îlog

Alors, puisque i est un très grand nombre, la valeur de 6 sera assez considérable pour rendre insensible, les intégrales et les exponentielles contenues dans les formules (i i). La quantité U^ se réduira donc à l'unité ou à zéro, selon que u surpassera y ou sera moindre; et comme , dans le cas que nous examinons , la somme de Vi et Y, est l'unité, exactement ou à très peu près selon que i est impair ou pair, il s'ensuit

qae Vi sera zéro quand on aura e£ > p, et runité dans le cas de li < c^. De là, ou conclut que» si la probabilité k de la culpabilité de Taccusé avant le jugement, n'est pas une très petite fraction, il y aura une probabilité P,- très approchante de la certitude, pour sa culpabilité après qu'il aura été condamné par un jury composé d'un très grand nombre n de jurés, si la chance v de Terreur de chaque juré est notable-» ment moindre que la chance contraire u; résultat qui tient à ce que ce grand nombre n, rend alors très peu probable que le jugement soit prononcé à une faible majorité. Au contraire, cette probabilité Pj, de la bonté d'un jugement, sera une très petite fraction, et l'innocence de l'accusé, très probable, si c'est u qui est sensiblement moindre que p, et que, de plus, k ne soit pas une fraction très approchante de l'unité. Le» probabilités c. de la condamnation et di de l'acquittement, données paroles formules (6), seront très peu différentes de k et I «—A:, quand u surpassera i», ou, au contraire, de i — A: et A lorsqu'on aura f^ > k.

Dans le cas de ii=f/=:|, et en faisant ns= sî-f* < ^^ 7tx= ai-f- ^f selon que n sera impair ou pair, le rapport . . sera un peu

moindre que -, ou que l'unité; il faudra donc employer la première formule (ii); et comme la valeur de 6 sera une très petite fraction, on aura, à très peu près,

en négligeant le carré de 6 , ainsi que les termes qui auraient / pour diviseur, et observant qu'on a alors

Si n est impair, que l'on fiasse n= si + i » et qu'on mette { pour u et V, on aura

e' = -iiog(i+;)-(.+:.)iog(x-,^-);

en développant les logarithmes en séries , on en déduit , an d^[ra

338 imCHERCHES

d'approximation où nous nous arrêtons

la (ooime de V. et Ui étant luoité, V. sinra aussi i; et Ton aura P.= Ar, comme oela'doit être» quel que soit d'ailleurs le nombre des jurés, lorsque leur cbanpe e$t ^ale pour se tromper et pour ne pas se tromper. Si n est uu nombre pair^ et qu'on fiisse n:?c2i«^a, ^^=rr (; ns I , ou wrft

d'où Ton déduira

ay i %y7ri

mais d'après la valeur de H. du n^ 1 18, on a, dans C9 cas^

on aura donc

et ces valeurs de U, et V, étant égales, il en résultera P^ = A:, comme dans le cas précédent. La probabilité c. de la condamnation, que nous considérons, sera indépendante de A:, et égale à U,, ou un peu moindre que i-

(1^2). En supposant toujours que le jary soit composé d'un nombre quelconque /l'de jurés, concevons maintenant que pour cbaque juré, la chance de ne pas se tromper puisse a^joir un nombre v de valeurs différentes et inégalement probables. Soient x,, x., x^, . . . . x,, les valeurs de ces chances pour un premier juré; x/^ xj, xj, . . . .x/^ poiir un seocMid juréj x^\ x/, a?s^ .... x/, pour un troisième juré; etc. Désignons, en général, par X,., X^/, X,,/', etc., les probabilités que les ichances Xi,Xi/^ Xiil'f etc., aurp^tlifeu, et qui #eront aussi les prohi^ilités des chances correspondantes i — x/ , i •^- x./, I — ^îil'9 etc. Comme une des chances x,, ^^^ t^i; • • • • <^f / ayn»

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. SSg

Heu certainement; qu'il en sera de même à Tégard de lune des chances a:/, a:.', x^^ .... x'\ ainsi que pour l'une des chances x/', Xg , x^'^ • • . . x/'; et ainsi de suite, on devra avoir

X, -f- X, + X3 + . • . • + Ay ^ I ,

X, -f- X, + X3 + .... -f- Xy = I , X, + X. "4" ^3 + .... + Xy = I ; etc.

Si donc, on fait

XiOr, + ^v^% -f- XjjCj + .... + X,x, = tty

A.^ Xi ^f* Ag JT^ *f" A3 M^li ~|" .... "f~ Jm.y JCy SSÏ £^ j Xg iS^i *j" X^ ^g •!" X3 «5C3 "T* .... "T" Xy «Ty ^IS £^ j

etc. , on aura , en même temps ,

X, (i — jc, ) -I- X. (1 — X. ) +. ...+ X, (i — X, ) =z=i — tt, X/ (1 — x/) + X.' (1 — x:) +.-.•+ X/ (i — x/) =!—«',

etc. ;

et M, i^^ li'f etc. , seront les valeurs moyennes des chances de ne pas se tromper, pour le i*% a', 5*, . • .juré, e\ i — a, 1 *— «', 1 — «", etc., les valeurs moyennes de leurs chances de se tromper.

