Q& RECHERCHES

sera — x e-^' dff ; celle de l'équation

que l'oQ obtient en retranchant cette valeur de r, de la précédente^ sera donc le produit de — = e-*'* é^ et de —p. c-** d8 pour tous les couples

de valeurs de 6 et a; et si l'on fait d'abord

^ j/fcW (/ — mp + /'m (/» — m) ^

et ensuite

^V^^m'^'— m) ^l//«fi'(y— m') '

c'est-à-dir«| si Ton remplace d'abord la variable 6' par t sans changer 9, et ensuite 6 par ^^sadâ changer t^ cette probabilité de Téquation pré-

eédeûtd détiendra

Cette équation devenant, en même temps ,

j. m m ■■■■■ ft l ir i » Il WU 11 | i*aÉÉIÉ**f

m' m r y^iA^m* (/~ m') 4- a^'^m (^ -::- m)

«t n« conteiianl pins que la variable i, sa probabîlUe totale HBVA Vin^

^ e relative à ^ de cette expresBÎOû difiërenlIeUé; intégrale que

Ton pourra étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis

t'ss— 00 jusqu'à ^^ de ô5 ^ ce qui donnera -4^ e-** ^ft ; d'où Ton

conclura enfio que -7^ / " «"" dt^ ou la quantité P donnée par la

formule (i3), exprimera la probabilité que la différence -7 <•«- — est comprise entre les limites

dans lesquelles u sera une quantité positive et donnée, et qui ne contiennent que des nombres connus.

Ces limites coïncident avec celles que nous avons trouvées dans le n* S7, d'une manière beaucoup plus simple, mais pour le cas seulement où la cbance de Tévénement E est constante et la même dans les deux séries d'épreuves. Toutefois la formule (24) ^^ ^ numéro

contient un teniie de l'ordre de -7- ou --p^ p qui ne 3e trouve pas

K/» Vf*

dans la formule (i3); ce qui tient à ce que, dans le calcul que nous venons de faire , nous avons négligé le$ termes des pro^^ibilités que nous avons considérées, qui seraient de cet ordre de petitesse.

(i lo). Je iie me propos^ pas de traiter, 4an9 oet ouvrage, les n<tfn«breuses questions auxquelles on peut appliquer le3 toripules précé«dentes, et dont les principales ont été indiquées dans le n** 60 et les suivants (^)* Je me bornerai à prendre pour exemple dp ces applications • une question connue qui se rapporte aux orbites des planètes et des comètes.

Dans les quantités qui ont été désignées précédemment par r et T (n* 99) , si nous faisons

* = firf > = A^ff — ^# c — c = aga, c4-i = agC,

{*) Je puis encore indiquer la probabilité du iir à la cible , que j'ai considérée dans un mémoire écrit avant cet ouvrage , et qui paraîtra dans le prochain no» méro du Mémorial de F artillerie.

Soo RECHERCHES

nous auroDS

-i-r=s=fc(fx-«)^qF(f*-i-«y

^(p,^:^a.ycp^.^ll^^(l^-ardt etc.,

e^ (;*-. ,^ Ç)M =p ^-^^^-p- (/*-3-€)''=fc etc.,

OÙ l'on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur de chaque ternie, selon que la quantité qui s'y trouve élevée à la puissance /a sera positive ou négative. Cela étant, en représentant dans ces deux formules, par S et T les sommes des termes qui devront être pris avec leurs signes supérieurs, et par S^ et T^ les sommes de ceux qu'on devra prendre avec leurs signes inférieurs , on aura donc

mais quelle que soit la quantité J^, on a , d'après une formule connue et facile k vérifier.

"" "'"Tlia""' (A'-5-«r)''+ etc. »

si donc on (ait successivement cT ss « et J^ = C, on aura aussi

d'où il résultera

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Soi

ce qui changera la formnle (lo) en celle-*ci

Or, en changeant les signes des quantités élevées à la puissance /a dans les termes de S^ et T^, ce qui lesi^ndra toutes positives, et exigera que Ton change aussi ou que Ton ne change pas les signes de ces termes, selon que le nombre (a sera impair ou pair; et en intervertissant ensuite Tordre de ces termes dont le nombre est fini , on verra aisément que cette expression de P deviendra

formule qui coïncide avec celle que Laplace a trouvée (^)y d'une toute autre manière, pour le même objet.

