IT' { P

am n

n'= 4.U' Ce ^" dv.

Quoique celte intégrale ne doive s'étendre qu'à des valeurs de 9

très petites par rapport à \/^\ si Ton observe qu'à raison du facteur exponentiel, le coefficient de ds^ sous le signe /* devient tout*

à*fait .insensible pour les valeurs de ^ comparables à \/fîy <>Q ^^ conclura que sans altérer sensiblement cette intégrale^ on peut l'étendre à de semblables valeurs de (^^ et la prendre, comme nous le ferons effectivement , depuis c^ = — 00 jusqu'à p = 00 . Or, en mettant wh et nh au lieu de wl et n! dans la valeur de v^^ on a

cela étant, si Ton fait

t/2TOV(i+A) ' t/i + A'

les limites de Tintégrale relative à la nouvelle variable x seront ei|i core db 00 1 et il en résultera

pour la probabilité qu'il s'agissait de déterminer. Dans le cas de <t ^ o,. on aura simplement

€e qui coïncide^ d'après ce que U' représente, avec le résultat qu'on a trouve d'une autre manière dans le n° 71.

(86). Pour le second exemple de l'application des formules (21) et (22), nous supposerons que FI' soit la probabilité «|p la diffé-

rence -7 n'excédera pas la quantité — j=^ qu'elle devait atteindre

dans l'exemple précédent.

La quantité n sera en fonction des chances p et 9 de E et F, la probabilité que dans les ft! , épreuves futures , F n'arrivera pas

plus d'un nombre 7t' de fois, égal à — + a vV> ^^ f[ue E aura lieu

un nombre m' de fois , au moins égal à -^ -— a V/* Sa valeur sera

donc donnée par l'une ou l'autre des formules (i5), en y mettant fx', m\ ri^ au lieu de fA, m, 71. Pour ces valeurs extrêmes de m' et vl^ ou aura

— -=-ri -4- --î^^

en bornant toujours l'approximation aux quantités de l'ordre de

petitesse de -7=. , ou de -^. D'après les valeurs de /i et 9 du nu-

VfÊ, Yft,

méro précédent, on aura, en même temps,

p m \ ' V mn/^

si donc on limite la variable sf de manière qu'on ait

^Oifêfgmn

abstraction ftite du signe , on aura 2 < ^ , ou 2 > " ■ — , selon

que la constante « sera positive ou négative; par conséquent,

2i8 ABCHiSlCHES

daos le promier cas^ nous awrons

en vertu &k la seconde équation (i5)^ et dans le second cas^

n = -f. re-d^+i^c+4 e-*-,

en vertu de la première ; k étant une <|aaiitité positive donnée par l'équation (12), ou dont le carré est

*• = n'iog -r^ + K + 01og5^-

Des valeurs extrêmes de m' et 7i% ef de celles de y? et 9 , qui doivent être employées les unes et les autres.dans ces formules , il résulte

en faisant , pour abréger ,

convei^entes , log9=log^jr-p-j jj jj;;- 5 — -^ etc.,

d'où Ton déduit, au degré d'approximation où nous nous arrêtons , et ensuite

SUR LA PROBÂBIUTÊ DES JUGEMENTS. f^ig

en ayant égMd à la valeur de O", et faisant, pour abréger ,

A cauae de la limite ^u'oa vient d'assigner à v, cette quantité kf sera de même signe que a ; pour que la valeur de k soit positive , il faudra donc prendre le signe supérieur ou inférieur devant son expression, selon que et sem une quantité positive ou négative. Le second terme de cette valeur de k sera aussi de l'ordre de pe«

titesse de -7= ou -7=^; par conséquent, nous aurons

En même temps, les yaleun précédentes <le n deviendront

et, en verta des famrales (ai) et (aa)^ les yaleon correspondantes de n' seront

3» yiftmnJ •"Vj

Les exponentielles «-•", e-**-", e"^*-**, rendant inseosiUes les

^aïo RECHERCHES

coefficients de dv sous les signes/, au-delà de la U|nhe assignée à p, il s'ensuit que sans altérer sensiblement les intégrales relatives à cette variable , on pourra les étendre , comme plus haut , depuis i' = — 00 jusqu'à p = 00 . Soit , en outre,

yamrt tty^ann

S étant une quantité positive, et les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que a sera une quantité positive ou négative. Dans la première expression de II', qui suppose a positive, on prendra donc

A:' = ff — 7^, * = 9 — yu}

et les limites des intégrales relatives à la nouvelle variable seront s=s € et 8 = 00 . Dans la seconde expression de n^ qui se rapporte au cas de a négative , on devra prendre

A' = — e — >i^, t =: 6 + yi^;

et les limites de cette int^rale seri>nt encore s= C et 8 = oo . De cette manière, on aura

n'= I - '-CIZ, «-"*•>*-"*»■'"<**.

