombre quelconque U On aura de même

et à cause de

Zî±2l.«

Pf

U en résultera $ dans le cas dont il s'agit^

Of' — ^"^-M^ ^m^mf PjfaM^ Pia-M ^Ht

Afin que cette formule comprenne les cas on l'un des nombres m , n^ m', n', est zéro, il y faudra &iieP»= i. Cela étant, si l'on a n et n' s: o, on aura simplement

126 AECHBACHES

ce qui exprimera la probabilité que O arrivera m! fois sans interruption y après être déjà arrivé m fois sans que Tévénement contraire H ait eu lieu.

Pour m' = I et 72' =s o, la valeur de m'^ relative à Y = i , se réduira à

m 4 y» -^ a' et pour m' = o et /t^ = i , elle devient

m-f-ii4-2

La somme de ces deux fractions est Tunité; ce qui doit - être éflfecftîve-' ment, puisque la première exprime la probabilité qu'après m -h n épreuves, G arrivera à 1 épreuve sûivâtiiê, et la seconde la probabilité que cet événement n'arrivera pas. La première est plus grande ou moindre que la seconde, selon qu'on a m >» n ou m^/i, cést^indire selon que dans les /7i + n premières épreuves , G est arrivé plus souvent ou moins souvent que l'événement contraire H : elles sont égales entre elles et à ^, coinmô avant les épreuves, quand ce» deux événements ont eu lieu le même nombre de fois. Mais il n'en sera plus de même, en général, lorsque Tim'sàilra à priori , 'Sdit par la nature de l'événement G, soit par le résultat d'épreuves antérieures à l'événement E, que les valeurs de la chance inconnue de G ne sont pas toutes également probables , de telle sorte que l'on n'ait pas Y = i : non-seulement dans ce cas , ia fraction y du numéro précédent que Ton devra prendre pour la chance de G- avant les m + /t nouvelles épreuves ne sera point \ , mais à répreù vé suivante , là probabilité de G pourra être moindre que* y , quoique G soit arrivé plus souvent que l'événement contraire H , ou plus grande, qùoiqtie ce soit G qui aura eu lieu le moindre nombre de fois; c'est ce que l'on verra dans Texemplé suivant.

(47). Je stappôse qull soit très ^fbbable, à pHorii^ne Ja^cbanec de G s'écarte fort peu , en plus ou en mdiùs , d'une ééWàin^ fl^etion r, de sorte qu'en faisant

SUR LA TKÙÈmMit NSS JUGEMENTS. 1 97

la quantité Y soit une fonction de z, qui n'9 de yaburs sensibles que pour de très petites valeui^ de cette variable, positives ou négatives. La courbe plane dont or et Y sont les coordonnées courantes, ne s'écartera sensiblement de Taxe des abscisses or, que dans un très petit int^rv^Ue, djç part et d'aut»re de l'ordonnée qn\ répond à or =s rj le centre de gravité de Faire de cette course tombera donc ,<Jau^ ce^ intervalle; par conséquent l'abscisse de ce point différera très peu de r; et en négligeant cettç différence , r sera la vale^ir de la quantité y du n* 45.

Cela posé^ les limites» des intégrales relatives à z seront les valeurs z=s — ret z SI? I — r, qui rçppnd^ot à a: =?? o et x == i ; si dpj>c on fait m'= 1, 7i'= o,. d;f:=i cfe , dap.s la preipière exprjes^on de ^' du numéro précédent, il en résultera

J . Yx"(x — xydz

pour la probabilité que G arrivera une fois, après avoir eu lieu m fois, et l'événement contraire n fois, dans m + n épreuves» Mais, p^r la natuce du foetenyr Y cx^qapris SfW3 les.sîgQfs/, oa peut, si .Fou veut, borner ces intégrales à des valeurs très petites de z. Alors, en développant les autres facteurs fn séries ordonnées suivant les puissances de z; ces séries seront génér^meot très convergentes : il n'y aurait d'exception que si rou i -^ rétait aussi une très petite fraction; dans tout autre.cas, il nous sufira d'ett^cons^nm^r les premieifs terjsnes; et en négligeant le carré de is, nous aurons,

x"(i — a?)«= r"(i — r)"4-[mr— '(i — r)"— r/îA*(i — r}— »]5

d'où Ton déduira la yaleur de ^'•"^ (i -—a?)*, en y mettant m -f. i au lieu de m.

Je substitue ces valeurs de oif (i — x)' et de of""*"* (i — jc/ dans l'expression de v' ; j'observe que Ton a

j '^Yrfzssi, J Yzdz ^ o;

fa8 RECHERCHES

et je fais, pour abréger,

En négligeant le carré de h y qui ne poorra être qu'une très petite fraction , il vient

ce qui montre que la probabilité ^ de l'arrivée de G après les m 4* 's épreuves , est plus petite ou plus grande que la fraction r ou 7 ^ que Ton aurait dû prendre pour la chance de G avant ces épreuves : plus

grande, quand — surpasse --^^ ; plus petite, dans le cas contraire.

S'il était certain que r f&t la chance de G, et qiie m et n fussent de grands nombres, G et H seraient très probablement arrivés proportionnellement à leurs chances respectives r et i — r, et l'égalité des rap*

ports — et — — rendrait la probabilité ^ ^ale à la chance r,

cela devrait être.

(48). En (aisant m =s i et n ss o dans la valeur précédente il vient

«t'es r+ -,

pour la probabilité que G ayant eu lieu dans une première éptenvtf arrivera encore dans la suivante; et comme r était la probabilité de l'arrivée de cet événement à la première épreuve, le produit de r et de <ar', ou r* -{- A, exprimera la probabilité de sa répétition dans les deux épreuves. En y mettant i — rà place de r, on aura (i — r)»-f-A pour la probabilité de la répétition de l'événement contraire; et si l'on ajoute cette quantité à r* + ^ f i^ ^^ résultera

1 '^ ^r + TT^ '{^ ah,

pour la probabilité de la similitude des résultats dans les dieu^ épreuves.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. lag

Si Ton fait m = o et /i as i dans la valeur de «tr' du numéro précé* dent, on aura

pour la probabilité que G n'ayant pas eu lieu à la première épreuve , ce sera cet événement qui arrivera à la seconde ; le produit r (i"— r) — h de cette valeur de <ir' et de i — - r, exprimera donc la probabilité de la succession des deux événements contraires G et H ; et en la dou« blant, on aura

pour la probabilité de la dissimilitude des résultats dans les deux épreuves, que l'on déduit aussi de celle de la similitude, en retran* chant celle-ci de l'unité.

L'excès de la probabilité de la similitude sur celle de la dissimilitude sera donc

où Ton voit que cet excès se trouve augmenté par la circonstance que r n'est pas précisément la chance de G , et que l'on sait seulement que cette chance s'écarte très pende r; de telle sorte que si l'on savait aussi que r fût -2 1 il y aurait encore de l'avantage à parier un contre un pour la similitude. C'est ce qui a lieu au jeu de croix et pile où l'on emploie une pièce de monnaie pour la première fois : l'égalité de chance pour les deux faces de cette pièce est physiquement impossible ; mais d'après le mode de sa fabrication , il est très probable que la chance de chaque face s'écarte très peu de ^.

(49}* Je vais énoncer dès à présent un.théorème dont la démonstration sera donnée dans le chapitre suhrant , et qui servira à déterminer, par l'expérience 9 non pas avec certitude et rigoureusement, la chance d'un événement, mais avec une très grande probabilité, une valeur de cette chance , aussi très approchée.

Soit g la chance connue ou inconnue d'un événement G , c'est-àdire le rapport du nombre de cas favorables à cet événement et éga/-

i3o fi£CliER£IffîS

Jemeot poaôfaAes , au OiOmbDe de tous les eas ,q^x fiwiceipjt aYAÎr lieu et soQt aussi également possibles. Supposons que Ton fasaewn oc^iibne )Et d'épreuves, pendant lesquelles cette chance propre de G et distincte de sa probabilité (n*" i), demeui^era .constante. Soit r le rapport du nombre de fois que G arrivera dans cette série d'épreuves , à leur nomhw Aolal /i. Tant qiae fiL ne sfitrjsi pas 'trè6 ^ooofiîdéfiaUe, Jie raj^poirt r ivariâpa ayec fif .et pourra diflSârer beau^OQtivp àéi gf éW plus ou eu moins; mais ^quand /jl ^era cUiV^nu un grand AOBibfse, la differ^iiae /• — g diminuera de pius en plus , ^bstraolioa faite du sîgae 9 k WfiBwe que fJL augmentera encore davantage; de telle sorte qu^ si ff» pouvait devenir infini^ on aurait rigoureusement r — g = o^ et qu'en désignant par € une fraction aussi petite qu'on voudra, on pourra toujoui^ atteindre .i;in nombsç if .41^^ .gi>ap(]i pppr qu^ )a pro]l^a]i>ilit.é de r-TT-g m^Q^n^/te que $, apprpche autant qu'on vpujira ^e la c^rtitade. Nous donnerons par la suite l'expres^iion de la ji^ob^bilité de r r^g .<; i, ^ .en .l^jnctio.n de >c et 4f «•

