i.a 5 i.a.3.7 ' 4 ayo^Mf

En désignant par a la valeur de u qui satisfait à cette équation, abstraction faite du deuxième terme de son second membre ^ nous aurons ensuite

\/^(*pq '

aux quantités près de Tordre .de petitesse de -. Après quelques essais, on trouve a = o,47^^ P^"^ ^^ valeur approchée de a; d'où itrésulte qu'il sera également probable que la différence p tombera en dehors ou en dedans des limites

Pour une valeur quelconque de 2^ , il y a la probabilité R que la différence des deux quantités — — p et q^ aura pour limite le

double de cb {^ y—i si donc on h pz=^qz=z\, il y aura une probabi-

lité égale à { que la quantité , sera comprise entre les limites

par conséquent, lorsque les événements E et F ont la même chance , il sera égaletûent probable que la différence m— 71 entre les nombres de fois qu'ils arriveront , surpassera 0^6739. VV — i, ou sera moindre , abstraction faite du signe.

Ainsi , quand deux joueurs A et B jouent l'un contre l'autre à jeu égal , un très grand nombre de parties , un million par exemple , il y a un contre un à parier que Tun d'eux, sans dire lequel, gagnera 674 parties de plus que l'autre. C'est dans cette différence qui peut également £aivoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais iii, à chaque partie, la chance p de A surpasse la chance 9 de B, il y

aura une probabilité R , toujours croissante avec le nombre fi , que A

gagnera de plus que B, un nombre fi (p — q)dz7u ^2/Àpq ; et comme le terme fi(p'^q), qui résulte de la différence d'habileté des deux joueurs, croit proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croit seulement dans le rapport de la racine carrée de ce nombre, il s'ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance k chaque partie, finira toujours par l'emporter sur l'autre , quelque petite que soit la différence p — 9*

(83).Dans ce qui précède, nous avons supposé connues les chances petq des événements E et F, et nous avons déterminé, avec une grande probabilité et une grande approximation, les rapports — et -, quand le nombre fjL des épreuves est très grand. Réciproquement, lorsque ces chances ne seront pas données à priori j et que les rapports — et - auront été

observés, les formules que nous avons trouvées feront connaître les valeurs très probables et très approchées des inconnues p et q. Ainsi, il y aura la probabilité R, donnée par la formule (17)/ que la chance p

de E est comprise entre les limites — db w v/— . Si R diffère très peu

de Funité, la fraction p sera donc à très peu près et très probablement

égale à —, et 9 à -; en mettant donc ^ et ~ à là place depetq dans le

terme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule (17}, qui ont déjà \//Ei pour diviseur, il en résultera

R = , - ^-f^^dt+^J^e-, (,9) pour la probabilité que la chance p de E est comprise entre les limites

Lorsque m, n, /it, seront de très grands nombres, on pourra, en géné-

ral p se servir des valeurs approchées — et -de pet 9, pour calculer la

3IO RECHERCIIBS

probabilité d'un événement futur, composé de B et F ; par exemple » la probabilité de l'arrivée m! fois de £ et n' fois de F , dans un nombre ft' ou ntl^ri de nouvelles épreuves, pourvu que/M^ soit très petit par rap* port à a ; et cela étant, si pi est néanmoins un très grand nombre , on

pourra emjrfojrer la formule (17) : en mettant /t', — # -« &a Heu de /x,

Pf qj dans cette formule et dans les limites auxquelles elle se rapporte, elle deviendra

R = I ^ f^e-'^dt + -^=^e--, (20)

ywJ « y^vfifmn

et elle exprimera la probabilité .que le nombre nf sera compris entre les limites

OÙ l'on a mis — au lieu du plus grand nombre entier contenu dans ce

rapport. Quelque approchées que soient ces valeurs —et -de pet 9,

comme elles ne sont que probables et non pas certaines, on n'en pourra plus faire usage , ainsi qu'on l'a vu précédemment ( n"* 71), quand le nombre // des épreuves futures aura une grandeur comparable k celle du nombre /t. C'est pourquoi , nous allons considérer d'une autre manière la question des chances ^ et 9 de E et F, déduites des événements observés, et appliquées ensuite à la probabilité des événements futurs.

(84)- On suppose toujours que l'événement observé soit l'arrivé m fois de E et /i fois de F, dans un très grand nombre jct ou m^^n d'épreuves , pendant lesquelles les chances /> et 9 de E et F n'ont pas varié. Il y aura alors, d'après ce qui précède, une très grande probabilité

que ces chances inconnues difiëraient très peu des rapports — et -

que l'on pourra prendre, en conséquence, pour les valeurs approchées de p et 9* Ces chances étant d'ailleurs susceptibles d'une infinité de valeurs croissantes par degrés infiniment petits, la probabilité d'une valeur exacte de p et de la valeur correspondante de q sera une quantité in-

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. ai i

finîment petite, qu'il s'agira de déterminer» du moios pour chacune des yaleursdep et 9, qui s'écartent peu de —et- et que nous aurons seulement besoin de connaître.