Les int^ratioDS relatives à v s'effectueront sans difficulté , en sorte que la probabilité II' qu'il s'agissait de déterminer ne renfermera plus qu'une int^rale simple relative à 0* A cause de

la première valeur de n^ sera la probabilité que le nombre n' n'excédera pas — + € y^^^f qui surpasse très peu — , et sa seconde valeur exprimera la probabilité que n' n'excédera pas — — i ^\/ ^^? ^

qui est un peu moindre que — •

(87). On peut remarquer qu'à raison des limites d= 00 , relatives à p , les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de FI' , et la troisième est la même au sl|[ne près. Il en résulte qu'en appelant ^ l'excès de la première valeur sur la seconde, on aura simplement

et cette quantité 9 sera la probabilité que le nombre n' surpassera

— — -C \j — 7- sans excéder ^^+^1/ •

Si nous faisons

les limites relatives k la nouvelle yariable z seront toujours db 00 , et nous aurons

QD —

oa, ce qai est la même chose,

♦-■-ih/T'-'*'

332 RËCHSnCHfô

en faisant aussi

En ayant égard à la valeur de >*, on verra que ^ exprime actuellement la probabilité que n! sera compris entre les limites

ou égal à la limite supérieure. Si Ton veut que cet intervalle des valeurs de v! contienne aussi la linûte inférieure ^ il faudra, ajouter à ^ la probabilité que rtl sera précisément égal à cette limite; laquelle probid^iKté sera dotmée par la formule (sS) , eu y faisant

De cette manière , si l'on désigne par <sr la probabilité que le nombre vl tombera entre les deux limites précédentes-, ou sera ^al à Tune ou à l'autre, on aura

En comparant cette valeur de v à celle de R qui est donnée par la formule {20) p on voit que 'Ces <teqgt pr obab i lit é s' fié, diflEèfrent l'une de l'autre que par leurs derniers termes , et sont , en conséquence, à peu près-égakSé Maïs nfiiand 4e nombre 44*" der épnuvta iutares nW pas très petit par rapport au nombre iul des épreuves déjà faîlaa, lies termes ambigus des limites de n' auxquelles répondent ces probabilités 4r et R ne sont pas les mêmes , et les limites dont m elt la probabilité peuvent être beaucoup moins resserrées que celles dont la probabilité est R.

Eu effet, si la probabilité « diffère peu de la certitude, on pourra, dans les limites auxquelles eHe se rapporté, mettre pour n' et m' leurs

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aaS

valeurs approchées et très probables^ et 5t j ce qui changera ces limites en celles-ci :

A étant le rapport de ft' à /i. Or, en les comparant à celles du n* 83, auxquelles répond la probabilité R, on voit que pour une même va-

leur de u f elles sont plus étendues dans le rapport de |/r + A 2i l'unité. Pour les rendre aussi étroites que celles de ce numéro , il feu-

drait diminuer u dans le rapport de l'unité à \/i +h; ce qui diminuerait aussi leur probabilité et la rendrait moindre que R. Quand h sera une très petite fraction, les formules (ao) et {24), coïncideront à très peu près, ainsi que les limites correspondantes des valeurs de n\ Ce résultat s'accorde avec celui que j'avais déjà trouvé d'une autre manière , dans le mémoire cité plus haut.

La formule (a4) exprime aussi la probabilité que la différence

-7 sera comprise entre les limites

OU égale à Tune d'elles, et qu'il en sera de même à l'égard de la différence -r -^ -7, en changeant leurs signes. Si donc on a pris pour u un

nombre tel que trois ou quatre , qui rende la probabilité «zr très ap* prochante de la certitude (n* 80), et si, néanmoins, l'observation

donne pour -r on -? des valeurs qui s'écartent notablement

de ces limites, on sera fondé à en conclure , avec une très grande prohabilité, que les chances inconnues des événements E et F ont changé, dans rinteivâlle des deux séries d'épreuves, ou même pendant ces épreuves.

