CHAPITRE V

jipjdicatian des règles générales des probabilités aux décisions des

jurys et aux jugements des tribunaux (*).

(i i4)* Dans une matière aussi délicate^ il conviendra de considérer d'abord les cas les plus simples , avant de traiter la question dans toute sa généralité.

Je suppose donc , en premier lieu , qu'il y ait un seul juré. Je repré* sente par A: la probabilité que l'accusé soit coupable^ lorsqu'il est traduit devant ce juré; probabilité résultante de l'information préliminaire et de l'accusation qui s'en est suivie. Je désigne aussi par u la proba-bilité que le juré ne se trompera pas dans sa décision; et, cela étant, soit y la probabilité que l'accusé sera condamné. Cet événement aura lieu , si l'accusé est coupable et que le juré ne se trompe pas, ou bien , si l'accusé n'est pas coupable et que le juré se trompe. D'après la règle du n^ 5 , la probabilité du premier cas est le produit de A: et de ii , et celle du second a pour valeur le produit de i — £ et de i ^- u • Donc ^ en vertu de la règle du n* lo, on aura

> = A:« H- (i — *) (i — u)^ (i) pour la probabilité complète de la condamnation de l'accusé. Celle de

{*) Cette question a été traitée dans un mémoire, lu à TAcadémie de Saint-Pé« tersbourg, en juin i&34 9 par M. Ostrograskii membre de cette académie. Mais à en juger par l'extrait imprimé que l'auteur m'a envoyé , il a considéré le problème d'une manière toute différente de celle que je suivrai dans ce chapitre , et qui a éii indiquée dans le préambule.

son acqaillemeat sera i-»^. Cet événement aura lieu, si raccosé est coupable et que le juré se trompe, ou bien, si Taccusé n'est pas coupable et que le juré ne se trompe pas ; et les probabilités de ces deux cas étant les produite A:(i — ii)et (1 — A) k, il en résultera

I — y es A: (i -*- 1^) + (1 — A) tt j

équation qui se déduit aussi de la précédente. En les retranchant Tune de Tautre, il vient

a>r — 1 ss (2k — i) (au — i);

œ qui montre que la quantité â> — i sera zéro en même temps que aA — I ou 3« — 1 9 et positive ou négative selon que aA — * i et au — I seront de même signe ou de signes contraires. On aura aussi

de sorte que > surpassera jj delà moitié du produit (aA — i) (au — i) positif ou négatif.

Après la décision du juré, on pourra faire deux hypothèses qui seront les seules possibles : on pourra supposer que l'accusé soit coupable ou qu'il ne le soit pas; leurs probabilités, comme celles de toutes les causes hypothétiques, se détermineront par la règle du n" 34. La somme de ces deux probabilités étant d'ailleurs égale à l'unité, il n'y en aura qu une seule à déterminer.

Si l'accusé a été condamné, soit p la probabilité de la première hypothèse , ou de la culpabilité. D'après la règle citée , on aura

car ici révénement observé est la condamnation de l'accusé dont la

probabilité, comme on vient de le voir, serait A» dans cette première

5ao RECHERCI

îl^:

bypotbèse, et (i -~ Ar) (i -— ti) dans Itf supposition cODtndre, 00 de k non-colpabilité.

St l'accuse a été absDas, soit q la prdiabiiilé de la seoonde liypo»thèse, ou de la non-colpafailittf. liéyéoemeat obserrë étant alors Tai^ quittement de Taccusé , dont la probabilité est ( i — • A) u dans cette hypothèse, et A:(i — u) dans la supposition contraire, ainsi qu'on la dit tout à l'heure , il suit de la règle citée que Ton aura