Elle exprimera la probabilité que , dans un nombre quelconque fA d'épreuves, la somme des valeurs d'une chose A sera comprise entre les quantités aag et 2Sgj en supposant que toutes les valeurs de A soient également possibles depuis zéro jusqu'à ag, et impossibles en dehors de ces limites. On y prolongera chacune des deux parties qui la composent jusqu'au terme où la quantité élevée à la puissance /4 cessera d'être positive ; en sorte que si n repr^nte le plus grand nombre entier contenu dans 6 , la première partie de cette formule s'arrêtera au /t -f* ^'^^ terme ou auparavant, selon qu'on aura Ai> 13 ou fA ^ n; et il en sera de même k l'égard delà seconde partie, si n est le plus grand nombre entier contenu dans s.

Cela posé, quelle que soit la cause qui a déterminé la formation des planètes, on suppose que toutes les inclinaisons possibles des plans de leurs orbites sur celui de l'écliptique, depuis zéro jusqu'à 90*, ont été également probables à l'origine , et Ton demande de déterminer la

(*) Théorie anafyiique des probabiliîéi ,^%t 957.

Soi RECHE&Cl

probabilité que, dans cette bjpoUièBe, la somme des îiiclittai80îK& des dix planètes connues, et différentes de la Terre, a dû être comprise entre des limites données , par exemple, entre zéro et 90*. En prenant une inclinaison planétaire pour la chose A à laquelle répond la formule (16) y il faudra supposer Tintervalle 2^ des valeurs possibles de Â, égal à 90*, et faire, dans cette formule, «&=?:o, f = i, /< es 10, ce qui la réduira à

i.2.3.4»5.6.7.8.9. jo*

Cette fraction étant à peu près un quart de millionième , il s'ensuit qu'une somme d'inclinaisons moindre ^'nn angle droit, sarait tout-àfait invraisemblable, et qu'on peut regarder comme hors de doute que cette somme aurait dû surpasser 90*". Or, au contraire , elle ne s'élève actuellement qu'à environ 8a*; et comme elle n'éprouve que de très petites variations périodiques, il en résulte que l'hypothèse d'une égale probabilité des inclinaisons de tous le^ degrés, à l'époque de la formation des planètes , est inadmissible , et qu'il n'y a aueun doute que la cause <|«elooQqae de cette formation a dû rendre les plus petites roclinaisons beaucoup plus prd!>ables que les autres. Les înelinaisons plaaétaires sont considérées ici indépendamment de la direction du moufiaient des planètes, dans le sens ou en sens contraire du mouvement ée la Teiveautour du Soleil; si ces deux sens avaient été également probables à l'origine, la probabilité que le mouvement des dix planètes différentes de la Terre aurait eu lieu dans le sens de son mouvement, serait la dixième puissance de | ; fraction au-dessous d^un millième, ce qui rend aussi fort peu probable l'égale chance des deux directions contraires, et montre que la cause inconnue de la fonnatton des planètes a dû rendre fotî probable les directions de tous les mouvements planétaires dans un même sens.

Si l'on prend pour A l'excentricité d'une orbite planétaire , et si Ton suppose qu'originairement toutes ses valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité étaient également probables, on déterminera la probabilité que I0 somme des excentricités des planètes connues devait être comprise, par exemple,entre zéro et ^, en foisant asso, C^spi ,a5, f^ie;^^ i, daJQS I4 for-

SUR LA PROBARIUTÉ DES JUGEMENTS. 5o5

mule {i6), ce qui donne

i.a.3.4 5 6.7.8.9 10. Il Lv ^ / \ 9 y j

Celte pi*obabiIité P étant au^essous de trois millionièmes, il est extrêmement probable^ au contraire, que la somme des 1 1 excentricités a dû surpasser 1 ,a5; mais cette somme, qui n'est soumise qu'à des variations périodiques de peu d'étendue, est maintenant un peu moindre que i , 1 5; l'hypothèse d'une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A est donc tout-4i-fait inadmissible; et il est hors de doute que la cause quelconque de la formation des planètes était telle qu'elle rendait beaucoup plus probables» les plus petites excentricités , de même que les plus petites inclinaisons.

