U RECHERCHES
bres égaux dans tous les collèges; je prends pour «, fi, c, \e& mêmes nombres que dans le premier exemple ; et je fais, en outre ,
ce qui rend la différence b — ah très peu près le dixième du nombre c, et double de ce qu'elle était dans cet exemple. Je trouve alors
s = 0,98176, I — J = o,oi8a49
en sorte que la chance d'une élection dans le sens de la minorité n est plus que d'à peu près un soixantième. A cause de la petitesse de s^ c'est à la formule du n* 81 qu'il faudra recourir pour déterminer la probabilité P que le nombre de fois qu'une telle élection aura lieu dans le nombre total des collèges électoraux, ne surpassera pas un nombre donné n. En faisant, dans cette formule,
on en déduit
ce qui fait voir qu'il y aurait à peu près cent à parier contre un que la minorité n'élira pas plus de 1 5 députés. En élevant la différence entre la majorité et la minorité à Soooo, c'est-à-dire aux trois vingtièmes du nombre total des électeurs , on trouve que la chance I — ^ s'abaisserait au-dessous d'un millième, et qu'il serait fort probable que la minorité n'élirait pas un seul député.
S'il en était ainsi, le gouyernement représentatif ne serait plus qu'une déception , puisqu'une minorité de 90000 sur 200000 électeurs ne serait représentée que par un très petit nombre de députés, et qu'une minorité de 85ooo n'aurait plus qu'une très faible chance d'avoir un interprète dans la chambre élective. U suffirait que dans l'intervalle de deux sessions , trois vingtièmes de la totalité des électeurs changeassent d'opinion, pour que la chambre entière passât de la
droite à la gauche, d'une opinion à Topinion contraire. Mais les électeurs dont chaque collège est composé ne sont pas pris au hasard , comme notre calcul le suppose , sur la liste des électeurs de toute la France; et dans chaque arrondissement, l'opinion prépondérante se forme et se maintient par des causes particulières , telles que les intérêts de la localité , l'influence du Gouvernement et celle de quelques citoyens. Toutefois, il était bon de signaler l'extrême mobilité que le hasard pourrait produire dans la composition de la chambre élective, pour de très petits changements dans la proportion des électeurs qui ont une opinion et de ceux qui appartiennent à l'opinion contraire.
^*^*»»^^»\»w»v»%»»> vv\vv>fv\^ i vw<%v^v»)t i v»ft/v>avtftvy i'> f > r> '¥i P'' i ^''V > *^ ii ^'v >' v i n* i *>**'^** i *** > **^********'*************** *^^ v»<^^^^a<»^^»^^
CHAPITKE IV.
Suite du calcul des probabilités qui ilépendent de tfés grands nombres.
(94). Nous allons maintenant nous occuper des formules relatives aux chances variables; ce qui nous conduira à démontrer les trois propositions générales énoncées dans les n"^ 5a et 53 , et dont nous avons conclu la loi des grands nombres.
Considérons une série de a& ou m + /i épreuves successives , pendant laquelle les chances des deux événements contraires E et F varient d'une manière quelconque. Désignons ces chances par/), et 9, à la première épreuve , par p^ et q^ à la seconde , par p e\q à la dernière ; de sorte qu'on ait
Appelons U la probabilité que E et F arriveront suivant un ordre quelconque , m fois et n fois. D'après la règle du n® :io , U sera le coefficient de ii*v" dans le développement du produit
Or, si l'on fait
le terme U«£*i^ de ce produit deviendra Uef" "" '•)'V^— ', et tous les autres
termes renfermeront des exponentielles différentes de e('" — '•)'^—'; d'où l'on conclut qu'en désignant ce produit par X , en le multipliant,
ainsi que son développement , par e^ (* — «^ï/— 1 ^ ^ et intégrant ensuite depuis :r = — tf jusqu'à x :s:i ir^ tous ces autres termes disparaîtront , et l'on aura simplement
f^^ Xe-('»-»)'V^^=a7rU;
ce qui résulte de ce que si i et i' exprimant deux nombres entiers, positifs , négatife ou zéro, dont le premier sera i z=:m — n, on aura
n ^ e'''V^ a-^ V^^A»rj ^[cos(i'-i>+sîn(i'-i> \/^rfx=io, quand i et i' diffiéreiont l'un de l'autre , et, en particulier,
dans le cas de 1' = i.
Nous aurons , en même temps ,
. wpi+ t^j=cos.r4-(/?i~^,)8inxV/~i5 et si nous faisons
cos*a: 4. (^ — ç^*sin* Jc = p,* , il y aura un angle réel r,, tel que l'on ait
— cosj? = cosri, - (f?i — .i^i) sin j: = sin Ti ;
d'où il résultera
«)^i + «^1 = rtC^'^~''
Le signe fi sera ambigu; pour fixer les idées, nous regarderons cette quantité comme positive. En Esisaot , pour abréger.
a48 RECHERCHES
le produit désigné par X deviendra
et nous aurons y en conséquence,
U=i — / YcosO — (m — n)T]dx + - / Ysinlj^ — (m — n)x]dx.
Pour des valeurs de x égales et de signes contraires, les valeurs de Ti le seront aussi , et celles de pi seront égales ; par conséquent , la seconde intégrale définie s'évanouira, comme étant composée d'éléments deux à deux égaux et de signes contraires; et cela devait être, en effet, puisque U est une quantité réelle. Pour des angles x suppléments l'un de l'autre, les angles Ti le seront également , d'après les expressions de cosTj et sin ri; la somme des deux valeurs de^ -— (m — n)x qui leur correspondront, sera donc (àw — ^ (m — n)7r on anTF, et conséquemment le cosinus 'de jr — (m — n)j: ne changera pas : il en sera de même à l'égard des valeurs de Y; en sorte que les éléments de la première intégrale définie , correspondants à x et TT — X, seront égaux, aussi bien que ceux qui répondent à x et — x» En supprimant donc la deuxième intégrale, réduisant les limites de la première à zéro et j tt, et quadruplant le résultat, nous aurons simplement
U =z^ f ^"^ Y co^Ij- — {m — n)x]dxr (i)
L'intégration indiquée s'effectuera toujours sous forme finie, parles règles ordinaires. Mais quand fx ne sera pas un grand nombre , cette formule ne pourra être d'aucune utilité pour calculer la valeur de U; quand, au contraire, ce nombre sera très grand, on déduira de cette formule, comme on va le voir, une valeur de U aussi approchée qu'on voudra.
(95). Chacun des facteurs de Y se réduit à l'unité pour x = o , et est moindre que l'unité pour toute autre valeur de x, comprise
dans les limites de riatëgration ; il s'ensuit que quand ft sera un très grand nombre , ce produit sera généralement une très petite quantité , pour toutes les valeurs de x qui ne seront pas très petites, et que Y s'évanouirait, pour toutes les valeurs finies de x, si fA devenait infini. Il n'y aurait d'exception que si les facteurs de Y convergeaient indéfiniment vers l'unité; car on sait que le produit d'un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantité de grandeur finie. A cause de
Cl' = I — 4péqiS\n^x,
cette circonstance supposerait que l'une des chances des deux événements E et F, ou leur produit p^t, décrût indéfiniment pendant la série des éjH^euves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas où ft est un très grand nombre, considérer la variable x comme une très petite quantité, et négliger la partie de l'intégrale précédente, qui répond aux autres valeurs de x.
