V WM

Cela posé , si loa fait , comme plus haut ,

m — nzszgy/^^

cette valeur de U coïncidera avec celle qui se .déduit de la formule (6), seulement lorsque g sera un très petit nombre relativement à \/jtt; et pour d'autres valeurs de g, le rapport de l'une à l'autre de ces deux valeurs de U différera beaucoup de l'unité , et pourra même devenir

un très grand nombre. En prenant , par exemple, gr= - V7^ ^* m ** n sa= -/b6, la formule précédente donne

On déduit de la formule (6)

ou bien, à cause que le second facteur est^à très peu près égal an troi* sième , il en résulte ^

Or, ces deux valeurs de U s'accordent en ce sens qu'elles sont tontes denx très peti^çs, et qu'elles montrent, en conséquence, que dans nn très grand nombre )Et d'^ preuve) il y it une probabilité U extrêmement faible que les deux événements E et F , dont les chances sont égales,

arriveront des nombres de fois ^/^ ^7/^f <^ dont l'nn sera triple

de l'autre. Mais si Ton divise la dernière valeur de U par h pre-

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. i83

mière, on a •

rv 8i ;

qotntitë qui croit iMJfêfimnient avec yu y et surpasse déjà 800 fxiur

^SS lOO.

(71). Supposons toujours les chances de E et F constantes^ mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre )Et ou ut -{- n d'épreuves, E et F sont arrivés m fois et n fois. On demande la probabilité que dans un nombre yi! ou w! -f" ^ d'épreuves futures , E et F arriveront ni fois et rJ fois. En la représentant par U' ; désignant par Pi le produit des i premiers nombres naturels , de sorte qu'on ait

et &isant , pour abréger ,

nous aurons (n^ 4^)

Quels que soient m' et vl^ si m et n sont de très grands nombres, et que l'on réduise, comme plus haut, la formule (5) \ son premier terme , nous aurons

P,S=:7l"e— yj

2']rnf

les valeurs des autres produits P^^.^, P^^, , etc., se déduiront de

celle c|e P, en 7 mettant n+ii, fA+ 1 , etc., au lieu de n; et il en résultera

i84 RECHERCHES

pQpr la valeur approchée de U^ dans laquelle on a fait, pour abréger,

On peut aussi mettre cette expression de 17 sous une autre forme : à cause de la grandeur dejj,, on a , à très peu près , par la formule du binôme,

et à cause de fji' :=zm! -^^ n\ il en résulte

Si m' et n! sont de très petits nombres par rapport km et n,on aura, à très peu près,

soit par la formule du binôme (n* 8), soit par la considération des logarithmes; on aura également, à très peu près,

et Ton pourra aussi remplacer le facteur K par Tunité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons

et d'après la formule (5), nous voyons que cette expression de U' coïncide avec la probabilité que les événements E et F arriveront des nombres de fois m' et n', dans un nombre d'épreuves m' -f- ^'f lorsque les chances f> et 9 de E et F sont données à priori , et ont pour valeurs

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i85

certaioes /? s= — et jr =s -. Dans le cas particulier de m's= i et n'^o,

OU a Hssi et U'= — ; eu sorte que la probabilité qu'uu événement E

qui a eu lieu uu nombre m de fois dans un très grand nombre fi d epreuves, arrivera encore une fois dans une nouvelle épreuve , a pour valeur approchée le rapport de m à fx; ce qui est conforme à la règle du n* 49*

Mais lorsque les nombres m! et n' ont des grandeurs comparables à celles de m et n, la probabilité U' n'est plus la même que si les chances

de E et F étaient données à priori^ et certainement égales à — et -•

Pour le faire voir par un exemple, je désigne par h un nombre entier, ou une fraction qiu ne soit pas très petite, et je prends

m'sssmh, n'zsinhf fi^fjA}

la quantité K est alors à très peu près égale à -^=t ; et à cause de ft :=m-(-/i, la formule (7) se réduit à

En la comparant à la formule (5), et désignant par V, ce que devient celle-ci quand on y fait

Ht n

et que l'on y met m' et n' au lien de m et n , on en conclut

Vi + h ''

d'où il résulte que U' est moindre que U/, dans le rapport de l'unité à

\/i +A, et que, par conséquent, U' est une très faible probabilité^ lorsque h est un très grand nombre.