Gela posé, la probabilité qu'aucun des n jurés ne se trompera , correspondante aux chances x^, x\,^ af'if,^ etc., de ne pas se tromper, sera le produit "de ces chances et de leurs probabiiités respectives X,, X'^/ , X'V 9 etc.; en la désignant par II, on aura donc

n =s ♦XiX',vX",r,etc.Xi*rV«3tVetc-

Soit P la probabilité qu'aucun juré ne se trompera, quelle que soit celle de ses chances possibles de ne pas se tromper, qui aura lieu. Par la règle du n* 10, P sera la somme des nv valeurs de II que Ton obtiendra, en y mettant successivement chacun des nombres i, a, 3, .... y, à la place de chacun des n nombres / , f^ î\ etc. Or, il est facile de voir que cette somme sera le produit des n moyennes tt, v!^ //', etc. ;

34o RECHEaCHES

en sorte que Ton aura

F =; uulii* etc. 9

quels que soient les nombres n et v.

Relativement aux chances quelconques x,j x\,^ or'V» et<^-y ^^ ^^ P^ sç tromper y la prababilité qu^un seul juré se trompera, se déduira de n en y remplaçant x, par i —or, si c'est Te premier juré, x',-' par j — - x'i, si c'est le second , etc. En appelant II' la probabilité totale qu'un seul juré se trompera , correspondante à ces chances Xi , x\'f. x'Vy etc., on aura donc

n' = X,.X'i,X^« etc. [(i — x^x\,x'\n etc. -f- ^i(i — ^«0 3é\. etc.

'^xflfii (i — x",.ir) etc. H- etc.].

Si l'on désigne ensuite par P' la probabilité qu'en ayant égard, pour chaque juré, à toutes les chances possibles de ne pas se tromper, il y aura un seul juré qui se trompera , F sera la somme des hf valeurs de n' que l'on obtiendra en y mettant successivement pour chacun des n indices f, î', i\ etc., tous les nombres i, 2, S, ... . f; et il est facile de voir que cette somme ne dépendra que des moyennes u^vt^ vl' f etc. , et aura pour valeur

F = (i — uyu' etc. + M(t -. a')i/'etc. + 111/(1 — n") etc. + etc.

En continuant ainsi, on parviendra à cette proposition générale 1 La probabilité que parmi les n jurés, 71 -— i ne se tromperont pas, et i se tromperont , sera la même que si la chance de ne pas se tromper n'avait qu'une seule valeur possible pour chaque juré, savoir^ u pour le premier juré, 1/ pour le second, u" pour le troisième,. etc. Par conséquent, si ces chances moyennes m, u\ ii\ etc., sont inégales, les diverses probabilités d'une condamnation à des majorités données, et celles de la culpabilité du condamné, se détermineront par les règles du n* 116, étendues à un nombre quelconque n de jurés. Si elles sont toutes égales entre elles, les probabilités dont il s'agit s'exprimeront au moyen des formules (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), en y mettant pour u la chance moyenne commune à tous les jurés.

On se représentera avec précision la possibilité pour chaque jure, de plusieurs chances inégalement probables de ne pas se tromper, en con-

ceyant qae la liste sur laquelle chaque juré doit être pris, soit divisée en un nombre y de classes de personnes , telles que toutes les personnes d'une même classe aient une même chance de ne pas se tromper : pour la liste sur laquelle le premier juré doit être pris, soient x. cette chance correspondante à Tune des classes, et X,- le rapport du du nombre de personnes de cette classe au nombre de celles qui sont portées sur la liste entière; la chance que ce juré ne se trompera pas, sera Xi s*il appartient à cette classe, et X^ sera la probabilité que cela aura Heu , c'est-à-dire la probabilité de cette chance Xi. Si le second juré doit être pris sur une autre liste ^ et que x'i* soit la chance de ne pas se tromper, pour les personnes de l'une des classes de cette liste , et X'.-/ le rapport de leur nombre à celui des personnes portées sur la liste entière, xV sera ta chance que le second juré ne se trompera pas sll appartient à cette classe , et XV 1^ probabilité qu'il en fera partie, ou la probabilité de cette chance a?V| et ainsi de suite, pour tous les autres jurés. Les jurés, d'une session de cour d assises, étant pris au hasard sur une même liste, formée de toutes les personnes qui peuvent être jurés dans le ressort de cette cour, il s'ensuit qu'avant le tirage an sort, les chances moyennes ii, m/^ m", etc., sont égales entre elles. Leur valeur commune peut d ailleurs n'être pas la même dans les ressorts des différentes cours ; et cela étant , s'il y avait des affaires où le jury dût être composé d'un juré pris dans une partie déterminée du royaume, un second dans mie autre partie, etc., ce serait le cas où les moyennes u, u!y s/, etc., pourraient être différentes. Miiis, dans tous les cas, oa ne doit pas confondre ces chances moyennes qui ont lieu avant le tirage des jurés, avec les chances de ne pas se tromper, propres aux jurés que le sort aun désignés, quand le tirage sera effectué ; nous reviendrons tout à l'heure sur cette distinction essentielle.