En développant alors suivant les puissances de x^, on aura, en série très convergente,
p, s= I — 2p/itx^ + {\pfii — apVi)^ — ^^^f et, par conséquent,
log/i = — ^P^^x^ + (î Ml — ^Pfqfy^ — etc.; d'où l'on conclut
logY = — /î***x* + /x (i A:* — k!^)x^ — etc., en faisant, pour abréger,
Qilpq^ = fxA:*, ipEpiV = /**". etc.,
et étendant la somme Z depuis i ^ i jusqu'à î = f;:. Si l'on fait aussi
Sa
HitMKH
que Ton considère la nouvelle variable z comme une quantité très petite par rapport k \/(jt , et qu'on néglige les quantités de Tordre de
petitesse de -, il en résultera
D après les valeurs de fi et de sinri, on aura de même r, = (pt — q,)a: + f (^, q;) p^, x^ -j- etc-
Je désignerai par /? et ^ led chances moyennes de E et F pendant toute la série des épreuves, de sorte qu'on ait
la somme 2 s'étendant toujours depuis / = i jusqu'à i &e /a. Je ferai aussi , pour abréger,
^^ipi—qi)Piqi=h.
En conservant seulement les quantités de Tordre de petitesse de -î^, on en déduira d'abord
et ensuite
c6s[> — (m — /i)x]=cos(r^ V^/t)— -4sin(zg\//i), où Ton fait, pour abréger.
Je substitue ces valeurs de t «t cos [j — (m — n)x] dans la for-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. :i5i
mule ( ï ), et j'y mets -^ dz au lieu de dx; il vient
Le cas où les valeurs de pi et qi décroîtraient indéfiniment ayant été exclu. A:* ne peut être une très petite quantité; pour des valeurs de z
comparables i ^[x, Texponentielle e~"*''* sera donc insensible ; et quoiqu'on ne doive donner à cette variable que des valeurs très petites par
rapport à ^ii, on pourra maintenant, sans altérer sensiblement l'intégrale, l'étendre au-delà de cette limite, et la prendre, si l'on veut , depuis zsss o jusqu'à z = oo . D'après une formule connue , on aupa alors
en differentiant successivement par rapport à g et à A;, on en déduit
l r-.V («n ^ V;r)<fe=«^ (5 + f ' ■■
et aa moyen de ces valeun , celle de U devient
A raison de l'exponentielle e ^' , cette probabilité sera insensible dès que g ne sera pas de l'ordre de la fraction -^; mais à cause de
p-^^qrszx et m-f- /issfx, cette quantité g ne peut être de cet ordre de
petitesse , à moins que cela n'ait lieu séparéoient pour p -
qui sont d'ailleurs des quantités égaks et de signes contraires; si donc
Sa*.
RECHEIUIHES
on fait
m kê
la probabilité U n'aura de valeurs sensibles que pour des yaleura de &, positives, négatives ou zéro, mais très petites par rapport à \/f*, et il en résultera finalement
pour la probabilité que les nombres m et n auront pour valeurs
sspii^^k \/yL, n = qfi+ik s/F',
c'est-à-dire, des valeurs qui s'écarteront très peu d'être proportionnelles aux chances moyennes p et q et au nombre /x des épreuves.
(96). Pour que metn soient des nombres entiers, il faudra que
soit un multiple de — j^.ou zéro* En faisant 8= o dans la formule (a),
kYfê
on aura — j=r pour la probabilité que m et n seront précisément entre eux comme p et q. En désignant par t une quantité positive, multiple de -—T^i faisant successivement dans cette formule Os=— -^et8 = ^;
et ajoutant les deux résultats, leur somme —s=se"*'' exprimera la pro'
babilité que m sera l'un des deux nombres pfA =p kt V/T, et n l'un dedeux nombres ç/bt dz kt s/p,. Soit
kv-^ ^'
désignons par u un multiple donné de S" ; faisons successivement, dans la somme précédente, / = cT, = aJ^, = S^T, . . . . jusqu'à ^ 5= a; représentons par R la somme des résultats , augmentée, de îa valeur de U
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a53
qui répond i d := o; nous aurons
R = -4= H ^ Se—,
pour la probabilité (fae les nombres m et n seront compris entre les limites
ou égaux à l'une d'elles.
La somme Z se rapportera aux valeurs de / comprises depuis t:szj' jusqu'à tss u, et croissantes par des différences égales à cT; mais on pourra la remplacer par la différence des sommes de e^'% prises depuis t=s ^ jusqu'il ^ = 00 y et depuis tz^ u+ J^ jusqu'à ^ = oo . Au moyen de la formule d'Euler, déjà employée dans le n* 91 , cette dernière somme, multipliée par cT, aura pour valeur,
au degré d'approximation où nous devons nous arrêter, c'est-à-dire en négligeant le carré de J^. Si l'on y fait u =s o, on aura aussi
pour la somme étendue depuis t s=z J" jusqu'à ^ = oo et multipliée' par J^. Par conséquent , si l'on retranche de cette dernière quantité la précédente , et qu'on divise par J^ , on aura
Se-*'
iVï-J/V-'*- ; + :«-■.
pour la somme comprise dans l'expression de R; et en ayant égard à la valeur de cT, cette expression deviendra
Lorsque les chances p^ et qi sont constantes et conséquemment égales aux moyennes p et 9, on a A; =s \/2pq; ce qui (ait coïncider cette formule (3)^ et les limites précédentes dl& m et n, avec
a54 RBCHERCHES
la formule (17) du n? 79, et les limites aux^pidles elle rëpcnid« Cette coïncidence de deux résultats obtenus par des méthodes aussi différentes, pourrait servir , au besoin, de confirmation à nos calculs. En prenant pour u un nombre peu considérable, tel que trois ou quatre^ on rendra la valeur de R très peu différente de Tiinité. Il est donc à peu près certain que dans un très grand nombre /a
d épreuves, les rapports — et - s'écarteront très peu des chances
moyennes peï q, dont ils approcheront da plus en plus^ à mesure que pt, augmentera encore davantage , et avec lesquelles ils coïncideraient rigoureusement si ^ pouvait être infini ; ce qui est déjà la première des deux propositions générales du n* 52,
(97). Soit maintenant A une chose quelconque, susceptible de plusieurs valeurs positives ou négatives, et que nous supposerons des multiples d'une quantité donnée io» Ces valeurs seront comprises depuis euû jusqu'à Sa> inclusivement, de sorte que € — « -f- i soit leur nombre ;aet€ désignant des nombres entiers ou zéro , dont le second surpassera le premier, abstraction faite du signe : on aurait é =s A , si A n'était susceptible que d'une seule valeur. Nonnseulement à chaque épreuve que l'on fera pour déterminer A , toutes les valeurs possibles seront inégalement probables^ mais on supposera, pour plus de généralité , que la chance d'une même valeur varie d'une épreuve à une autre. Si n est un nombre quelconque , compris entre a ei€f ou égal à l'une de ces limites, on désignera donc la chance de la valeur ncû de A , par N, à la première épreuve , par N« à la seconde épreuve, etc. Cela posé, s étant la somme des valeurs de A qui auront lieu dans un nombre [i d'épreuves successives, il s'agira de déterminer la probabilité que celte somme sera comprise entre des limites données.