Ainsi , il y a une diflTérence essentieUe entre les probabilités p et q des événements E et F, qui sont données par hypothèse, et leurs

i86 RBGfflnCHBS

probabilîlés — et - ^ dadnita des aombMs de fois que S et F sont

arrWës dans un très grand nombre d'épreuves : la prpkabilité 4|ue £ et F arriveront des nombres de fois donnés dans une autre série d'épreuves, est moindre dans le second cas que dans le premier; différence qui tient a ce que les probabilités de E et F , conclues de Tobser- VfttTon, quelque grands que soient les nombres m et n sur lesquels elles sont fondées, ne sont cependant elles-mêmes que probables, tandis que lès probabilités de £ et F, données à priori j ont des valeurs certaines. Si Ton sait, par exemple, qu'une urne A renferme des nombres égauK de boiiles blMiches el de boules noires , il y aura une probabilité à très peu près égale à 0,07979 , comme on Ta vu plos haut , que dans 1 00 tirages successifs , et en remettant k chaque (ms dans A la boule qui en est sortie, on amènera 5o boules de chaque couleur ; mais si la proportion des boules blaoches et des boules noires contenues dans A n'est pas donnée, et que Ion sache seulement que dans 100 tirages il est arrivé 5o boules blandies et 5o boolea noires > la probabilité que la même chose aura lieu dans 100 nouvelles épreuves

ne sera plus que la fraction 0,07979, ^î^î^ée par v/2 , ou o,o5658 , en faisant h = i dans l'équation précédente.

(7a). Pour donner un exemple du cas oà les chances des événements E et F varient pendant les épreuves, je suppose qu'une urne A contienne un nosîbre € de bonks dont a bêules blanches et b boules noires; qu'on en tire successivement un nombre fc de boules, sans remettre dans A les boules qui en seront extraites; et j'appelle V la probabilité que dans fA tirages , on amènera , suivant un ordre quelconque , m boules blanches et n boules noires. D'après la formule du n* 18, en désignant pur a' et ^ les nombres de boules blanches et de boules noires qui resteront dans A après les tirages, et lear somme par c'p de sorte qu'on ait

« — m, i' Sis 6 — n, c' = c — ft;

faisant, pour abréger.

et coasenrant la ootatîoQ du nrnnëro précédent, nous aurons

Si a^ b, m^ n, sont de très grands nombres, les valeurs des six produits P«> P», etc., seront données par la formule (3); et en la réduisant à son premier tarme, et observant qu'on a

on en conclura

pour la valeur approchée de V ; laquelle est exacte et égale à Tunité , dans le cas où Ton a .

m ss a, n ss b^ fg, :si c,

et où Ton doit prendre , en conséquence , l'unité pour le facteur H' : die exprime alors la probabilité que dans un nombre c d'épreuves, on tirera de A, les a boules blanches et les b boules noires que cette urne contenait; ce qui est la certitude.

Dans le cas où les nombres m et n sont entre eux comme aet b, on a aussi

et si Ton fait

rexprasMo de V devient

i.a.3. • .a^i.3.3.«.6' '^ ' y fê

En la comparant à la formule (5), et désignant par V la pnrfmbiHté que deux événements dont les chances seraient constantes et égales eux

i8d RECHERCHES

chances - et - des extractions d'une boule blanche et d'une boule noire

a l'origine des tirages^ arriveraient des nombres de fois a' et b' dans un nombre c' ou a' + b' d'épreuves, on aura

ce qui montre que la probabilité V est plus grande que Y dans le rapport de \/c k i/^, quel que soit le nombre c' de boules qui restent dans A après les tirages , et pourvu seulement que le nombre /jl de boules qu'on en a tirées soit très grand.

