II

— (n" 46) : dans une nouvelle série de i o épreuves, ily aurait à parier 1 1

contre 1 o, ou à peu près un contre un , que révénement aurait encore lieu sans interruption ; et dans une plus longue série d'expériences futures , il deviendrait raisonnable de penser que le phénomène ne se reproduirait pas à toutes les épreuves.

Je citerai encore pour exemple l'heureuse application k la composition chimique des corps, que M» Biot a £iile réoemmefit de la polarisation progressive de la lumière dans un sens déterminé, dont il avait depuis long-temps constaté l'existence dans des milieux homogènes et non cristallisés (^). Lorsque dans un nom-

(^) Le principe de cette applkation est expose clairemem et en -peu de mets dans la note stttvattte que M. Bt»t a bien touIu me communiquer :

4 Un rayon lumineux de rëfrangibilité fixe & été polarisé par réfexîMi'dans au » ceruiti pkiD. On i^nalyse «près sa réflexion, en loi laissant traverser tm rfaom- » bolde de chaox carbooatée i«nda légèrement prismatique par sa fate poslé- » rieure; et Ton s'assare qo'il possède tous les camctère»dtf la polarisation relati- » vement au plan dont il s'agit. Ainsi , lorsque la section principale du prisme » rhomboldal est parallèle au plan de réflexion , le tttf<m 'passe simple et subit M tout entier la réfraction ordinaire. Mais, si l'on toitrtae 'cette seetioUi toit à

i64 RECHERCHES

bre peu considérable d'observations faites avec soin , on a reconnu qu'une substance donnée , dévie le rayon polarisé à droite de l'obser-

» droite, soit à gauche, il se partage entre les deux réfractions, exaciemeat » comme s'il avait d'abord traversé un premier rhomboïde dont la section prin- » cipale serait parallèle au plan dans lequel la réflexion a eu lieu. Et généralement » toutes les propriétés du rayon polarisé sont symétriques autour de ce plan.

» Ceci reconnu, on interpose dans le trajet du rayon polarisé, un tube creux n terminé par des glaces minces, et successivement rempli de liquides divers, qui, » tous , se présentent ainsi au rayon sous l'incidence normale. Puis on analyse » de nouveau ce rayon après sou émergence; et l'on observe les phénomènes » suivants.

j> L'eau , l'alcool, l'éther et beaucoup d'autres liquides ne troublent pas sensi- » blement la polarisation primitive du rayon. Car on lui retrouve toutes les pro- » priétés physiques qui la caractérisaient.

A Mais d'autres liquides^ par exemple les essences de citron et de térébenthine, » certains corps solides non cristallisés, et même certaines vapeurs, troublent » cette polarisation. Car le rayon, qui les a traversés s&us Fincidence normale, » donne des images doubles, dans les mêmes positions du prisme rhomboïdal où » il en donnait primiUvement de simples. Alors, en tournant graduellement la » section principale du prisme vers la droite ou vers la gauche de l'observateur , » on trouve toujours une certaine position ou l'image extraordinaire disparait. £t, » pour cette position , le rayon présente de nouveau tous les caractères d'une po- » larisation complète. De sorte que le plan de polarisation primitif a été seule- » ment dévié angalairement par l'action du corps interposé.

» Pour chaque substance, prise dans un même état physique, et agissant sur un » même rayon» la quantité absolue de la déviation est proportionnelle à l'épais- » seur de matière traversée ; de sorte que le sens dans lequel elle croit , fait con- » naître de quel côté elle s'exerce. Certaines substances l'opèrent vers la droite , }) d'autres vers la gauche de l'observateur, pour les mêmes rayons ^ et, si on les » mêle ensemble, sans qu'il s'exerce entre elles de réaction chimique qui les dé- » nature , la déviation résultante est toujours la somme des déviations partielles » qui auraient été opérées isolément par les mêmes quantités pondérables de cha- » que substance.