Appelons d'abord n la probabilité qu'on aura précisément s = mœ , en désignant par m un nombre donné, compris entre aetC, ou égala l'une de ces limites. Si l'on forme le produit
XN,r . 2N.f"* . SNs^"* . . . 2N /"•,
dans lequel t est une quantité indéterminée , et les sommes S s'étendent à toutes les'Valeurs de n , depuis ts s= a jusqu'à n ss f ; et si Ton
développe ce prodoit suivant les puissances de ^, il est aisé de voir que n
sera le coefficient de f^ dans ce développement. Cela est évident^ dans le casdefAsi. QaandfA=2| si l'on représente par n'cù^X n^'œdenx exposants de t prb, Tan dans la première et l'autre dans la seconde somme 2, il est évident que la valeur 77iis> de A pourra arriver d'autant de manières différentes que l'équation n' '^n'* = m aura de solutions distinctes , en prenant pour nf et n" des nombres compris depuis a jusqu'à €; la probabilité de chacune de ces manières sera le produit des valeurs de N, et Ng, qui répondent à chaque couple de nombres n' et ri'; par conséquent , la probabilité totale de j = mcù aura pour expression
le coefficient de f^ dans le produit des deux premières sommes 2. Ce raisonnement s'étendra sans difficulté aux cas de fi = 3, s= 4^ ^^^- Lorsque toutes les quantités N,^ N., N9, etc., sont égales, leur produit se change dans la puissance fi de l'un des poljnomes qui répondent aux sommes Z, et ce cas a été considéré dans le u"" 17.
Cela étant, par une considération semblable à celle qu'on a employée plus haut, si nous faisons
et si nous désignons par X ce que deviendra le produit des fi sommes 2, nous aurons
Soient actuellement îet i^ deux nombres^ donnés, et P la probabilité que la somme s sera comprise entre io» et ^cù , ou égale à Tune de ces limites; la valeur de P se déduira de celle de n en y fidsant successivement m zsi ipssi'i»^ p sssii «f- 2,. . • • sa. i'; et la Mflime
des vdeiin correspondantes de e— "^t^^ ayant povr expression
avÎD r 9
il en résultera
— ! — rk L^ •■•e I.
a56 RECHERCHES
Pour simplifier cette formtile, je supposerai que a» soit un infiniment petit; je prendrai, en même temps, pour i et i' des nombres infinis; et je ferai
îâi = c — î, i'cù = c -t- €, :=3 mXj de = mdx;
ceti étant des constantes données, dont la seconde sera positive, afin qu 09 ait a > I, comme le suppose Texpression de P. Les limites de l'intégrale relative à la nouvelle variable x seront =k oo . On aura sin ^ 9 «= ^ cêx; et en négligeant zhj par rapport à i et à f, cette valeur de P deviendra
P=rp Xe -'V^ sin €x ^. (4)
Les valeurs possibles de A croissant actuellement par degrés infiniment petits, il faudra supposer leur nombre infini, et la probabilité de chacune d'elles infiniment petite ; en désignant par aet b des constantes données, et par z une variable continue, on fera donc
aa» =^ a, €o9 :=: b, ncê ss zi on aura , en même temps ,
et Ton fera aussi
N, = ûp/tz, N. =c »/,2, N, =s «/,a, etc.
Chacune des sonunes Z contenues dans X se changera en une intégrale définie, dont aeib seront les limites; et en pi^nant œ pour la différentielle de z, on en conclura
pour le produit de /ea facteurs qu'on devra substituer dans la formule (4) à la place de X.
(98). Cette foflmule ezpriiiera la probabilité que dans le nombre fA
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a57
d'ëpreuyes^ la somme des valeurs de A se trouvera comprise entre les quaotitës données c «- - i et c -f" ^* A. la n^*^* épreuve^ la chance infiniment petite d'une valeur z de A e&ïfjuiz \ et toutes les valeurs possibles de A étant, par hypothèse , comprises entre a et 6, et Tune d'elles devant avoir lieu certainement à. chaque épreuve, il faudra qu'on ait
y^ fjuiz — I ;
la fonction y.z pourra d'ailleurs être continue ou discontinue, pourvu qu'entre ces limites a et 6, elle soit une quantité positive.
Si la chance de chaque valeur de z ne change pas pendant les épreuves , la fonction fji sera indépendante de n ; et en la représentant par fz on aura
Si , de plus les valeurs de A sont également probables , fz sera une constante qui devra être , , pour satis&ire à la dernière équation. En faisant
azsih — g^ b
on aura donc
au moyen de quoi la formule (4) deviendra
J^ sin tx
OU simplement mr
^^.if:{^î~--(^-^)-^'
parce que la aeconde intégrale s'éranonit comme étant composée d*élémeots qui sont deux à deux égattx et de signes contraires , et que ceux de la première sont deux à deux égaux et de mêmes signes.
L'exposant fe étiant un nombre entier et positif, je Tais faire voir que œtte valeur de P s obtiendra toujours sous forme finie , en réduisant la puissance fx de sing.r, en sinus ou cosinus des multiples degXf au moyen des formules connues^ savoir :
2f'sin^SX9x(^tyr cwf^x — f* cos(fA — 2)gx + ^^~^cos(fi—4)gx
— ^'^Z%.7 ^ cos (fi — 6) gx 4- etc.], ^f'sivfgx^^—if ^ ' [^sinf<gx— Msin(f*— 3)g'a:+^î^^^
bin ( /A — 6)gx + etc. H ,
qui Mut compoiéas chacune d'un nombre fini de tenues, et dont la première a lieu quand le nombre jx est pair, et la seconde lorsqu'il est impair.
(99). Pour cela, j'observe que l'on a , comme on sait.
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur , selon que la constante y sera positive ou négative. Soient « et 5, deux autres quantités positives; mettons C« et Qdx à la place de «r et ^, ce qui ne changera rien aux limites de l'intégrale ; nous aurons
— - — ax =3= - TTl
et en maltipliaqt par dS^ et intégrant eocvite depnis C ss i jusqu'à
SUR LA FROBABIUTÉ DES JUGEMENTS. aSg
€=s tifilen césultera
fJ^(conyx^ cos ayx) ^ = :p 1 ;r ( i — «)>. (8)
Cette éqaation subsistera évidemment pour ^ = o , quoique celle dont elle est déduite n'ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier
cosetyx — et
/* dx
I cosyx—y dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison ,
il n'est pas permis de les considérer isolément , et de changer la variable X dans Tune^ sans la changer dans l'autre. Ainsi, en mettant
X dx
-et — à la place àe x et dx dans la première, elle deviendrait
co&yx-^i et en divisant les deux membres de l'équatioii pré-» cédente par i -*a, on aurait
/••* dx I *
ce qui serait absurde. La même remarque s'applique a toute intégrale, comme le premier membre de l'équation (8) , qui a une valeur finie , résultante delà différence de deux intégrales infiaies.