On peut remarquer que l'on a

de sorte que les nombres a' et V de boules des deux couleurs qui res^ tent dans A , sont entre eux comme les probabilités p' et q% ou comme les nombres a et 6 de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l'on a^ par exemple, p' =zq' = j, et conséquemment a'=A's=îC',onaura(n*69)

V = \/Aî

et à cause de c'=c — ;t, il en résultera

Lorsque /i=lc, cette quantité a pour valeur

V=: 4/1 = V'Vâ;

d'où l'on conclut que quand une urne A renferme des nombres très grands et égaux, de boules blanches et de boules noires, et qu'on en tire la moitié de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties , la probabilité d'amener autant de boules blanches que de boules noires,

surpasse, dans le rapport de \/a à l'unité , la valeur qu'elle aurait si Ton eût remis dans l'urne, la boule extraite à chaque épreuve.

SUR LA PROBABUilTÉ DES JUGEMENTS. i89

(73). Je reviens actuellement au cas où les chances f et 9 des deux événements £ et F sont constantes , et je vais considérer la probabilité que dans un nombre /t ou m+/2 d'épreuves, £ arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilité sera la somme des m premiers termes du développement de (p + qy , ordonnée suivant les puissances croissantes de 9 ; de sorte qu en la désignant par P, on aura (n*i5)

P = /^ + AtA^-'î + ^-^^/^-V + .... (8)

mais sous cette forme . i! serait difficile de la transformer en une inté-

grale à laquelle on puisse ensuite appliquer la méthode du n"* 67 , lorsque met n seront de très grands nombres. Cherchons donc d'abord une autre expression de P qui convienne mieux à cet objet.

On peut aussi dire que l'événement composé dont il s'agit consiste en ce que F n'arrivera pas plus de n fois dans les fi épreuves. En le considérant de cette manière ^ je l'appellerai G. Il pourra avoir lieu

dans les ^1 -j- I c^s suivants :

i^. Si les m premières épreuves amènent toutes l'événement E; car alors, il ne restera plus que fe — m ou n épreuves qui ne pourront pas amener F plus de n fois. La probabilité de ce premier cas sera /?".

a*. Si les /i}+ 1 premières épreuves amènent m fois £ et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition nécessaii^ pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. Il est évident que les 71 -— i épreuves suivantes ne pouvant amener F que n — i fois au plus , cet événement n'arrivera pas plus de n fois dans la totalité des épreuves. La probabilité de l'arrivée de m fois £ et de une fois F, qui occuperait un rang déterminé , étant p"^, et ce rang pouvant être les m premiers, il s'ensuit que la probabilité du second cas favorable à G, sera mp'^q,

5*. Si les nt+a premières épreuves amènent m fois £ et deux fois F, sans que F occupe le deuxième rang , ce qui est nécessaire et suffisant pour que ce troisième cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La pixibabilité de l'arrivée de m fois £ et de deux fois F , dans

igo KlECHEKCXtÈS

des rangs détermina^ serait /)*^^; en prenant denx à deux les m-f- 1 premiers rangs pour y placer F, ona-;m(m+i) combinaisons différentes; la probabilité du troisième cas favorable k G aura donc l; m{m^ i)p^q^ pour valeur.

En continuant ainsi ^ on arrivera enfin au n4- i^'^cas, dans lequel les ^t épreuves amèneront m fois E et xt fois F, sans que F occupe le dernier rang, a6n que ce cas ne rentre dans aucun des précédents; et sa probabilité sera

m «ut -4- I .F» -f- 2« . . .iw -f» n — I

I «SaO» • • •#!

