âT

? = > + 17= V/tt - =^-'

ou de celle-ci »

s 6 /%s^ us*

qui se déduit «de la rpséoédente» en négligeant tongomv les quaailîlés de l'ordre de petitesse de -. '

Je représente par A« la valeur de A qui a eu ou qui aura lîea 1 la 71^"' épreuve.; et je fris, pourahr^rt

i SA. as A., ; SCà. - Kf ^ i/*-

On aura identiquement

''«i2X%. - = -2A., '^— ll = i2^A.-A)*;

SVR LA PROBAHLTIfi DB JUGEBIENTS. 287

aa aM»7«n de <|oo») r«q«âtion précédente deviendra

Or , on ooDclnt dtf là que si l^oa désigne par ii une quantité positiTe et donnée , l'intégrale de la probabilité fui& de cette équation , prise de^ pmsâsstf jusqn'k Os=3«^«y exprimera la probabilité que la valeur

de - tombera entre les limites

■ ■ ■■ >^ri

En appelant T cette dernière probabilité, et ayant égard à l'expresaion de ^JUj on aura

et comme est un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de 6 , la seconde intégrale sera nulle , et Ton aura simplement

résultat qui coïncide avec la probabilité P donnée par* la for* mule (i^.

Ainsi 9 cette fommle exprime la probabilité que les limites zp -yz,

qui ne renferment plus rien d'inconnu après les épreuves^ comprendront

la différence entie la moyenne - des valeurs de A et la quantité spéciale

y, dont cette moyenne approche indéfiniment » et qu'elle atteindrait si fA devenait infini , sans que les causes CcC^^Q, •••€,, des valeurs possibles de A changeassent jamais.

(107). Supposons actuellement que Ton fiisse deux séries d'un grand nombre d'épreuves, qui sera représenté par fi dans l'ope de ces séries et par ftf dans l'autre. Soient s et y les sommes des valeurs de A

D^M;i:M;fi<;K

dans ces deux séries; soient aussi X. et \'^ les Talears de A qui auront ou qui ont eu lieu à la n"^' épreuve ; et' faisons

Isa. = A. ?2 (A. - A)» = i^,

^, 2A'.«= X', ; 2 (A'. ~ A')* = \ir';

les sommes 2 s étendant à toutes les épreuves de chaque série , c'està-dire, les deux premières depuis nss i jusqu'à nsssfip et les deux der* nieKs depuis n=i jusqu'à n=:/À!. Si les causes C. ^ Q ^ C3 , . • . C, , ne changent pas d'une série d'épreuves à l'autre , la quantité y du n* io5 ne changera pas non plus ; en d&ignant alors par 6 et h' des variables

positives ou négatives , mais très petites par rapport à \^ et s/pt'j les équations relatives aux valeurs moyennes de A dans ces deux séries , seront

et leurs probabilités respectives ifciB et )iW auront pour ^Lpres*sions

9 et 0' étant des polynômes qui ne contiennent que des puissances impaires de 6 et 6'. De plus , si les séries se composent d'épreuves diffé-

rentes, on pourra considérer ces valeurs de - et -7 comme des évé-

nements indépendants l'un de l'autre j et par la règle du u^ 5, la probabilité de leur arrivée simultanée sera le produit de n^ et y{dSi. Ce sera aossi la probabilité d'une combinaison quelconque des deux équations (i5)^ et, par exemple, de l'équation que l'on obtient en les retranchant l'une de l'autre , savoir :

Ainsi, enlMésignant par 4 le produit r^idM^y et négligeant le terme

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aSg

qui annit VÂV^' povr divitenr , nous aurons

4eVi— -4-0— 4^0'V "••-*"<«<*»

pour la probabilité de Fécpiation précédente, relatiTement à chaque couple de valeurs de et O'.

Pour suivre ici, la même marche que dans le n*" io5, je fais

V7' VJ^ Vf? '

ce qui change cette équation en celle-ci :

7 ? ™ Vf?