Ainsi l'urne A renfermant a boules blanches et b boule$ poires; si Ton en extrait successivement un très grand nombre ft de boules , en remettant daps A la boule extraite à chaque fois, et si dans ce nombre ft de boules extraites , ce est celui des boules blanches et C le nombre des boules noires , on aura

avec d'autant [Jus d'exactitude et de probabilité que ft , ou a + ^ > serp un plus grand nombre. Réciproquement, si le rapport du nombre de boules blanches au nombre de boules noires contenues dans A, est inconnu , et que dans un très grand nombre d'épreuves pendant lesquelles ce rapport n'ait pas varié, il soit sorti de cette urne, a boules blancKcs et C boliles noires, on pourra prendre, avec une très grande probabilité , pour les valeurs approchées de c^e rapport inconnu et de la chance inconnue de l'extraction d'une boule blanchf? ,

les quantités ^ et --v^» <iwel qjM^ soit d'ailleurs le npmbrç de tiQules

contenues dans A. Toutefois, on doit remarquer que si ie nombre de boules Manches a que cette urne renferme, est très petit par rapport au

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. r^

au» norabref & de bodes noires , a sera aosd'très petit par rapport! à* 6, et rëciproquëirieiitVi&aiS le rapport de l'une des fractions g ^t t à l'autre, pourra différer beaucoup de l'unité, à moins que la série des épreuves n ait été poussféfe excessivement loin : quand la chance connue ou inconnue de l'extraction d'une boule blanche est très faible , l'équation approchée > = t signifie seulement que > et t sont l'une et

l'autre de très petites fractions.

La règle que l'on vient d'énoncer convient également aux chances de diverses causes, qui s'excluent mutuellement et auxquelles on peut attribuer un événement' E, observé un très grand nombre de fois. Si y est la chance' connue ou inconnue de 1 une de ces causes C, le

rapport ^ sera, avec une grande approxiraaëoo et une gpUÊide

probabilité, éëlui du notUbre de fbikquëEest^efféJétiveVâentaVnVëVn vertu de C, au noml)re de fbi^ qU^if aura ét^ produit piîr tbiltb antVti causé; ce (}ui' fera cbtihaltre le i*appàrt dt ces* dieux nomlrë^, c^ttdiitf la chance y sera connue à priori, ou la valeur de cette chance, ^î 1 àri parvenait' à défet^miner cë'i'ap|k)rt^par Texpériéiltie.

L'événement E étïiilt , par' éi^étttplè , la Sortie' dMne boule blanche qui a pu être extraite d^ùnk urne A contenant' a' boiiléà' blanches ét'^' boules noires, ou d'une ùt^b B'renfermatit^ boules bllsitacheir et ^' bthilës noiréi; la cMUte y de Ay d'aVoir éHÎ' W caA\iê de E ou r^riie d'àii V6A' a' èxtrailf là bo«de MkHfbe^, a pour vàlefui", d'api«i< la' rèj^W dvf

w. ,^ ^Jà + V)

et la chance contrait^ , ou celle qui se rapporte à B , est de même

Or', si l^dh*â'tirë ûti'treâ'gfaiid dëmKne' fi'àé Houles blancnes, de l'une ou de l'autre des. deux urnes, en remettant à chaqne épreuve r dans Tume dont elle est sortie, la boule blanche ou noire qui en a été extraite, le rapport du nombre de boules blahcbë^' ^rtfeë de A à cielui

i5a RECHERCHES

des boales blanches extraites de B^ s'écartera très probablement fort peu du rapport de ^ à i — >; de sorte qu'en appelant f le premier de ces demc rapports , on pourra prendre

Cette valeur de p se réduit à |, lorsque les nombres a 4- a' et 6 + 6'

de boules blanches ou noires, sont égaux dans A et dans B. Dans ce cas, on peut réunir toutes ces boules dans une même urne D (n* 10), sans changer le rapport du nombre de boules blanches provenant de A au nombre de boules blanches provenant de B, qui seront extraites de D : sur une très grande quantité de boules de cette couleur, le premier de ces deux nombres sera donc à très peu près au second , comme a esta b; ainsi qu'on pourrait le vérifier en faisant une marque particulière aux boules provenant de A ou de B> et remettant après chaque tirage dans D, la boule blanche ou noire qui en aura été extraite.

(5o). On trouve dans les œuvres de Buffon (^) les résultats numériques d'une expérience sur le jeu de croix et pile ^ qui nous fourniront un exemple et une vérification de la règle précédente.

A ce jeu , la chance d'amener l'une ou l'autre des deux faces de la pièce dépend de sa constitution physique qui ne nous est pas bien connue; et quand bien même nous la connaîtrions,, ce serait un problème de mécanique que personne ne pourrait résoudre, d'en con* dure la chance de croiûc ou de pile. Cest donc de l'expérience que la valeur approchée de cette chance doit être déduite pour chaque pièce en particulier; de sorte que si dans un très grand nombre u d'épreuves,

croix est arrirée un nombre m de fois, Fe rapport — devra être pris pour

la chance de croix. Ce sera aussi la probabilité ou la raison de croire que cette face arrivera dans une nouvelle épreuve faite avec la même pièce ; et , d'après le résultat de cette série d'épreuves , on

(*) Arithmétique morale , dLtùAe XVlll.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i55

pourra parier à jeu égal, m contre /te — m pour l'arrivée de croix. C'est aussi au moyen de cette probabilité — de révénement simple que Ton

devra calculer les probabilités des événements composés , du moins quand elles ne seront pas très faiUes par la nature de ces événe-* ments.

Cela étant , supposons que Ton ait fait un très grand nombre m de séries d'épreuves, en continuant chaque série, comme dans l'expérience citée, jusqu'à ce que croix ait eu lieu. Soient a, , a^^ a^, etc., les nombres de fois que croix est arrivée au premier coup, au deuxième, au troisième , etc. Le nombre total /â des coups ou des épreuves , sera

/A = a^ -f- 2a^ + 5^3 + etc. ; le nombre m des arrivées de croix sera , en même temps ,

m s= a, + ^ft + ^3 + etc. ; et si l'on appelle p la chance de cette face , on aura

m '^ fi

avec d'autant plus d'approximation et d'exactitude que /u sera un plus grand nombre.

Les probabilités de croix an premier coup, au deuxième coup sans avoir eu lieu au premier, au troisième coup sans être arrivée aux deux premiers, etc., seront pi p(i — p), p(i-^p)*, etc. Or, les nombres de fois que ces événements ont eu lieu étant par hypothèse a», a,, fl|, etc., dans un nombre m de séries d'épreuves, on devra donc avoir, k très peu près,

si ce nombre est très grand, et lorsque ces probabilités ne seront pas devenues de très petites fractions. En divisant chacune de ces équations par la précédente, on en conclut différentes valeurs de i — p, et, par suite,

i<34 HECâmUSHES

p=±2— , P==i "> p=i- , etc.

Ces valeui*s de p, ou du moins uti certain nombre des premières ^ dif-

fénevotit d'au4ant moins entre- eUes^eCdir rapport -^> que m-eV^L semai

de plus grands nombres : pour qu'elles fussent nécessairement égalés , il faudrait' que ces nombres fussent infihik Eh ériiiployaùf pour p^ la moyédne de ces firàctioiTs très peu îtiégàlës, ou &ieh eti faisant ùàagé dé

la valeur ^ de p,. résultante de lensemble des épreuves y* on aura

a, = mpf a, = mp(i — p), a^ = mp{i — pY, etc.

pour les valeurs calculées* dès no'mBres d^ , a^p 0$$ etc., qui devront très peu s'écarter des iil>mbreseb5ervés> du iéioIbs^ dans* les pnmievà termes de cette progression géométrique décroissante. Dans rex;périenc0 dé' Bbfltei , le- notnbl^ i9F dlfs séries d'épreuves

était

m = ao48.

On peut conclure de la manière dont elle est rapportée par l'auteur , que l'on a eu

a, = 1061, a, = 494, ot == 253, a* = i5j, dry a 56^ ai> =8 -19V a; sst iH, Og zn^ 8, a^ sn^ 6.

Les nombres a^^ ^u» etc. ^. n'ont point^eu lien,- c^t-à-dire que le nombre m des séries d^épreoves n'ar pasété^asses grand peur qpe aroix n'arrivât pas dans une ouplusiemps séries. Ce nombi^ est la somme des valeurs de ^t # ^a» ^f 9 etc.; on en déduit ausii'

et, par conséquent,

f^} -Ètf: ^. -a. oiSttôgîS.