Je multiplie cette équation (8) par - dy ; puis j'intègre ses deux
membres, en assujétissant leurs intégrales à s'évanouir quand > = o; ce qui donne
En intégrant une seconde fois de la même manière, il vient
^6o RECHERCHES
une troisième et une quatrième intégration donneront de même
et en coatinuant ainsi , on parviendrait à des équations de cette forme
UX^>-^^ " -.>o],^- =*(-.)•-'(.-.) r^.
^ r r COS»yX . , ,^-1 dx ;(^-')
la première répondant au cas oùfi est un nombre pair, et la seconde au cas où fi est impair. Les quantités C et C sont des constantes déterminées, qui dépendent de tf et>, et dont les expressions, faciles à former, nous seront inutiles à connaître.
Je mets successivement, dans chacune de ces équations, >+€ et> — g au lieu de >; et par la soustraction des résultats, j'en déduis
D et D' étant des constantes diflFérentes de C et C. Je mets encore suc-
c««.vement > + (jt a„)^ et >~ (;* - an)g à la place de ,,; etpar 1 addition des résultats dans la première équation, et la soustraction
dans la seconde y il vient
IL [coa(^-^'»)^«osy«in«^i2î!l^^
=P (y + /i^ — aiijr — O^ip (> — /i^ + an^ — 0^] ,
=F(y + ^— ang— O^'it (> — /«^+a/i^— 0^];
E et E' désignant aussi des constantes différentes de D et D'. En donnant à n les valeurs successives 0,1,2,3^ etc. ; faisant, pour abréger,
cosfcgo: — ffccos (ft— a)grx+ ^'[V cos(fi — 4)8^
^.^. .^-a cos (^ 6^^ ^ etc. -] co.rx ,in «: .
i^s^sin/jLgx —f4sm{/A—2)gx + ^^£=^ sin(;t — 4)gx
-sin(/x — 6)grx + etaJ — ^;:i; — ;
et désignant par uf et / ce que deviennent i^ et p, quand on y change X en ax , on déduit des équations précédentes
2da RECHERCHES
F et F' étant encore des constantes différentes de Eet E'. On a £ûty dans ces dernières équations ,
et Ton a désigné par r', ce qne V derieot quand ovi y change le signe de g I, et par F^ et r]^ ce que deriennent F et F' par le changement du signe de €. Or, en renversant l'ordre des termes de F' et F/, qui sont en nombre fini, il est facile de voir que Ton a F' = F et F/ = F^ quand fx est pair, F' ?c — F et F/ = — F^ quand /x est impair; au moyen Jp quoi les équations précédentes deviennent plus simplement
4 r r^,^^^4,(i=ll)Flj;^0-->)(-0- (r-r.)
» / o L Xf^"^^ J* 1.2.3...^ '
ijo L ^ »^« J^^ . 1.2.3...^
Dans chacune des deux quantités F et F^ que ees équations renferment, on devra, d'après l'origine des doubles signes de leurs différents termes, prendre le signe supérieur ou le signe inférieur d'un terme quelconque » selon quç la quantité qui s'y trouve élevée à la puis-* sance \l sera positive ou négative.
Maintenant y en vertu des équations (7), on a
^ — = (—0 a^y^ sin/«ga:cos>xsin«c-jj^^,
vdx , vS^'*"") « /*• . . dx
J — =s (— i) 2^ f sinf^gxcosyxsinex
rH-t^
Les intégrales contenues dans les seconds membres de ces équations sont d€S qq^iitités finies; les intégrales f ^ et T —^etpar suite,
celles qai s'en déduisent en y mettant u! et p' au lieu de u et p, ont donc aussi des valeurs finies ; par conséquent , la remarque relative à Féquation (8) ne s'applique plus aux équations (9). Or , en met-
tant 2 et — à la place de x et dx^ dans les intégrale^ <]ui répondent à il' et f/, QOHs amyins
au moyen de quoi etdes formules précédentes, les équations (9) se changent on celle-ci :
Mais l'intégrale / — x; étant infinie, ces dernières équations ne pour*
raient pas subsister, si les constantes F et F' n'étaient pas nulles; il faut donc qu'on ait identiquement F = o et F' =s o; ce qu'on pourrait d'ailleurs vérifier, si cela était nécessaire. Cela étant , les deux dernières équations se réduiront à une seule , savoir :
qui aura lieu pour les deux cas de /i pair et dep impair; et si l'on y fait et qu'on ait égard à la formule (6) , on en çondun finatement
»(^^=rbît:i' («•)
264 RECHEELŒES
pour réquation qai fera connaître la valeur de P sous fomie finie, et qu'il s'agissait d'obtenir.
(loo). Dans le cas de fJL=:i, ou d'une seule observation^ P est la probabilité que la valeur de A qui doit , par hypothèse ^ être comprise entre les limites données a et 6, ou h — g et A+g, le sera, d'après l'observation, entre les limites aussi données c — iet^-f-6. Si ces dernières limites renferment les premières, on devra donc avoir P = i ; si, au contraire , ce sont les dernières limites qui sont renfermées dans les premières, P devra être le rapport de Fin lervalle 2é des dernières à l'intervalle 2g des premières ; si les dernières limites tombent toutes deux en dehors de l'iatervalle des premières , il faudra qu'on ait P = o ; si c — 6 tombe dans l'intervalle de ^ -— g et A -f- g, et c + een dehors, P devra être le ratpport de l'excès de A -f- g sur c — ea l'intervalle 2g ; et enfin , si c'est c + € qui tombe dans l'intervalle de h — g et £ + S^> et c *- é en dehors, il faudra que P soit le rapport de l'ex^s de c + ^ sur A — g à l'intervalle 2g. Ces cinq valeurs différentes de P^voir :
se déduisent effectivement de Téquation (lo), qui donne
pour fA = I . On aura , en même temps , }^ s= ft — r , et par suite
Dans le premier des cinq cas qu'on vient d'énoncer, on aura c-4-i> À+getc — 6<A — g; lés quantités comprises entre les parenthèses seront positives dans T et négatives dans V^ ; il faudra , en conséquence, prendre les signes supérieurs dans F et les signes infé* rieurs dans T^ ; et il en résultera
r = ag, r^ = — 2g, P = I,
Dans le second cag, on aura A-|-g>c-f-€etA-^g <c — c;on devra prendre les signes supérieurs des premiers termes de F et F^ , et les signes inférieurs de leurs seconds ternies ; de sorte que Ton aura
Fs aA*— ac-f*acy F.ssaft— ac — 26, P = -.
Dans le troisième cas , nous aurons h — g>*c4-c; on devra prendre les signes supérieurs dans F et dans.F^ ; ce qui donnera
Fcsag, T,^2g, P = o.
On pourra aussi avoir , dans ce troisième cas f h^ g ^c — €;ce qui exigera qu'on prenne les signes inférieurs; les valeurs de F et F^ changeront donc de signe, et Ton aura encore P =: o. Dans le quatrième cas, noua aurons r— 6 > A — g, c — €< A +g, c + 6> A+ g; il £iudra prendre les signes inférieurs des deux termes de F^ , le signe supérieur* du premier terme de F^ et le signe inférieur de son second terme ; dV>ù il résultera
r=:aA~acH-a«, r, = -ag, P = *±^:i±î.