( t aS). & le nombre v des chances possibles x, , or», Xj, etc., est infini, la probabilité de chacune d'elles sera infiniment petite. Soit alors Ikdx la probabilité que la chance de ne pas se tromper, pour un juré pris au hasard sur une liste donnée, sera égale à x ; soit aussi u la moyenne de toutes les chances possibles, en ayant égard à leurs probabilités respectives ; la somme qui doit être égale k l'unité, et celle qui doit former la valeur de li, d'après ce qui précède, se changeront en des intégrales définies, prisesdepuis jtsso jusqu'à x=s i; en sorte»

^2 REtHËRCHfiS

què Toii âtira

I Xd[r=i, / arXrfa: = w.

La quantité positive X pourra être une fonction continue ou* discontinue de .r, entièrement. arbitraire, pourvu quelle satisfasse à la première de ces équations : pour chaque expression donnée de X, il y aura une valeur numérique de u, tout-à-fait déterminée; mais à chaque valeur dotinée de m, correspondront une infinité d'expressions différentes de X, ou de lois différentes de probabilités.

Lorsque toutes les valeurs de x, depuis zéro jusqu a Tunité^ seront également possibles, la quantité X sera indépendante de x, et devra être Ttinité pour satisfaire à la première des deux équations précédentes j en vertu de la seconde, on aura alors w= j. Si cette quantité X est croissatite depuis xsszo jusqu'à j:= i, de manière que la chance qu'un juré ne se trompera pas, soit elle-même d'autant plus probable qu elle approchera davantage de la certitude; si, de plus,;X croit uniformément, on fera

X z=: ax + C; et et € étant des constantes positives. On aura alors

d'où Ton tire

etx;

ce qui exige que l'on n'ait pas a > 2. Il en résultera

« a= -H et;

en sorte que la chance moyenne ne pourra par estcéder j, ui être moindre que i , qui répondent à «e t=s a et a ss o.

Supposons encore que X varie en progression géométrique, pour des accroissemônls égaux de x; et prenons

valeur qui satisfait ii la condition T^ T^dx = i , quelle que soit la

constante a, et dans laquelle e est, à l'ordinaire, la base des logarithmes népériens. Nous aurons

u = -n — Zf

d'oix l'on conclut qu'en faisant croître a depuis flt = — oo jusqu'à A = 00 y la chance moj^enne u sera susceptible, dans ce cas, de toutes les valeurs possibles , depuis i^ = o jusqu'à u =z i : pour flt = — O0y£e==:o, £( = 00, on aura i^ = o, 14 = ^, m =51. Si les diverses chances de nç pas se tromper doivent être renfermées entre des limites plus étroites que zéro et l'unité; par exemple, si la chance a: ne doit pas s'abaisser au-dessous de j, et, en outre, si au-dessus de 7, toutes s^s valeurs doivent être ésalen^nt possibles, on prendra pour X une fonction discontinue , que l'on déterminera de cette manière. Je désigne par e une quantité positive et de grandeur finie, mais tout-à-fait insensible; soit^or une fonction qui varie très rapidement depuis x = -^ -* c jusqu'à jc = j, qui s'évanouisse pour toutes les valeurs de x, comprises depuis x=Oj usqu'à x^i^-^e, et qui ait pour valeur une constante donnée g, depuis x s=z ^ jusqu'à Ars= i; cela étant, je fais

X cajx.

Par la nature de cette £oBi*u>nfx, oa aura

à cause à»f^ \dx sa i , on aura donc

ce qui eiigera que g ne surpasse pas a, puisque fx ne peut avoir

que des valeurs positives. Dans l'intégrale jx ^ xfxdx, on pourra,

en-dehors de Jx , regarder x comme une constante égale à ^ ; on aura donc aussi

et en observant qu'on a

J xfxdxsssj xfxdx + fi^ xfxdx'^ j^ xfxdx^

on eq cpnclqra

ou bien, en réduisant,

Par conséquent , dans ce cas , la chance moyenne ne pourra pa9 ez^ céder u^=s\^ qui répond à g= 21, ni être moin4re que ^ =?: -^^ qui répond à g s= o.

On pourrait faire ainsi une infinité d'hypothèses différentes sur la forme de la fonction X. Si Tune d'elles était certaine , la valeur correspondante de la chance moyenne u le serait aussi ; si , au contraire , elles sont toutes possibles, leurs probabilités respectives seront infiniment petites, et il en sera de même à l'égard dçs diverses valeurs de la chance moyenne qui résulteront de ces hypothèses. Le dernier cas aura lieu , lorsque les valeurs différentes dont est susceptible la chance qu'un juré ne se trompera p^, noi^ seront inconnues, et que nons ne connaîtrons même pas la loi de leurs probabilités, de sortç que nous puissions faire sur cette loi toutes les suppositions possibles , qui donneront à la chance moyenne des valeurs inégalement probables. Alors en représentant par ^udu la probabilité infiniment petite que cette chance sera égale à u précisément, 911 ser^i une fonction continue ou

discontinue, telle que Ton dt j pudu:=si, et susceptible des mèmeR

i^marques que l'on vient de faire relativement à X.