ï"^{i— *)tt+it(i— «)• ^^f

En observant que les dénominateurs de ces expressions de p eiq sont les valeursde y et i — >, on a

d'où l'on déduit

pour une expression de la probabilité que le juré ne se trompera pas, qu'il est facile de vérifier. En effets cela aura lieu de deux manières différentes : parce que l'accusé sera condamné, et qu'étant condamné, il sera coupable, ou bien parce qu'il sera acquitté^ et qu'étant acquitté, il sera innocent. Or , par la règle du n^ 9 relative à la probabilité d'un événement composé de deux événements simples, dont les chances respectives influent l'une sur lautre, la probabilité de la première manière est le produit de p< et de ^^ et celle de la seconde, le produit de 1 —-7 et de q. Donc aussi (p? ;o), Ja valeur compl,ète de 1^ est la somme de ces deux produits. Après que la décision du juré est prononcée, la probabilité qu'il ne s'est pas trompé, n'est autre que p, s'il a condamné, ou q sll a acquitté. Si l'on n'a pas As=7, elle ne peut être égale à n, comme auparavant, que quand on a a ss o ou usbbi.

Ces formules renferment la solution complète dn problème dans le cas d'un seul juré; problème qui n'est, au reste, que celui dé la probabilité d'un fait attesté par un témoin , dont nous nous sommo oc^

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. 3ai

ci^M dans le n* 36* La culpabîlitc de l'accuse est ici le fait qui peut être vrai ou Êiux; avant que le jure ait prononcé, on avait une certaine rai^n de .croire que ce fait était vrai , résultante des données qu'on possédait alors : k était sa probabilité, et i — k celle de la non-culpabilité; après la décision du juré, on a eu sur le fak une nouvelle donnée; ce qui a changé A: en une autre probabilité />, si le juré a décidé ou attesté que l'accusé soit coupable, et i — A: en une probabilité q f s'il a attesté que l'accusé ne soit pas coupable. Dans l'un et l'autre pas , il est évident que les probabilités antérieures k eii — Ar ont d& être augmentées, s'il y a plus de chance pour que le juré ne se trompe pas, qu'il n'y en a pour qu'il se trompe, et diminuées, dans le cas contraire, c'est-à-dire augmentées on dimitmées selon qu on a £^ > ^ ou 21 < j. C'est , en effet , ce qui résulte des expressions depetq, d'où l'on déduit

p — êc-i ^ -, ÇS^I— A— ^—-^ ,

et par conséquent, p > ou < A;, 9 < ou > i — A:, selon qu'on a 21 > ou <^ ^* Dans le cas de u = î, il n*y a rien de changé aux probabilités antérieures A: et 1 — A:.

Ces dernières expressions de p et 9 donnent

et puisque le premier membre de cette équation est égal à 11, on a donc aussi ^

u = ky + (t ^k)(i — y)i

ce qui servirait à calculer la probabilité que le juré ne se trompera pas, si l'on connaissait à priori^ par un moyen quelconque, la chance y de la condamnation, outre la probabilité A: de la culpabilité. C'est aussi ce que l'on véiifie en observant que le juré ue se trompera pas, si l'accusé est coupable et condamné , ou bien s'il est innocent et acquitté or, les probabilités de ces deux cas , avant la décision du juré,

SUR LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. SaS

d'où Ton dédoin , en rtrlu des fbmniles (i ) et (a) ,

c =5 ha/ + (i — ^) (i — u) (i — mO-

Par lin raisonnement semblable , on trouyera

rt s= *(i — «) (i — tf') + (i — A;)ui^.

Eq ajoutant ces deux formules , il en résulte

a -f- c =ss au! -f. (i — m) (i — m'),

pour la probabilité que les deuxjurés décideront de la même manière» soit qu'ils condamnent^ soit qu'ils absolvent; et Ton peut remarquer que cette probabilité totale est indépendante de celle de la culpabilité de 1 accusé avant le double jugement.