(m). Les comètes observées depuis l'an 2^0 de notre ère, et dont les astronomes ont calculé les éléments paraboliques aussi bien qu'il a été possible, sont aujourd'hui au nombre de i38, dont 71 directes et 67 rétrogrades. Le peu de différence entre ces deux nombres 7 1 et 67 montre déjà que la cause inconnue de la formation des comètes, ne rend pas plus probable leurs mouvements dans un sens que dans le sens opposé; la somme des inclinaisons des orbites de ces 1 38 comètes sur Técliptique s'élève à près de 675^^, c'est-à-dire qu'elle surpasse 75 angles droits d'à peu près 2* ; pour savoir si elle devrait très peu différer de cette quantité, dans l'hypothèse d'une égale probabilité de toutes les inclinaisons possibles depuis zéro jusqu'à 90*, il faudrait donc prendre pour a et €, dans la formule (16), des nombres peu dif« férents de 76 en plus et en moins, ce qui rendrait le calcul numérique de cette formule tout-à-fait inexécutable; par conséquent, pour conmdtre, dans cette même hypothèse , la probabilité P que la somme des inclinaisons des orbites de toutes les comètes observées, doit être comprise entre des limites données, il faudra recourir à la formule (i3).

Je suppose donc que la chose A soit l'incliDaison d'une orbite cométalre sur le plan de l'écliptique. Les limites des valeurs possibles de A^ que l'on a désignées généralement par a et b, étant alors ii s= o et & s= go* , et toutes ces valeurs étant regardées conune également pro-

5o4 RECHERCHES

bables, la formule (i 5) exprimera la probabilité P que la moyenne d'un grand nombre jx d'inclinaisons observées, tombera (p? loa), entre les nombres de degrés

En prenant 113= 1,92, et faisant ;ts=: i38y il en résultera

pour la probabilité que dans l'hypothèse d'une égale chance de toutes les inclinaisons possibles, l'inclinaison moyenne des 1 58 comètes observées ne sortirait pas des limites 4^*76*; en sorte qu'il y aurait à peu près 1 5o à parier contre un , que cette moyenne devrait être comprise entre 59'' et 5i*; et, en effet, on a trouvé 4^^*55^ pour sa valeur; en sorte qu'il n'y a pas lieu de croire que la cause inconnue de la formation des comètes ait rendu inégalement probables leurs diverses inclinaisons.

Sans faire aucune hypothèse sur la loi de probabilité de ces incli* naisons, la formule (i5) exprimera aussi la probabilité que l'inclinai* son moyenne d'un grand nombre fi de comètes que l'on observera par la suite, ne s'écartera de la moyenne 48*55' relative aux i58 comètes déjà connues, que d'un nombre de degrés compris entre les li-* mites (n® 107)

iilV/i38 + /

»/T3Jf7 *

On déduit des inclinaisons calculées de ces i58 comètes, une valeur de la quantité / que ces limites renferment, égale à 54''49' (^)i^^ ^^ faisant 11 =^(1, par exemple, et prenant, comme plus haut, us= 1,9a, il y aura i5o à parier contre un que la différence entre l'inclinaison moyenne de i58 nouvelles comètes et celles des i58 comètes observées, tombera entre les limites =f: 8*2 1'. Le nombre des comètes

(^) Le calcul en a été fait par le ueveu de M. Bouvard.