Enfin , dans le cinquième cas, on aura c -^ <<<^ *"* g» ^ -t*£> A-— g, c -f- € < A -f- g. On prendra, en conséquence , les signes supérieurs des deux termes de F , le signe supérieur du premier terme de F^ , et le signe inférieur de son second terme; ce qui donnera
r=:ag, r, = aA-ac-ai, P=i±^^*±5.
La vérification de la valeur de P relative au cas d'une seule observation j peut aussi se fiiioe sur cette valeur générale, donnée par la formule (4)* Dans ce cas, si Ton regarde^ comme une fonction discontinue, qui soit nulle pour toutes les valeurs de s non comprises entre les limites données a et 6; la probabilité P que la valeur de A
aG6 RECHERCHES
derra tomber entre les limites c :^€, sera évidemment
Or, pour ft = I , on a, d'après les formules (5) et (4) ,
^'-fy^'f^. p=i/j:,(/>-»^/^>-~''-s,,>«s,
et eu intervertissant l'ordre des intégrations relatives à a: et z, et faisant disparaître les imaginaires , cette expression de P pourra s'écrire ainsi
Mais on a, comme plus haut ,
selon que la constante y est positive ou négative ; hi différence des deux intégrales relatives à x sera donc nulle ou ^ale à ^^ selon que les deux quantités c + < — zetc-*- c— z seront de mêmes signes ou de signes contraires ; par conséquent, l'intégrale relative à z se réduira à zéro pour toute valeur de z qui sera, ou plus grande que c -f- 6 , ou plus petite que c — c; elle ne devra donc s'étendre qu'aux valeurs de z comprises à la fois entre a et 6 , et entre c — t et c -f- € ; et puisque nous regardons/^'z comme nulle pour toutes les valeurs de z qui tombent hors des limites a et 6 , la valeur de P se réduira à l'intégrale àùffidz^ prise depuis Z3sc^->€ jusqu'à c + <; ce qu'il s'agissait de vérifier. *
(loi). Lorsque jx sera un très grand nombre, on pourra, par des transformations semblables à celles du n* gS , changer la formule ( 4 ) en une autre qui fera connaître la valeur approchée de P.
Observons d'abord que la formule (5) peut s'écrire ainsi
Faisons ensuite
i,=»sinr.;
il y aura un angle réel r., tel que l'on ait
^ ff^QOsxz^zsiCOsr^, jj J'j^ûaxzjdz, et si Ton fait aussi, pour abréger,
la yaleur précédente de X deviendra
X = Yc^V^.
En la substituant dans la formule (4), on aura donc
p — 1 r^Ycos(/— cx)sin4r — + ^^-y^YsinC^— cjc)siniar — ;
et comme les éléments de la seconde int^rale sont deu? à deux égaux et de signes contraires, et ceux de la première , deux k deux égaux et de marnes signes, cette valeur de P se réduira à
Vzsi^J Ycoe(7 — cx)siniaf— . (11)
Four X =s o , on a pa = t ; et pour tonte autre valeur de x, celle
a68 tm
¥UJ^[i¥U:^
de f. est moindre que rnnite. En effets Pezprenoii de p\ peut évidemment se changer en celle-ci :
laquelle esl équivalente à
quantité moindre que/ j f^zf^dzd:^, on qae J Jjuiz. T ff^zfib^, pour tonte valeur de or différente de Tunité; et, par conséquent, moindre que Tunité , puisqu'on doit avoir f fjidz =i et J Jj^djf := i.
Cela posé , le nombre y^ étant très grand, il s'ensuit que dès que la variable a: ne sera plus très petite, le produit Y, ^al à Ëuité
u^Pn
pour or :^ o, se réduira, en général, à une très petite fi^PBon qui serait tout-è«-fait nulle si /a pouvait devenir infinL En faisant id)6traction , comme dans le n"* gS, du cas particulier où Y convergerait vers une quantité différente de zéro (*), nous pourrons donc ne donner à or, dans l'intégrale que contient la formule (ii), que de très petites valeurs, à la limite desquelles la valeur de Y soit insensible; de sorte qu'en faisant
la variable 6 pourra être supposée infinie à cette limite; et qu'en substituant cette variable à x dans l'intégration, on devra prendre zéro et l'infini pour les limites de l'intégrale relative à 8.
Pour exprimer jr et dx au moyen de et dB, je dévdoppe les valeurs précédentes de f.oosr. et f.sinr. suivant le» puissances de x. En
(^) Pour rezamen de ce cas particulier et des singularités qu'il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems, de 1827 « et que j'ai déjà tîté ( n* 60 ).
metUnt la lettre z au lieu de z, sous les signes/^ et fiiisant
nous aurons, en séries convergentes,
f.oosr. = « - il*'.H--£L^A«'.-etc.,
p.sinr. = arA, — j-^ A". H- etc.
En faisant aussi
î(*'. - **.) = »., g (A^.- 5*^.+ 2*».)=^., etc.,
on dëdnira de ces séries
f , ^ I — x*A, -f- Â*/^ — etc., r. xs «A. — ap*g. + etc.;
et de cette valeur de f . , oa déduira ensuite ' «
logp. =5 — »•*. -H a«(4 — i A*.) — etc.
Fafions encore *
^k,ssiiJcf 2A, = fiA, . 2g, as figr, 2 (t — i A*,) = pi, etc. ;
les sommes Z s'ëtendant, ici et dans tout ce qui va suivre, dq)uis 7i=f juscpi'k n =± fA • nous aurons
logY = — fl* = — x^iih -f- ^1^ — etc,; d'où Ton tire
^ di , adê , ,
et l'on aura en filiale temps
>j:iwiîw;ix
^ — ex = ( pA: — c>r — j^^ + etc. , cos(jr — ex) ss cosQtk — c)x + r/=f 8ia(f«:— c)a>f- etc. Au moyen de ces direrses valeurs, la formule (ii) devient
P=^r (r^CM{iik — c)x^(x^
^^f^ e*-^Mn(|jA— .c)xsm€a:.ô'dÔ,
en négligeant les termes qui seraient c^ visés par fA, et conservant x à la place de sa valeur sous les sinus et cosinus. Si nous prenons
cz±iik, • '.
cette formule se réduira k
en supposante quç le rapport de € à vV ^^ ^i^ P^ ^t^ grand nombre, ce qui permet de réduire la valeur de &r à son premier terme
-^. Or, ok étant «me QOi£5taiitetindélMioitiëe> on a, d'après une formule connue ,
re-»-co6^de-V^«~^; .
en multipliant par -^, et intégrant depuis a =o jusqu'à « = £, on
en déduit et en faisant
SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. tji
et oinenraDt qu'on a ■
il en résultera enfia
pour la probabilité que dans un tiès grand nombre fx d'épreuves, la somme s des valeurs de A sera comprise entre les limites
/ExA; =fr 2u \/^y ou , ce qui ^st la même chose , pour la probabilité que les limites
comprendront la valeur moyenne - de A, résultante de ces ju épreuves
successives.
(loa). En donnant k u une valeqr peu considérable, qui rende néanmoins la formule (i 3) très peu différente de l'unité, on en conclura que le
rapport - différera probablement fort peu de la quantité k j et comme
cette quantité représente la somme des valeurs possibles de A , multipliées par leurs chances respectives à chaque épreuve , et divisées par le nombre fn des épreuves, c'est-à-*dire la somme de ces valeurs multipliées respectivement par leurs chances moyennes, il s'ensuit que cette conclusion coïncide avec la propositibn du n* 53 , qui se trouve ainsi démontrée dans toqte sa généralité.