Ces n -{- I cas étant distincts les uns des autres , et présentant toutes les manières différentes dont Tévénement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives (n* lo); en sorte que nous aurons

= f^ [ I + rnq H ^T"? "T TiTs ?' + ••• (9)

••• + iTïx::^ 5^]'

expression qui doit coïncider avec la formule (8) , mais qui à Tavan-* tage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du n° 67 , avec d'autant plus d'approximation que m et /i seront de plus grands nombres.

(74). Pour effectuer cette transformation, j'observe qu*en intégraot n 4- I fois de suite par partie , et désignant par C une constante arbi* traire, on aura

^^"«^■iaB ^a^i^ m>m^^0^t^m»mmi0m»

n.Fi^i.n — a...a.i i

Comme on a fe > 71, tous les termes de cette formule, excepté C, disr paraissent quand a? as op ; si donc on désigne par « une quantité

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. igi

positiye quelconque , ou asëro, on en cooclura

x^dx «■ « n «■""■ . it.n— -I «

Dans le cas de a = o , cette équation se fëduit à

/"** Jf*<fa ■>»— i,n — a., .a.i ^

et en divisant Tëquation précédente par celle-ci, et disant, pour abréger

on obtient fistcilement

•Lî — L fi I M ** ,1 »»•*"-*•' ** I,

Xdbr

, m.m+ i.m + a. . .fil 4*^— I *■ "] ****"^ i.a.3«..fi C«-h'')"J*

Or, si l'on prend

etsiroaohi6nre4|tt'<oa ap^i^tfxBi^lettmidflMndMne drcstleder* nière équation ooincidtra avec la formule (g); pgar cette valeur de a, nous aurons donc

r'xdx

Dansle casde/i sso«t«»:)Ei,P est la probabilité que B arrivera au moins/* fois, ou a tonitesles épreuves; par conséquent, P doit

192 RECHERCHBS

avoir //" pour valeur; et , en effet , pour n = o^ on a ,

Dans le cas de n s= /x — i et m = i , P est la probabilité que E arrivera au moins une fois, ou que F n'amvera pas à toutes les épreuves; on doit donc avoir

P = I - 9^ ce que Ton peut aussi vérifier. Pour cela , je fais

pour n=:fA — I , il en résulte

j ^ y o (i +jr/«-#-t ^ L (I + c/* J '

et à cause de

ff = i =^,

r i + tf

la formule ( i o) coïncide avec la valeur précédente de P.

(75). Appliquons d'abord la méthode du n* 67 àrintégrale| Xdx.

En appelant^ comme dans ce numérOi h la valeur de x qui répond au maximum de X, et H la valeur correspondante deX, Téquation ^ =0, qui servira à déterminer h sera

n{i + h) ^ {fi. + i) h s=s oj

d'où Ton conclut

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. igS

9i Ton fait , daas les équations ( a ),

(, 4- fcyH-. »

et qu'après avoir effectué les différentiations relatives k h, on y mette pour cette quantité, s^ valeur précédente, on en déduit

etc.;

et lorsque m^n^fi^ seront de très grands nombres et da même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités A', À'^ V*^ etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le

premier terme h' sera du même ordre de petitesse que la fraction — =. »

le second hl' de Tordre de - , le troisième h'" de Tordre de — 7=, et aîn-

si de suite.

Cela posé, nous aurons, pour la valeur en série de Tinlégrale donnée ,

f^ TUx s= Hv/^(à' 4- ~ h'"^ '^ h' etc.). (i 1)

(76). L'expression de l'autre intégrale ^ Xdx contenue dans la

formule (10) sera différente selon qu'on aura « > A ou a < A, en désignant toujours par h la valeur de x qui répond au maximum de X. En effet, la variable que Ton a représentée par t dans la transfor-î mation du n® 67 , doit être positive pour toutes les valeurs de x su-

srieures à A , et négative pour toutes les valeurs de x moindres que ; or, si Ton appelle 6 et A les valeurs de t et de X, qui répondent à