SUR LA PROBABUiTÊ DES JUGEMENTS. 3o5

exislaotes étant sans doate extrémeroent grand par rapport à celui des conètesMbntOD a pu calculer les orbites; si Ton pread pour fi' le nombre des oomèles inconnues, les limites précédentes se réduiront k très

peu près à :^ — =j^ , de sorte qu'elles seront plu\ étroites que pour

n' sszfi^ dans le rapport de l'unité à \/^ ; et , en prenant toujours

i5o tts= i^ga, il y aura encore à très peu près la probabilité -?-, ou i5o

à parier contre an , que la différence entre Finclinaison moyenne des comètes inconnues et celle des comètes connues , est comprise entre les limites =p 5*4^^

Si l'on divise la tataliié des comètes observées en deux séries égales en nombre, dont l'une comprenne les 6g plus anciennes, et l'autre les 6g plus modernes 9 on trouve 49*^3' pour Tinclinaison moyenne dans la première série, et 4^*38' dans la seconda, de 8<n*te que ces deux moyennes différent à peine d'un demi degré. Cet exemple est très propre à montrer que les valeurs moyennes d'une même chose s'accordent entre elles , lors même que les iiomlH*es d'observations ne sont pas extrêmement grands, et quoique les valeurs observées soient très inégales, comme ici où la plus petite inclinaison cornétaire est i*4i' ^^ 1^ P^^^ grande 8g'*48'* Les inclinaisons moyennes des 71 comètes directes et celle de 67 comètes rétrogrades s'écartent davantage Tune de l'autre ; la première est de 47* ^f ^t ia seconde de 5o^ 54'.

Par le centre du Soleil, si Ton élève dans l'hémisphère boréal, une perpendiculaire au plan de l'écliptique, elle ira rencontrer le ciel au pôle boréal de l'écliptique ; de même , si Ton élève , dans cet hémisphère et par ce centre , une perpendiculaire au plan de l'orbile d'une comète, elle rencontrera le ciel au pôle boréal de celte orbite : la distance angulaire de ces deux pôles sera l'inclinai^n de cette orbite sur celui de l'écliptique; mais il ne faut pas confondre, comme l'a fait l'estimable traducteur du Traité dastronomie de M. Herschel , la supposition que tous les points du ciel puissent être, avec une même probabilité^ des pôles d'orbites cométaires, avec Thypothèse d'une égale probabilité des inclinaisons cométaires de tous les degrés.

En effet, soient aei b deux zones du ciel, circulaires, contenues dans l'hémisphère boréal, d'une même largeur infinimeiiF petite, ayant pour centre commun le pôle boréal de Técliptique , et dont les distances angulaires à ce pôle seront représentées par a et ^ ; soient aussi p la probabilité qu'un point du ciel , pris au hasard dans cet hémisphère, appartiendra à la zone a, et 9 la probabilité qu'il appartiendra à la zone b ; il est évident que ces fractions p et q seront entre elles comme les étendues a et b des deux zones , et, par conséquent , comme les sinus des angles a et C. Or, dans l'hypothèse d'une égale aptitude de tous les points du ciel à être des pôles d'orbites cométaîres, petq exprimeront les chances des distances a et C de deux de ces pôles à l'écliptique, ou, autrement dit, les chances des deux inclinaisons cométaires, égales à ces distances ot et€} donc, dans l'hypothèse dont il s'agit, les chances des différentes inclinaisons, au lieu d'être égales , seraient proportionnelles aux sinus des inclinaisons mêmes : la chance d'une inclinaison de 90"* serait double de celle d'une inclinaison de 3o*, et toutes deux seraient infinies par rapport à la chance d'une inclinaison infiniment petite (^).