On peut remarquer que pour une mâme valeur de 11 , et , par conséquent, à égal degré de probabilité, les limites précédentes ont la plus grande amplitude, quand ^ et y! sont égaux, et la moindre, lorsque

Tun de ces nombres est très grand par rapport à Fautre. Dans le cas de fA' = fA, ona aussi à très peu près m! =metn' ^=:n; Ce qui réduit le

2 ^mn

coefficient de w à ~^^--^-. Si, au contraire, /a' est très grand relative-

ment à fx; à cause de m' = — ^ et /i' = — , à très peu près, ce coeffi-

cîent se réduira à ^ — =r-, et sera moindre que le précédent, dans le

rapport de l'unité à y/s.

(88). Généralement, les deux événements contraires E et F, dont les chances inconnues sont p et g j étant arrivés les nombres de fois m et n dans le très grand nombi% fx d'épreuves; si deux autres événements contraires E. et F,, dont les chances également inconnues seront désignées par p. et q^ , ont eu lieu des nombres de fois m, et w, dans un très grand nombre (x, ou m, -+- n, d'é-

preuves; et si les rapports —et — ' diffèrent considéi*ablement l'un

de l'autre, ce qui aura lieu aussi pour - et -^, on devra regarder comme certain, ou à très peu près, que les chances p et p^ sont inégales, ainsi que 9 et 9,. Mais quand les ditférences ' et - — —,

sont de petites fractions, il est possible que les chances petp.^qetq^, ne soient pas sensiblement inégales, et que les différences observées proviennent de ce que, dans les deux séries de ^ et fx, épreuves, les événements ne sont point arrivés rigoureusement en proportion de leurs chances respectives : il sera donc utile de déterminer, comme nous allons le faire, la probabilité d*ane inégalité entre les chances inconnues p et /7, , q et 9. , correspondante à des différences données , peu considérables, égales et de signes contraires, entre les rapports

— et —, - et — .

Je désigne, comme dans le n^ 84 # par

2mn

une valeur de p qui s'écarte peu de —, de sorte que u soit une va-

SUR LA PROBABUiTfi J>S8 JUGEMENTS. 22S

riable positive ou nçgative, mais^tiès petile par rapport à Vf*. Soit de même

une valeur de p, peu diflSrente de p, et dans laquelle la variable p, ,

positive ou négative ^ est très petite par rapport à VMi* Supposons qu'on ait

TH. ffïï

J^étaut une pQjtite fraction /qui pourra aussi être posilÎYe ou négative. Noas aurons

en désignant cette différence par z , on en déduira

i'.= (cf<

et si c est une petite fraetion positive, et qu'il s'agisse de déterminer la probabilité que /?, excédera p d'une quantité au moins égale k t , il ne faudra donner a la variable z que des valeurs positives qui ne s«ent pas moindres que (.

Cela posé, les probabilité infiniment petites des valeurs précédentes de p et p^, seront Ydi^ et Vi^tft; le* coefficient Y étant dopné par la formule {2t), et Y. désignant ce que cette formule devient quand on y met jut., m,, /i|, if^, au lieu de/x^-m, n, v. La probabilité du concours de ces deux valeurs sera le produit de \dv et Ytd^i ; et si Ton appelle A la probabilité demandée, elle sera exprimée par une intégrale double , savoir :

Pour plus de simplicité je négligerai le second terme de la formule

(21); et il en rëstiltora

Si l'on veut substituer, dans cette intëgcation , la variable z à>', , il faudra prendre peur dp. la dîfféreatiellede 1» valeur précMente de i^. \ relative à 2; et , la variable v^ ëlant ici supposée croissante, il faudra, pour que z le soit aussi , changer le signe de rfi^, ; en sorte que Ton aura

On aura , en ojitre ,

L'intégrale relative ii v pourra s'étendre , conune dans les questions précédentes, depuis p = «— 00 jusqu'à i/ := 00. En faisant

^ \/f^^n%\n, +i^;^ mn (/^ j)y,3 1/~

les limites relatives à la nouvelle wiable x* seront encore rt od ; ridtégrale relative à z ne devra s'étendre que depuis 2 = € jusqu'à z = 00 ; et comnie on aura . - -

la valeur de a deviendra

Vii^iT L'-/)->^.l

Soit actaelleinent

faisons aussi

1^ étant une quantité positive , et en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que l'on aura e > J^ ou € < cf. Les limites de l'intégrale relative à t seront £ = db ic et 1 = 00 ; et si l*on observe qu^ Ton a '

on en conclura finalement

la première valeur ayant lieu quand la différence € — cT sera positive , et la seconde , lorsque cette différence est négative.