(i!a4). Les formules précédentes donneraient les solutions complètes de toutes les questions relatives à l'objet de ce chapitre » si avant le jugement, la probabilité k de la culpabilité était cdnnue, et que Ton connût aussi, pour chaque juré et dans chaque afifaire, la probabilité qu'il ne se trompera pas ; ou bien, si cette chance de ne pas se tromper a plusieurs valeurs possibles, il faudrait que toutes ces valeurs fussent données, ainsi que leurs probabilités respectives; ou bien encore, quai;id ces valeurs sont en nombre infini et ont chacune une probabilité infiniment petite , il serait nécessaire que nous connussions la fonction qui exprime la loi de leurs probabilités. Maïs aucun de ces éléments indispensables ne nous est donné à priori. Avant que l'accusé paraisse devant le jary, sa mise en accusation et la procédure qui la déterminée, rendent sans doute sa culpabilité plus probable que son innocenoe; il y a donc lieu de croire que k surpasse j, mais de combien? Nous ne pouvons aucunement le savoir d'avance. Cela dépend de l'habileté et de la sévérité des magistrats chargés de l'instruction préliminaire, et peut varier dans les différents genres d'affaires. Nous ne pouvons pas i^on plu3 connaître, soit avant le tirage au sort sur la liste des citoyens qui peuvent être jurés , soit après ce tirage, la chance qu'un juré ne se trompera pas : elle dépend, pour chaque juré, de ses lumières, de l'opportunité qu'il attache à la répression de telle ou telle sorte de crimes, de la pitié que lui inspire P&ge ou le sexe de l'accusé , etc. ; toutes circonstances qui nous sont inconnues, et dont nous ne pourrions pas d'ailleurs évaluer en nombres, l'influence sur les voles des jurés. U est donc nécessaire, pour qu'on puisse faire usage des formules précédentes, d'en éliminer les éléments inconnus qu'elles renferment; c'est ce qui va maintenant nous occuper.

(laS). Considérons le cas où la chance de ne pas se tromper est égale pour tous les jurés. On suppose qu'elle soit inconnue avant le jugement, et susceptible de toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu'à l'unité, et l'on représente par fudu la probabilité infiniment petite d'une valeur u de cette chance. Si cette valeur était certaine , c'est-à-dire si U chance de ne pas se tromper était certainement u pour

S46 RËGHCRGffltt

cbaqueJtttféyU probabilité qoeraccosë coupable ou ioiidpeut serait condamné par U'—i voix et absous par les i autres voix , aurait pour expression la formule (4); n étant le nombre total des jurés, et A: la probabilité, avant le jugement, de la culpabilité de Vaecusé. Par conséquent, la probabilité de ce partage de voix sera réellement égale à cette formule multipliée par ^udui et quand oe partage aura eu lieu effectivement, la probabilité que la chance de ne pas $e tromper, commune à tous les jurés, a été £^, sera le produit de la for«mule (4) et de (fudu, divisé par la somme des valeurs de ce même produit qui répondent à toutes celles de u, depuis m rs: o , jusqu'à us=s t (n* 4^} ; <le sorte qu'en désignant par eo^du cette probabilité infiniment petite, nous aurons

[*«•"* (» — M)' + (t — *)«* (I — ll)--'3ftt

J '[ittt»-« (i — uy + (!—*)«' (i — ii)»-»]ftiA

en supprimant le facteur Nj de la fomrale (4), indépendant de u et qui serait coînmun au numérateur et au dénominateur de â>|. Si Ton représente par A| la probabilité que la chance u de ne pas se tromper a été comprise entre des limites données / et l\ cette quantité sera rintégrale de »idu, prise depuis u zszl jusqu'à u tss P; on aura donc

k f tt"-'(i— lïy^iidM + (I— k) r u'(i— w)«-'fiMfa

^.«-^^ï =^q . Oa)

Dans le cas de n pair et d'un partage égal des voix, on a n ss a/, et , par conséquent,

X^^Ji .

en sorte que la probabilité A| est alors indépendante de A, dont elle dépend, en général, quand les voix sont «inégalement partagées; Lorsque deux valeurs quelconques de u également éloignées des extrêmes zéro et Tunité , ou de la moyenne tt ss ^ , sont paiement pro-

SUR LA PROBABILITÉ IffiS JUGEMENTS. S47

bMeSy de sorte qu'on ait ç (i •<«•«) sss ^, i! en résulte

SiVù^ZfdfijpluSpl^^etP ssii'^l, on aura aussi

«•-« (i — uypudti =s / II* (i — uY'^tpudu ;

la formule (i j) deyiendra donc

rr

et sera encore indépendante de A, quels que soient les nombres n -^ i et { suivant lesquels la totalité des voix se sera divisée.