(lia). Voici, en terminant ce chapitre, l'ensemble des formules de

C) Il paraît qu'un nombre, qui semble inépuisable, d'autres corps trop petits pour être observes, se meuvent dans le ciel, soit autour du Soleil, soit autour des planètes , soit peut-être même autour des satellites. On suppose que quand ces corps sont rencontrés par notre atmosphère , la différence entre leur vitesse et celle de notre planète est assez grande pour que le frottement qu'ils éprouvent contre l'air, les échauffe au point de les rendre incandescents, et quelquefois, de les faire éclater. La direction de leur mouvement, modifiée par cette résistance, les précipite souvent sur la surface de la terre; et telle est l'origine la plus probable des aéroliihes. Telle est aussi Texplication la plus naturelle d'un phénomèife très remarquable, que l'on a déjà observé plusieurs fois, depuis quelque temps, en des lieux séparés par de grandes distances, et toujours à la même époque de l'année. Dans la nuit du i a au 1 3 novembre, différents observateura , en Amérique et ailleurs, ont vu dans le ciel un nombre extrêmement grand de corps semblables à des étoiles filantes. Or, on peut supposer que ces corps appartiennent à un groupe encore bien plus nombreux, qui circule autour du Soleil « et vient rencontrer le plan de l'écliptique en un lieu dont ladia^-

SUR LA PRODABILITÉ DES JUGEMENTS. So?

probabilité qui y sont démonti'ées , ainsi que dans le précédent. Le nombre des épreuves, supposé très grand, est représenté par ft; il se compose de deux parties m et n que l'on suppose aussi de très grands nombres; les Sominles sont d'autant plus appfocbées que ce nombre (*■ est plus considérablei et elles seraient tout-à-fait exactes, si k était infini.

1*. Soient /> et 9 les chances constantes pendant toute la durée des épreuves, des deux événements contraires E et F, de sorte qu'on ait '/>-f-g=:i. Appelons U la probabilité que dans le nombre fi ou m^n d'épreuves, £ arrivera m fois et F aura lieu n fois. On aura (n* 69)

Cette formule se réduit (n" 79) à

{/ ^*ftpq

et astre, i l'époque où la terre se averaant ce groupe de totf» A cette me sur les aérolilhes ; ce qui pron' occupe pas une e'tendue très connlire, si son diamètre apparent, vu elui de la terre, il sera nécessaire , ïme époque de chaque année , que -te peu de celle de la terre ; ce qui de son orbite, de dîfiérer beauorbite ; et alors les perturbations contre du groupe et de la Terre, rendre impouible par la suite. Si , rine un anneau continu autour du différente de celle de U Terre ; et ions planétaires , pourront encore ■poques, le pbénoDiine dont nous

ïo8 RECHEACHES

loi'squ'oQ prend

m =s fip ~ V v/âf^, n =1 f*ç + vy/^^i

V étsDl une quantité positive ou n^ative , mais- très petite p» rapport à y/^K ; et sons cette forme , elle sabsisie également quand les chances de £ et F varient d'une épreuve à une autre , en prenant alors, d'après la formule (2) du n" gS, poor p et 9 les moyennes de leurs valeurs dans la série entière des fx épreuves successives. ■ a*. Les événements E et F ayant en lien effectivement m et rt fois dans les fi épreuves, et leurs chances ptiq étant inconnoes, aoit U' la probabilité qu'il arriveront dans/ ou TrC-\-n' épreuves futures, des nombre de fois m' et n', proportionnels à m et n , ou tels que l'on ait

Quelque soit le nombre f/, on aura (n" 71)

en représentaDt par U' la probabili licQ si les rapports ~ et - étaient < c'est-ànlire en faisant, pour abrég

5°. Les chances constantes p et la probabilité qne dans pt ou m-^ fois et F an plus n fois. On aura (n

SUR LA PROBAHUTÉ DIS JUGEMENTS. Sog

k étant une quantité pmitiyewdont le carré est

A* = nlog —r—i — : + C*»» -f- loc ?**r' . ;

et en employant la première ou la seconde formule selon que Ton aura i > — -— ou ^ < •

4^. En appelant R la probabilité que E et F auront lieu dans les /« épreuves , des nombres de fois qui ne sortiront pas des limites

où u est une quantité positive et très petite par rapport è v//u , on aura (w 79)

