CHAPITRE III

Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.

(66). Loi'squ'on veut calculer le rapport des puissances très élevées de deux nombres donnés, on le peut toujours, sans difficulté , au moyen des tables logarithmiques, en employant, s'il est nécessaire, des logarithmes qui contiennent plus de décimales , que ceux dont on fait usage ordinairement. Si a et 6 sont ces deux nombres, et met /z leurs puissances, on aura

1 ^'" -—- yw.log.a^ 8*^* ■"" n, log. b*

les produits m.log.^ , Ti.log.é , et leur rapport s'obtiendront aisément^ et ce rapport étant le logarithme de celui qu'on demande, on trouvera ensuite celui^Jans^jp tables. Mais il n'en est plus de même, lorsqu'il s'agit du rapport cfè Jeux produits dont chacun est composé d'un très grand nombrOTle facteurs inégaux , tel que

^1 . âfa . ^3 • . »a

b^,bi,b$. , ,b„^

les deux nombres m et n étant très grands, l'addition des logarithmes de ai, a^f a^ etc., et de ceux de 6,, b^, b^, etc., deviendrait très pénible, et même impraticable, ainsi que le calcul de ce rapport. On est obligé alors de recourir à des méthodes d'approximation , dont Sirling a donné le premier exemple, et qui ont cela de très remarquable qu'elles introduisent , dans les valeurs approchées des rapports que l'on considère , la circonférence du cercle et d'autres quantités transcendantes . quoique leurs valeurs exactes soient des nombres en-

tiers^ ou des fractions qui ont des nombres entiers pour numérateurs et pour dénominateurs.

Ces rapports de produits d'un très grand nombre de facteurs , et les sommes de nombres aussi très grands de semblables rapports, se présentent dans la plupart des applications les plus importantes du calcul des probabilités; ce qui rendrait les règles exposées dans les deux chapitres précédents, bien qu'elles soient complètes, très peu utiles ou tout-à-fait illusoires , sans le secours des formules propres à en calculer les valeurs numériques avec une approximation suffisante. Ce sont ces formules dont nous allons maintenant nous occuper.

(67). Considérons d'abord le produit i.2.5...n, desn premiers nombres naturels.

Ici et dans tout ce chapitre , la lettre e sera employée pour représenter la base des logarithmes népériens. Par le procédé de l'intégration par partie , on trouvera

e'^afdx = I «a.S. . ./t. (i)

Le coefficient e^'af de dœ, sous cette intégrale, s'évanouit pour xso et pour X = QD ; entre ces deux limites, il ne devient jamais infini, et ne passe que par un seul maximum que Ton déterminera en galant sa différentielle à zéro : en appelant H sa valeur mojcima, et h la valeur correspondante de â:, on aura

Cela étant , on pourra poser

6— or" = He-'' j

t désignant une nouvelle variable que l'on fera croître depuis ^=1-— oo jusqu'à ^ = 00 , et dont les valeurs particulières t ^ — oo^ t ^^ o, ^ = 00 , répondront respectivement à a: = o, or == A, x =: oo . En regardant a: comme une fonction de t, nous aurons alors

IJ74 RBCHERCSES » :

On aara aassi

log.e-'o::" = log.H — t^; et si Ton fait

et qa^on développe suivant les puissances de x', il en résultera

en observant que la différentielle première de log. H est égale à zéro, et où Ton fera A = n après les différentiations. La valeur de a/ que Ton tirera de cette équation pourra être représentée par une série de la forme

x' s= A'^ + AV + h"'t^ + etc. j

h', K'y h^f etc. y étant des coefficients indépendants de ^, que Ton déterminera , les uns au moyen des autres f en substituant cette valeur dans cette équation, et égalant ensuite à zéro la somme des coefficients de chaque puissance de t dans son premier membre. On aura , de cette mani^,

etc.

En d&ignaut par { un nombre entier et positif « on a

On a aussi; camme on sait,

SUR LA PROBAHUIt DBS JUGEMENTS. 176

ir désignant toujours le rapport de la circoofereoce au diamètre. DoDC$ à cause de

^ = ^ = A' + 2*"^+ 5A'''<* + etc. , nous aurons

/*^€-Vdr = H \/^(A'+ i^ A^'^. ^4^ A'+ Lig«i2 Ati.^Hîtc.)

H suffira donc de dëterminer les ooefficienli K^ h^, tPf é^.^ de raags impairs; or au moyen des équations (3), on trouve

/i — van, il ^g^ , /i— ^^^^. ,eic,,

par conséquent, en ayant égard k l'équctioii (1) et à la valeur de H, on aum fiadement