Au moyen de cette valeur dep, on trouve

SUR LA PROBÀBIL/ITÊ JfBi JUGEMENTS. i35

a^ = io58, a^ ^ Sia, a^ = a5a, a^ = ia4» ^ «= 6i, As = 5o, Hy =5 i5, ût = 7, ^9 = 4> «••= >,

en négligeant les fractions : les nombres suivants a., , £t,«, etc., seraient 4i»-4«ssoi;is d^ yvLïiiX^' Qr» $i ilVw compare cette spriip d«s val^nri» palculées, à celles des nombres a,, a^, a^y etc., qui résnUf3^t 4^ IjqI^sw^ vation , on voit qu'elles s'écartent peu Tune de l'autre dans leurs premiers termes. Les écarts sont plus grands dans les termes suivants; par exemple , la valeur calculée dje a, n'est que les trois cinquièmes de la valeur observée; m^is ce nombre a, répond à un événement dont la probabilité est au-dessous d'un centième;^ En s'arrêtant aux trois premiers termes de la série des nombres observés, on en déduit

p=-=jo,5i8o6, p:;=i— J=^o,5544i, /)p=i~? = o,53o55;

qmatités x|Di ili£6ta^itf très peo eiMre oll^, >etikMit la Moyenne, ou h |i?v94«1mrwai«ie, est

MB

qw 4i$Eè|:ç il peine j^ t^oa, dp 1* valew -- de /?, r^witimt^ de l'en^

semMe des épreuves.

l'ai choisi cette expérienee a cause dn nom de hauteur, et parce que l'ouvrage où die se trouve, la rend audientique. Chacun en peut faire beaucoup d'autres de la même espèce , soit avec une pièce de monnaie, soit avec un ^e à six faces. Dans ce dernier eas, le nombre de fois que ehaque -ftce arrivera, sur un très grand nombre d'épreuves, sera à très peu pvès «m sixième àe cebii-d , a moins que le dé m soit faux ou «mI construit.

(Si). Le théorèpe sur lequel est fondée la règle pvéeédente est dk à Jacques fltomouilli, qui en avait médité la démonstration pendant visgt asMes. Celle qu'il a donnée se déduit de la l^rmule du binôme an nmyea des propositions suivantes.

Soient , à ckaque épreuve , /i et ^ les chances données des deux évé« nements oe«tr»res B cl F; soient aussi g^ h^k, des nombres entiers.

i56 RECHERCHES

teîs que Ton ait

dësîgaoas par m^ n^ fi, d'autres nombres entiers^ liés k g, h, kf par les équations

m:=zgk^ n=zhk, fiz=zm-^nz=:(g'^ h) k,

de manière que les chances p et q soient entre elles comme les nombres metn, que Ton pourra rendre aussi grands qu'on voudra en augmentant convenablement g, h, k, sans changer leur rapport. Cela posé :

i\ Dans le développement de (p + qf^ le terme le plus grand sera celui qui répond au produit p^q"*, et comme ce terme est la probabilité de l'arrivée de m fois E et de /i fois F (n® 14)^ il s'ensuit que cet événement composé, c'est-à-dire, l'arrivée des événements en raison directe de leurs chances respectives , est le plus probable de tous les événements composés qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque ft d'épreuves.

s"*. Si ce nombre /^ est très grand, le rapport du plus grand terme

du développement de (/i -f- ?/* À la somme de tous les termes, ou à l'unité, sera une très petite fraction, qui diminuera indéfiniment à mesure que fA augmentera encore davantage; par conséquent, dans une longue série d épreuves , l'événement composé le plus probable, le sera cependant très peu , et de moins en moins à mesure que les épreuves seront plus long-temps prolongées.

S"*. Mais si l'on considère dans le développement de {p'+^qYfBoa plus grand terme , les / termes qui le suivent et les l termes qui le précèdent , et si l'on désigne par A la somme de ces 3/ -f" < termes consécutifs , on pourra toujours, sans changer ni p niq, prendre fi assez grand pour que la fraction A difïere de l'unité, d'aussi peu qu'on you«dra; et à mesure que /ju augmentera encore davantage, A approchera de plus en plus d'être égal à un. On conclut de là que dans une longue série d'épreuves, il y a toujours une grande probabilité A' que l'évépemeut E arrivera un nombre de fois compris entre les limites mdblf

SUR LA-PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. iS?

et F un nombre de fois compris entre nq= i; de telle sorte que sans changer l'intervalle 2I des limites de ces deux nombres , on pourra rendre le nombre fx, des épreuves assez grand pour que la probabilité A soit aussi approchante qu'on voudra de la certitude. Si l'on prend les rapports de ces limites au nombre fi des épreuves, que l'on ait égard aux équations précédentes , et qu'on fasse

ces rapports seront />' et q'; et comme la fraction J" diminuera indéfiniment à mesure que ft augmentera^ il s'ensuit que ces rapports, variables avec fJL, approcheront aussi indéfiniment, et avec une très grande probabilité, des chances p et 9 de E et F; ce qui est l'énoncé du beau théorème de Jacques Bernouilli.

Nous renverrons pour la démonstration de ces propriétés des termes

du développement de (p -f- qT aux ouvrages où elle est exposée (*). Celle du théorème même , que Ton trouvera dans le chapitre suivant^ est fondée sur l'emploi du calcul intégral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement l'invariabilité des chances des événements simples £ et F, pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabilités, soit k divei*s phénomènes physiques, soit à des choses morales, ces chances varient le plus souvent d'une épreuve § une autre, et le plus souvent aussi, d'une manière tout-à-feit irrégnlière. Le théorème dont il s'agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions; mais il existe d'autres propositions plus générales, qui ont lieu quelle que soit la variation des chances successives des événements, et sur lesquelles sont fondées les plus importantes applications de la théorie des probabilités. Elles seront également démontrées dans les chapitres suivants; on en va maintenant donner l'énoncé , et en déduire la loi des grands nombres, que l'on a considérée dans le préambule de cet ouvrage.

(^ Ar» cçnjeeiandi; pars quarta. Traiié élémenunre des probabilités de M. La* xipoij^; 1** section.

tS8 RECHERCHES

comme un fait général , résaltant d'obscrvatîoiis de tontes natures. (5a). Dans un très grand nombre ft d'épreuves consécutives i représentons la chance de l'événement E de nature quelconque, par p. à la première épreuve , par p. à la seconde , . . . par p^ à la dernière. Soit aussi // la moyenne de toutes ces chances , ou leur somme divisée par leur nombre, c'est-à-dire,

en même temps, la chance moyenne de l'événement contraire F sera la somme des fractions i — p, , i — p^, . , . i — p^^ divisée par jm; et en la désignant par q', on aura p'-j-^r'srr: i. Cela étant, Tune des propositions générales que nous voulons considérer, consiste en ce que si l'on appelle m et n les nombres de fois que E et F arriveront ou sont arrivés pendant la série de ces épreuves, les rapports de m et n au nombre total ft ou m + n , seront , à très peu près et avec une très grande probabilité, les valeurs des chances moyennes p' et ç', et

réciproquement, p' et q' seront les valeurs approchées de — et -.

Lorsque ces rapports auront été déduits d'une longue série d'épreuves , ils feront donc connaître les chances moyennes j/ et q', de même qu'ils déterminent, par la règle du n* ^g, les chances mêmes p et f de E et F, quand elles sont constantes. Mais pour que ces valeui*s approchées de p\et q[ puissent servir, aussi par approximation , à évaluer les nombras de fois que E et F arriveront dans une nouvelle série d'un grand nombre d'épreuves, il faut qu'il soit certain, ou du moins très probable, que les chances moyennes de E et F seront exactement , ou à fort peu près les mêmes , pour cette seconde série , et pour la première. Or, c'est ce qui a lieu effectivement en vertu d'une autre proposition générale dont voici l'énoncé.

Je suppose que par la nature des événements E et F, celui qui arrivera à . chaque épreuve puisse être dû à l'une des causes C„ Cft, Cs,...Cy, dont y est le nombre, qui s'excluent mutuellement,

et que je regarderai d'abord comme égalei;nent possibles. Je désigne par Ci la chance que la cause quelconque Q dminera a l'arrivée de l'événement E; de manière qu'à une épreuve déterminée, à la pre-

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. iSg

mière , par exemple , la chance de E soit c, quand ce sera la cause C, qui interviendra , c, quand ce sera C,, etc. S'il n'y avait qu'mne seule cause possible , la chance de E serait néoessairement la même à tontes les épreuves; mais dans notre hjpothèee, elle sera susceptible, à chaque épreuye, d'un nombre » de valeurs également probables, et variera, en conséquence, d'une épreuve à une autre. Or, si l'on fait

la somme des chances que E aura eu, dans un très grand nombre d'épreuves déjà efièctuées, ou que cet événement aura dans une longue série d'épreuves (uturos , divisée par leur nombre, sera, à très peu près et très probablement, égale à la fipaclion y, dont la grandeur est indépendante de ce nombre; par conséquent, la chance moyenne p' de E pourra être regardée comme étant la même dans deus ou plusieurs séries , dont chacune sera composée d'un très grand nombre d'é-

prenves.

En combinant cette seconde proposition générale avec la première , on en conclut que si m est le nombre de fois que l'événement E arrivera ou est arrivé dans un très grand nombre f* d'épreuves, et m' dans un autre très grand nombre /x', on aura , à très peu près et très probablement ,

Ces deux rapports seraient rigoureusement égaux entre eux , Çt k la quantité inconnue > , si les nombres /* et /«' pouvaient être infinis. Loreque leure valeura données par l'observation différeront notablement l'une de l'autre, il y aura lieu de penser que dans l'mtervalle des deux séries d'éinreuves, quelques-unes des causes C, , C,, C,, etc. , auront cessé d'être possibles, et que d'autres le seront devenues; ce qui aura changé les chances c., c„ c„ etc., et par suite la valeur de y. Toutefois, ce cjiangement ne sera pas certain , et nous donnerons dans la suite l'expression de sa probabilité, en fonction de la

différence observée 5 — -, et des nombres d'épreuves ^ et ft'. On fera rentrer cette conséquence des deux propositions précéden-

i4o RECHERCIIES

tes, dans le théorème même de Jacqaes Bernoailll » en observant que dans l'hypothèse sur laquelle la seconde est fondée, la fraction y est la chance de E , inconnue , mais constante pendant les deux séries d'épreuves. En effet, cet événement peut arriver à chaque épreuve, en vertu de chacune des causes C. , C^, Cji etc. , qui ont toute une même

probabilité - ; la chance de son arrivée en verlu de la cause quelconque Q, sera le produit - Ci^ d'après la règle du n^ 5; et d'après celle du n"* lo, sa chance complète aura pour valeur la somme des produits -^\} - ^i^ - ^fî etc., égale à la quantité y.