R = i ^ re-^'dt + -7=L=r e— ; (^

et réciproquement , si les cirances p et q sont ineonnueSy et que B et F soient arrivés des nombres de fois m et n, dans /te ou m-f-n épreuves, on aura (n** 83)

1/-. j » -T^ V avmn » ^ '

pour la probabilité que les valeurs de ji* et 9 ne sortiront pas des Kmites

îî ± " /amn ^ ^ Jimn

5*. Dans deux séries différentes de très grands nombres /ju et /jt! d'épreuves y soient m et m' les nombres de fois que E aura lieu ou a eu îieu^ n et rJ les nombre de fois que F arrivera ou est arrivé; désignons

par u une quantité positive , très petite par rapport à vV ^ ^ \/m^ ;

3io RECHERCIffiS

et soit ^ la probabilité que la diflTérence — «— -7 ne sortira pas des limites

non plus que la différence ~ -*— -^ de ces mêmes limites prises avec des signes contraires. On aura ( n^ 87 )

Comme on ai^ra aussi à très peu près — s=: -7 et - = -7 ^ on pourra ,

sans altérer sensiblement les valeurs d,e 49*, remplacer dans son dernier terme, qui sera toujours une petite fraction, les lettres yi!^ ni^ fi y par /i, m^ n, et, réciproquemu^t, celles^ par celles-là.Cette formule, en faisant du moins abstractioi) IR son dernier terme (n* 109), conviendra au cas général où les chances de E et F varient d'une épreuve à une autre , pourvu que , dans les deux séries^ les causes possibles de ces événements , connues ou inconnues, n'éprouvent aucun changement, c'està-dire, pourvu que l'existence de ces causes conserve la même probabilité, et que chacune d'elle^ donne toujours la même chance à l'arrivée de E, comme à celle de F.

%". Les nombres de fois que E et F sont arrivés dans les /u» épreuves relatives à ces événements étant toujours m et n , soient généralement m, et /!( les nombres de fois que deux autres événements contraires E, et F, ont eu lieu dans un nombre ft, d'épreuves aussi très grand. Supposons qu'on ait

J^ étant une petite fraction positive ou négative. Appelons p etp^les chances inconnues et supposées constantes, des arrivées de E et E. ; et désignons par X la probabilité que />« excédera p , d'une quantité an

SUR LA PROBABILITE IHES JUGEMENTS. 5it

moins égale à une petite fraction positive et donnée €. En représentant par u nne quantité positive , et faisant

{^ 2 {fêhn,n, + fé,hnny

selon que le (acteur s -— ^ sera positif ou négatif ^ on aura {n? 88)

la première expression se rapportant au cas où la différence c — cT sera positive , et la seconde au cas où cette différence sera négative. Ces mêmes formules exprimeront aussi la probabilité que la chance in-

connue p de Tarrivée de E surpasse le rapport •- donné par l'observa-

tion , d'une fraction co aussi donnée : pour cela , il suffira d'y faire

.==fc(.-=)^.

^mn

et de prendre la première ou la seconde formule selon que la différence C9 — — sera positive ou négative.

7*. Lorsque les chances des deux événements contraires E et F varient d'une épreuve à une autre , soient p^ et q^ leurs valeurs à l'épreuve dont le rang est n^qué par iV de sorte qu'on ait ^j -|- Ç| s= t , pour tous les indices 1. LéKommes ^'étendant depuis 1 = 1 jusqu'à r=sf(, faisons, pour abréger.

Soient toujours m et n les nombres de fois que E et F arriveront dans les /ti épreuves. Désignons par u une quantité positive, très petite

5ia WECHERCHfiS

rapport k \^ft. On aura {if 96)

pour la probabilité que les rapports — et - ne sortiront pas des II mîtes

ku ku

ce qui coïncide avec la formule {d) dans le cas particulier des chances constantes.

8*. Une chose quelconque A étant susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites h^g, et toutes ces valeurs étant également possibles et les seules possibles; soit P la probabilité que dans un nombre quelconque i d'épreuves, la somme des valeurs de A qui auront lieu, sera comprise entre des limites aussi données cqpc. On aura (n* 99)

en faisant, pour abréger.

