I.2.3.../} =s n'x/aTT
pour la valeur approchée de U.
Il est facile d'en conclure que Févénement composé le plus prtt>* bable , ou celui pour lequel cette valeur de U sera la plus grande^ répondra au cas où le rapport des nombres m ék n approchera le plus possible d'être égal au rapport des deux probabilités p et q. En effet, si Pon considère, au contraire , m et /i comme des nombres donnés et /> et 9 comme des variables dont la somme est l'unité , mais qui peuveii^t croître par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu'à l'unité, on trouvera, par la règle ordinaire, que le maximum
de U répond à /? = — et 9 = -• Mais vu le' grand nombre des
autres événements composés, moins probables que celui-là, sa probabilité sera néanmoins peu considérable et diminuera à mesure que le nombre fi' des épreuves , que Ton suppose très grand , aug-
nientera encore davantage* Far exemple, si l'on a^^sgsss-, et que fJL soit un nombre pair, l'événement composé le plus probable répondra à m=: 71 s -} et d'après la formule (6), sa probabilité U aura
pour yalenr
laquelle décroîtra^ comme on voit, en raison inverse de la racine carrée du nombre ii. En prenant fc := i oo , on aura
en sorte qu'on pourra parier un peu plus de 92 contre 8 , que dans 1 00 épreuves , les événements contraires E et F, tous les deux également probables, n'arriveront pas néanmoins un même nombre de fois. Si Ton eût conservé le second terme de la formule (5) , cette dernière expression de U sq trouverait multipliée par i—j^i ce qui diminuerait U d'un 4u6* de sa valeur , dans le cas de ;*= 100»
(70). Non-seulement révéneœcnt composé pour lequel les nombres m et /i approchent le plus d'être entre eux comme les fractions p et 9j esttouJ9pra 1^ plus prob^^e, mais dbn^ un nombre /i. d'épreuves, donné et «upposé ti^ ©w»** 1|» :,p?ûbabaités^^ liw |iut«e$ éfénemçnts composa ne commencent à décroître rapidement que quand le rapport - s'écarte de ^. en plus ou en moins, au-delà d'une certaine li-
mite dont retendue est en ndson inverse d« v/a^. En effet, prenons enooM po«r exmiple le ca» def ss= 9 = ;? ^'*
g un« quantité donnée^ positive on négatiye, et moindre que yf*, abstraction faite du siarne ; si nou8*&isons • dans la formule (6),
ÎK' + ife)- —i-C-f;)'
nous en déduirons
i-rl/î ' • v-^rt/;
z9^ ^ ^virv/»^ 'sT^^f^
i8d* RECHERCHES
Or, si g est une fraction ou un nombre très petit par rapport à Vfif on aura, par la formule du binôme (n® 8), à très peu près,
.— ôA* î*"
et en prenant sous le radical , fi au lieu de /Ei •— g*, il en résultera
pour la loi du décroissement de la probabilité U, dans une petite étendue, de part et d'autre de son maximum. En feisant, par exemple.
At=aoo, g=^,
on en conclura que dans 200 épreuves , la probabilité que les évé-^ nements E et F, dont les chances sont égales, auront lieu le premier
io5 fois et le second g5 fois, est à la probabilité qu'ils arriveront cha-
cun 100 fois, comme e ^ est à l'unité, ou à peu près, comme 5 est à 4. La formule (6) suppose que chacun des trois nombres fi, m, n,
est très grand; cette condition étant remplie, et si le rapport —
s écarte beaucoup de -, cette formule doi^e pour U une valeur très
petite relativement à son maximum; mais il est bon d'observer que si Ton suivait une autre 'méthode d'approximation, la valeur toujours très
petite de U que Ton trouverait, lorsque la différence — — - est une
très petite fraction, pourrait ne pas coïncider avec celle qui se déduit de la formule (6) , de telle sorte que le rapport de l'une de ces valeurs approchées à l'autre pourrait différer beaucoup de l'unité. Pour le faire voir, j'observe qu'en vertu d'une formule qui se trouve
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i8i
dans Tan de mes mémoires sur les intégrales définies (*) , on a
Quels qae soient les nombres m et n, et leur somme f^, on aura donc, d'après l'ëquation (5) »
U = - / cos'* x cos (m — n) X dx,
dans le cas de/) = 9 = ~9 qu'il nous suffira de considérer. Or^ si yx est
un très grand nombre / et si , dans un calcul d'approximation , on le
traite comme un nombre infini , le facteur cos ^x de dx sous le signe d'intégration , s'évanouira dès que la variable x aura une gran* deur finie; et l'autre facteur cos (m — n)x ayant toujours une valeur finie, il s'ensuit qu'on pourra, sans altérer la valeur de l'intégrale, l'étendre seulement depuis x=zo jusqu'à or = a , en désignant par a une quantité infiniment petite et positive. Entre ces limites , on aura
cos xz=s i x*n cos JC = e a f
et , par conséquent ,
Ussi-j e *'** cos (m — n)xdx.
Mais actuellement, le facteur e ^ s'évanouissant pour toute valeur finie de a?, on peut aussi, sans altérer la valeur de cette nouvelle intégrale, l'étendre au-delà de x^ ut, et si l'on veut jusqu'à a: = oo ; et comme on a , d'après une formule connue p
c**â'*** COS (m— n)x^= %/— «"" ^
{*) Journal de t École Pofyiechnique , ig* cahier, page 490.
Ida BfOŒRCHES
il en résultera