Si l'accusé a été absous par le premier juré, et qu'on appelle y, la probabilité qu'il sera condamné par le second, le produit (i — yyyr exprimera la probabilité que ces deux jugements contraires auront lieu successivement et dans cet ordre. D'ailleurs i -— g sera la probabilité que l'accusé est coupable, quand il parait devant le second juré après avoir été acquitté par le premier; la valeur de y^ se déduira donc de la formule (i)» ^^ 7 remplaçant k etu par i — 9 et tt'; ce qui donne

ou bien , on vertu des valeurs de i — y ei q données par les for^ mules (i) et (5),

U est évident qu'en permutant les lettres u eiuf dans cette «pression , on aura la probabilité que les jugements des deux jurés seront contraires, mais dans l'ordre inverse de celui qu'on vient de supposer. En

ajoaUnt cette probabitité à la précédente , il en rétnllera

6 = (i — M)a' + (i — ttO«,

pour la probabilité complète de deux jogetnents contraires, rendus dans un ordre quelconque. On voit qu'elle est indépendante de kp comme celle de deax jugements semblables. Dans le cas de u s= ^ et tt' = ^ , Tune et Fauire sont aussi {. Dans fous les cas, leur somme a + b^ cesi Tunité, comme cela devait être.

La probabilité que Taccusé est coupable après qu'il aura été condamné par les deux jurés, sera donnée par la formule (a), en y mettant p et u! au lieu de k et u} et la probabilité de son innocence , quand il aura été absous par les deux jurés, se déduira de la formule (3), par le changement de A: et if en i — ^ et u'. En désignant par p' ei^ ce& deux probabilités, on aura donc

/ £M / fil ^

P —pi/ + (I p) (. m') ' î — qu' + (I y) (, -. u") '

et d'après les valeurs de p eïq, données par ces mêmes formules (2) et (3), ces valeurs de //et q' deviendront

P^— kut/ + {%^k) (I— a) (i—ny 9 "" (i— i()iiii'+i^(i— ir)(i— «0*

Soient encore /i^ la probabilité que Taocusé est coupable, après qu^il aura été absous par le premier juré et condamné par le second , et q, la probabilité qu'il est innocent, quand il aura été condamné par le premier juré et acquitté par le second. La valeur de p^ se déduira de la formule (2), en y mettant u' au lien de tt, et j remplaçant k par la probabilité 1—9 que l'accusé n'est pas innocent, après qu'il a été acquitté parle premier juré; celle de q^ s'obtiendra de même en chan-* géant ueik dans la formule (3), en u eip; on aura donc

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3a5

ou bien 9 en Tertn de ces mêmes formules (a) et (3),

La probabilité que l'accu&é, condamne par le premier juré et acquitté par le second est coupable , sera i —- 9,; d'ailleurs, il est évident qu'elle devra se déduire de p/par la permutation dcx^clii', ce qui a lieu effectivement : celle de l'innocence de l'accusé^ absous par le pi*emier juré et condamné par le second, ou i — p,, résultera de même de l'expression de q,, en y permutant u et u'.

Dans le cas de u' ss u, on sl p,^sk eiq,=^ i — - k; ce qui doit être effectivement; car deux décisions contraires , rendues par des jurés qui ont h même chance de ne pas se tromper , ne sauraient rien changer à la raison que nous avions de croire , avant ces décisions , à la culpabilité ou à l'innocence de l'accusé.

(116). On étendrait sans peine ces raisonnements aux décisions successives d'un nombre quelconque de jurés, pour chacun desquels il y aura une chance donnée de ne pas se tromper. Mais on parviendra plus simplement au résultat, de la manière suivante.

Je suppose, pour fixer les idées, qu'il y ait trois jurés. Soient n , u% Wp les probabilités qu'ils ne se tromperont pas, et, comme précédem* ment, Al I9 probabilité avant leur jugement, que l'accusé est coupable.

Pour qu'il soit condamné à Funanimité , il faudra ou qu'il soit cou« pable et qu'aucun des trois jurés ne se trompe, ou qu'il soit innocent et que les jurés se trompent tous les trois. La probabilité complète de indamnation sera donc

oei^.