:'-7=^(»*+^— 4g— c4^y:F^^^7^^^ (1*+^--% — c-H)=fcetc.,

*-7^(«^H-%— ^—c—tPF 73.3 ' (** + 'g— ^g-g— «)':^etc.,

et prenant, dans chaque terme, le signe supérieur ou Je signe inférieur, selon que la quantité qui s'y trouve élevée à la puissance i, est positive ou négative : g et € sont des quantités positives; h et c peuvent être des quantités positives on négatives. tf. QaeHe qne soit la loi de probabilité des valeurs possibles de la

SUR LA PROBAJNUIS DES JUGEMENTS. 3i3

chose A & chaque éfirtuTe , tt la onmire dont ottte loi rarieffa d'une épreuve k une autre ; si Ton appelle j la somme des valeurs de A qui auroat lieu da»s un très grand nombre /â d'épreovesi on aura (n"" loi)

pour la probabilité que la moyenne - des valeurs de A tombera entre les limites

u désignant uoe quantité positive et très pettte par rapport à v/pt? A: ei A étant des quautités dont la seconde est posichre, ettpri dépendent des probabilités des valeurs de A pendant toute la durée des épreuves. Quûd ces probabilités aennt constauteSi égale$ pour toutes les valeurs possibles de A entre des linutea dowiées a et ^i «t MaUas en de** hors de ces limites , on aura

^sKi(a4-*), A =

Lorsque A n'aura qu'un nombre fini de valeurs possibles c^, c^^ Csf. ... c, ,ei que ces y valeurs constantes seront également probables, onama

* = f (c. -H c, + c,+ -hc, ),

iopu Soit K fo indow de A qm a eu lien k la fif^ épreuve, liaisons

J»^*»^, ;S(A.— Ay^il^,

3i4 * RECHERCHES

les sommes 2 s'ëtendant depais nsss i jusqu'à n=s/u. Supposons que les causes de toutes les valeurs possibles de A n'éprouvent aucun changement^ soit dans leurs probabilités respectives, soît dans les chances qu'elles donnent à chacune de ces valeurs. Il y aura alors une quantité spéciale y dont la moyenne - des valeurs de A^ s'approchera indé-

finiment à mesure que fi augmentera de plus en plus , et qu'elle at^ teindrait si /t* devenait infini. Or, la formule (k) exprimera la probabilité que cetle quantité y est comprise entre les limites (n^ io6)

s ul

qui ne contient rien d'inconnu.

1 1*. Dans une seconde série d'un très grand nombre /a* d'épreuves, soient s' la somme des valeurs dé A^ et /' ce que deviendra la quantité / qui se rapporte k la première série. La formule (k) exprimera égale-

ment la probabilité que la différence —, des deux moyennes, sera

comprise entre les limites (n"* 107)

ou bien, à cause que Ton aura à très peu près f ssZ, ce sera aussi la pro* habilité que la moyenne -7 relative à la seconde série , tombera entre les limites

' ul ^fTÇP

1^^ Vl^ '

qui ne dépendent que des résultats de la première et de la quantité donnée tt| et qui sont d'autant plus étroites que /it'est plus grand par rapport à ft.

la*. Pour déterminer la valeur 4 une même chose A, on a fiiit plusieurs séries d*épreuves, composé^ de très grands nombres jti,)tc',/E4'', etc.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Si 5

Le$ sommes des valeurs que Ton a obtenues dans ces séries sucoesûves sont 5, s\ s'p etc. ; la quantité précédente / se rapporte toujours à la première série; et Ton désigne par [^ t\ etc., ce qu'elle devient à T^ gard des séries suivantes. On suppose que les causes d'erreurs dans les mesures varient d'une série à une autre , mais que néanmoins, toutes

les moyennes -9 -r^ — «» etc., convergent indéfiniment, à mesure que

fjL^ II', /a!' y etc., augmentent de plus en plus, vers une même quantité inconnue y, qui serait la véritable valeur de A, si ces causes ne rendaient pas inégalement probables, dans une où plusieurs des séries d'observations , les erreurs égales et de signes contraires. Cela posé, )a formule (A) exprimera encore la probabilité que la quantité y est comprise entre les limites (n"" 108) :

dans lesquelles on a fait pour, abr^er.