M Ces phénomènes de déviations progressivement croissantes, opérées dans un- » sens propre, par des milieux homogènes agissant sous l'incidence normale , ont » été présentés à l'InsUtut le a3 octobre i8i5. Ce sont les premiers faits de ce » genre qui aient été découverts, et reconnus dans, leur caractère progressif. La 9 découverte de M. GErsted, qui présente un semblable caractère, leur est posté- » rieure de plusieurs années. »

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i65

vateur, pour fixer les idées, ei que les déviattons observées ont été assez grandes pour oe laisser aucune incertitude sur le sens dans lequel elles ont eu lieu, cela suffit pour que nous soyons assurés, comme on lest d'une chose dont personne ne doute, que dorénavant la même substance fera toujours dévier la lumière à droite ; et cependant le concours de cette substance et d'une déviation à droite , observé un nombre de fois qui n est pas très grand, ne donnerait qu'une faible probabilité, et même une probabilité inférieure à -, que dans un pareil

nombre ou un nombre un peu plus grand d'épreuves nouvelles , aucune déviation à gauche n'aurait lieu.

Ces exemples et d'autres qne l'on imaginera aisément montrent, ce me semble, que la confiance de notre esprit dans le retour des eflfets à la suite de leurs causes ne peut avoir pour unique fondement l'observation antérieure de cette succession, plus ou moins répétée. On va voir, en effet, qu'indépendamment d'aucune habitude de notre esprit, la seule possibilité d'une certaine aptitude de la cause à produire nécessairement son effet, augmente de beaucoup la raison de croire à ce retour, et peut rendre sa probabilité très approchante de la certitude, quoique les observations antérieures soient en nombre peu considérable.

(64)* Avant qu'un phénomène P ait été observé et^qu'on sache s'il arrivera ou s^il n'arrivera pas dans toute une série d'expériences que l'on va faire , nous admettons donc que l'existence d'une cause C capable de le produire nécessairement ne soit pas impossible. Nous concevons aussi qu'avant ces expériences, l'existence d'une telle cause avait une certaine probabilité, résultant de considérations particulières qui la rendaient plus ou moins vraisemblable , et que nous représenterons par p. Supposons ensuite que P soit observé à toutes ces expériences dont le nombre sera désigné par n. Après cette observation , la probabilité de Texistence de C aura changé ; il s'agira de la déterminer, et nous la désignerons par <ar.

Quelque soin que Ton ait mis à diminuer l'influence des causes autres que C, susceptibles de produire le phénomène Pà chaque épreuve, . si C n'existait pas; on peut croire, néanmoins^ que l'on n'a pas rendu cette influence tout-4-fait nulle. Supposons donc qu'il existe certaines causes

i66 RECHEROiQES

B, ^ Bs , • « . . B. ; concmes ou inconnues , «qui ont pu aussi , à défaut de C, donner naissance à ce phénomène en se combitiant lavec le hasard (n"* 27), savoir : B, dans la première expérience, B« dans la se^ conde , . . . . B. dans la dernière. Soit généralement ri la probabilité de l'existence de B^^ multipliée par la chance que cette cause^ si elle était certaine, donnerait à Tarrivée de P. En faisant, pour abréger ,

ce produit serait la probabilité de larrivée de ce phénomène dans toutes les n expériences, résultante de l'ensemble des causes B,, B. , Bs, etc., et si la cause C n'existait pas; et comme 1 — p est la probabilité de la non-existence de C, il en résulte, dans l'hypothèse que C n'existe pas, ( I — p) f pour la probabilité de l'événement observé, qui est ici l'arrivée constante de P. Dans la supposition contraire, sa probabilité est p, c'est-à-dire, qu'elle n'est autre chose que celle de l'existence de C, antérieurement à l'observation, puisque cette cause produirait nécessairement l'arrivée de P à toutes les épreuves. Par conséquent, d'après la règle du n^ 28, la probabilité de cette seconde hypothèse, ou de l'existence de C après l'observation , a pour valeur

P-hS'-p)t

et celle de sa non <- exialenoe est

I — <or := — r—.

On parvient également à ce résultat, en ayant égard sucscessivement aux 71 expériences, au lieu de les considérer toutes à la fois, comme nous venons de le faire. En effet, la probabilité de l'exiâtetice de C étant p, par hypothèse, avant la première expérience, désignons ce qu'elle devient successivement , par/?' après cette expérience et avant la seconde , par p" après la seconde et ^vant la troisième, etc. ; nous aurons

f p , __ (i '^p)rt

P — y + (./)r/ -^P — Z + d-pO/-.'

etc.;

et ea éliniinant d'abord fl et 1 — />' des valeurs de />'' et i — p", ensuite p" et I — p" des valeurs de p'" et 1 —/>'", etc., on obtien^'a les expressions préeédenles de <at et de i— ^^ pour les probahilties de rexistence et de la non-existence de C après la /i''"*' expérience.