' Ainsi, dans un très grand nombre fe d'épreuves, il y aura toujours une probabilité très approchante de la certitude, que la valeur moyenne
de A différera très peu de la quantité k : la différence - — A: diminuera
2n2 HBCîISRGHflS
ndëfinimeni à mesure que (t augmentera de plus en plus, et sqrait toutà-fait nulle si ce nombre devenait iqfini.
Si Ton construit une courbé plane dont z ^fju soient les coordonnéescourantes, elle représentera la loi de probabilité des yaleunde A dans la n'^' épreuve , en ce sens que l'élément fjuh de Taire de cette courbe sera la probabilité infiniment petite de Ja yalfur de A exprimée par l'abscisse z. La courbe dont les Goord#nnées courantes sont z
et - 2/I2 représentera de même la loi de probabilité moyenne des
valeiîTS de A^ relative à la série des fx épreuves; l'intégrale F f^^
étant Tunité ^ Taire totale de cette courbe ^ depuis z ss a jusqu'à z == 6, sera aussi Tunité; et si Ton appelle t^ Tabcisse de son centre de gravité , on aura
en sorte que cette abscisse est la quantité k vers laquelle converge , dans tous les cas , la moyenne des valeurs de A. Cette quantité sera zéro toutes les fois que par la nature de kr cbose A, ses valeurs égales et de signes contraires seront également probables dans chaque épreuve, c'est-à-dire lorsque Ton aura/| (— - z\:=ijlz, pour toutes les valeurs de n et de s.
La constante h devra être une quantité positive, pour que les li-
mites de ~ soient réelles. C'est aussi ce que Ton peut ÊMslement véri-
fier. En eiet , d'après ce que A. représente , et parce que jfjifdzf = i j on peut écrire
2K^ f\^f.zdz.f'f^'d7! ^ f'zfjdz.fyj^dU, ou, ce qui est la même cbose, *
OU bien encore
ce qui donne ^ en ajoutant ces deux dernières équations ,
4*. = fj^ {z - z')%zf.z'dzdsi .
Or, cette valeur de 4^« est évidemment positive , et ne peut pas non plus être nulle , puisque tous les éléments de Tintégrale double sont positifs ; par conséquent , il en sera de même à l'égard de la somme Z^. e1 de h.
Le cas le plus simple est celui d une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A, pendant toute la série des épreuves. Quel que soit n, on aura alors
aGn que cette valeur constante de^i^z satisfasse à la condition i f^zdss=i\ ; et il en résultera
Les limites de - dont la probabilité est P, seront , en conséquence ,
et se réduiront à sp -T^t lorsqu'on aura a 5= — - &. En prenant, par
exemple (n* 8^),
u ss 0,4765,
il sera également probable que la moyenne - se trouvera comprise en dedans ou en dehors des limites (0,389) "7=- 9 ^^ ^^ ^'^° a fi =600 , il y aura un contre un & parier que - ne s'écartera pas de zéro , d'une
quantité plus grande que la fraction ^^^ — de 6, i très peu près égale
à (o,Of6)&.
Ce cas est celui d'un point M qui doit tomber à chaque épreuve sur une droite dont la longueur est 2b , et où Ton suppose toutes les positions de M sur cette droite également probables : P est alors la probabilité que dans un très grand nombre /t d'épreuves, la distance
moyenne de M au milieu de cette droite n'excédera pas la fraction
ai* 77^ de sa demi-longueur 6. Si M devait tomber à chaque épreuve
sur la surface d*un cercle du rayon b, et que Ton supposât également probables tontes les distances égales du point M à son centre, il est évident que la ^TobBbiliiéfjulz d'une distance z serait proportionoelle à z; en la supposant constante pendant les épreuves , et observant que toutes les distances possibles seraient comprises entre zéro et bf il faudrait prendre yis = ^ pour satisfaire à la condition J f^zdz = i ; de cette manière, on aurait
et P serait la probabilité que dans le nombre ft d'épreuves, la moyenne
des distances du point M au centre serait comprise entre les limites
afr ub
(io5). Quoique nous ayons supposé (n* 97) la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites a et 6, mais inégalement probables, les formules que nous avons obtenues n'en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité; et pour cela, il suffira de considérer comme des fonctions discontinues , les fouclionsy] s, ^ ,^ , etc. , qui expriment les lois de probabilité des valeurs de À dans les fi épreuves successives.
Soient, en effet, c., c«, c^,.. . c,, un nombre f de valeurs de s comprises entre a et 6; supposons que la fonction y^s soit nulle pour toutes les valeurs de z qui ne sont pas infiniment peu différentes de Tune de ces quantités c., c^, Ct,. • • c,; en désignant par / on infiniment petit, supposons aussi quon ait
KHf-'^^y^ fllllf-^'-^y T,llU''^=>^''
de cette manière , A oe sera susceptible que des v valeurs donuées c^ , r., C31. . • c,y dont les probabilités respectives seront 7m %» ><>••>, à la n'*** épreuve , et pourront varier d'une épreuve à une autre, c'està-dire avec le nombre n. Mais Tune de ces valeurs devant avoir lieu certainement à la n'*"' épreuve , il faudra que Ton ait
pour toutes les valeurs de n^ depuis n = 1 jusqu'à nzs/A. Cette somme des quantités y^f % , 73 , etc. , sera d'ailleurs la valeur de l'intégrale
I JmZdz, et cette équation remplace laconditionA fj^^s, i.
Pour un indice quelconque 1 , on a identiquement
fz^f^zdz = Ci^ff^zdz + 2^1/(2 — Ci)f^zdz +f(z — CiYJ^zdz.
Si l'on prend ces intégrales entre les limites C|=p ^, celles qui renferment le facteur z -«— C| sous le signe /s'évanouiront, puisque entre ces limites, ce facteur est infiniment petit, et les autres auront y^ pour valeur. On aura donc
d'où l'on conclut
J ^ zf^zdz = J..C, -I- y^c^ -f. y^^ +•• •+ >,c,, j^^z%7dz^ >.c,*-f- 7.C/4- >3^*fH-...+ >,c*,;
au moyen de quoi les quantités désignées par k et h dans le n^ lOi, deviendront
les sommes 2 s'étendant au nombre /a des épreuves. Par conséquent ^ la formule (i3) exprimera la probabilité que la somme s des valeurs de A, dans cette série d'épreuves, sera comprise entre les limites
/ik::^2ul//ih, dans lesquelles on mettra pour Âr et A les valeurs que l'on vient d'écrire , et qui seront faciles à calculer, quand les p valeurs possibles de A et leurs probabilités respectives seront données pour chaque épreuve.
Si ces probabilités sont constantes et, de plus^ égales entre elles;
leur valeur commune sera -, et Ton aura simplement
Supposons j par exemple , que les valeurs possibles de A soient les six numéros marqués sur les faces d'un dé ordinaire, que Ton projette successivement un très grand nombre de fois représenté par fi ; abstraction faite de la petite inégalité qui peut exister entre les chances de ces six faces , on aura
d'où il résultera
en sorte que la formule (i3) exprimera la probabilité que la somme s des numéros qu'on amènera dans les fi épreuves successives, sera comprise entre les limites
En prenant c<=s 0,476$ et fi = 100, il sera également probable que dans 100 épreuves, la somme s sera comprise ea dedans ou en dehors des limites 35o q= 1 1 ,5.