Pour plus de simplicité , nous avons regardé toutes les causes C'i f Q> Q, etc.« comme également possibles; mais on peut supposer que chacune d'elles entre une ou plusieurs fois dans leur nombre total v; ce qui les rendra inégalement probables. On désignera alors par ryi le nombre de fois que la cause quelconque Ci sera répétée dans ce nombre v\ la fraction y^ exprimera la probabilité de cette cause; et l'expression de y deviendra

On aura, en même temps,

puisque l'une des causes auxquelles ces probabilités se rapportent , devra avoir lieu certainement à chaque épreuve. Lorsque le nombre des causes possibles sera infini, la .probabilité de chacune d'elles deviendra infiniment petite; en représentant, dans ce cas, par x l'une des chances cr, , c,,, Cj,. . . . c, , dont la valeur pourra s'étendre depuis j:=:o jusqu'à ^= i , et par \dx^ la probabilité de la cause qui donne cette chance quelconque x à l'événement E, on aura, comme dans le n*'45,

y=i I ^xdx , I Ydx = I .

(55). Supposons actuellement qu'au lieu de deux événements possibles E et F, il y en ait un nombre donné A, dont un seul devra arriver à cha-

que épreuve. Ce cas est œlai où l'on considère une chose A d'une nature quelconque, susceptible d'un nombre A de valeurs, connues ou inconnues, que îe représenterai par a, , a» » a^,. . . . a^-, et parmi lesquelles une seule devra avoir lieu à chaque épreuve , de sorte que celle qui sera arrivée ou qui arrivera sera, dans cette question, l'événement observé ou l'événement futur. Soit aussi Cii, la chance que la cause Cj, si elle était certaine, donnerait à la valeur a^^ de A. Les valeurs de Cij,, relatives aux divers indices i et tj depuis 1= i jusqu'à isssir et depuis t z:z \ jusqu'à i' == X, seront connues ou inconnues; mais pour chaque indice 1', on devra avoir

car si la cause Q était certaine 9 Tune des valeurs a, , a., a,,. . . .a^, arriverait certainement en vertu de cette cause. Désignons j en outre , par Uy, 1^ somme des chances de a^^, qui auront ou qui ont eu lieu dans un très grand nombre /t d'épreuves consécutives, divisée par ce nom«^ bre, c'est-à-dire, la chance moyenne de cette valeur ai, de A, dans cette série d'expériences. En considérant Og/ comme un événement E , et l'ensemble des A— ^ i autres valeurs de A comme l'événement contraire F, on pourra prendre , d'après la seconde proposition générale du numéro précédent,

>!>>•> >s> • • • y 9 étant toujours les probabilités des divei^es causes qui peuvent amener les événements pendant. la série d'épreuves, ou autrement dit, qui peuvent produire les valeurs de A que l'on a observées ou que l'on observera. Cela posé, la troisième proposition générale qui nous reste à faire connaître, consiste en ce que la somme de ces fi valeurs de A , divisée par leur nombre , ou la valeur moyenne de cette chose, différera très probablement fort peu de la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées respectivement par leurs chances moyennes. Ainsi, en appelant s la somme des valeui^ effectives de A, on aura, à très peu près et avec une grande probabilité ,

i4a RECIŒliCHBS

de telle sorte que si Too désigne par J" une f ractkm aassi petite cpie l'on voudra , ou pourra toujours supposer le nombre fi asses grand pour rendre aussi peu différente que Ton voudra de l'untte, la probabilité que la différence des deux membres de cette équation sera moindre que J^. Observons de plus que d'après l'expression précé-* dente de ai/^ et les valeurs de a,, tt^fO^, etc.» qui s'en déduisent, lese^* cond membre est indépendant de fi; quand ce nombre est très grand» la somme s lui est donc sensiblement proportionnelle ; par conséquent, si Ton représente par / la somme des valeurs de A dans une autre série d'un très grand nombre fJi/ d'épreuves» la difiërenoe des rap-

ports - et -7 sera très probablement fort petite; et en la négligeant»

on aura

Dans la plupart des questions» le nombre A des valeurs possibles de A est infini ; elles croissent par degrés infiniment petits » et sont comprises entre des limites données; et la probabilité que la cause quelconque Cj donne à chacune de ces valeurs devient» par consé-* quent » infiniment petite. En représentant ces limites par / et P, et par Zflz la chance que donnera Q à une valeur quelconque z, qui pourra s'étendre depuis z=l jusqu'à ;; s=s f^ on aura

/•If

la chance totale de cette valeur s» ou à très peu près sa chance moyenne pendant la série des épreuves» sera Zefe» en faisant» pour abréger,

et il en résultera

i = r zzdz.

La quantité Z sera une fonction connue ou inconnue de z ; mais la somme des fractions >,,>., 3^s» e^c. , étant l'unité^ ainsi que chacune

des intégrales r'z.rfz, y]' Z.efe»y^ Zyfc» etc., on aura touJMrs

Zdz

soit qu'il n'j til qu'un nombre limité 9 de cause» possibles , soit qu'il y en ail un nombre lUimité, on qu on ait y ss oo •

(54)* Maintenant, la loi des grands nombre réside dans ces deux équations

applicables à tous les cas d'éventualité des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations différentes dont chacune répond à Tune de ces équations, et qui se vérifient constamment Tune et l'autre, comme on a pu le voir par les exemples variés que j'ai cités dans le préambule de cet ouvrage. Ces exemples de toute espèce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa généralité et son exactitude; mais il était bon , à cause de Timportauce de cette loi» qu'elle fût démontrée à priori; car elle est la base nécessaire des applications du calcul des probabilités, qui nous intéressent le plus; et d'ailleurs sa démonstration^ fondée surlespropositionsdesdeux numéros précédents, a l'avantage de nons faire connaître la raison même de son existence» En yertu de la première équation , le nombre m de fois qu'nn événement E| de nature quelconque ^ a lieu dans on très grand nombre ft d'épreuves, peut être regardé comme proportionnel à fi. Pour chaque

nature de chose, le rapport — aune valeur spéciale y, qu'il atteindrait

rigourensemeniy si fJL pouvait devenir infini ; et la théorie nous montré que cette valeur est la somme des chances possibles de Ë à chaque épreuve, multipliées respectivement par les probabilités des causes qui leur correspondent « Ce qui caractérise l'ensemble de ces causes, c'est la relation qui existe pour chacune d'elles entre sa probabilité et la chance qu'elle donnerait , si elle était certaine, à l'arrivée de E. Tant que cette loi de probabilité ne change pas, nous observons la permanence du rapport —, dans diverses séries composées d'un grand nombre

d'épreuves; si, au contraire, entre deux séries d'épreuves, cette loi a change, et qu'il en soit résulté dans la chance moyenne y, un changement notable , naos en serons avertis par un changement semblable

dans la valeur de — : lorsque , dans l'intervalle de deux séries d'ob-

i44 RECHERCHES

servatioDs , des circonstances quelconques auront rendu plus probables les causes , physiques ou morales, qui donnent les plus grandes chances à Tarrivée de E , il en résultera une augmentation de la valeur de y

dans cet intervalle , et le rapport — se trouvera plus grand dans la seconde série qu'il n'était dans la première ; le contraire arrivera , quand les circonstances auront augmenté les probabilités des causes qui donnent les moindres chances à l'arrivée de E. Par la nature de cet événement, si toutes ses causes possibles sont également probables, on aura Y = i et 7 = 7; et très probablement, le nombre de fois que E arrivera dans une longue série d'épreuves s'écartera très peu de la moitié de leur nombre. De même , si les causes de E ont des probabilités proportionnelles aux chances que ces causes donnent à son arrivée, et que leur nombre soit encore infini, on aura Y = oj:; pour

que rintégrale f \dx soit Tunité^ il faudra que Ton ait£Z=:3 \ il en résultera donc >=sf ; par conséquent dans une longue série d'épreuves, il y aura une probabilité très approchante de la certitude , que le nombre des arrivées de E sera à très peu près douMe de celui des arrivées de l'événement contraire. Mais dans la plupart des questions, la loi de probabi-* lité des causes nous est inconnue , la chance moyenne y ne peut être calculée à priori y et c'est l'expérience qui en donne la valeur approchée et très probable , en prolongeant la série des épreuves assez loin

pour que le rapport — devienne sensiblement invariable, et prenant

alors ce rapport pour cette valeur*

L'invariabilité presque parfaite de ce rapport - pour chaque nature

d'événements, est un fait bien digne de remarque, si l'on considère toutes les variations des chances pendant une longue séries d'épreuves. On serait tenté de l'attribuer à l'intervention d'une puissance occulte, distincte des causes physiques ou morales des événements , et agissant dans quelque vue d'ordre et de conservation; mais la théorie nous montre que cette permanence a lieu nécessairement tant que la loi de probabilité des causes , relative à chaque espèce d'événements • ne vient point à changer; en sorte qu'on doit la regarder, dans chaque cas, comme étant l'état naturel des choses, qui subsiste de lui-même

SUR LA PROBAMUTË DES JUGEMENTS. i45

sans le secours d'aacane cause étrangère, et aurait , au contraire , besoin d'une pareille cause pour éprouver un notable changement. On peut le comparer à l'état de repos des corps , qui subsiste en vertu de la seule inertie de la matière tant qu'aucune cause étrangère ne vient le troubler.

