I.3.5...271— ï=(27i)-e-V^(i — ^ + rrsW + ^O

en sorte que Texpression en série du produit des nombres impairs ne

renferme plus la quantité V^tt , qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs.

Si Ton fait 71 = 1 dans cette équation et dans la formule (3) , on e& déduit

|/2jr ^ 12 • 288 •

Par le calcul direct, on a

o^g6io5r • ., —7.= = i,o8444- * *• f

2jr

et ces séries réduites à leurs trois premiers termes , donnent 0,95920 et 1,08680; ce qui diffère très peu des valeurs exactes. Ces exemples numériques, joints au précédent, montrent quel degré d'approximation on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre.

En multipliant par â" les deux membres de l'équation (3) , les élevant ensuite au carré, et les divisant par ixn, il vient

en élevant les deux membres de l'équation (4) au carré , et supprimant dans le premier un facteur égal à l'unité , on a de même

1 «5. 3.5. 5.. .an — i .an-— i=a (2n)"c""" C ' "^ "^ ^ 5"^ ^ etc. Y.

De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d^un même nombre de facteurs , égal à an— i ; et si Ion divise ces équations membre à membre^ on en conclut

1 / i . * \ ^'^ /L.A.6 an— 2.2« — 2. an

- yrli H etc. )= o o g g 5 ;

résultat qui coïncide dans le cas de n infini , avec la formule connue de

Wallis , savoir :

C'est à Laplace que l'analyse est redevable de la méthode que nous venons d'employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes , et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l'intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre applicatibn.

(69). Maintenant, soient £ et F deux événements contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve; de* signons par p et q leurs probabilités que nous supposerons constantes; iippelons U la probabilité que dans un nombre /i d'épreuves, E arrivera un nombre m de fois, et F un nombre n de fois; nous aurons (n* 14) •

où l'on devra fiûre

nîi>i^.»<îi^;

Or, â ft, m, Uj sont de très grands nombres^ il faudra recourir a la formule (5) pour calculer la valeur numérique de cette quantité U. Eu supposant chacun de ces trois nomjbres assez grand poux qu'on puisse réduii^ cette formule à sqn premier terme» noua aurons

1,2. S. ..jX t=l jJ^ \/ TTTIA f