En faisant /ssi etZ'ss x, dans la formule (12) , et en désignant par A'f ce qu'elle devient, il en résulte

il / «■-*( I — Il)»^IIlfcl + ( I — . *) / II* (l — ll}"-*'^IMfa

pour la probabilité que la chanee i< est comprise entre 7 et i , ou aurpaïae i* Si l'on &it de même / = oet fsz^^et qu'on représente par X'\ ce que devient la formule (1:2), on aura

k f^ 11—' (1— u^fudu + (1 — *) f^ «' (1 — «)•-'# iM/tt

Ar/ >/ o </ o I 771 Tm >

k J !«■-« (I— iiy^iijtt 4. (i *) / M« (i — »)»-'çttdb

pour la probabilité que u soit moindre que |. Or, la probabilité qu'on a précisément uss ^ étant infiniment petite , la sommoe de ces deux quantités A^ et A^ doit être l'unité | œ qu'on vérifiera immédiatement en observant que leurs dénominateurs sont ^nx f que k somum des intégrales multipliés par k k leurs numérateurs, est égalo à l'inlégrale multipliée par ib au dénomiMlettr , et quil e» est 4e même à l'égard des intégrales multipliées par i-m^k^

54B RfiCHBilCHBS

(136) La probabilité que la chance de ne pas se tromper pour chaque jaré a été égale à u dans un jugement oit n -* î jurés ont condamné raccûsé et les i autres Tout absous^ étant exprimé par cà^du, et la probabilité que l'accusé soit coupable après le jugement, étant la quantité Pi du n* 1 19, si cette chance était certainement u; il suit des règles des n*' 5 et 10, que la probabilité de la culpabilité aura pour valeur complète rintégrale du produit /7|Ctf|e/i^, prise depuis ttsso jusqu'à u =z i. Donc, en la désignant par Çi, et ayant égard aux expi^essions de ûij et de p^ , nous aurons

(.= -TH —r-r . («5)

k I M»-'(i — uYçudu 4- (i — . A) / m'(i — II)*-' çudu

Cette probabilité f j sera zéro ou Tuulté en même temps que k. En mettant son expression sous la forme

Çj — 'ï -1 TH 7m »

k J «•-' (I — uYfudu + (i — A) / ii'(i <— uy-^fudu

on voit que pour toute autre valeur de A: , la probabilité que l'accusé est coupable, après le jugement, sera plus grande ou plus petite qu'auparavant, selon que la première des deux intégrales

/; i^'ii - uy ipudu et/; «•(. - a)-'^*«fe sera plas grande oa

plus petite que la seconde : quand elles seront égales, ce qui aura toujours lieu dans le cas de n^si^i et dans celui de ^(i — tt) = ^£i, on aura Ç^i = Ar^ et, en effet , la probabilité que l'accusé lest coupable ne peut être anconement changée par un jugement dans lequel les voix se sont partagées également, non plus que par un jugement dans lequel les valeiirs i^ et i-*- 1^, ou ^ d= {- ( i-^ ^m), de la chance de ne pas se tromper, sont supposées également probables;

Dans tont autre cas, ^1 né dépendra pas seulement, comme p^y de la majorité m ou n — aik laquelle le jugement a été prononcé, et de 4a quantité A; la valeur de H^i dépendra atissi du nombre total n des jurés et de la loi de probabilité des chances de pas se tromper) exprimée par la fonction ^.

sua LA PROBABILITÉ DBS JUGEMENTS. 349

Ainsi, par exemple, si ane condamaation est pronooeée à uae seule Toix de majorité, pamn jury composé de aoi jurés; ou bien, si Taccusé est coodamué, dans un autre cas, par un seul juré , et qu'on soit certain que la chance de ne pas se tromper a été égale pour ce juré unique et pour chacun des ao 1 autres jurés, la bonté du j ugement aura exactement la même probabilité dans les deux cas : seulement , dans le premier cas, si cette chance diffère notablement de -;, l'événement observé sera un fait extraordinaire , ou dont la probabilité sera très faible , et qui arrivera très rarement ; et si cette chance de ne pas se tromper est égale à I , la probabilité de ce premier cas sera un peu au-dessus de un neuvième , d'après l'expression de for^ du n" 11 9. Mais si la chance que chaque juré ne se trompera point, ne nous est pas connue avant le jugement , et que nous la déduisions du jugement même qui a été prononcé, la culpabilité de l'accusé est beaucoup moins probable, lors* qu'il est condamné par lOi jurés et absous par 100 autres , que s'il n'y avait qu'un seul juré par lequel il eût aussi été condamné ; non pas que te jugement de loi personnes contre 100^ soit moins bon en luitnème que celui d'une seule personne; mais parce que le partage de 201 voix en deux nombres qui ne diffèrent que d'une unité, rend très probable que la chance de ne pas se tromper a été peu différente de ~ , sans doute à raison de la diflfieulté que l'affaire présentait,