(55). Avant de considérer la seconde des deux équations précédentes f il est bon de donner quelques exemples relatif à la première y et propres à éclairer la question.

Supposons quV>n ait un nombre y d'urnes C., C., Qy • • • C,, contenant d^s boules blanches et des boules noires. Désignons par c., la chance d'amener une boule blanche en tirant dans l'urne quelconque C.; laquelle chance pourra être la même pour plusieurs de ces urnes. On prend au hasard une de ces urnes que l'on remplace par une urne semblable; on en prend ensuite une seconde , aussi au hasard et que l'on remplace également par une semblable ; puis une troisième que l'on remplace de même ; et ainsi de suite , de manière que Fensemble des urnes €,,€., Q, etc., demeure toujours le même. On forme ainsi une série d'urnes B,, B», B,, etc., indéfiniment prolongée, qui ne renferme que les urnes données C. , G., Cj, etc., plus ou moins répétées. Désignons la chance d'extraire une boule blanche de B. par 6t, de B^ par 6», de B3 par b^j etc. , de sorte que la série indéfinie ^i> Kf b^f etc., ne contienne aussi que les chances données c.,c«, Cs,etc., qui pourront y être répétées. Cela étant, on tire une boule de B., une de B., une de B,, etc., jusqu'à l'urne B^ inclusivement. En appelant C la chance moyenne de l'extraction d'une boule blanche dans ces m tirages successifs , on aura

C = - (6, + ft. + &, -f- . . . + bf^.

Or, les urnes C. , C., C9, etc. , représentent les f seules causes possibles de l'arrivée d'une boule blanche à chaque épreuve ; par conséquent , si fe est un très grand nombre, que Ton fiisse , comme plus haut.

i46 1U9CHERGEIES

et que Ion désigne par m le nooibre de boules Uandie» qui seront extraites^ on aurai d'après tce qui. précède ,

à très peu près etavec une grande probabilité. Ainsi le nombre m ne changera pas sensiblement si Ton répète les tirages sur , les mêmes urnes Bg , B«, Bs, • • . B^, ou sur un nombre /jl d autres urnes consécutives, et si on les effectue sur un autre très grand nombre ft' d'urnes, le

nombre de boules blanches qui arriveront aura ^ — pour valeur approchée et très probable.

Si l'on extrait fi, fois de suite au hasard , une boule de Tensemble de$ urnes C, , Cg, Cs ^ etc. > en remettant à chaque fois la bomle extraite dans Turne dçnt elle est sortie , la chance d'ex'traire une boule blanche sera la même à toutes les épreuves , et égalé à y d'après la règle du n^ lo; lorsque 4eur nombre sera très grand, celui dé» boules blanches que l'oa ainèoepa sera donc y en verfu de la- règle du n"" 49» ^ ^^ P^^ près et très probablement égal au produit fjiy , comme dans la question précédente; mais ces deux questions sont essentiellement distinctes; et les deux résultats ne coïncident que dans le cas où fA est un très grand nombre. Quand il ne l'est pas | la chance d'amener un nombre donné m de boules blanches dépend , dans la première question, nonseulement du système des urnes données Cj, €.,€3, etc., mais aussi du système des urnes B, ^ B^, B^, etc. , que l'on en a déduit au hasard. Je réduis , par exemple , les urnes données à trois €.,€«, Cj, et je prends )x = 2 et m = I , de sorte qu'il s'agisse de savoir quelle est la chance de tirer une boule blanche de l'une des deux urnes B, et B« , et une boule noire de l'autre. Relativement a ces deux urnes, il peut arriver neuf combinaisons différentes que j'indiquerai de cette manière :

B| 5=sB|^sssC,, Bi^J^ssC», BiCaBa^Ci,

B. = C,etB.= C., B. = C.étB. = C3, B, = C. etB.= Cs, B. =C.etB.= C,, B, =C3etB. s=sC,, B,= C, etB^=C..

Pour chacune de ces neuf combinaisons , la chance demandée aura une

yaleur détermiDée ; ses neuf Talenrs pcnsibles selon la combtnaisoa qui aura eu lieu ^ serout

ac,(i — c,), 2ér.(i — c,), 2C3 (i — Cj),

pour les trois premières;

pour les trois intermédiaires; et les mêmes que celles-ci, pour les trois dernières. Il est aisé de voir que la valeur moyenne de ces neuf chances, ou leur somme divisée par neaf, doit être la chance d'amener une blanche et une noire , en tirant une première fois au hasard dans le groupe des trois urnes C. , Q, Q , puis une seconde fois après avoir remis la première boule extraite dans l'urne d'où elle serait sortie. Et , en effet, cette chance serait le double du produit de K^i+c^+Cs) et de I — - ^ (C| *f- Cg -h^s); quantité égale au neuvième de la somme des neuf chances précédentes.

Avant que le système des urnes B|, B«, B3, etc., soit formé et déduit du système des urnes données , nous n'aurions aucune raison de croire que la n^' urne B. sera plutôt Tune que l'autre des urnes C, , Cft, C3, etc.; pour nous, la probabilité de l'extraction d'une boule blanche au n""' tirage serait donc la somme des chances c, , c^, Cj, etc., divisée par leur nombre, c'est-à-dire la quantité y; mais quoique elle soit la même pour tous les tirages , et que leur nombre jâ fût aussi grand qu'on voudra , nous ne serions pas autorisés à en conclure , eu vertu de la seule règle du n"* 49 » q^^ '^ nombre m des extractions de boules blanches, des urnes B,, B«, Bj, etc., devra s'écarter très probablement fort peu du produit /jLy; car on ne doit pas perdre de vue que cette règle est fondée sur la chance propre de l'événement que l'on considère , et non sur sa probabilité, ou la raison que nous pouvons avoir de croire qu'il arrivera.

(56). Pour second exemple, je suppose que l'on ait un très grand nombre de pièces de cinq francs, que j'appellerai A, , A. , As, etc., et dont chacune présentera une de ses deux faces , en retombant à terre après avoir été projetée en l'air. Relativement à la pièce quelconque A|, je désignerai par a^ la chance de l'arrivée de tête, qui dépen-

i48 RECHERCHES

dra de la eonstitttâon physique de cette pièœ. La yâleur de a^ sera inconnue à priori; on la déterminera par Texperience en projetant Aï un très grand nombre de fois m ; et comme cette chance demeurera constante pendant cette série d'épreuves, si tête arrive un nombre /i| de fois, on pourra prendre, par la règle du n* 49?

pour sa valeur approchée et très probable. On s'en servira ensuite pour calculer les probabilités des divers événements futurs, relatifs à la projection de la méime pièce Â, : on pourra parier à jeu égal , m contre i» — rii que tête arrivera dans une nouvelle épreuve , m* contre m* — ni* qu'il amvera deux fois dans deux épreuves successives, 2/ii (m-— /i| ) contre m*— 2^1 (m'^m) que tête aura lieu une fois seulement dans ces deux épreuves , ete. Dans une nouvelle série d'un très grand nombre m' d'épreuves , le nombre de fois n/ que tête arrivera , aura, à très peu près et avec une grande probabilité, le produit m'ai pour

valeur, toujours d'après la règle du n** 49^ ^^ deux rapports ^'et-^ ,

devront donc s'écarter très peu l'un de l'autre ; mais, toutefois a raison de ce que cette valeur de a; donnée par l'expérience , est seulement très probable et non pas certaine , la probabilité du peu de différence de ces deux rapports ne sera pas si grande, comme on le verra par la suite , que si la valeur de cette chance % était certaine et donnée à priori.

Au lieu de projeter la même pièce un très grand nombre de fois, supposons que l'on emploie successivement un très grand nombre fc de pièces de cinq francs , prises au hasard parmi celles qui proviennent d'un même mode de fabrication , et soit n le nombre de fois que tête arrivera. Appelons a la chance moyenne de l'arrivée de tête, non pas seulement pour toutes les pièces dont on aura ùii usage, mais pour toutes les pièces de la même espèce et provenant delà même fabrication. En vertu des deux propositons générales du n^ 5a, nous aurons, à très peu près et très probablement,

tomme si les chances iacomiaes a,^ a», 09, etc., étaient toutes égales entre elles.

fk Vf

Selon que Ton trouvera - > î ou - < ^9 on en conclura que dans

les pièces de cinq francs de cette fabrication , la chance de l'arrivée de tête est généralement plus grande ou moindre que celle de l'arrivée de la face opposée. A l'égard d'une pièce A| en particulier, la chance

Af étant différente de a, il pourra arriver que Ton ait — < > en même

temps que - >2, ou bien -^<7 en même temps que- > |.