*Wm'ii"-#- *(i — II) (i — «') (l — u").

Oa verra de même que la probabilité qae l'accasd sera absous a l'unanimité , aura ponr yalenr

5a6 RECHERGHBS

La probabilité d'un jogement unanime, aoit de ooadM&MrtioB , soif d'acquittement ^ sera donc la somme de ces deux quantités , c'est-àdire

wttV+(i--«)(i— w')(i — o'O;

en sorte qu'elle est indépendante de A: , ce qui aurait lieu également , quel que fût le nombre des jurés.

L'accusé pourra être condamné par deux jurés et absous par le troisième, de trois manières différentes, selon que ce troisième sera celui dont la chance de ne pas se tromper est u,i/ ou u'. Il pourra de même être acquitté par deux jurés et condamné par le troisième, de trois manières différentes, qui répondront aussi aux cas où ce troisième est le juré dont u, u' ou i^', exprime la probabilité qu^l ne se trompera pas. On verra sans difficulté que les probabilités de ces six combinaisons , auront pour expressions :

*«'«•(! — «) -f- (i — ;t) (i — «') (i — «>, : ^ it«tt'(r — «') -h (i — *) (i — k) (i — «>',

kuu' (i — «") 4- (i w. yt) (i — m) (i — u'y, A(i — u') (i — u')u + (i — kyu" (i — «), k{i — tt) (i — i/)u'+ (i — k)itu" (i — i/), • k{t — ») (i — u'y-i- (i — k)uaf (i — û/')-

Ea faisant la somme de ces six quantités, on aura l'expression complète de la probabilité que le jugement ne sera pas ananime; cette ex'» pression sera donc

et, comme on voit, indépendante de k.

La somme des probabilités totales d'une décision unanime et d'une décision non unanime, doit être l'unité ; et, en effet, leurs expressions que l'on vient de trouver, satisfont à cette condîlion.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Sa^

Le jugeaieDt ëtoDl rendu, on en déduira fodlement la probabilité, après ce jugement, de la culpabilité de l'accusé, différente, en général, de ce qu'elle était auparavant. Si, par exemple, Faccuâé a été coadamné par les deux jurés dont atkul expriment les chances de ne pas se tromper , et acquitté par le trobième , la probabilité de cet éréneaient sera kut^ (î — * <^")> ^*°^ Th/pothèse de la culpabilité, et (i — i:^ (ff — u){\ — i^)ii'f dans la supposition contraire ; par la ràgle du n® 34, la probabilité que Faccusé est coupable sara donc

kuu' (i — u*)

kuu\i —a") 4- (I -1 i) (i II) (I — ji*)M*'

Dans le cas de 1^ ss u", elle devient indépendante de la valeur corn-*mune de i^ et tJ\ et la même que si la condamnation était prononcée par le seul juré dont u est la chance de ne se pas tromper. Et, en effet, après que ce juré a prononcé , les décisions différentes entre elles des deux autres jurés ne peuvent plus influer sur la raison que j ai de croire que l'accusé soit ou ne soil pas coupable; car il n'y aurait pas de raison pour qu'elles augmentassent plutôt que de diminuer la probabilité de la culpabilité , puisque les chances de ne pas se tromper sont supposées égales pour ces deux derniers jurés^

Ces formules seraient également applicables au cas où les jurés, au lieu de juger successivement et sans communication entre eux, étaient réunis et jugeaient après en avoir délibéré ; mais la discussion pouvant les éclairer mutuellement et augmenter, en général, leurs probabilités de ne passe tromper, les valeurs de u^ ii\i^\ qui se rapportent & ces deux cas, pourraient n'être pas les mêmes, et s'écarter moins de l'unité dans le second cas que dans le premier.