Je remplace G dans >[^, par la nouvelle variable < ; et pour cela , je &is

d'où il résulte

n étant un polynôme dont chaque terme renferme une puissance im-

paire de t ou de 6. La valeur de - — -7 ne renfiermant plus que la

variable t , sa probabilité sera l'intégrale de 4 étendue à toutes les va^ leurs que Ton pourra donner à Fautre variable ; et à cause de l'expor nentielle contenue dans 4» ^^^ intégrale pourra s'étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis 6 = — oo jusqu'à 0=s 00. En faisant alors,

et désignant par n' oe qoe H denendra , noos aaions

. 4 = i(i-ir)e-'^-'-dfe'iô^

les limites de Tiiitëgrale xelativeà if seront encore ^ s= =F^ S ^^^ ^^^ repr&ente par }^dt la probabilité infiniment petite de la yatenr précédente de -7 — -> on anra

T étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de i. Enfin, si nous représentons par u une quantité positive et donnée, et

par A la probabilité que cette difierence -7 — - - tombera entre les li«

mites

nous aurons

\/wJo ^

ce qui coïncide avec la valeur de P donnée par la formule (i5). Par conséquent, cette quantité P est la probabilité que la différence entre les valeurs moyennes de A dans deux longues séries d'épreuves, tombera entre ces limites qui ne contiennent rien d^inconnu.

Après avoir pris pour u une valeur suffisante pour rendre cdle de P très peu différente de Tunitéi si Tobservation donne pour cette diffi^

renée -7*—-, une quantité qui tombe en dehors des limites précé-

dentés, on sera fondé à en conclure que les causes C. , Q, Ct, • • • C, , des valeurs possibles de A, ne sont pas restées les mêmes dans Tintervalle des deux séries d épreuves, c'est-à-dire qu'il sera survenu quelque changement, soit dans les probabilités >,, 7., >«, • • •>? y de ces causes, soit dans les chances qu'elles donnent aux différentes valeurs de A.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. agt

D'après oe qn'on a m dans le namëro prëoëdent , diaeime des^quantités / et l' devra différer très probablement fort peu d'une même quantité 2 v/o+^f inoonnne et la même dans les deux séries d'épreuves ; il est donc aussi très probable que les quantités / et f différeront très peu l'une de l'autre ; et sans changer sensiblement , ni la grandeur des li« mites précédentes, ni leur probabilité , on y pourra faire r=zL Dans une série d'épreuves futures y il y aura donc la probabilité P , donnée

par la formule (i5), que la moyenne -7 des valeurs de A , tombera en-

tre les limites

qui ne dépendent, pour chaque valeur donnée de u, que des résultats de la première série d'épreuves déjà faites.

Pour une même valeur de «, c'est-à-dire à égal degré de probabilité , on voit que l'ami^itude de ces limites est plus grande que celle

des limites de la différence y — ' , dans le rapport de \/;»+;a' à\/fi^

et que ces deux amplitudes coïncident à très peu près, lorsque /u' est un très grand nombre par rapport au très grand nombre /x.

(i 08) .Si les deux séries de /x et ^ épreuves ont pour objet la mesure d'une même chose, et sont faites avec des instruments différents, pour chacun desquels les erreurs égales et contraires soient également probables; les

valeurs moyennes - et -r, r&ultantes de ces deux séries, couver*

geront indéfiniment vers une même quantité qui sera la véritable valeur de A (n* 60J. Dans ce cas, l'inconnue y sera donc la même pour

les deux séries d'observations^ et les moyennes - et 4 différeront très

probablement fort peu l'une de l'autre; mais, pour ces deux séries, rinconnue « + C pourra être très différente ; ce qui rendra très inégales les quantités l et V. Les valeurs de ces quantités étant connues , on peut demander quelle est la manière la plus avantageuse de com*

biner les moyennes - et -7 , pour en déduire les limites de >, on de

la véritable valeur de A.