Si l'on projette de nouveau les mêmes pièces de cinq francs, ou, plus généralement , un très grand nombre /m! d'autres pièces de la même espèce , provenant de la même fabrication , et à la même efBgie , la quantité a , telle qu'elle a été définie , ne changera pas ; par conséquent 9 n* étant le nombre de fois que tête arrivera dans cette nou^ velle série d'épreuves, on devra avoir

de même que Ton a

pour une même pièce Âj dans deux séries d'épreuves différentes* Mais ces rapports - et ^ , seront inégaux en général, lorsque les pièces employées dans les deux séries d'épreuves ne seront pas d'une même espèce, ou proviendront d'une fabrication différente^ de même

que le rappbrt -^ varie d'une pièce Ai à une autre.

(57). Quoique les chances constantes-el les chances moyennes des événements se déterminent de la même manière et avec la même probaUlité par l'expérience , il y a cependant des différences essentielles dans les usages que l'on en peut faire. La chance moyenne comme la chance constante fait connaître immédiatement la probabilité de Farnyéey dans une nouvelle épreuve isolée, de l'événement que l'on con-

i5o RECHERCHES

sidère; mais il n'en est pas toujours de même , quand il s'agit de Tarrirée d'un eTenement composé de celui-là.

Je prends pour exemple la similitude des réspltats dans deux projections successives d'une pièce de cinq francs. U y aura alors deux cas différents à examiner. On pourra supposer que ce couple d'épreuves aura lieu avec deux pièces, différentes ou non , prises au hasard parmi toutes les pièces A. ^ A., A3 , etc. , d'une même fabrication et dont je désignerai par A le nombre total , ou bien avec une même pièce prise également au hasard ; dans le premier cas ^ la probabilité de la similitude ne dépendra que de la quantité « du numéro précédent, et sera la même que s'il s'agissait de chances constantes; dans le second cas, elle dépendra, en outre, d'une autre quantité inconnue, par laqudle elle différera de sa Taleur relative k des chances invariables.

Pour le faire voir, j'observe que relativement à deux pièces quelconques A| et A]/, la probabilité de la similitude des r^ultats dans deux épreuves consécutives, a pour valeur

^i^if -^^ {i — ^1) (' — ^i/)-

Dans le premier des deux cas que nous voulons considérer, chacune des pièces A. , A«, Aj , etc., pouvant être combinée avec elle-même et avec toutes les autres, le nombre de ces combinaisons également possibles sera le carré de A, et en désignant par s la probabilité complète de la similitude, nous aurons , d'après la règle du n* 10,

s = i[2a,2^|, + 2(i — Oi) 2(1 — ai,)];

les sommes Z s'étendent depuis z=i et i^s=si jusqu'à î== X et î^=:A. Je fais

^> ^i» ef^i/ > A + cTj , A: + J^j/, désignant des fractions positives ou ïiégatives, dont la première se déduira du rapport - du numéro précédent , donné par l'observation, et les autres varieM>nt d'une pièce à une

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5i

aatre^ de telle sorte que l'on ait

On aura , en même temps,

1 — oi = i(i — A: — cTO, i — au = i(i — k — cT,,);

au moyen des équations précédentes, les sommes 2 qui entrent dans lexpression de ^ se réduiront à

2a, = iA(i + AJt, Xai, = i?<{i + k); S(i — 40 = iA(i — *), 2(1 — a.v) = i^{^ — k);

et il en résultera

quantité qui ne dépend que de A , ou de la chance moyenne, a de l'arrivée de tête, et nullement des inégalités de chances J^., /., cTs» etc. Si Ton répète la projection de deux pièces prises au hasard, un très grand nombre a de fois, s sera aussi la chance moyenne de la similitude dans cette série d'épreuves doubles ; en désignant par b le nombre de fois'qve la similitude arrivera^ on aura donc approximativement , d'après le n* 52 ,

b = as;

ce qu'on pourra, vérifier par l'expcnence.

Dans le second cas, où chaque couple d'épreuves doit être fait avec une même pièce ^ la proba^Hlité de la similitude relativement à la pièce quelconque A,, aura pour expression

^i' + (i — aiY;

et si Ton appelle s' la probabilité complète de la similitude , on en conclura

i5a RECHERCHES î

équation qui se réduit à

^' = .; (i + Af + A*), en ayant égard à l'expression de Ut, et faisant, pour abréger,

i SJ^,* = A*.

Or, on voit que cette probabilité s' surpasse la probabilité s qui ayait lieu dans le premier cas, et qu'elle dépend d'une nouvelle inconnue h, dépendante elle-même des inégalités «T, , A, J^s» ^<^*

Si l'on répète un très grand nombre de fois a', la projection deux fois de suite d'une même pièce prise au hasard, / exprimera la probabilité de la similitude dans cette série d'épreuves doubles ; en représentant par b' le nombre de fois que la- similitude arrivera, nous aurons donc à très peu près,

ce qui servira à déterminer la valeur de A, celle de k étant déjà connue.

(58). Je ferai remarquer que si l'on projette trois fois dis. suite une même pièce prise au hasard parmi A| , A^ $ Aj , etc.^ la probabilité de la similitude des trois résultats s'exprimera au moyen de la probabilité précédente / , et sera connue , par conséquent , sans recourir à de nouvelles expériences. En effet, relativement a^la pièce quelconque A.-, cette probabilité sera

a,« + (i — OiY} en appelant / sa valeur complète , on aura donc

et d'après les notations précédentes , il en résultera

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i53

ou, ce qui est la même chose,

Cette quantité s^' sera aussi la chance moyenne de la similitude dans une très longue série de triples épreuves; si donc on désigne par a" leur nombre , et par V le nombre de fois que la similitude arrivera , nous aurons

En mettju^^ et -5 au lieu de y et 5" dans l'équation précédente^ on en déduira cette relation

entre les nombres a% cP ^ b' , b' , qui sera d'autant plus approchée et d'autant plus probable qu'ils seront plus grands.

Puisqu'elle est indépendante^ la loi des quantités a^, a^, a^, etc., elle subsistera également quand elles seront toutes les mêmes , c'est-àdire, lorsqu'au lieu de changer de pièce à chaque épreuve double et à chaque épreuve triple, ou emploiera toujours la même; par conséquent, si l'on projette une même pièce un très grand nombre de fois que je représenterai par 6c; que l'on partage cette série d'épreuves simples, en épreuves doubles composées de la première épreuve simple , et de la seconde , de la troisième et de la quatrième , et ainsi de suite ; qu'on la divise aussi en épreuves triples, composées de la première, la deuxième, la troisième, épreuves simples ,dela quatrième, la cinquième, la sixième, et ainsi de suite; et qu'on applique l'équation précédente à ces deux séries d'épreuves doubles et triples , on aura

ce qui réduira cette équation à celle-ci

qui signifie que le nombre des similitudes doubles moins celui des si« militudes triples , sera égal au sixième du nombre total des épreuves simples.

]54 HBCHERCaiES

On obtiendrait des relations analogues entra ks nombres de ces similitudes et de celles qui seraient œmposées de plus de deux ou trois épreuves simples.

(Sql). Ces considérations s'appliquent immédiatement aux naissances masculines et féminines; il suffit^ pour cela, de remplacer les pièces A, , «, A3, etc., par autant de mariages différents, et de prendre pour ai, la chance de la naissance d'un garçon dans le mariage quelconque désigné par A|.

En France, le nombre des naissances des deux sexes s^élève annuellement à prçs d'un million; et dans ce nombre total, robservatjtt|.|nontre que le rapport des naissances masculines aux naissancé^jpkninines excède l'unité d'environ un quinzième : pendant les dix années écoulées depuis 1817 jusqu'à 18:26, sa valeur moyenne a été de i,o656^ dont ses valeurs extrêmes se sont à peine écartées d'un demi-centième, en plus ou en moins. C'est sur les observations de cet intervalle de temps que sont fondés les résultats de mon mén^ire sur la proportioji des naissances des deux sexes (^)« De 181 7 à i855 inclusivement, le rapport moyen a été i ,0619; ce qui ne diffère pas non plus d'un demi-centième de sa valeur pendant les dix premières de ces dix-sept années.

La cause de la prépondérance des naissances masculines nous est inconnue ; il y a lieu de croire qu'elle varie beaucoup d'un mariage à un autre, et que les chances a„ a^, Oa, etc., sont très inégales, de telle sorte que beaucoup d'entre elles s'abaissent, sans doute ^ au-dessous de {. Cependant, comme on voit, la proportion des naissances annuelles des deux sexes a très peu varié pendant une période de dix^-sept ans; ce qui présente une vérification remarquable de la loi dès grands nombres.