(117). Considérons, en particulier, le cas où la chance de ne pas se tromper est la même pour tous les jurés, auquel nous ramènerons en* suite le cas général, lorsqu'il s'agira de déterminer la probabilité du nombre des condamnations dans de très grands nombres de juge^ ments;

Soient donc u cette probabilité donnée que chacun des jurés ne se trompera pas, n le nombre des jurés, A: la probabilité, avant leur jugement, de la culpabilité de l'accusé, î un des nmnbres 1 , 3,5, • . «n^ou

zéro, et y^ la probabilité que 1 accuse sera condafliiië par n^— i et absous par i jurés.

Pour que cet éTenement composé arrÎTe, il faudra que Taccnsé étant coupable, /z— î jurés ne se trompent pas et i jurés se trompent, ou bien que l'accusé n'étant pas coupable, n«—i jurés se trompent et i ne se trompent pas. La probabilité du premier cas sera le produit A-{^"''(i — u/^ multiplié par le nombre de fois qu'on peut prendre les 2 jurés qui se tromperont , sur le nombre n de tous les jurés; celle du second cas sera de même le produit (i — - k)t^{i *-u}*~~', multiplié

par le nombre de fois qu'on peut prendre les n «^ /jurés qui se tromperont sur ce nombre total n; lequel nombre de fois est le même que dans le premier cas , et égal au nombre de combinaisons différentes de n choses prises i à i, ou /t -— t à n -<« /. En le désignant par Ni , on aura

IV — ^'^ — i.w— a...y i — *-f I ' "~ I .a. 3.. .i '

et il en résultera

pour la valeur complète de yi.

Sî l'on suppose w — i^î, et qu'on fasse

Taccusé aura été condamné à la majorité de m voix. Lorsque i jurés l'auront condamné et que les n — i autres Tauront absous , il aura été acquitté à cette majorité de m voix ; la probabilité de cet acquittement, que Je désîgneraaî par cT, , se déduira de la valeur de >» en y permutant les nombres // — » i et i, ce qui ne changera rien au corfficîcnl N,. On aura doue

J^, = N, \kuf (i — w)-' + (i — *)«••' (i — II)']. (5) En ajoutant ces deux dernières équations, il vient

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Sag

quantité indq[>endaDte de k} de sorte que la probabilité d'un jugement • rendu à une majorité donnée m , soit qu'il condamne , soit qu'il absolve, ne dépend pas de la culpabilité présumée de Taccusé avant cette décision. Dans le cas particulier de 1^=^, les probabilités yi et J^i sont séparément indépendantes de A:, et ont pour valeur commune

>i = «Tj = ji N,.

Elles sont aussi égales entre elles, quelle que soit la valeur de u, lorsque Ton a A; = 7.

(i 18). Soit Ci la probabilité que Taccusé sera condamné par n«— i voix au moins et absous par î voix au plus, c'est-à-dire la probabilité d'une condamnation à la majorité de m voix au moins. Soit aussi di la probabilité que l'accusé sera acquitté par n— 1 voix au moins et condamné par I voix au plus.

D'après la règle du n"" 10, on aura

Ci = >. + >, H- y. +. • •+ >!• df = cT. + cT. -H cT. H-. . .+ Sii

et au moyen dis formules précédentes, il en résultera

Ci = kVi + (i - W, ]

en faisant , pour abréger ,

N.a-+ N.tt^' (i— «) + N.K— ( I— «)' + . . . + Ni«^' (i — «)'=U,,

de manière que U{ soit une fonction donnée de u, et V, oe ue devient cette fonction , quand on y met i — > u au lieu de u. On aura , en jnème temps,

c, 4. lA = U, + V„

ou acquitté, kUmaîqrité.d'auimoilia'i'inûz.

Si Ton iBetTi --* î «-' i.aali«uidei^dans Vexpmmon ' de' dg , on en conclura

et , en effet , si un nombre de voix au moins égal à ts — î est nécessaire' pour la condamnation , l'accusé sera acquitté lorsqu'il y aura n— i — r yoix au plus^ qpi lui selïront contraires j en jsoirte que l'un.des .deux événements dont les probabilités sont d et d^^i^t , devra certainement arriver.