On doit observer cfu'ayaut négligé le second terme de la formule (^i), la probabilité du cas oii la diflerence Pt^^p serait précisément égale à € se trouve aussi négligée ; en sorte que A est la probabilité qu'on a Pj—p> 6^ et non pas qu'on ait />t — /^> *, ou />,—/?= i. Dans le cas de e^i^, la quantité u est nulle ^ et les deux valeurs de

A sont A ;k -| c'est-à-dire, qu^il y a un oontfe un à parier que /?, excède p d'une quantité pfus grand» que J".

Les fiormoles (a6t) serviront avssi à calculer la probabilité que la chance inconnue p. surpasse une fraction donnée. Pour cela , je fais, dans l'équation (^)f

fissoo, -«û», ^^— — co;

c. ,„,• 1. chang. .„ «Ue-cl

Mais le nombre p étant supposé infini , la chance -p est certainement

égale au rapport — "ou à la fractiop (o\ par conspuent , A est alors la

probabilité qu'on a /?«>£ + c?. En prenant ^ ptour plus de simplicité , & an lieu de € + a> , et mettant aussi f^ , m , n , à la place de f^i » ^n. , /k,> on aura m

et selon que la différeace c? — - -^ sera posihTe Ou négative , la pre->

mière ou la -seconde formule (a6) exprimera la probabilité qae la chance inconnue d'un événement arrivé, m fois y^ " dans un tfès gpand nombre (ion m + n d'épreuves , excède la fraction donnée a.

(8g). Afin de donner une application, numérique des diverses formules qu'on vient d'obtenir, je prendrai pour exemple l'expérience de Bufibn qui nous a déjà servi dans le n"*. 5o. ;

. L'événement E sera alors l'arrivée de croix, et F Farrivée de ji/fe, dans une longue série de projections d'une même pièce. D'iaprès c^te expérience , on a eu

iii=:ao48, w=i9^2, (i=sj^^Q,

pour les nombres de fois m et n que E et F sont anfivés dans le nombre fi d'épreuves successives. En substituant cm nombres dans la formule (19)9 et prenantes a, on aura < ^

sr / e'^ 'dt ss o^oo3^*> R ezso^goSSS.

On trouvera, en même temps ^

0,30693 =sr 0,0912^5,

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 22g

pour les limites de la valeur de p , auxquelles cette formule se rapporte ; en sorte qu'il y a la probabilité o^ggSôS , ou à très peu près 2^4 à parier contre un , que la chance inconnue p de l'arrivée de croix, estcomprfse entre 0,4^4^8 et 0,52918. Si Ton veut connaître

la probabilité qu'elle surpasse - , ou que la chance de croix est supérieure à celle de pile, on substituera les valeurs précédentes de fx, m, n, dans la formule (27) , et Ton y fera » s=s - ; en prenant le signe inférieur,, et par conséquent la seconde formule (i6)f on aura

1^5=0,62298, X:=o, 81045, I — Ass: 0,18967;

ce qui montre qu'il n'y a pas tout-à-fait cinq contre un à parier que la chance de croix soit plus grande que - -

L'expérience dont nous nous occupons peut être divisée en deux parties , l'tme composée de 2048 épreuves, l'autre en contenant 1992 ; dans la première partie, croix a eu lieu 1061 fois et pile 987 fois; dans la seconde partie, croix est arrivé 987 fois et pile ioo5 fois : or, d'après le résultat de l'expérience totale , et au moyen de la formule (24) , on peut aussi calculer la probabilité t]ue les nombres des arrivées de croix ou de pile ont dû être compris entre des limites données, dans les deux expériences partielles. Pour cela, on fera, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle répond,

c'est-à-dire que l'on y mettra pour les rapports -^ et -7 , qui ne sont

pas censés connus, leurs valeui^ approchées , résultantes de l'expérience totale; ce qui est permis, attendu que vu! et vl n'entrent que

dans des termes qui sont de l'ordre de petitesse de -^. On y mettra aussi pour fA le nombre total 4040. Relativement à la première partie

•v HSŒERCHES

l»'=:ao48; ^ ^^ .M .>% vtKi « comme plas haut, u = :2 , oo trouvera

.j^^ui '^ j^vJSabilîté que le nombre nf des arrivées de pile a du être . xH^t-H nx <^iv« les limites

iooi=p79;

^v v(ui a eu Heu effectivement, puisque pile s'est présenté 987 fois dans s.^hf jMvmière partie.

KeUtivement à la seconde partie , on aura

Aa' = 1992;

^ i^n prenant toujours i£ = 21 , on trouvera

|M>ur la probabilité que pila a dû arriver un nombre /)' de fois, com- (\i'is entre les limites

98a qp 77;

qui renferment, en effet, le nombre de fois ioo5 que pile est réellement arrivé. On néglige les fractions dans ces limites et dans les précédentes.