(137). Afin de se former une idée précise de la signification qu'on doit attacher aux formules (12) et (i3)^ il faut supposer une. personne qui ait, avant le jugement du jury, une certaine raison de croire l'accusé coupable, exprimée pai" la probabilité h; qui ne connaisse aucun des n jurés, ni l'affaire qu'ils ont eu à juger; et qui sache s^|^ ment qu'on les a pris au hasard sur la liste générale. Pour cette pR> sonne, la prc^bilité qu'un juré ne s'est pas trompé dans son vote, est égale pour tous les jurés (n* 1 23), mais inconnue; avant le jugement elle peut supposer à cette inconnue u, toutes les valeurs possibles depuis a=o jusqu'à tt= i : par des considérations quelconques que nous n'examinons point ici, la probabilité infiniment petite que la personne attribue à la variable iiest exprimée par ^udu; et ^u est une fonction

donnée qui doit satisfaire à la condition f (pudus=: i , puisque la valeur de u est certainement contenue entre les limiter de cette intë^

I^ll

grale : après que ie jugement est prammc^ et la persaone sadiant que Faccosé a été absous par / voix et condamne par les n—- î autres^ cette connaissance est une nouvelle donnée d'après laquelle il y a, pour cette personne, la probabilité A^ que la chance u de ne pas se tromper a été, dans ce jugement, comprise entre les limites let t pour tous les jurés. La raison de croire à la culpabilité de l'accusé a aussi angr mente ou diminué : la probabilité kqui l'exprimait avant le jugement est devenue Ci après qu'il est rendu ; elle serait différente pour une autre personne qui aurait d'autres données sur la question ^ et l'on ne doit pas la confondre avec la chance môme de la culpabilité. Celle-ci dépend de A:, et de la chance de ne pas se tromper, propre à chacun des jurés qui ont concouru au jugement , différente pour les diffé* reuts jurés, d'après leurs divers degrés de capacité et la nature de l'affaire soumise k leurs décisions. Si les valeurs numériques u, ulp ti\ etc. , de cette chance, nous étaient données pour tQus les jurés, ainsi que la valeur de A: , la ci^nce véritable de la culpabilité de l'acr cusé après le jng^nent, se calculerait par les règles du n* ^16, étendnes au cas de n jurés; mais l'impossibilité de connaître ces valeurs fi priori, rend également impossible l'application de ces règles.

$i l'on sait seulement que l'acemé a été condamné è la majorité d'ai^ moins m ou n-^aî voix, de sorte qu'elle ait pu être de m+2^ iit-f-4i * * • * voix, jusqu'à l'unanimité ; et si l'on représente, dans ce cas, par Y. la probabilité que la chance de ne pas se tfx>mper , commune à tons les jurés, a été comprise eptre les limites f et /, et par Zi la pror habilité que le condamné soit coupable, on obtiendra 1^ expressions ^ÊÊfi et Z. par le même raisonnement que celles de A/ et Ci, mais en faisant usage des valeurs de Ci et P.- (n** 1 1 8 et 1 ao), au lieu d'employer^ comme nous l'avons fait pour parvenir aux formules (la) et (i 3), les Valeurs de y g et pi. De cette manière , on aura

'"~ ""Tm 7m »

k I ViPudu + (i — k) I \,€itdu

k I V/Êutbi

A/;u.^i«fa+(.--Â)/;y,

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. S5x

On pmfnit géaéniiaer ce8 expresâooBf ainsi qae les formules (12) et (i 3)^ et les étendre au ces oii Ton. saurait qu'une partie n' des n jures a été prise au hasard $ur une premièra liste, une autre partie n" sur une autre liste, etc* ; et où iW supposerait que pour la première liste, une valeur iif de la chance moyenne de ne pas se tromper a une probabilité ^'u!M\ que pour la seconde liste, ^Vdlr^'' est la prelnbi-i» lité d'une valeur if de cette chance moyenne ; et ainsi de suite. Mais cette extension ne présentant ni difficulté, ni application utile, nous nous dispenserons d'écrire les formules compliquées auxquelles elle donnerait lieu.

(128). Quand i et n^-^i seront de très grands nombres, il faudra avoir recours à la méthode du n* 67 pour calculer les valeurs approchées des intégrales contenues dans les formules (ia), (i5), (14). Je considérerai d'abord celles que renferment les formules ( i ^ ) et (i5).

Depuis ii=:o jusqu'à iisssii le produit ii*^t*— 11)' n'a qu'un seul maximum; je représenterai par € sa valeur, et par a celle de U k la-i< quelle il répond; on aura

Je fais ensuite

ou bien , en passant aux logarithmes

â:*sslog€-^(ii — i)Iogii — ilog(t —a).