Si i|, est. un, nombre. impair , et^quk)n aitji^snai'^ L.et cooséqnemmentffs^: ]^,.oaaura

U, H- V, = [a 4- (i —«)]•= I , cr^di^ i;

en sorte que l'accusé sera certainement condamné ou acquitté à la majorité d'une voix au moins; ce qui est évident en soi*-méme. Si n est un nombre pair , la plu^petite majorité .possible sera m = :i , et répondra à /i = ai -f- ^- On aura alors

d'où il résultera

^ i ^ . 2*-f-2.2t-f- 1.2*. ..*+.a r / \-ij4.f

Il ne seradonc.fias 4:ertain que l'aeensé sera condamné, ou^ absous à la: majorité d'au moins deux voix; ce qui est évident^ et tient au cas possible du part2)ge' égal vdes vo»ipour! KMquxtteiQent -etnponnla con- .damnation.

La probabilité de ce cas unique s'obtiendra en retranokant de l'u-* nité 9 la valeur précédente de Ci +di; die sera indépendante de ki

SUR LA PROBABIlUTt DBS JUGEMENTS. 33 1

et en la désignant par H,i acn expveMOiypoaPiir-s'écrire'soiis' cette forme

Le »9Uix^^»iim'dQ|»rodilitii(i.— ' u) vépomé^'t^^ÉE^s, et esil égal à ^. €etté^ probtfbilîlëÂfdinlinMra douai à mesiire qtfe ti s'écartera davantage de '[.' EHe diuiimewnaQSM continMllettietlt k raesare que î augmentek-aT Qar»ondédttit 4e'soi»%:]tpres8ion'

etd'tfprès le maœimum'% de <i(i — u), on en ootidut qcftpfe' rafiport de'Hi^, à iIrBei«<toii|eiWS'liidiodfe'qiie'hiirité»:* la pins graiide yalenr de H, rëpondra^à Uzss\ eti=so, et sera égale à ^. ' Qiuisdi+ I- sera nn nrmid noifibre'y on àarti ( n^ 67)

d'où l'on tiré

pour la.yaleâr aj^rochée de H| ^ qui sera^ comme on voit, une très petite fraction , lorsque u différera notablement de ^ , ou 4f^ (i -* i#) de Tunité. Dans le cas de «=^, et en prenant pour exemple i-|-i=6 ou n = I a, cette formule, réduite à ses deux premiers termes , donne

— l^r— pour cette valeur; ce qui diffère très peu de la valeur

exacte j^, quoique* ^-f» 7 nrsoit^ un nanàné^Ml considérable.

La somme U| -f- Vf étant tout au plus égale à Funité, si on la désigne par(43|> la:4ifféMno9¥-*«^i^seM'po0itive>MMi; métQpf^-wmme

l'expression de ct pourra s'écrire sous la forme

£?, = A — A:(i G|) — (2* - OVi,

il s'e nsuit que si l'on a 2k — i > o ou A: > j , on aura aussi Cj < k. Donc y dans le cas ordinaire où l'on a, avant la décision des jurés, plus de raison de croire à la culpabilité qu'à l'innocence de l'accusé, la chance de sa condamnation à une majorité d'au moins une ou plusieurs voix, c'est-à-dire à une majorité quelconque, sera toujours moindre que cette probabilité antérieure de sa culpabilité : en supposant, par exemple, qu'il y ait quatre contre un à parier que laccusé est coupable, lorsqu'il parait devant le jury, il y aura moins de quatre contre un à parier qu'il sera condamné.

Cette proposition est, comme on voit, indépendante de la chdnce d erreur des jurés^ ou de la valeur de u, autre que l'unité. Dans le cas de 1^=1, on aura U| = 1, Vis o, Ci=zk, di:=i l'^k, quel que soit i. Dans le cas de m 2=0, on aura de même Ui = o, ¥1= i, C|=:i — A:, c/i=:k. Pour ces deux valeurs extrêmes de li, il est évident que la condamnation ou l'acquittement ne pourra avoir lieu qu'à Funanimité; et c'est, en effet, ce qui résulte des formules (4) et (5), qui donnent alors ^1 = et J^i= o, excepté pour 1=: o.