XS0I on aura

à cause de «ss 2, et en ayant égard à b valeur peécédentedeHf <mk

en déduit

d'où Ton tire 9 ve^dbk, en faisant i poorabr^er^

En considérant k comme une quantité positive , il faudra donc pren«

dre 6 1= Aï, lorsqu'on aura->Ayet 6 = ^-* A, quand on aura -< h;

par conséquent, d'après la transformatioA du numéro cité, nous aurons, dans le premier cas ,

et, dans le second.

en fidsant, comme dans ce n* 67 ,

dt On a d'aillenn

^ =s A' + ihl't + 5AV 4. etc,

i étant iw nombre entier et positif, on zéro. Si donc on foit généralement

SUR LA PROBABOilTÉ DBS JUGEMENTS. igS

et â Ton observe que Hy e-«' ^dtest Texpression de J XW&rr, il

en résultera

f^ Xdx 8 H(A'K^ + 5A*K, + 5A% + etc.) .5.

+ H (a^'lt: + 4A''K: 4. 6A''K: + etc.),

pour le cas de ? > A^ et

H-H (aA^Ko^^. 4*'%' + 6A''K; -f- etc.),

pour le cas de ^ < &•

Chacune des séries contenues dans ces formules aura, en général, le même degré de conTcrgence que la série (11). Les valeurs des intégrales désignées par K| ne pourront s'obtenir que par approximation, lorsque k sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par K^ ^ s'exprimeront toujours sons forme finie, et Ton aura

Quand on aura a = A, les formules (i3) et (i4) devront coïncider. En effet , on aura en même lemps

ce qui rendra nulle la valeur de k tirée de Téquation (i a). U en résultera

K^ = i^^, K,=Bi.5.5..,ai— i.^, K'=:-, K'i= 1.3.5.../.^;

et d après Téquation (i i),les formules (1 3) et (14) se réduiront Tune

ig6 REOIERCHES

et l'autre à

y^ Xdx=.^(k'+ i^h'"+'-^ A' + etc.) + H(A"+i.2-*«^4-i.:s^.5.A" H* etc.).

(77). Nous supposerons actuellement les nombres m, n, /ij^ assez grands pour qu'on puisse négliger dans ces différentes formules , les quantités h'", h*^, etc. D après les valeurs de A' et A'' données plus haut y on aura

et au moyen de Téquation (10) et des formules (11), (i5), (i4)j nous aurons

la pi'emière ou la seconde de ces deux valeurs ^de P ayant lieu,

selon que l'on a-> Aou^^ h^ et k étajit une quantité positive ,

donnée par l'équation (12). Peur plus de simplicité, on..a mis/« et m au lieu de fA + i et tt» -f~ ^ ^^^s les derniers termes de ces formules ; elles feront connaître , avec une approximation suffisante, la probabilité P qu'il s'agissait de déterminer.

Si fA est un nombre pair, que l'on fasse m = ?i = -^ fA, et qu'on suppose q '^ P 9 on aura

Ce sera donc la première équation (i5) qu'il faudra employer; cette

formule et l'éqnatioa (ta) deviendront

et P exprimera la probabilité que dans uo très grand nombre pair d'épreuves , l'événement F le plus probable n'arrivera cependant pas plus souvent que Tévénement contraire E. En appelant U la probabilité qu'ils arriveront tous les deux le même nombre de fois, P — U sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de /7 = 9 = ^ y il est évident que P — U sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F; le double de P"— U, ajouté à la probabilité U, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, aV — U sera l'unité ; d'où Ton conclut

U =: 4-- re-'^dt — I + ^ e^«.

et c'est, en effet, ce*que l'on peut aisément vérifier. En réduisant en série , on a

(A^+^)log^ =-(u+:i)log(i-;4-,) = ^ + ^^ +etc..

et, par conséquent.

donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction -j=, nous aurons

Nous aurons , en même temps ,

au moyen de quoi la valeur précédente de U se rédoira à

ce qui coïncide, effectivenient, avec celle que Ton déduit de la formule (6) , dans le cas de m := n et /? = f .