En prenant ~ pour le sapport d'un grand noaibf». de- o WBsan c^mas*

culines au nombre correspondant des naissances des deux sexes, ce rapport sera aussi la chance moyenne de la naissance d'un garçon , et Ton

aura j^ pour la valeur de la quantité k du n^ 57. Nous ignorons si la

chance d'une naissance mascuIine^ restera la même à chaque enfant qui naîtra d'un même mariage, ou bien si elle variera, par exemple» comme

(*) Mémoires de F Académie des Sciences , tome IX*

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i55

elle vamra d'un mariage à un aulne. Dans le second cas, latîbalice moyenne deiaatmttitnde du sexe des deux piismieirs nés sera { (1*4^^*)^ et n'excédera ^ que d'à peu {>ràs un demi^milUènoe. Par oonstfi^Mt^ ie nombre de fois que cette similitude aura lieu, dans un très grand tiofiifbre découplés de premiers nés, surpassera d'un demi-miilième la moitié de celui-ci. Dans le premier cas, le premier de ces deux nombres pourra surpasser de beaucoup plus la moitié du second, à raison de la quantité inconnue h que renfermera alors l'expression j (i+A:*+^*) à^ 1^ chance moyenne de la similitude. La relation du numéro précédent aura ton-* jours lieu entre les nombres des similitudes de sexe des deux pre* miers-nés et dés trois premiers-nés , observées dans un très grand nombre de mariages.

(60). En vertu de la seconde équatiùti du n*" 54, si A est Une chose quelconque, qui soit susceptible de différentes valeurs à chaque épreuve, la somme de ses valeurs ^e l'on observera dans une longue série d'épreuves, sera à très peu près et très probablement, proportionnelle à leur nombre. Le rapport de cette somme à ce nombre^ pour une chose «déterminée A, oonvergeva indéfiniment, à mesure que ce nombre augmentera encore davantage, vers une valeur spéciale qu'il atteindrait si ce nombre pouvait devenir infini, et qui dépend de la loi de probabilité des diverses valeurs possibles de A. On ftra sur œ rapport des remarques semblaiAes à œUesqoejioiKS avoes lutos dans Je n"" 54^ en considérant la première éinationtle œ nanërb.

La seconde éqnation , ou plutôt

donnera lieu comme la première, à de nombreuses et utiles applications. Je suppose^ par exemple, que * soit un angle que Ion veut mesurer. Cet angle existe; sa grandeur est unique et déterminée; mais l'angle que Ton mesure à chaque opération, est une cbose susceptible téhin nombre infini de valeurs différentes, à raison des erreurs inéthables -et variables des observations^ Je prends cet atigle , qui aen ùiesuré successivement un grand nombre de fois, pour la chose A, de sorte que Zdz exprime la chaaee -d'mie valeur quelconque 2 de A, résultante de la construction de l'instpaoïeiit et 4» l'adresse de l'observateur. Soit k

i56 RECHERCHBS

l'abscisse du centre de gravité de l'aire d'une courbe plane, dont z et Z sont l'absdsse et l'ordonnée, et qui s'étend depuis z= ^ jusqu'à z= t en daignant , comme dans le n« 55, par / et P les limites des valeur^ possibles de A. Faisons

Z=: k + Xi l=s k + hi r =s k + h'}

et représentons par X ce que Z devient quand on y met k+x au lieu de z ; nous aurons

fJzdzz=.f^lUx^ I, f^TLxdx =o, et par conséquent , à très peu près ,

en vertu de rëqaalion citée, dans laquelle s est la somme des valeurs de A que Fou obtiendra dans un grand nombre ft d'épreuves. C'est donc vers

la constante k que sa valeur moyenne - convergera de plus en plus, à

mesure que fi augmentera davantage ; mais lors même que ce rapport sera devenu sensiblement constant, c'est-à-dire, lorsqu'il sera sensiblement le même dans plusieurs séries d'autres grands nombres de mesures, il pourra quelquefois arriver que cette moyenne diffère beaucoup de l'angle cl qu'on veut déterminer : elle sera toujours la valeur approchée de la constante y qui peut ne point coïncider avec cet angle. En effet , soit

s = et + a, / = a 4, g, f = « + g';

appelons U ce que devient Z quand on y met a -f-u au lieu de 2 ; nous aurons

f^^ Zdz =: f^ Udu = I, k^cL+f^

Mudu.

La différence u^ entre Tangle et et une valeur possible z de l'angle mesuré A, est l'une des erreurs possibles de l'instrument et de l'obser-

valeur; elle peut être positive ou négative, et s'étendre depuis i<=g jusqu'à ii = g^; sa probabilité infi aiment petite est Vdu. Or, s'il n'y a dans la construction de l'iastrument aucune cause qui donne aux erreurs positives de plus grandes chances qu'aux erreurs négatives , ou réciproquement , et qu'il en soit de même pour la manière d'opérer de l'observateur, les limites g et g^ seront égales et de signes contraires , la fonction U sera égale pour des valeurs de la variable u égales et de signes contraires, et il en résultera

r Mudu = G,

k zsz eu.

Dans ce cas , qui est le plus commun , le rapport - sera donc la va-^

leur approchée de cl. Maia, si l'instrument par sa construction, ou l'observateur par sa manière de viser^ donne quelque prépondérance, soit aux chances des erreurs positives, soit à celles des erreurs négatives , l'intégrale précédente ne sera plus nulle, les constantes ât et A diflereront

l'une de l'autre, et le rapport- s'écartera notablement, en général,

de la véritable valeur de tt. On ne pourra s'apercevoir de cette circons* tance, qu'en mesurant le même angle, soit avec d'autres instruments, soit par d'autres obserTateurs. Je me bornerai ici à indiquer cette ap«» plication du calcul des probabilités : en ce qui concerne les erreurs des (^>5ervations , et les méthodes de calcul propres à en diminuer et évaluer l'influence, je renverrai à la Théorie anafytique des probahUi^ tés et aux mémoires sur ce sujet que j'ai insérés dans la Connaissance des tems (*).

(61). Pour second exemple de l'équation citée au conodnencement du numéro précédent, supposons que les causes désignées par C,, Q, Q, etc. , soient toutes celles qui déterminent les chances de durée de la vie humaine dans un pays et à une époque déterminés. Ces causes sont, entre autres, les diverses constitutions physiques des enfants qui naissent, le bien-être des habitants, les maladies qui abrègent cette

(*) Années 1827 et i832.

i58 RECHERCHES

durée /«t sans doote aussi qadqnes causes reauteantes de Ja vie elle-

même , qui l'empêchent de se prolonger aunlelà de limites qu'elles n'a jamais dépassées : il y a lieu de croire , en effet , que si les maladies étaient les seules causes de mort^ et qu'elle fftt, pour ainsi dire, accident telle, quelques-uns des hommes parmi le nombre immense de oeux qui ont vécu, auraient échappé à ces dangers pendant |ilu6 de depx^ècles; ce qu'on n'a jamais observé. La chose A sera alots le telbps que vivra un enfant qui vient de naître ; z exprimera une Yaleur possible de A » et Zdz la chance de z résultante de toutes les causes^ quelles qu'elles soient, qui peuvent la déterminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l'espèce humaine, dans le lieu et à Tépoque que l'on considérée Ainsi , concevons qu'une certaine constitution physique en naissant , donne une chance Z'dz de vivre précisément un temps égal à z , qu'une autre constitution donne une chance It'dz de vivre jus*qu'au même âge, etc.; soient aussi 2f',^, etc;, les probabilités de ces diverses constitutions : à raison de ces causes , la Fonction Z sera la somme Ç'Z' + Ç"Z"4- e^., étendue a toutes les constitutions possi^ blés ; et si ce nombre est infini, Z*se changena en une intégrale définie, qui aura une valeur inconnue, mais déterminée^ Dans le pays où les hommeanai^nt lepl us forts ou le mieux constitués, cette intégrale aura sans doute la plus grande valeur; dans chaque pays, elle pourra n'être pas la même pour les deux sexes; sans doute aussi les valeurs de Z', Z'', Z'"i etc., d^ndxool dIaiUeurs des maladies possibles et du bienêtre des. habitants ; Ja fonction Z sera différente, et par suite, l'intégrale, de 2i2iÀ le siura aossî^ k deux époques éloignées Tune de l'autre, si dans l'intervalle quelque maladie a disparu , ou que le bien-être duipe^ple ait augmenté par .le progrès de la société. On pourra, si Ton Tant , prendre zéro et l'infini pour les limites / et /' de cette intégrale , >en cpn^idérant Z comnxe une fonction qui s'évanouit au-delà d'ung valev de ii^ inconnue aussi bien que la forme de Z. Cela étant, les valeiin^ obsei^ée^ de A seront les âges auxquels sont morts en très grand nooib^ fir d'individus nés dans up même pays et vers la même époque; et en appelant s la somme de ces âges^ on aura, à très peu près et très probablement, -

î = r"^ Zzdz ;

SUR LA PROBAHLITÉ VES JUGEMENTS. iSg

par conséquent, ce rapport -, ou ce qu'on appelle la vie mojrenne, de-

meurera constant pour chaque pays, tant qa aucune des causes C, , €«, C3, etc., connues ou inconnues, n'éprouvera pas un changement no- Ubie.