Supposons que Ton ne sache pas si la même pièce a été employée iUus les deux parties de l'expérience, et que Ton demande , d après leui^s résultats, la probabilité A. que la chance de croix , dans la première partie, excède d'une fraction donnée, la chance de croix ^ dauK la seconde partie. On fera d'abord, dans l'équation (aS) ,

fi, = 1992, m = 987, n = ioo5, ft, = 20^8, m, = 1061, n. = 987,

SUR LA PROBAMU'nÈ DES JUGEMENTS. aSi

et en outre

J^ = — ' — ~ =: o.oaaS?.

fil u ' '

Cette équation deviendra

« = ± (€ — o,oaa57) (44#956).

Si Ton fait , par exemple ^ € = o,oa , il faudra prendre le signe inférieur, et faire usage de la seconde formule (26)} on aura de cette manière

de sorte qu'il y aurait à peine quatre à parier contre trois , que la chance de croix serait plus grande d'un cinquantième , dans la première partie de l'expérience que dans la seconde. En faisant £=o,oa5y on devra prendre le signe supérieur et employer la première formule (^6); on aura alors

u = Oy 10925 9 A = o,^586ï^ I — A = o,56i 39;

et il y aurait moins de un contre on à parier, que l'excès dont il s'a* git surpasserait un quarantième.

(90). Je placerai ici la soluticm d'un problèaie, susceptible d'une application intéressante, et qui sera fondée sur les formules précédentes et sur un lemme que je vais d'abord énoncer (^).

Une urne A renfenne un nombre c de boules, dont a boules blanches et b boules noires, de sorte qu'on ait a-f- 6 = c. Ou en extrait d'abord an hasard un nombre / de boules, successivement et sans les remettre, ou toutes à la fois ; ensuite, on en extrait de même

(^) Depuis que la note de la page 61 est imprimée, on m'a fait remarquer que la proposition qu'elle renferme est comprise dans ce lemme^ dont j'ayais déjà fait usage pour la solution du problème du trente*ei^uaranté , citée à la page 70.

252 RECHERCHBS

un nombre ^t ou m + n d'autres boules; je dis que dans cette seconde opération, la probabilité d'amener m boules l^lanches et n boules ooi^es, est indépendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la première y et la même que si / était zéro.

En effet, supposons que Ton effectue les l + fi tirages successifs; f%oient i le nombre total des combinaisons différentes de /+ fi boules qui pourront arriver y i' le nombre de ces combinaisons dans les*quelles lespc dernières boules se composeront de m blanches et de n noires , i\ le nombre de celles dans lesquelles ce seront les ft pi*e* mières boules qui en renfermeront m blanches et n noires ; la chance d'amener m boules blanches et n boules noires , après une extrac-

tion de / boules quelconques , sera r , et la chance d'amener m

boules blanches et n boules noires , ayant qu'aucune boule ait été

extraite de A , aura ~ pour valeur ; or , les deux nombres i' et i, sont

égaux ; car, en général , une combinaison qui se compose de / bpules déterminées , Mivies de /jl boules aussi déterminées , et celle où ces fi dernières boules précèdent, au contraire, les / premières, sont toutes deux également possibles; et, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les /i dernières des / 4- fi boules extraites de A renferment m blanches et n noires , il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les a premières boules qui contiennent

ces nombres de blanches et de noires, et réciproquement. Les fractions

r et -', et conséquemmeut les probabilités qu'elles expriment , sont

donc aussi égales; ce qu'il s'agissait de démontrer.

On peut vérifier cette proposition de la manière suivante.

Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A étant a et 6, U chance d'amener m boules blanches* et n noires dans les m + ^ premiers tirages , est une fonction de a , 6 , m , n , que je représenterai par f(a, b, m, n). Celle d'amener g boules blanches et h noires dans les g -f- A premiers tirages sera de même y(a, b, g^ h) ; ces tirages ayant réduit à /ti — g et w — AJ les nombres de boules blanches et de boules noires que A renferme , la chancq^d'en extraire ensuite m blanches et n noires dans m-i^n ou jul nouveaux