Si fA est un nombre impair , que l'on fasse m ass 1 (p *«- 1) , et qu'on

supposé toujours q > pyCn aura encore - > h; la première for-*

mule (i5) et l'équation (ta) deviendront

et P sera la probabilité que dans un très grand nombre fx d'épreuves , l'événement le plus probable se présentera cependant le moins souvent ; car (i étant impair, le cas de l'égalité des arrivées de E et F sera impossible. Dans le cas de /i = 9 =ç ^ , cette probabilité P devra être égale à ^; et c'est aussi ce que nous allons vérifier. Nous aurons

(^— l)l0gj=i:= — (f4^l)log(l+-^)«;=^aH--^

(/^ + 5)logJ±?=-(^5)log(.^^^^^

et y par conséquent.

** = -~H-— l-x+etc.

fio xn^jàgnaty CÊmnm plus haut, le terme de Tordra de petitesse de la fraction ~ , il en résnltera

*=i^, «-*•=:,, re-'-rf< = iv/5-^iî

ce qui réduit k ^ la valeur précédente de P.

(78). Supposons maintenant que le nombra n diffère du produit ('^4- 1)99 d'une quantité p 9 positive ou négative, mais très petite par rapport à ce produit. Acausede/i + 9â== 1 etnt-f-nssix, on aura à la fois

n = (fi H- i)î — p, m + I = (f* 4- t)/» + p.

La valeur correspoudanle de h sera

et, par conséquent, moindraque ^,en regardant d'abord p comme une

quantité positive. Si Ton développe le second membra de Téquation (la) suivant les pussances de p, on trouve

et, r étant une quantité positive, si l'on fait ^

on en déduit

rfi 4. ■ J^-g>^ +etc,l

£n exdua&t lecas oà Tane dca deux fractions f et 9 serait très petite, la série comprise entra les paranthèses, est très convergente, puis-

qu'elle procède suivant les puissances de —.=c , ou de *-x^* ^ ^^

conservant seulement que les deux prennecs teroiMi et foûatU, popr

abréger ,

on aura simplement A: = r-f- /• On aura, en même tempe.

« = (f* + « ) 9 — '^ Va (a* -4- /^ I

mais dans le second terme de la première foirmule (iS), il suffira de faire A: =s r, et d'y mettre pfâ^ et f/i, au lieu de m et n; elle dey iendra , de cette manière ,

3 l/«îi«p^

Considérons actuellement f comn^ une quantité négative, auquel

cas on aura A > ^. En désignant par r^ une quamtité positive, et pre-

nant — '^V'î^(A^-f-ï)pî pour la valeur de p, celle de n sera

» = (a* + O 9 + ^ Va (a* + 1 ) pî;

mais la valeur de A: tirée de l'équation (12) gérant toujoàrs être po* sitive , on aura A = r' — cT', en faisant , pour abréger ,

3/2Gm4.i)p9

et la seconde formule (i5), que Ton devra employer, deviendra $i l'on retranche de cpUe- ci , la pre'cédente valeur de P, et qu'on

appelle R la différence , il vient

et d'après la significatioa de ces deux probabilités P , il est aisé de voir que R sera la probabilité que révénement F arrivera dans un très grand nombre fe d'épreuves, un nombre de fois qui n'excédera pas la seconde valeur de fi, et surpassera la première au moins d'une ^ unité.

(y 9). Pour simplifier ce résultat, soient N le plus grand nombre entier contenu dans ^, et / l'excès de juiç sur N; désignons par u / une

quantité telle que u S/a (f^H- 0/'? ^^^^ ^^ nombre entier, très petit par rapport à N ; et faisons ensuite

Les limites des valeurs de n auxquelles se rapporte la probabilité R, deviendront

H = N — M \/a(/i +i)f>î — I, » = N + u\/:à{ii,^\)pq;

par conséquent, la formule (i6) exprimera alors la probabilité que n excédera au moins d'une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde^ c'est-à-dire la probabilité que ce nombre sera contenu entre les limites

éf^nidistantes de N, et dans lesquelles on a mis /x au lieu de ;a + i, ou qu'il sera égal à l'une d'elles.