La quantité Q, déterminée par la première formule (18)9 étant la

probabilité que le nombre n est inférieur à /xq — ryîifÂpq, elle est également la probabilité que la chance inconnue q de l'événement F, arrivé

71 fois dans f* épreuves, est supérieure à - -f- r W — ^ ou bien à

- t/3^^ en substituant dans le second terme de cette limite, à la

place depetq, leurs valeurs approchées — et -.Si Ton met r — rfr au lieu de rdans cette formule, et que l'on conserve seulement les infiniment petits du premier ordre, Q.'^g^dr sera donc aussi la probabilité

que 9 surpasse- + -V/ "7; V "7"^' P*^ conséquent,— ^^ exprimera la probabilité infiniment petite que Ton a précisément

n , r fvnn

pour toutes les valeurs de r positives et très petites par rapport à Vft, comme le suppose l'expressiou de Q. De même, la seconde formule ( 1 8)

exprimera la probabilité Q' que la chance q est supérieure à - — - 1/-^^ en y mettant i^^dr' au lieu de r^, on aura donc 0^+ ^ ^^ pour la probabilité que la valeur de q surpasse - — - 1/ ^'"" . ■ \/^^ — ; par con*

séquent, ^ dr' sera la probabilité que q est supérieure à la seconde limite sans l'être à la première, ou que l'on a précisément

M im;

ai 2 iu!A^iu2«iiCHES

r* étant aussi une quantité positive et très petite par rapport à y/it. Mais par les règles connues de la differentiation sous le signe f,eten substituant — et - à la place de p et q dans les derniers termes des formules (i8), on a ^

àr' ^/; \ dr J 3 ^^nrfonn

D après Ites valeurs de S" et J^, et en y faisant les mêmes substitutions , on a aussi

^-^ 3 |/a^mn ' ^ 3 |/ai^n '

d'ailleurs y en bornant, comme précédemment, Tapproximation aux termes de Tordre de petitesse de la fraction -^, et négligeant, en

conséquence, ceux qui ont fi pour diviseur^ nous aurons

' ^ ^ L 3 \/iif*mn J

et de ces diverses valeurs , nous déduirons

dO I ^, a (m — w)»^ .

dr ^^ i]/!iirf4mn '

dr y/^ 3Ka9r^m7i

Or, ces deux expressions ayant la même forme, et se changeant l'une dans l'autre par l'échange de r et — - r^, il s'ensuit que si l'on désigne par (^

une variable positive ou négative , mais très petite par rapport à VyËÂ/

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ai 3

et qu'on fasse

on aura \dsf pour la probabilité de

à cause depisi— -^ etm=i/u — n, cette probabilité infîniment petite sera, en même temps^ celle de

/f fê W (A

Cette quantité V décroît, comme on voit, très rapidement à mesure que i/ augmente; et ayant que cette variable ait acquis une grandeur

comparable à \/^^ celle de Y peut être extrêmement petite à raison du facteur er-^*. Si Top exprime de la même manière au moyen de cette va-

riable, les valeurs àtpeXq très différentes de — et - , et que l'on repré-

sente par VWp leur probabilité; V sera une fonction de p, différente de y, dont les valeurs numériques seront encore beaucoup moindres que celles de Y qui répondent k la limite où peut s'étendre la formule (^i). On pourra donc regarder ces valeurs de Y' comme étant toutà-fait insensibles; ce qui nous dispensera de chercher l'expression de cette quantité Y' en fonction de (^.

Cela posé , soit C un événement futur, composé de E et F ; désignons par n la probabilité de E' qui aurait lieu si les chances de H et F avaient des valeurs certaines , de sorte que n soit une fonction donnée de p et 9; désignons aussi par n' la probabilité véritable de E', en ayant égard à celle des valeurs quelconques Ae p eX q que Ton subsituera dans n : en multipliant FI par cette probabilité infiniment petite de/? et 9, et intégrant ensuite le produit depuis /i=o et 9= i jusqu'à |i= 1 et 9 =0 , on aura lexpression de II'. Mais, d'après ce qu'on vient de dire, on pourra négliger la partie de cette inl^;rale qui répond aux

ai4 RBCHERCHES

valeurs de p et 9 qui s'écartent beaucoup de — et - ; par conséqnent , si Ton met dans II les yalears précédentes de p et q^ on aura simplement

n' = fïiydv, (aa)

en étendant l'intégrale anx valeurs positives ou négatives de v^ mais très

petites par rapport à v/fÂ*

Ce résultat s'accorde avec celui qui a été obtenu plus directement , dans le second paragraphe de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes.

(85). four donner une première application des formules {ni) et (^2)1 je suppose que II' soit la probabilité que dans un très grand nombre f^' ou m! -f-* n' ^^ nouvelles épreuves, les événements E et F auront lieu des nombres de fois ml et n' qui seront entre eux , à très peu près , comme les nombres de fois tu et 71 qu'ils sont arrivés dans les ft épreuves déjà faites 3 ou, autrement dit, je suppose qu'on doive avoir

h et a étant des quantités données , dont la seconde pourra être positive ou négative , mais sera très petite par rapport à ^f?. D'après la formule (6), et en faisant

nous aurons

o4i Ton peut déjà remarquer que U' serait U {Mobabilité de l'évé-

nement E' que nous considérons, si - et - étaient les valeurs exac-

tes et certaines des chances p et 9 de E et F, et que Ton eût a c= o. D'ailleurs, à cause de

m' m « n' n . ce

^ A» i/ii'' /»' ^^^ "^^

et, en faisant aussi

et

les valeurs de p et 9 du numéro précèdent pourront s'écrire sous cette forme :

En les substituant dans la valeur de II, il vient

Les quantités W et ^ étant de Tordre de petitesse de la fraction-^ ou-^y on aura, en séries très convergentes,

d*aù Ton déduit

\\ H- ^1 se'^*^' 6 e etc.

Mais à cause du facteur U' de n% qui est déjà de Tordre de petitesse de -^, on pourra négliger les quantités de cet ordre dans

les deux autres facteurs; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à Tunité , à partir de la troisième , dans chacun de cet

ai6 RECHERCHES

deux produits. A ce degré d'approximation, on aura donc

Par la même raison , on pooira négliger le second terme de la formule (31); au moyen de quoi la formule (aa) deviendra