De plus, la partie ^ -f- -?- 4- -i.4- etc. , c'estrà-dire la somme

des moyennes -, -if-k, etc., multipliées respectivement par les quau-

tités Çf /, ^\ etc., sera la valejur approchée de y la plus avantageuse que Ton puisse déduire du concours de toutes les séries d'observations , c^est*à-dire, la valeur de cette inconnue, dont les limites d*er-

reur rf: g- auront la OQoindre étendue qu'il est possible , pour un valeur donnée de tt, ou bien à égal degré de probabilité.

15**. Enfin, les causes de l'arrivée d'un événement E demeurant les jnémes pendant les épreuves, ainsi qu'on l'a expliqué en citant la fior*

jtnuje {f)i le ramiort — du nombre de fois gae E aura lieu an nombre

3i6 RECHERCBES

tolikl des éfffemeê , convergera indéfinimeot vers tine c^uautitë spe^ dale r, ^'il attrâidrait rigoureusement ]si ft devenait infini. Or, cette £ormtàt {f)^ eo négligeant son dernier ferme, on bien encore la for» noule k seva la probabilité que la valeur inconnue de r tombera entre lesltfiûlc8(n*io9)

m u^^m{ft — m)

(il 5). Pour compléter ces formules, îl y faudrait joindre celles qui M rapportent k la probabilité des valeurs d'une ou plusieurs quantités, dédnitcB d'na trâs grand nombre d^équations linéaires correspondantes aux résultats d'un égal nombre d'ol^rvations ; mais à Tégard de ces autres formules, je renverrai à la TTiéorie analjrtique des probabilités. En les appliquant k ua système de 1^6 équations de condition relatives au mouvement de Saturne en longitude, formées par M. Bouvard, et en appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés , Laplace a été conduit à en conclure qu'il y a un million à parier con* tre un que la masse de Jupiter, en prenant celle du Soleil pour unité, ne différera pas de r^t de plus d'un loo* de cette fraction, en plus ou en moins (^). Cependant, des observations postérieures, d'une autre nature^ ont donné à très peu près 7^ pour cette masse; ce qui excède la fraction 7^, d'environ un 5o* de sa valeur, et paraîtrait mettre en défaut le calcul des probabilités. Il ne peut rester aucun doutesnr cette masse 7^ , qui a été condue par M. Enke, des perturbations de la comète dont la période est de iao4 jours; parBIM. Gauss et Nicolai, de celles deJ^esta et de Junon; et par M. Airy , des élongâtions des satellites de Jupiter qu'il a récemment mesurées. Toutefois, si les calculs de Lajdace ont donné, avec une probabilité très approchante de la certitude, une masse de cette planète, plus petite d'un 5o* qu'elle n'est réelleinent, il n'eu fiiudrait pas [condnxe que L'intensité du pouvoir attractif de Jupiter fût moindre sur Saturne que sur ses propres satellites, sur les comètes et sur les petites planètes;

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(^ Bleniler Mipplënient à la Théorie analjrdque dm probabilités, page a4.

cela ne provient pas non plus d'aucune inexactitude dans les formules de probabilité dont Laplace a fait usage; et il y a lieu de croire que la masse de Jupiter , un peu trop petite, qull a obtenue , résulte de quelques termes fautifs dans l'expression si compliquée des perturbations de Jupiter, à laquelle on a déjà fait subir quelques corrections, et qui peut encore en exiger d'autres. Cest un point important de la Mécanique céleste , qui ne peut manquer d'être édairci par le résultat du travail dont M. Bouvard s'occupe actueUement , dans le but <le rabire en entier ses taMes, déjà si préciaes, des mou^enMDtt de Saturne et de Jupiter.

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