(104). Maintenant considérons, comme dans le n* 5a, un événement E
d'aue naturequelconque, dont larrivée puisse être due à un nombre v de causes distÎDCles, quî s'excluent mutuellement et qui sont les seules passibles» AppeloQSCes causes C, , G», Cj, . . .G, ; soient Cj la chance que la cause Q donnera à l'arrivée de E^ quand ce sera cette cause qui interviendra^ et ^j la probabilité de son intervention. La chance de E pourra varier^ en conséquence, d'une épreuve à une autre : ce sera une chose susceptible de v valeurs différentes, c., c., c^, • • . c^f dont les probabilités respectives seront >,9 >«« >3> ••• >fi et demeureront les mêmes tant que les causes C|, G,, G31 • • . G,, ne changeront pas. En prenant donc cette chance pour A , il y aura la probabilité P^ donnée par la formule (i3), que sa valeur moyenne, dans un très grand nora-
aul/ï
bre ft d'épreuves, sera comprise entre les limites â q= — ~-, où l'on
mettra pour k et h, leurs premières valeurs du numéro précédent, appliquéesaucasoùlesquantitésc,, c^tCs^etc, ^i,^g, >sretc., demeurent constantes pendant les épreuves; cequi changera ces valeurs en celles-ci :
et les rend, comme on voit, indépendantes du nombre fi, quels que soient d'ailleurs le nombre et l'inégalité des quantités qu'elles renferment. Et comme on peut donner à u une valeur peu considérable, qui rende la probabilité P très approchante de la certitude, il s'ensuit que la moyenne des chances de E qui auront lieu pendant la série d'épreuves, différera probablement très peu de la somme des v produits >,c,, 7ftC., etc., dont elle s'approchera indéfiniment à mesure que le nombre i^ augmentera encore d'avantage; ce qui est la seconde des deux propositions générales du n* 5a, qui nous restait à démontrer.
Dans deux séries composées de très grands nombres /x et fi d'épreuves, si Ton représente par m et m' les nombres de fois que l'événement E ar-
rivera, les rapports — et -r s'écarteiH)nt probablement fort peu (n*96)
des chances moyennes de E dans c^ deux séries; il est donc aussi très probable qu'ils différeront très peu de la valeur précédente de k,
aj8 RECHERCHES
et^ par coDséqueat, TandeTautre^ puisque cette valeur de k sera com^ raune aux deux séries d'épreuves , si , toutes les causes C. ^ C., C3 , etc., n'ont pas changé dans l'intervalle. Mais quelle sera la probabilité d'une
petite différence donnée entre ces rapports — et ~r ? C'est une question
importante dont nous nous occuperons dans un des numéros suivants.
(io5). Dans la plupart des questions auxquelles la formule (i5) est applicable y la loi de probabilité des valeurs de A est inconnue , et, par conséquent , les quantités A: et A , contenues dans les limites de la valeur moyenne de A, ne peuvent se déterminer à priori* Mais au moyen des valeurs de A observées dans une longue série d'épreuves, on pourra éliminer les inconnues que renfermeraient les limites de sa valeur moyenne , dans d'autres séries également composées d*un grand nombre d'épreuves , et pour lesquelles les diverses causes qui peuvent amener toutes les valeurs possibles de A, sont les mêmes que pour la série dont on aura employé les résultats, en entendant par de mêmes causes, celles qui donnent la même chance à chacune de ces valeurs , et qui ont elles-mêmes une égale probabilité. La sor lution complète de ce problème est l'objet des calculs suivants.
Je fais c=z=6 dans la formule (12); il en résulte
P=s i r e-«"sin (^fi kx)Y^'^ f ^^* sin ( 2€X — /ikx) -j -^ r^'e-s- cos (At*a?)6*^6+— ^ r**e-^*cos(aij:— Aefcr)9^€/e,
pour la probabilité que la somme s des /x valeurs de A sera comprise entre zéro et hî. On en conclu t que la différentielle de P par rapport à €, savoir :
exprimera la probabilité infiniment petite que s aura précisément at
pour valeur. Je fais aussi
je désigne par ^md^ la valeur corrrespondante de -y- dt^ dans laquelle je néglige les quantités de Tordre de petitesse de-, ce qui permettra d'y réduire x aflbremier terme —r=. de sa valear en série fn* lo i): il vient
et à cause de
f «r-»* cos(avfl)rfB = i V^r e-*^,
cette valeur de vds^ prendra la forme
V désignant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de i^, et qui nlnfluera pas, quel qu'il soit d'ailleurs, sur le résultat de nos calculs. Cette expression de mds^ sera donc la probabilité de la somme s égale à la valeur précédente de 2€, ou bien en divisant, par ;4, ce sera la probabilité de 1 équation
dans laquelle 9 est une quantité positive ou négative , mais très petite par rapport à v/f^*
J'appellerai maintenant C, , Cg, C». . . Q , toutes les causes, connues ou inconnues^ qui s'exduent mutuellement, et qui peuvent donner à A une des valeurs dont cette chose est susceptible : et je désignerai
38o RECHERCHES
P^^^^t^^tyys» •••>,> leurs probabilités respectives, dont la somme
sera égale à Tunité , et dont chacane aurait une valeur infiniment petite, si le nombre de ces causes possibles était infini. Les valeurs possibles de A étant toutes celles qui sont comprises entre a et h^ et, conséquemment, en nombre infini^ la chance de chacune d'elles, provenant de chacune de ces causes, sera infiniment petite. Je représenterai par Z|££s la chance que C| donnerait, si cette cause était certaine, i la
valeur js de A. L'intégrale T zf^zdz, relative à la n'^' é0euve, sera
donc une chose susceptible des v valeurs j zZ^dz^C ^jlz^,..j iL^^
dont les probabilités seront celles des causes correspondantes; en sorte que yi exprimera, à une épreuve quelconque, la chance de la valeur
r 2Z|e/z. Par conséquent, la probabilité infiniment petite d'une valeur
de la moyenne- 2/ zfjuhj se déterminera par la règle précédente,
qui convient à la moyenne - des valeurs d'une chose quelconque, dans un très grand nombre )x d'épreuves : s sera alors la somme des fi va-» leurs inconnues de j rfuzdz^ qui auront lieu dans cette série d'épreuves, et les quantités qu'on devra prendre pour A: et A, se détermineront d'après les v valeurs possibles de cette intégrale ,
Of, en prenant ces y valeurs C zZ^dZf j zZ/h^.,. f zZ,^2,
pour celles que l'on a désignées par c., c.,, • • c, , dans le n* io5 , et faisant , pour abréger,
où la caractéristique S indique une somme qui s'étend à tous les in-
dices i depuis/ = i jusqu'à f ss y , ce sont, d'après les formules de ce numéro , les quantités yetÇ, indépendantes de fi yqu'il faudra prendre pour k et h. Si donc on désigne par ^, une quantité positive on né-r
SUR LA PROBABUilTÊ DES JUGEMENTS. a8i
gative, très petite par rapport k \//a; que Y, soit un polynôme qui ne contienne que des puissances impaires de 9,i et que l'on fasse
■'A=i^(.-^i^V,).-Vv,
cet infiniment petit ^^9^ sera la probabilité de l'équation En considérant de même la quantité
\[lz%2dz -"^{fl^JMz)',
comme une chose susceptible des v valeurs correspondanles aux causes C| y C« , . • • C, , et dont les probabilités , à chaque épreuve , seront celles de ces canaes mêmes; désignant par 9^^ une quantité positive ou
négative 9 telle que le rapport —^ soit une très petite fraction, et par
V^^ un polynôme qui ne contienne que des puissances impaires de % ; faisant ensuite
et, pour abréger,
et = l s>./ Vz^fe- 1 s>. {fl^\
cette expression de ^ffi^ sera la probabilité que la moyenne des it valeurs de la quantité dont il s'agit , savoir :
ne différera de « qac d'une quantité déterminée, de Tordra de peti-
lesse de -^ , et qu'il non^ sera inutile de coqnaltre. ETailIears cette
moyenne n'est autre chose que la quantité A du n' loi ; si donc on né* glige les quantités de Tordre de -, il suffira de mettre a au lieu de hj
dans le second terme de la valeur précédente de - , qui est déjà de For-
dre de —rr : de cette manière, on aura
et la probabilité de cette équation serait encore ^dv, si la valeur de h que Ton a employée était certaine. Mais cette valeur n ayant qu'une probabilité ^ifi%t dépendante de la variable Vf^ qui n'entre pas dans
la valeur de-, il s'ensuit que la probabilité de celle^^ci auca pour ex**
pressieip». comi^làte.) leproduil ds: mé^ et de la soainse des valeuvs de ^f/i^,^ 9 correspondantes à toutes celles que FjOii peut donner à 9^.