D'après les équations qu'on vient de poser, et les expressions de /

et J^ , on aura

€ étant une quantité de l'ordre de petitesse de la fraction -;s. Or, en

acM RECHERCHES

désignant par v une quantité quelconque de cet ordre , dont on né-* gligera le carré , on a

e-"dt = / e-*'dt--ve—*;

si donc on applique cette équation aux deux intégrales contenues dans la formule (16), et si Ton fait r^ = r, dans les termes compris

hors du signe y^ qui sont déjà divisés par \(^, il en résultera

R = 1 - -5= ne-"dt+ .^=^e-,., (,7)

où l'on a aussi mis, dans le dernier terme, f6*au lieu de/x4- i«

Si Ton eût voulu que l'intervalle des valeurs de n dont la probabi-' lité est R, ne comprit pas sa limite inférieure ^ il aurait fallu aug«menter d'une unité la plus petite des deux valeurs précédentes de n;

ce qui aurait fait disparaître le dernier terme — delà valeur

de r-f-/, et, par suite, le dernier terme de la formule (17). De même, pour que cet intervalle ne comprit pas sa limite supérieure , on aurait du diminuer d'une unité la plus grande de ces deux valeurs de 7^; ce

qui aurait diminué de 1-=? la valeur de r' -— cT', et encore

fait disparaître le dernier terme de cette formule (17}. Enfin, on devrait changer le signe de ce terme , si l'on voulait que Tîntervalle des valeurs de n que nous considérons ne renfermât ni l'une , ni l'autre i de ses deux limites. U suit de là que le dernier terme de la formule (17) doit être la probabilité que l'on ait précisément

n =: N -|- u\/2itpq;

u étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de n soit très petit par rapport au premier. C'est aussi ce qui résulte de la formule (6).

En effet , en n^ligeant les quantités de l'ordre de petitesse de la

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEBIENTS. ooS

fraction -, on anra

d'où l'on conclnt

ou , ce qni est la même chose,

- .•is[>..0+"^ /*0 -'"•(■ -'p s/^l'

or, en développant ces logarithmes, et négligeant toujours les termes de Tordre de -, on trouve — u^ pour la valeur du second membre de cette équation ; par conséquent , nous aurons

et comme on a aussi , d'après les équations précédentes,

la formule (6) deviendra

V TLWfipq

ce qu'il s'agissait de vérifier.

La première valeur de F du numéro précédent, étant k pM^abilké

que le nombre n ne surpassera pas la limite l^q^^r y2/i^ql dans laquelle je mets /u au lieu de fx + i » il s'ensuit que si Ton fait « = r dans la valeur de U et qu'on la retranche ensuite de celle de P » la

»ap*

2o4 RECHERCHES ô

rence P — U sera la probabilité que n n'atteindra pas cette même H«^ mite. De même , si Ton fait u:=sr' dans la valeur de U et qu'on la retrancbe ensuite de la seconde valeur de P du numéro précédent , la^ différence P — U sera la probabilité que n sera au-dessous de la limite

liq+T^ \/2fJLpq. En appelant Q en Q' ces difforences , on trouve

On se rappellera que , dans ces formules , r et r^ sont des quantités po^ sitives, très petites par rapport à vV; en sorte que les limites de n auxquelles ces probabilités Q et Q' se rapportent diffèrent peu du produit (uj f l'une en plus et l'autre en moins. En même temps ^ les valeurs des quantités J" et ^ qu elles renferment , seront très petites par rapport à r et /; et si l'on y met /x à la place de fi +i, on aura

i^^pq ^V^(*pq

( 80 }. En divisant par ^t les limites de n auxquelles se rapporte la formule (17)^ et ayant égard à ce que U représente^ on aura