(iig). En conservant toutes les notations précédentes, représentons, de plus, par/7| la probabilité que l'accusé est coupable, quand il a été condamné par n — « / contre i jurés, ou à la majorité de m voix, et par q^ , la probabilité qu'il est innocent , lorsqu'il est acquitté à cette majorité; ou autrement dit, soit pi la probabilité que le jugement rendu à la majorité de m voix sur n est bon, quand il condamne , et Çi, lorsqu'il absout. Dans le premier cas, la probabilité de l'événement observé, ou de la condamnation, est N|A:a"'"'(i — w)' ou N,(i — k) (i— «)""^'tt', selon que l'accusé est ou n'est pas coupable; d'après la règle du n^ 34 , on a donc

P^ ku*-' fî — M)' + (1 — jt) (1 — ii)—'ui» (7;

eu supprimant le fiicteur Nr qui serait commun aux deux termes de la

fraction. Dans le cas de l'acquittement, on trouvera de même

n =* (,-^^) II»-' (fil)* , .

y' (i — *)ii— ' (I — ii)« + jt(i — m)"-'i/<" ^^^

Si Ton suppose 1; = ;, on aura pi=:q^; et, en effet, lorsqu'à priori j on na pas de raison de croire plutôt à la culpabilité qu'à l'innocence de l'accusé, il est évident que la bonté des jugements rendus à la même majorité, a aussi une égale probabilité dans les deux cas de la condamnation et de l'acquittement. Pour u=z i, on a «■""'(i — «y = (i — uy'^uf, et, par conséquent, comme cela doit être , /i| =s A: et ^1 = I — ^, quels que soient les nombres n et /• En fisiisant, dans les formules (7) et (8),

et observant que /i = //i-4-2i, on aura

ce qui monti*e que la probabilité de la bonté d'un jugement , ne dépend , toutes choses d'ailleurs égales , que de la majorité m h laquelle il est rendu, et nullement du nombre total n des jurés; et, effective^ ment, les votes contraires et en nombres égaux, dans le cas d'une même chance d'erreur pour tous les jurés, ne sauraient augmenter ni diminuer la raison de croire que le jugement soit bon ou mauvais. Mais ce résultat suppose essentiellement la chance u que les jurés ne se tromperont pas, donnée avant le jugement; et il n'en serait plus de même, comme on le verra plus loin, si cette chance devait être conclue, après le jugement, des nombres de voix qui ont eu lieu pour et contre.

Pour une valeur donnée de u, un jugement rendu à la majorité d'une seule voix, par exemple, ne mérite donc ni plus ni moins de confiance, quel que soit le nombre impair des jurés, que s'il y avait un seul juré^ mais la probabilité qu'un tel jugement, de condamna-^

354 RBCHE»GHB&1<

tion ou dTaoïfaitleiiieolà sera rendn^diiimmetà meauee «qncî le noa^ brc total des jurés devient plus grand. En effet , cette probabilité sera.la somme des formules^4) ^^ (^)> ^^^ laquelle on fera n = 31 +1 ; en la désignant par «1 , et ajant égard à la yaleur de N| y on aura

d'Qu y on, conclut

i.a. 3... 2*+ I [11(1 —II)]* ^**' (i.a.3...0* (»■+!) *

et comme 42< (i — u)ne peut .pas surpasswrKiiaitéi,, il :$'en8nîtqa'on a toujours «1^1 *< «D*!. En comparant cette yaleur de «1 à celle de Bi, on voit que la première surpasse la seconde dans le rapport de Tunité à 2u (i-^u), qui reste le même quel que soit'i.