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aS5

tirages^ aura pour expression y(a — gr b^^h^ m, n)',\e produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d'amener m boules blanches et n noires, après avoir déjà extrait de A» g boules blanches et h boules noires; par conséquent, si l'on fait la somme des /-f- 1 râleurs de ce produit, qui répondent à toutes les valeurs entières ou zéro de g et h, dont la somme est /, on aura lezpresslon complète de la chance d'amener m boules blanches et n noires, après avoir extrait de A un nombre l de boules quelconques. Cela étant, il s'agira de faire voir que cette chance est indépendante de /, et égale à f(a, b, m, n)f c'est à-dire de montrer que l'on a

la somme Z s'étendant depuis g = o et A = i, jusqu'à g* = 2 et hssio. Pour cela , j'observe qu'on a , d'après le n* 1 8 ,

f(a, b, m, 71) == tL-l-i^ -jy.: i,

en faisant , pour abréger ,

relativement à des nombres quelcpnques a et 6 , dont la somme est c. il en résultera

♦ à«» o) ^i^ — gf o — h)

ou, ce qui est la même chose,

au moyen de quoi , et de la valeur de f{a, 6, m, n), l'ëqnation qu'il s'agit de vérifier deviendra

!iS4 REGIIERCHES

en sapprimant le facteur f—l^, commun à tous les fermes de ses

deux membres; el comme aei b sont des nombres quelconques » on y pourra y si Ton veut, mettre a^n et ô-f-ni au lieu de a et 6; ce qui la changera en celle-ci

Or, son premier membre est le coefficient de ^^j^^dans le dévelop* pement de {x+jY; son second membre est le coefficient de :t*j^, dans le produit des développements de (x -hj^y et (x H- j")*"',ou dans le développement de (^+^)% comme le prenaîer membre; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques; ce qu'il s'agissait de vérifier.

(91). Supposons actuellement que les nombres a, b, a— m, a — n ^ soient très grands; les valeurs approchées de ç(m,n), ^(a^^m) ^ b — n), ^ (a, b), et ensuite celle de /{cif by m^ n), se calculeront au moyen de la série (3); et si Ion réduit cette séne à son premier terme, on en déduira une valeur de f{a, 6, m, n), que l'on pourra mettre sous la forme

en faisant , pour abréger ,

lirciir/i {a^'in) {b — n)

Lorsque m ein, et par conséquent aussi a — m et & -«^ /i, seront entre eux comme a et b , chacun des quatre derniers facteurt atteindra son maximum et aura Tunité pour valeur. Ils décroîtront très rapidement à mesure que m et n s'écarteront de ce rapport , et

deviendront tout*à-fait insensibles, dès que le rapport — ne différera plus très peu de^^; en sorte qu'il suffira de considérer la probabilité

exprimée far f (a , b, m, n), pour des valeurs démet n, à très peu près entre elles comme a et b. SI donc nous faisons

s«-ev^, n «^-f-Vë.

et conséquenomeot

nous pourrons considérer 8 comme une quantité positive on n^ativei

mais très petite par rapport à V^c,de manière que tt^ soit une très petite fraction , dont nous négligerons le carré, ainsi que toutes les quantités de Tordre de petitesse de -.

Cela pmë , nous aurons

cm te ^c en . îc Wc es 1 «-- — ^ — , *** as» I -f- — f— ,

et en négligeant les carrés des seconds termes de ces binômes, on trou< vera d abord , par un calcul semblable à celui du n* 85 ,

En mettant pour m et n leurs valeurs précédentes, cette formule devient ensuite

:i36 RECHERCHES

Oa trouvera de même

équation qui se déduit aussi de la précédente par le changement de m, /i, fA, en a — m, 6 — w, c — f*, et du signe de 8. De là on conclut, au degré d'approximation où nous nous arrêtons,

ou bien, en faisant

on aura, plus simplement

pour la chance d'amener les nombres m etn de boules blanches et de boules noires, exprimées

"" " ,fl__' s (ag)

Selon que le nombre fx sera pair ou impair , la différence n^^m sera aussi paire ou impaire. Si Ton désigne par i un nombre entier et positif, et qu'on représente Fexcês de n sur m par 21 ou 3/ — i , l'expression correspondante de /devra être, d'après ces équations (29),

en faisant, pour abréger,

a )/2 (c — ^)mabc

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aSy

et désignant par y l'une de ces deux quantités

(a — b)f Ui (à'- b)féc A

savoir : la première quand |x sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule {pS!)$ après qu'on y aura substitué cette valeur de t^ exprimera doncla probabilité que dans les i^ tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d'un nombre d*unités égal à 2Î ou 21 — i; par conséquent, si Ton y fait successivement 1 == i , = 3, = 5, • . . jusqu'à ce que l'exponentielle e^^* soit devenue insensible, ou, si l'on veut, jusqu'à î =: oo , et que l'on prenne ensuite la somme des résultats ; cette somme sera la probabilité que dans ces fx tirages , le nombre des boules noires excédera celui des blanches, d^un nombre pair ou impair quelconque d'unités. En la désignant par s^ nous aurons