La variable X croltrt continueUement depuis jrss-—oD jusqu'à xssoo ; les valeurs x ss «^ eo , â?sso, x asod , répondront à « ss o, us=a, utm I ; et ks limites, de l'inl^nde relative à x serontc^ge , quand edles qui aeiapporlaîentàM étaient séro et l'îimtéw Bngéoéral, sifon oppdieA et hf les. limites relatives à x, coerespôndantea è des Umilt» letV relatives kupoa aura

'35a RECHERCHES

d'après les râleurs précédentes de f et de ^*é Lorsque / et V surpasse-^ ront «, les valeurs de A et A' deyant alors être positives, on prendra les signes supérieurs devant les radicaux; on prendra les signes inférieurs, quand / et V seront moindres que ot ; et quand on aura l^aet t^a, on prendra le signe supérieur devant le second radical et le signe inférieur devant le premier, afin que la valeur de X soit négative etqu« celle de A' soit positive.

Pour exprimer u en série ordonnée suivant les puissances de ^, soient y, y\ y, etc., des coefficients constants, et faisons

«5= « -f- >^ -f- y^c* H- >"ar' 4- etc, ; en ayant égard aux valeurs de «, ^, x^^ il en résultera

^* = aixn"- (>^ + >'^* + y^* 4- etc 0*

en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de cette équation, on en déduira les valeprs de y^ y\ y^ etc. , au moyen desquelles, on aura

et, en même temps.

Si la fonction ^u ne décroît pas très rapidement de part ou d'i la valeur particulière et de u, on pourra , après y avoir substitué cette valeur de tt en série, développer aussi ^i^ suivant les puissances de Utt-a, et par suite, suivant les puissances de jr; on aura, de cette manière,

^ = ^ + [x v^5-.lc.] ^+ J [x v/^3 u:. J ^ + .te Au moyen de ces diverses valeurs , ' Fexpression en série de

i «■^'( I — lif^udu renfermera les inténfkles prises depuis jc = — oo

jusqu'à or ^ 00 , de la différentielle er-'^dx multipliée par des puissances paires ou impaires de x ; les intégrales relatives aux puissances paires auront des valeurs connues, les autres s'évanouiront ; et les nombres I et /i— • I étant du même ordre de grandeur que n^ la série dont il s'agit se trouvera ordonnée suivant des quantités de Tordre de petitesse

de -4= » — 7~ f 7^ 9 6^c- En nous arrêtant à son premier terme . et

e^*^dx est égale à y^, nous aurons^

d'où Fou conclut aussi

par la permutation des nombres i et n — u

Si l'on désigne par S' une quantité positive et très petite par rapport à \/n ; que Ton fasse

et qu'on développe en séries les logarithmes contenus dans les expressions de A et A', on trouvera A = — J^ et A' = J^, en négligeant

les termes de l'ordre de petitesse de -^. D'après cela, on aura

aux quantités près de Tordre de -. A mesure que i" augmentera, cette

intégrale relative à x s'approchera d'être égale à ^^; pour qu'elle en diflere très peu , il suffira que cT soit un nombre tel que % ou 3.

Pour des limites l ou /' qoî seroat toutes deux uotablemeot plus gran-*

des ou plus petites que ^^-^^'intégnXe relative à u serait sensiblement

nuUe.

Eo désignant par ê une quantité positire et très petite pirr raj^rt k v/^9 et faisant

noQS aurons de même

Pour des limites l et t, toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que - , la valeur de cette intégrale relative à u serait sensiblement zéro.

Si les fractions -^^ et - différent notablement l'une de Tautre , les premières des valeurs précédentes de / et 1% différeront de même de la valeur - de u qui répond au maximum de iif( i -*- u)^^ » ce qui rendra sen»blement nulle l'intégrale j «'( i •— * uY^*^udu correspondante à ces limiteSi et , en même temps, les dernières de ces valeurs de / et r difiereront ausâ notaUemettt de la valeur — ~ dt u rela-

tive au maximum de mM( ï —a)*, ce qui rendra aussi à très peu près zéro rintégrale f a*^'(i -^uf^udu^ qui répond aux autres limites.

(129). En substituant dans la formule (iS) les valeurs approchées des intégrales qu'elle contient , et supprimant le» iaetfars communa^ au numérateur et au dénominateur, il vient

pour la probabilité qu'un aocusé est coupable, quand il est condamoé à la majorité de m ou /i—» aï voix, par un jury composé d'un très grand nombre n de jurés. On voit qu'elle dépend du rapport de i k n^ ou, si l'on veut du rapport de /i~-i k i, et non pas de la différence de ces nombres, comme la probabilité /^i-qui a lieu dans le cas où la chance u de ne pas se tromper est donnée à priori (n^ 1 19). Par exemple, si l'accusé est condamné par 1000 voix et absous par 5 00 voix, dans un jury composé de i5oo jurés, ou bien s'il est condamné par 100 voix et acquitté par les 5o autres, quand il y a i5o jurés, la probabilité^, est la même et la probabiliy p^ très difGérente dans ces deux cas. Au contraire , le second jury et sa décision restant les mêmes , si le premier jury était composé de io5o jurés^ dont 55o eussent condamné l'accusé et 5oo l'eussent absous, ce serait pi qui ne changerait pas et Ç. qui pourrait beaucoup changer.