( 1 3o). Si Ton sait seulement que l'accusé a été condamné à la majorité d'au moins m yoix^ de sorte que la majorité ait pu être m, m^2, m +4 * • * - jusqu'à m -j^â^t , ou l'unanimité; on conçoit que la probabilité qu'il est coupable $era plus grande que/^i r je la œpiréaenterai par P|. Dans l'hypothèse que l'accusé soit coupable , la probabilité de la condaiimatipQ,qi;^id ,eu Uea.oudeJ'évéQemeiik.ohseryé^.est l:U|y .d'après ce^qu^ia «vu plus, Jtumt;. elle, isst (f.T-*A:),Y,, dans l'hypothèse de. la non,-Cii)lf^bilité; , on . auni 4<mP c

Eu désignant par (^la'probabiKtië deh non-culpkbilité/qaand Fac-p cusé est absous à cette* majorité de m voix au* moins; on trtnrrera-de même

Les pi>obaJ>ilités ijie, la. bonté 4'ua jugement jsendu k la majorité de m voi^. j>u, moins, i^uront aussi poiix.expijeisioiis. P^ dans le cas de la

et Qi dans le ces de l'acquittement, filles ne sont pas, comme p^ et qij indépendantes du nombre total n des jurés > ^t dépen«dantes seulement: de m ou .ii«^v:ix. Pour les comparer numériquement .les. unes aux' autres,: je prends k=i^;'te qui rend* égslles les quantités P/ et X^, ainsi que p,' et ^i, et suppose qu'avant' le jugement, l'innocence de l'accusé avait la même * probabilité que la culpabîBé. Je fais aussi uss |; en sorte qu'il y ait trois à parier contre un que chaque juré ne se trompera pas. -En prenant pour n le nombre ordinaire des jurés , et faisant n = i a et i .=s 5, on trouve d abord

on trouve y en outre,

et l'on en déduit , k très peu près ,

eeiqui montre que^dans cet exemple, la probabilité i «^^'Fj de Fermur d'une condamnation prononcée à la majorité de deux voix au moins, est à peine un septième de la probabilité i ^Pi de Terreur à craindre dans un jugement rendu à cette majorité de deux voix précisément, ou par sept voix contre cinq.

Les formules (4), (5), (6), (7), (8), (9), ( 1 o), s'appliqueront sans difficulté au cas où l'accusé traduit devanf le jury que nous considérons , aura déjà été condamné ou acquitté par un autre jury ^ on prendra alors pour la quantité k que ces formules renferment, la probabilitéqueTaccusé est coupable, résultant du preoiier jugement, .et que l'une de ces formules aura servi à déterminer.

(lai). Lorsquiii— i et i seront de :très*^nd8 nombres,- oa sera obUgé de recourir aux >mélhodes d'appioximatioo ; pour* calculer 'Iw valeurs de Ui eVYi.

Pour cela , j'observe qu'en faisant i — u^^u, la quantité U^ est la somme des î + i premiers termes du développement de («+«^)", ordonné suivant les puissances croissantes de p; elle devra donc coïncider avec la formule (8) du n» jS, en mettant dans celle-ci, u, p, î, n, au lieu de /79 q, n, /jl-^ par conséquent, d'après les formules (i5) du n*" 77, nous aurons

VwJi 3l/«mii« — »)

étant une quantité positive dont le carré a jM>ur valeur

el en employant la première ou la seconde de ces deux expressions de U| , selon que - surpassera le rapport - . , ou sera moindre.

Si l'accusé a été condamné, et que toutes les majorités puissent avoir eu lieu, depuis la plus petite, de une ou deux voix, jusqu'à l'unani-

mité, le nombre n-f- 1 et le rapport --— ., seront à très peu près

double de t et l'unité ; on devra donc employer la première ou la seconde formule (i i), selon que l'on aura u "^ u ou i^ ^ u; et si n et v difierent notablement de î , ou /{us^ de l'unité, on aura , aussi à très peu près ,