Z indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de tç comprise» depuis < ^jr + aJ^ jusqu'à ^ = oo , et croissantes par des différences constantes et égales à aS"^ (^r,^ 2<r étant, par hypothèse, une très petite fraction, la somme Z pourra s'expFimer en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de cette différence. En effet, si l'on représente par T la fonction de t contenue sous le signe Z, et si l'on observe que cette fonction et toutes ses différentielles s'évanouissent à la limite ^ t=: oo > on aura , au moyen d'une formule due à Euler,

2T=± /" Trf^ - Ik^ îjA'+Ç?^V"-elc.;

A-, Ky k!", etc., étant les valeurs de T, — , ^, etc., qui répondent à t=.y. D'après les équations (39), on a d'ailleurs, au même degré

iZ8 RECHERCHES

d'approximation que précédecnment ,

ft'ab . <j»"(« — A)l/a(c — «iMaîc

ea ayant égard. à la. valeur de ^, il en rës.nlte

Vir 1- l^a (c ~-ft)fêabe

Ce-*'

V/2ir(c — fê^fêObc

les termes dépendants de Ai% A:'^, etc. y étant ainitipliés par H dans l'expression de s 9 auront. J^V^, etc.| pour facteurs, et devront être négligés; et à cause de

on ooBcliira de ces diverses valeurs

eii fiiisant, pour abréger,

6 j/air (o— /») /Mx6c

Soit (^ une quantité positive; sflon que la quantité > sera positive ou négative , prenons p as db ^ ; à cause de

yj^ er^'dt ss V^ — r* e-^ Vf ,

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aSp

nous aurons finalement

\/it J V

la première valeur de s ayant lieu quand on a >< o, et la seconde dans le cas de > > o.

En faisant I ss 7 dans la formule (a8) , et désignant le résultat par 9 9 on aura

pour la probabilité que dans le nombre fi de tirages 1 les nombres m et n de boules des deux couleurs seront égaux entre eux, et à la moitié de fx; ce qui n'est possible que quand f^ est un nombre pair. (9a). Après avoir extrait fi boules de A, supposons que Ton en extraie y! autres, puis fx'' autres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre c de boules que cette urne renferme, de sorte qu'on ait

c = p + fi' + f*" -ff*'" 4- etc. ; .

supposons, de plus, que chacun de ces nombres fx', \k\ etc , soit très grand , ainsi que fx; et désignons par s\ 5", etc., ce que devient ^, en jr mettant successivement p', jx", etc., au lieu de p, et faisant usage de la première ou de la seconde formule (3o), selon qu'à l'origtne des tirages, le nombre h des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre a des boules blanches , contenus lun et l'autre dans A ; ce qui rendra la quantité y négative ou positive. D Câpres le lemme du n" 90 , les chances d'amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules /x, V^t V^'f ^^<^*i seront 1^ quantités s y s', /', etc.; en sorte qu'elles ne varieront qu'à raison de l'inégalité de fi, fi', fi", etc., et seraient toutes égales, si ces nombres étaient égaux. Soit r la moyenne des valeurs ' de s, s', y, etc., c'est-à-dire,

en représentant par a le nombre total des tirages. Si Ton suppose encore que Cl soit très grand, et si l'on appelle/ le nombre de ces-tf tirages dans lesquels les boalcs noires excédeix>nt les blanches, la probabilité que/ se trouvera compris entre des limites données, sera la même , en vertu de la première proposition du n^ 5a, que si toutes les chances s, /, s", etc., étaient égales entre elles et à leur moyenne r. Par conséquent, en mettante, r, i— r, .au lieu defx^ ç^p, dans la formule (17), nous aurons

R= I ^ n€-''dt +

V^2war(l — r)

pour la probabilité que le nombre / sera contenu «ntre les limites

ar qp u V^aar (1 — r) ,

ou égal à Tune d'elles ; u étant un petit nombre par rapport à V %•

Telle est la solution du problème que nous nous proposions de résoudre. L'application dont elle est susceptible se rapporte aux élections des députés dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste.