Maintenant, soit m^ la probabilité que le phénomène P arrivera, sans interruption, dans une nouvelle série de ri expériences. Quel que soit ce nombre /i', la probabilité pour que cela ait lieu en vertu de la cause C, si elle était certaine, est la probabilité f& de l'existence de C, couclue des n premières expériences. A défaut de cette cause , l'arrivée de P pourra aussi être due à d'autres causes B^, B\,. . . . B\/, pareilles à celles que nous avons désignées tout à l'heure par B^ , B., • • • . B., et dont on ne pourra pas éviter entièrement l'influence. Représentons, relativement à ces causes futures , par /„ /. ^. . . ./^i,/, ce que deviennent les quantités précédentes r., r.,. • . . r., de sorte que z*'; soit à l'égard de B'j, ce que o était par rapport à B| Faisons aussi

La probabilité de l'arrivée de P dans les ri expériences fiitures, sera (i — a?-) /', si la cause C n'existe pas. Nous en concluans> donc

pour l'exfNnession complète de ^ , oa bien , en mettant pour m et I — *<ar leujrs valeurs précédentes,

^ -= P"^ ('— P) fp;> p -h (1— />)f • ^

Gela posé, ces espnesBiona de «r et 9' moiilrtnt eomnsent la praba^ kftUté de TexialeDoe de C, qui pouvait Atre très faiUe avant l'observa^ tion deP, a pu devenir très granée après que ce pbénonoèBe a été ob* serve un nombre de fois peu considérable , et donner ensuite un» prdxibilité trèa approchante de la certitude , è l'arrivée constante de ce phéiioaiièoe dans les expérienoes Aatnfes. Supposons f par exensple/

f68 RECHERCHES

que par des raisons quelconques , et , si l'on veut , par une prévention de notre esjwt , la probabilité de C à priori, n'était qu'un centmiilîème ; adniVttons aussi que l'influence des causes accidentelles , malgré les précautions prises pour l'éviter , puisse encore être telle que chacune des quantités r^ , r^ , r^ , etc. , soit un dixième , ou une fraction moindre; si P a été observé seulement dix fois sans interruption , on aura

p = o^ooooi , f <ip{ 0,00001 ) , et; en même temps,

ftsr >

Par conséquent^ la probabilité de l'existence de C, après l'observation, différerait de l'unité 9 de moins d'un cent*millième , et la non-existence de celte cause sérail devenue moins probable que son existence ne l'était auparavant. Quel que soit le nombre n\ la probabilité ^' que P aura lieu constamment dans une série de n! expériences futures, surpasserait encore celle de l'existence de C, ou ne pourrait pas être moindre.

(65). Dans cette application du calcul des probabilités , la cause C est considérée d'une manière abstraite, c'est- à*dire, indépendamment d'aucune théorie qui ramènerait le phénomène P à des lois plus générales , et en fournirait une explication exacte , d'après la cause qu'on lui attribue, ce qui augmenterait encore la probabilité de l'existence de cette cause. Nous qpnsidérpns ce phénomène P comme ayant eu lieu sans interruption ; et le calcul précédent a eu pour objet de montrer que notre croyance à sa reproduction future, quand il n'a été observé qu'un petit nombre de fois, ne peot être fondée que sur l'idée que nous avons d'une cause capable de produire nécessairement un phénomène de cette nature. Le calcul des probabilités ne peut d'ailleurs nous faire connaître quelle est cette cause efficace, ni déterminer quelle est la plus probable, parmi celles qui pourraient produire nécessairesmeut le

phénomène , qaand il y en a plusieurs auxquelles on pourrait l'attribuer.