Or , quoique ces valeurs doivent êtreti^ès petites par rapport à V^ft , on pourra néanmoins , k raison de l'exponentielte (r- ^^^ facteur dfe ^^fi^f étendre l'intégrale de ^ffls^^ sans l'altérer sensiblement , depuis (^«B — 00 jusqu'à p^^ = 00 j la partie dépendante de V^ disparaîtra comme étant composée d'éléments, deux à deux égaux et de signes
contraires; et l'on aura simplement / ^jis^^^sz i. Par eooséfuent^
la probabilité de l'équation précédente sera toujours mds^, comme si la valeur approchée de h dont on a fait usage ^ eût été certaine.
On peut aussi remarquer que la moyenne - Z / zfjuiz n'est autre
que la quantité ^ du n^ loi ; l'expression de4fjdi^^ est donc la probabi*» lité que la valeur de cette quantité sera
SUR LA PROB^MUTÉ OIS JUGEMENTS. »8S
doBc «n «tibstrioâiit cette yaleur dans ceUe de -. ce qui donne
la probabilité de cette dernière équation ^ pour cbaque couple de valeurs de p et (^^^ sera le produit de €itd9 et mridv,f que je représenterai par 0* , de sorte qu'on ait
en négligeant le tettiie qui aurait \l pour diviseur.
Désignons par fi une variable positive ou n^ative, très petite,
comme p et f^^, par rapport à \/fl; on^poonra fiûre
• et si Ton veut remplacer ^^ par cette nouvelle variable, dans la formule différentielle précédente , il y faudra mettre , an lien de v, et dv^ , les valeurs
ce qui la changera en ceOe-ci
*\ VI* ^ Vê '
dans laquelle T «stan poljmomejinnreDaot de Y «t V^, etdwil diaqae tem^ contient nne puannoe impaire de p on de 0. L'éqoation
ne tenUfrmMmt pins que la TariaUe , il s'ensuit que sa prdMbifité
a84 RECHERCHES
totale sera la somme des valeurs de a , relative à tontes les valems positives ou négatives que Ton peut donner à l'autre variable if. De
plus y k raison de l'exponentielle que renferme l'expression de o' , il sera permis d'étendre cette intégrale , sans en altérer sensiblement la valeur 9 depuis (^ = -— oo jusqu'à p = oo . Alors, en faisant
yy^TT^ tV»^t dt^v^rç ï __ jH
et désignant par T', ce que T deviendra en fonction de et 0^ , nous aurons
les limites de Tintégrale relative à la nouvelle variable G, seront encore =k 00 ; en repr^ntant donc par i/\d6 sa valeur infiniment petite , il en résultera
pour la probabilité de l'équation (i4); ® étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de fi.
Il s'agira actuellement d'éliminer l'inconnue a + € de cette équation (i4); ce qui sera possible, comme on va le voir, parce que l'expression de a + f se réduit à
et ae trouve indépendante de la somme ^i( f zZ^zY, qui était contenue dans cbacune des quantités et et b.
(]o6). En appliquant à - y z%zdz le même raisonnement qu'à cette qualité diminuée, comnie dans le numéro précédent, de - r/^ç/iizdzj, et désignant par i ç sa valeur moyenne, de sprte
Sm LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a85
qu'on ait
il y aura la probabilité Wg/tv^^que - S^i / z^Zdz ne différera de p, que d'une quantité déterminée et de Tordre de petitesse de —^ Déplus, en
négligeant toujours les termes qui ont - pour diviseur , on verra aussi, comme dans ce numéro , qu'il sera permis d'employer, dans l'équation (i4)f - 9 au lien de cette partie- Syt f z^Z^dz de la valeur précé-
dente de a -|" ^ 9 sans rien changer à la probabilité «dO de cette équa* tion. L'autre partie de la valeur de « -f* ^ étant exactement la quantité ^ ^*, on aura donc
au moyen de quoi l'équation (14) deviendra d'abord
Cela posé, soitZune fonction donnée de z. L'analjsedes n**97 et loi, et par suite, l'expression de <o*ift^ du numéro précédent, s'étendront sans difficulté à la somme des valeurs de Z qui auront lieu dans les /a épreuves que nous considérons. 11 suffira de prendre au lieu de A , une autre chose A^ dont les valeurs soient celleade cette fonction Z. La probabilité infiniment petite d'une valeur quelconque de A^ sera la même que celle de la valeur correspondante de z, et s'exprimera, en conséquence, ^tfjulz à la n'*' épreuve; et si l'on désigne par k^^ h^, g^^ etc., ce que deviennent relativement 11 A^, les quantités A, A, gp etc., du n* ici , qui se rapportent à A, on aura
lik,^:LpZfMz, FA,= 2[//Z'/.«fe~(/^'z/5;«fe)'],etc. Donc, en appelant s,^ la somme des /a valeurs de A^ qui auront lieu
dans la série d'ëprenTes, rinfiaimeot petit ^mdv sera la probabiliité l'on aura prédséiiieiit
Mainteoant, si nous fidsons Z =;= z*, nous aarons
an degré d'approximation où nons nons arrêtons^ oo pourra donc
prendre ^ pour la valeur^e^^, dans TeiqMreasion preoédentede -; et i'oa
s'assurera ^ comme dans le numéro précédent , que la probabilité de cette expression ne changera pas; en sorte que vM sera toujours la probabilité infiniment petite de Téquation