Pour trouver cette combinaison^ je désigne par g eig' des quantités indéterminées dont la somme soit l'unité, et j'ajoute les équations (i5), après avoir multiplié la jffemière par g et la «econde par ^^ ce qui donne

équation dont la probabilité est ^ale à 4 , d'après ce qu'on a dit plus haut, pour tous les couples de valeurs de fl et (K. Or, par un calcul semblable à celui qu'on vient d'eflèctuer, on en conclura que la quantité P, donnée par la formule (i5), exprimera la probabilité que la valeur inconnue de y soit comprise entre les limites

Si donc on veut que pour une même probabilité P, c'est4-dire , pour chaque valeur donnée de u, l'amplitude de ces limites, soit la plus petite qu'il est possible, il fendra déterminer g et g' en égalant à zéro la différentielle du coefficient de «, par rapport i ces quantités : à cause de g -I- g' s= I et ^' =5 — dfg, on en déduira

et les limites les plus étroites de y seront celles-ci

dont la formule (i3) exprimera toujonis la pn^bilité.

On peut facilement généraliser ce rânltat, et l'étendre à un nombre quelconque de séries d'un grand nombre d'observations, faites avec des instruments différents pour mesurer une même chose A. Les trois quantités fi» s,l, rqwndant à h première série, si l'on dœigne les quantités analogues par ^', s% /', dans la seconde série? parfi\s", /»,

SUR LA PROBÂNLITÉ DES JUGEMENTS. agS

dans la troisième; etc.; et si l'on fait, d'abord

et ensuite

la formule (i5) exprimera la probabilité que la valeur inconnue de A est comprise entre les limites

résultantes de la combinaison la plus avantageuse des observations. Et comme on [Ikurra rendre cette formule (i5) très peu différente de l'unité, en prenant pour ii un nombre peu considérable^ il s'ensuit que la valeur de A différera très probablement fort peu de la somme

des moyennes -,-> , Ay etc., multipliées respectivement parles quantités q, q% q', etc. Le résultat de chaque série d'observations influera d'autant plus sur cette valeur approchée de A et sur l'ampli-

tude q=g de ses limites, que celui des quotients j^, y^7 ^> ^^^9 V^^

se rapporte k cette série, aura une plus grande valeur.

Lorsque toutes les séries d'observations auront été faites avec un même instrument , on pourra les considérer comme une seule série , composée d'un nombre d'observations égal à ft+Z^' + /*''+ etc. Ainsi qu'on l'a dit plus haut, les quantités /, F, t', etc., seront à très peu près et très probablement égales; en étendant les sommes 2 à la série totale, ou depuis n =£ i jusqu'à n ss/u + ft' 4- /4' 4- etc., et faisant

on pourra {Mrendre /, pour la valeur commune de /, t, Fj etc. ; au moyen de quoi les limites précédentes de l'inconnue y, et dont la

3g4 RECHERCHES

formule (i5) exprime la pvobabilité,

f -4- / 4- j* 4- etc. »^i

ft + /*' + /*' + etc. ^ ï/^H-^'+^'-Hte- »

ce qui coïncide avec le résultat du n"" io6, relatif à une seule série d'épreuves.

(log). La question indiquée à la fin du n"* 104 se résoudra par des considérations semblables à celles dont on vient de faire usage.

Soit 771 le nombre de fois que l'événement E, de nature quelconque, arrivera dans un très grand nombre fjt, d'épreuves. La chance de E va* riant d'une épreuve à une autre, soit p^ celle qui aura lieu à la n""' épreuve. Faisons

ê ^ désignons par p une quantité positive ou négative , mais très petite

par rapport à \/fii et représentons par U la probabilité de l'équation

En négligeant, pour simplifier les calculs, le second terme delà formule (2) ; ayant égard à ce que représente la quantité k qu'elle renferme ; et y mettant if au lieu de 6, on aura