Le nombre des électeurs, dans la France entière, est représenté par Cl celui des électeurs qui ont une opinion, par a; celui des électeurs de l'opinion contraire , par h ou c — a. On partage le nombre total c en un nombre a de collèges électoraux , dont chacun élit un député, de telle sorte que le député élu dans un collège soit de la seconde ou de la première opinion, selon que le nombre des électeurs appartenant à l'une ou à l'autre y sera prépondérant. Cela étant, on demande la probabilité R que le nombre / des députés qui appartiendront à la seconde opinion, sera compris entre des limites données, en supposant que le partage des électeurs en un nombre a de collèges, soit fait au hasard, cest*àdire en supposant qu'on prenne au hasaixl sur la liste générale, un nombre fx d'électeurs pour former un premier collège, un nombre f^' pour former un second collège, un »utre nombre f^' pour

en former un troisième , etc. ; et si l'on prend pour les limites de / celles que l'on vient d'écrire» la probabilité demandée R s'exprimera par la formule précédente.

Quoique chaque collège électoral se compose des électeurs d'un même arrondissement^ et non pas d'électeurs pris au hasard sur la liste générale» ainsi que nous le supposons» il peut être utile cependant de savoir ce qu'il arriverait dans cette hypothèse; c'est ce que nous allons montrer par des exemples.

(93). En France» le nombre des collèges électoraux» égal à celui des députés» est 4^9» et l'on peut évaluer à environ 200000 le nombre total des électeurs. Je supposerai que tous les nombres (x, [jLy II', etc.» soient égaux; en prenant pour fi un nombre impair» je ferai

ct= 4^9» fil = 455, c = afx=: 199665.

Je supposlerai aussi qu'on ait

a = 94635» b = io483o;

de sorte que la différence entre la majorité et la minorité soit à très peu près le vingtième du nombre total des électeurs. La quantité y sera négative; on fera donc p :=: — y} en prenant la seconde des deux valeurs de 7 du n"" 91 » il en résultera

i; = o»77396» 77=- /7^'"^^ ~ ^' ■ ^^^ ' et» en vertu de la première formule (3o)» on aura

La chance d'une élection dans le sens de la majorité des électeurs surpasserait donc |j; et la minorité^ quoiqu'elle ne diffère pas beaucoup de la majorité» ne pourrait guère espérer d'élire plus des ï^ des députés. En mettant ces valeurs de ^ et ï — ^ à la place de ret i — r dans l'expression de R du numéro précédent»

faisant « ss 45g, et prenant u ss 2, on troave

pour la probabilité que le nombre des députés élus par la majorité, serait compris entre les limites Sga =p 31, et ceux delà minorité entre les nombres 67 db ai. L'amplitude de ces limites est considérable relativement au nombre a, parce que et n'est pas* extrêmement grand.

Je suppose toujours que la difierence b — a soit k peu près le vingtième de c; mais je prends pour 11 un nombre pair. Je fais, en conséquence,

« = 459» fA=456, c:=: a(i ss 20012^9 et, en outre«,

13 = 95064, bssz io5o6o.

On aura toujours i' = — 5^; mais i! faudra prendre pour y la première valeur du numéro 91. De cette manière, on trouvera

V = 0,74006 , -^ J^er^'dt = o, 1 4764; et il en résultera

s =0,84379, I — s sss 0,15721.

Mais fx étant un nombre pair, le cas de tu =1 n est possible; d'après la formule ^5i), sa chance est a =s o,oaai8; et si l'on en ajoute la moitié à la valeur de ^, on a ^ = o,85588; quantité très peu inférieure à celle qui a lieu quand fx est impair.

Afin de montrer l'influence de l'inégalité des nombres d'électeurs

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. !i43

dans les différents coUëges^ je supposerai que la moitië da nombre total des électeurs soit répartie également dans le tiers des collèges, et l'autre moitié dans les deux autres tiers.

Pour appliquer les formules précédentes au premier tiers, je ferai alors

l^ssiSS, fjt=654, ^ «fjL = 1 00062 ; et, pour les appliquer aux deux derniers,

I a = 3o6, fA = 327, -f a/x = 100063.

Je supposerai , en outre ,

a= g5o62, b = io5o62, c = 200124»

de manière que la différence entre la majorité et la minorité soit toujours à peu près un vingtième du nombre total des électeurs. Dans le premier cas^ où fA est un nombre pair, on trouve

dans le second , où fA est impair, on obtient

f = 0,81981; il en résulte donc

pour la chance moyenne d'une élection dans le sens de la majorité ; laquelle surpasse on peu, comme on voit , celle qui a lieu quand tous les collèges sont composés d'un même nombre d'électeurs.

Lorscpie la diffiérence b — a entre la majorité et la minorité vient à augmenter, la cbance des élections dans le sens de la minorité diminue très rapidement, de telle sorte qu'elle est bientôt presque nulle. Pour le faire voir^ je suppose les électeurs répartis en nom-