5 — - qp \/ ^^ pour les limites du rapport - , dont la proba-

bilité est R. Si donc, on néglige la fraction ^ , il en résultera que cette quantité R, déterminée par la formule (17)1 est la probabilité que la différence 9, se trouvera comprise entre les deux limites

qui seront aussi > en changeant leurs signes, avec la même probabi* lité, celles de la différence ^— Pi puisque la somme — -^— •— /> — ?# de ces deux différences ^ est égale à zéro.

On pourra toujours prendre u assez grand pour que cette probabilité R diffère aussi peu qu on voudra de la certitude. Il ne sera pas même nécessaire de donner à u une grande valeur pour rendre très petite la différence i — R : il suffira , par exemple de prendre u égal à quatre ou

cinq, pour que 1^'exponentielle e-"*', l'intégrale / «^'* dtj et par suite

la valeur de i >— R , soient presque insensibles. La quantité u ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la

différence — <— /? se resserreront de plus en plus à mesure que le nombre i^f qu'on suppose déjà très grand , augmentera encore davantage; le rapport — du nombre de fois que E arrivera au nombre total des

épreuves I différera donc de moins en moins de la chance p de cet événement; et Ton pourra toujours multiplier assez le nombre ^ des

épreuves, pour qu'il y ait la probabilité R que la différence — — p sera

aussi petite qu'on voudra. Réciproquement, en augmentant continuellement le nombre /^, si l'on prend pour chacune des lijnites précédentes, une grandeur constante et donnée Z, c'est-à-dire, si Ion fait

croître u dans le même rapport que Vf^, la valeur de R approchera indéfiniment de l'imité; en sorte qu'on pourra toujours augmenter assez le nombre {jl des épreuves , pour qu'il y ait une probabilité aussi

peu différente qu'on voudra de la certitude, que la différence — — ^

tombera entre les limites données dz L C'est en cela que consiste le théorème de Jacques Bernouilli , énoncé dans le n* 49-

(81). Dans le calcul précédent, nous avons exclu (n*^ 78) le cas où' l'une des deux chances petq est très petite, qui nous reste, en consé-^ quence, à considérer en particulier.

Je suppose que q soit une très petite fraction, ou que ce soit l'évéraent F qui ait une très &ible probabilité. Dans un très grand nombre [i, d'épreuves , le rapport - du nombre de fois que F arrivera à ce

nombre (i sera aussi une très petite fraction ; en mettant fi — rt k Uk place de m dans la formule (9), faisant

3o6 REGHERCHBS

et nëgKgeant ensuite la fraction -, la quantité contenue entre les parenthèses I dans cette formule, deviendra

imps,

on aura

■ïT(-

on pourra remplacer par Texponentielle e "* "^ le premier faclear de cette valeur de f^, et réduire le second à l'unité; par conséquent,, d après Féquation (9), nous aurons, à très peu près,

P = fi+« + -î!l+— -^+ .... H f — iV — ,

pour la probabilité qu'un événement dont la chance à chaque épreuve

est la fraction très petite - , n'arrivera pas plus de n fois dan& un très

grand nombre fi d'épreuve*.

Dans le cas de nsso, cette valeur de P se réduit à e *"*; il y a donc

cette probabilité e*** que l'événement (font il s'agit n'arrivera pas une seule fois dans le nombre fx d'épreuves , et conséquemment,, la probabilité I — e"* qu'il arrivera au moins une fois^ ainsi qu'on l'a déjà vo dans le n^ 8. Dès que n ne sera plus un très petit nomboe; la valeur de P différera très peu de l'umté , comme 00 le voit , en observant que l'expression précédente de P peut être écrite sous là forme

P=, îlllîZl.(ï^L-^-f — ^L--4.ctc.\