Lorsque P n'a pas eu lieu dans une ou plusieurs épreuves, et que l'on est certain, cependant, que la cause C capable de le produire ne-» cesaairement, si elle existait , aurait dû agir dans tout^ ces expériences , il est évident que cette cause , ni aucune autre cause de cette es-* pèce, n'existe pas. Mais outre les causes de cette nature, il en existe d'autres qui agissent à toutes les épreuves, et sont seulement capables de donner une certaine chance à l'arrivée d'un phénomène P (n"" 27), en se combinant, soit avec le hasard, soit avec des causes variables 9 qui tantôt agissent et tantôt n agissent pas. Ces causes variables et irrégulières, que l'on ne doit pourtant pas confondre avec le hasard, peuvent influer sur la chance moyenne de l'arrivée de P dans une longue suite d'expériences , et par suite ( n° 5^), sur le nombre de fois que P a eu lieu ou aura lieu, divisé parle nombre total des épreuves; mais si l'on a pris soin de diminuer, autant qu'il est possible, Tinfliience des causes accidentelles, de sorte qu'on puisse la supposer sensiblement nulle , et si le phénomène P a été observé un nombre m de fois dans un très grand nombre fA d'épreuves, il y aura une très grande probabilité qu'il existe une cause permanente , favorable ou contraire à la production de ce phénomène , selon que m sera notablement plus grand ou plus petit que la moitié de/Ji.

Ainsi, en prenant pour exemple, le cas d^in coi*ps à deux faces, projeté en l'air un très grand nombre de fois , l'existence d'une cause favorable ou contraire à l'arrivée d'une face déterminée , peut être regardée comme extrêmement probable, lorsque les nombres dé fois que les deux faces sont arrivées différent notablement Fun de l'autre, comme dans Texpérience de Buffon précédemment citée (n^" 5o). Quelle est cette cause permanente ? Le calcul des probabilités nous en montre seulement la nécessité, et ne peut nous en indiquer la nature. Ce sont les lois de la mécanique qui nous font voir qu'elle doit être la supériorité du poids dans une des parties du corps projeté, sans nous apprendre toutefois, à raison de la complication du problème, à déterminer les effets d'une pareille cause, et la chance qu elle donne à l'arrivée de chacune des deux faces, qui ne peut être connue que par Texpérience.

170 REGHERCHES

C'est par ua semblable procédé que Foii pourrait ocmstater, ainsi que Laplace l'a proposé (^) , Texistence ou la non-existence de certaines causes occnlfesi qui ne sont pas absolument impossiUes à priori, et n*oal pas, non plus, le pouvoir de produire nécesBairemenl les ^é* nomènes auxqi||els dles se reportent. Pour cela, il fiuidrait de longues séries d'épreuves, en écartant, autant qu'il serait possible » l'influence des causes accidentelles, et tenant compte, avec exactitude, du nombre de fois qu'un phénomène a été observé et dn nombre de (bi& qu'il n'a pas eu lieu : si le rapport du premier de ces nombres au second surpassait notablement l'unité, Texistence d'une cause quelconque et la chance qu'elle donne à la prcMluction de ce phénomène auraient une très grande probabilité.

Si deux joueurs A et B ont joué Fun contre l'autre un très grand nombre ft de parties, que A en ait gagné un nombre m, et que le rap-

port — excède -î , d'une fraction qui ne soit pas très petite ; Texistence

d'une cause favorable à A peut être regardée comme à peu près certaine. Lorsqu'aucuu des deux joueurs n'a fait un avantage à l'autre , cette

cause est la supériorité de A sur B, dont le rapport — donne, pour ainsi

dire, la mesure. A un jeu de cartes, au piquet par exemple, le résultat de chaque partie ne peut dépendre que de la différence d'habileté des deux joueurs et de la distribution des cartes entre eux. Si aucun des deux n'a triché , cette distribution est l'effet du hasard; elle peut influer sur la proportion des nombres de parties gagnées par les deux joueui^, quand ces nombres sont peu considérables : c'est ce qu'on peut appeler le bonheur ou le malheur^ pourvu que l'on n'attache pas ridée de l'un ou de l'autre aux personnes qui jouent ; car il serait absurde de supposer qu'il y eût un rapport quelconque entre ces per* sonnes et les cartes que le seul hasard leur a distribuées : à chaque coup, celles qui sont échues à Fun des joueurs auraient pu également échoir à l'autre. Mais dans une série de parties suffisamment prolongée, il n'y a plus que la différence d'habileté des joueurs qui puisse

( I } Essai philosophique sur les probabilités , page 1 33 .

influer sur les chances du jeu : à la longue, les joueurs habiles sont les seuls heureux, et réciproquement. Si A et B jouent de nouveau un très grand nombre iji de parties , il y aura une grande probabilité que le

nombre de celles que A gagnera, différera très peu du produit \iJ ~;

de sorte que si cela ne se vérifiait pas, on serait fondé à penser que dans l'intervalle des deux séries de parties, la supériorité de A sur B aurait augmenté ou diminué.

7a RECHERCHES

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