Comme dans le nMo4, appelons C,, C», . • • C, , toutes les causes possibles de l'événement E , qui peuvent être en nombre fini ou infini; ^1 >%,..•>,, leurs probabilités respectives; c,, c«, • . . c, , les chances qu'elles donnent à l'arrivée de E. En considérant /?. comme une chose susceptible de ces p valeurs 0,^0^, -••c^f dont^,, >•,...>», sont les probabilités ; faisant

yiCt + >A +•...+ y^c^ s=B r,

>A*+ >.C/+ •...-+- >tC/=3î f}

SUR LA PR0BAB1Lnn& DES JUGEMENTS. agS

et dësignant par 9^ une variable positive ou négative , très petite par

rapport à vV» ^ probabilité infiniment petite que Ton aura précisément

sera la quantité «//t^/ du n* loS, ou simplement -— . e ""^^ £&^, en

n^ligeatit le second terme de son expression. Si Ton désigne encore par 9f^ une variable très petite par rapport à vV^ il y aura aussi la probabilité Vf /dp,, de ce même numéro, ou simplement-^ e ^ ^J" dif,^, que la

quantité /^ —- 9 ne difiérera de r— p que d'une quantité déterminée, proportionnelle à v^^, et de Tordre de petitesse de -^; et Ton verra

de plus qu'en négligeant les quantités de Tordre de -, on pourra, sans

altérer la probabilité U de 9 valeur précédente de — , mettre r— p au lieu de /? — 9^ ce qui changera cette valeur en celle-ci

D uUenrSy si 1 on tait

il fiiudra , pour que m soit un nombre entier , ne prendre pour t^ que des multiples positifs ou négatifs de J'y qui devront, en outre, être très petits par rapport à ft.

Cela posé, j'ajoute les valeurs précédentes de /? et — ; ce qui donne

équation dont la probabilité, pour cbaque couple de valeurs de (^ et fr^ ,

sera le produit de U et de -ijr er^'^d^^ que je représenterai par < et

qui aura pour valeur

eu mettant r — p au lieu dep — q dans Texpression de U. Je fai

il en résulte

d'où l'on tire

en négligeant les termes de l'ordre de petitesse de -. On aura, en même temps, .

[«.« (r--r«)-f flPO|/(r^r«) (r - ;) - hfl»(r-r»)]

^i8 . /r — r» TZT; ^

m /Tz:

en ayant égard à ce que i" représente. Mais l'expression de r ne renfermant pas f', sa probabilité en est aussi indépendante; elle est égale à la somme des valeurs de € correspondantes à tontes celles que Ton peut donner à (^^ et qui doivent croître par des différences ^ales à «T, dont p est un multiple ; à cause de la petitesse de J^ , on obtiendra une va«leur approchée de cette somme en mettant dv au lieu de <r dans e, et remplaçant la somme par nne intégrale : cette valeur sera exacte aux

quantités près de l'ordre de «T ou de ^. Quoique la variable (^ doive

Vf* être une très petite quantité par rapport à vV, on pourra, à raison

de l'exponentielle contenue dans €, étendre l'intégrale , sans en altérer

sensiblement la valeur, depuis (^ ss — ao jusqu'à i^ssoo. Mon, si

l'on foit

les limites de Fintégrale relative à 6, seront aussi =fc: qd ; et en désignant par Çcffl la probabilité infiniment petite de l'expression de r, on aura

fdfl = îî? e-«' r e-«/ d9, = -i= e-«- ^9.

Donc II étant nne quantité positive et donnée , la probabilité que la valeur inconnue de r tombera entre les limites

m II i/am (^ — m)

coïncidera avec la quantité P donnée par la formule (i3), puisque cette probabilité sera

/:.?««= if;/;--*

Ainsi y P est la probabilité que la quantité spéciale r dont s'approche

indéfiniment le rapport —, à mesure que le grand nombre fx aug-

mente encore davantage i ne diffère de ce rapport que d'une quantité comprise en les limites

qui ne contiennent rien d'inconnu.

Dans une seconde série composée d'un très grand nombre ^ d'épreuves, soit m' le nombre de fois que l'événement E arrivera. En désignant par ^ une variable positive ou négative, mais très petite

par rapport V x/ft', la probabilité infiniment petite de l'équation

^ fi VU