En France, on suppose la vie moyenne d'environ 3g ans; mais cette évaluation est fondée sur des observations antérieures à Fusage de la vaccine, et déjà très anciennes; elle doit être aujourd'hui sensiblement plus longue; et il serait à désirer qu'on la déterminât de nouveau, séparément pour les hommes et pour les femmes, pour les différents étals, et pour les diverses parties du royaume. On considère aussi la vie moyenne à partir d'un âge donné : s est alors le nombre des années qu'ont vécu au-delà de cet âge , un très grand nombre /ea

d'individus ; le rapport - est K vie moyenne relative à cet âge , avec

lequel elle varie, en demeurant constante pour un même âge : on suppose qu'elle atteint son maximum enXxe 4 et 5 ans, et qu'elle s'élève alors à 45 ans. Les tables de mortaUté ont un autre objtet : sur un très grand nombre /a d'individim uà dans un même pays et à la même époque, elle font connaître les nombres de ceux qui vWent encore au bout d'un an,dedeuY ans, detroivans, etc., jusqu'à ce qu'aucun n'existe jrfus. Endésignant par m le nombre des vivantsqui ont un âge donné, c'est en

vertu de la première équation du n^ 54» que lé rapport — est sensible^

ment invariable, du meins tant qu'il ne s'&git pas d'un âge très avancé, etq^e mn'est pas devenu un nombre traa yietit : veis cent ans, par exeaiple,

cette invariabititëicousiste en.c^ qpe le. rapport ^ est toujours une très petite fraction.

Dans Fiotégrale / Zuiz, au lieu de faire varier z par degrés infiniment petits, si l'on lait croître cette variable par des intervalles très petits; que Von prenne, peur fixer les idées, clucuii de ces intervalles de temps ^pour unité ; et que Ton désigne par h^^Kp Aj, etc., la* série des valeurs de 2^ et par H, , H., H,, etc., les valems correspon** dantes de Z, la somme des prodwt» HA, H^A», H^Aj, etc., sera, oovime en sait, la valeur approchée de cette intégrale. En désignant

i6o RECHERCHES

par V la vie moyenne ^ à partir de la naissance ; on aura donc aussi

V = H.A. + HA + H3A, + etc.

Or, H, exprimant ici la cha nce de mourir à un âge A., il s'ensuit que relativement à la durée de la vie humaine ^ on peut considérer la vie moyenne sf comme l'espérance mathématique (n»23) d'un enfant qui vient de naître et dont la constitution physique nous est inconnue; mais d'après les tables de mortalité, sur un très grand nombre d'enfants ^ plus de la moitié meurt avant d'avoir atteint cet âge \f.

(62). Supposons, pour dernier exemple, que pour un lieu donné et pour un jour de l'année aussi donné, on ait calculé l'excès de la haute sur la basse mer qui aurait lieu en vertu des actions simultanées du soleil et de la lune. Prenons pour la chose A, la diflërence entre cet excès calculé et celui qui est observé dans le même lieuet à la même époque de chaque année. Les valeurs de A varieront d'une année à une autre, à raison des vents qui peuvent souffler en ce lieu et à cette époque, et qui déterminent les chances de ces diverses valeurs. Or, si l'on considère toutes les directions et les intensités possibles de ces vents, leurs proba* bilités respectives, et les chances que ces causes donnent à une valeur

quelconque z de A, l'intégrale / Zzàz aura une valeur inconnue, mais

déterminéie, et qui demeurera constante, tant que la loi de probabilité

de chaque vent possible ne changera pas. Le rapport - sera donc aussi

à très peu près invariable; fi étant la somme des valeurs de A , observées pendant une longue suite d'années.

^ous oe savons pas à priori j si - est zéro ou une fraction qu'on

puisse négliger, c'est-à-^îre , si l'influence des vents sur les lois générales des marées est insensible; l'expérience seule peut nous faire connaitire la valeur de ce rapport, .et nous apprendre s'il varie aux différentes époques de l'année , et pour les lieux difiërent» où les observations sont faites, sur la côte, dans les ports, en pleine mer. Pour connaître l'influence de tel ou tel vejit en parr

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i6i

ticulier, il faudrait n'employer que des valeurs de A observées sous cette influence; toutefois, afin de n'avoir pas besoin d'un trop grand nombre d'années d'observations , ces valeurs pourraient répoudre à plusieurs jours consécutif , pendant lesquels là direction du vent aurait peu changé. Plusieurs savants s'occupent maintenant de cet examen, qui exiger^ un long travail, et ne manquera pas de conduire à des résultats intéressants.

(63). L'exposition des règles du calcul des probabilités et de leurs conséquences générales , qui a été faite dans ce chapitre et dans le précédent , étant actuellement complète, je reviens sur la notion de cause et à! effets qui est seulement indiquée dans le n^ 27.

La cause propre d^une chose E est , comme on l'a dit dans ce numéro, une autre chose C qui possède une puissance de produire nécessairement E , quelles que soit d'ailleurs la nature de ce pouîfoir et la manière dont il s'exerce. Ainsi, ce qu'on appelle l'attraction de la terre est une certaine chose qui a la puissance de faire tomber les corps situés à la surface du globe, dès qu'il ne sont pas soutenus; et de même, dans notre volonté , réside un pouyoir de produire, par l'intermédiaire des muscles et des nerfs, une partie de ces mouvements que Ton nomme, pour cette raison, mouvements volontaires. Quelquefois, dans la nature , la chose E n'a qu'une seule cause C qui puisse la produire , de sorte que l'observation de E suppose toujours l'intervention de C. Dans i^'autres cas, cette chose peut être attribuée à plusieurs eauses distinct es, *qui concourent ensemble, ou qui s'excluent mutuellement de manière qu'une seule ait dû produira E.

Telles sont, en ce qui concerne le principe de la causalité, les idées les plus simples et que je crois généralement admises. Cependant l'illustre historien de l'Angleterre a émi^ sur ce point de [métaphysique , une opinion différente qu'il convient d'examiner, et sur laquelle le calcul des probabilités peut jeter un grand jour.

Selon Hume (*), nous ne pouvons avoir d'autre idée de la cousalité que celle d'un concours et non d'une connexion nécessaire entre

(*) Essais philosophiques sur Teniendement humain; leptième essai : de Tidëc de pouToir ou de liaison nécessaire.

ai

i62 RECHEROIES

ce que nous appelons cause et effet; et ce concours n'est pour nous qu'une forte présomption, résultant de ce que nous l'avons observé un grand nombre de fois : si nous l'eussions observé un nombre de fois peu considérable 5 ce serait juger de la nature sur un trop petit échantillon, que de présumer qu'il se reproduira désormais. D'autres ont partagé la même opinion, et l'ont appuyée sur les .règles de la probabilité des événements futurs, d'après l'observation des événements passés. Mais Hume va plus loin ; et sans même recourir à ces lois de probabilité, il pense €}ue Thabitude de voir l'effet succéder à la cause , produit dans noire esprit une soiie d'association d'idées qui nous porte h croire que l'effet va arriver quand la cause a eu lieu ; ce qui peut être effectivement vrai pour la plupart des hommes , qui n'examinent pas le principe de leur croyance et son degré de probabilité : pour eux, cette association d'idées doit être comparée à celle qui se fait dans notre esprit, entre le nom d'une chose et la chose même, et qui est telle^ que le nom nous rappelle la chose, indépendamment de notre réflexion et de notre volonté.

Un des exemptes que l'auteur choisit pour expliquer son opinion est le choc d'un corps en mouvement contre un corps libre et en repos, et le mouvement de ce second corps à la suite de sa rencontre par le premier. Ce concours du choc et du mouvement du corps choqué est, en effet, un événement que nous avons tifbservé wa très grand nombre de fois, sans que Tévénemeat contraire se soit jamais présenté; ce qui«uffit, abstraction faite de toute autre considération, pour que nous ayons une forte raison de croire, ou, pour qu'il y ait une très grande probabilité que le concours dont il s'agit aura encore lieu désormais. Il en est de même de tous les concours de causes et d'effets que nous observons joinniellement et sans exception : leur probabilité s'alimente, pour ainsi dire, par cette expérience continuelle, et la raison ou le calcul, d'accord avec l'habitude, nous donne une grande assurance qu'à l'avenir ces causes seront toujours suivies de leurs effets. Mais dans le cas d'un phénomène que nous avons seulement observé un nombre de fois peu considérable, à la suite de la cause que nous lui assignons, il n'y aurait, d'après les règles précédemment exposées, qu'une proba-^ bi)ité qui ne serait pas très grande, pour le concours futur de cette cause et de cet effet. Néanmoins, il arrive souvent que nous ne faisons

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. t63

aucun doute' de la reproduction de ce pfcënomène, lorscifue sa cause aura lieu de nouveau. Or, cette assurance suppose cfue notice esprit attribue à la cause une puissance quelconque de produire son effet , et qu'il admet une liaison nécessaire entre ces deux choses, indépendamment du nombre, plus ou moins grand, de leui^ concours observés. Ainsi, lorsque M. CNErsted découvrit qu'en faisant communiquer les deux pôles d'une pile de Yolta, au moyen d'un fil métallique, il arrivait qu'une aiguille aimantée, suspendue librement dans le voisinage de ce circuit voltaïqué, déviait de sa direction naturelle; l'illustre physicien fut sans doute convaincu, après avoir répété un petit nombre de fois cette expérience capitale, que le phénomène ne mauquerait pas de se reproduire constamment par la suite. Cependant j si notre raison de croire à cette reproduction était uniquement fondée sur le concours du circuit voltaïque et de la déviation de l'aiguille aimantée, observé une dixaine de fois, par exemple, la probabilité que le phénomène arriverait encore dans une nouvelle épreuve , ne serait que