L'aocusé étant condamné, ■ "" surpasse - et -est moindre; or,

si Ton suppose qu'au-dessous de £/ s= 7 , la fonction tpu soit sensiblement nulle, c*est-ji-^ire si Ton regarde comme tout-h-fait invraisemblable, une chance moyenne de ne pas se tromper, qui tomberait au-dessous de ^« ou serait moindre que celle de se tromper; et si, de plus, la fraction k n'est pas très approchante de zéro, on pourra négliger le second terme du dénominateur de Çi par rapport au premier ; d'où il résultera Çi = i , ou , du moins , une probabilité Çi très approchante de la certitude.

Au moyen des valeurs a[^n>chëes des intégrales contenues dans la

formule (la), et en supposant que les fractions ^^^^ et - ne soient

pas très peu différentes Tune de l'autre , on aura

Ai =

pour la probabilité que dans le jugement raidn contre l'accusé, la chance u de ne pas se tromper, commune à tous les jurés, a été com« prise entre les limites

M iDiii»<ii

Dans la même hypothèse , qui rend nulle une des deux intégrales que renferme le numérateur de la formule (la), on aura

pour la probabilité que cette chance a été renfermée entre les limites

On peut donner à J^ et €, des valeurs assez grandes sans être très considérables , pour que les intégrales relatives à x diffèrent très peu

de v/^ ; ^ors la somme de ces deux valeurs de A| différera aussi très peu de l'unité ; et il sera à très peu près certain que la chance moyenne u a été comprise, soit entre les premières limites, qui s'écartent peu de

la fraction —^^ supérieure à - , soit entre les dernières, qui s'écar-

tent peu de la firaction - moindre que -. Si Ton suppose ^ T- j insensi*

ble ou négligeable par rapport à ^ \~~\ ^^ second cas sera exclu ,

et Ton pourra regarder comme à peu près certain que la valeur de u

s'est très peu écartée du rapport — ^^^ , ou , autrement dit , que les

chances ci et i — u de ne pas se tromper et de se tromper, ont été entre elles comme les nombres n — i et i des voix de condamnation et d'acquittement.

n semblerait, d'après cela , que la probabilité Ci au lieu de se réduire sensiblement à l'unité, devrait différer très peu delà valeur dep^

relative à « =s , Mais il faut remarquer que la probabilité /?j ré-

pondant au cas où la chance u n'a certainement qu'une seule valeur possible ; pour (aire rentrer ce cas dans celui auquel répond l'expression de Ci , il faudrait supposer que fii n'a de valeurs autres que zéro^

que dans une étendae infiniment petite de part et d'antre de la valeur possible de u, et qu'elle. décroît très rapidement près de cette valeur ; or^ l'analyse du numéro précédent suppose essentiellement^ comme on l'a vu , que (pu ne varie point ainsi de part ou d'autre de la valeur

-^- de u; par conséquent l'expression de }^, déduite de cette analyse , n'est point applicable au cas auquel répond l'expression de pi du n* 119. On peut d'ailleurs observer que celle-ci est comprise dans la formule (i3). En effet, si l'on représente, en général, par (^ la seule valeur possible de u^ et par }i un infiniment petit positif; et si Ton prend pour fu une fonction qui soit nulle pour toutes les valeurs de u, non comprises entre i^=F>i, les limites des intégrales que contient la formule (i5) se réduiront à i^qpYi; dans leur étendue, les fiacteuç t^^^i — «y etM'(i — m)""' seront constants; en les faisant sortir hors

des signes /, et supprimant ensuite Fintégrale f (pudu qui se trouvera facteur commun an numérateur et au dénominateur de la formule (i3), elle coïncidera avec la formule (7) appliquée à m= p«

Si les deux fractions ~ et - ne différaient pas sensiblement l'une

de l'autre, et que l'on prit £ =: J^, les valeurs précédentes de A| se rapporteraient aux mêmes limites de la chance u; mais leur valeur commune différerait des précédentes, et serait indépendante de A: et égale

à --p. j er**dx^ parce que, dans ce cas particulier, les deux intégrales contenues au numérateur de la formule (la) sont sensiblement égales , ainsi que celles qui se trouvent à son dénominateur.

(i3o). Pour déterminer les valeurs approchées des intégrales que renferment les formules (14)9 il Êiudra exprimer celles de Uget Vf au moyen des formules (i i).

La première de celles-ci ayant li^ quand -^^ surpasse . , et

la seconde dans le cas contraire, il s'ensuit que la première subsistera depuis lisso jusqu'à u= a, et la seconde depuis tf =a jusqu'à « ssi ,

en prenant n pour /i + 1 et faisant -^^ = a. D'après l'équation qui

détermine la quantité 8 contenue dans ces formules (i i), on aura

c'est-à-dire la même équation qu'on avait tout-à-llieure entre u et x, et de laquelle on tirera

Mais 6 devant toujours être une quantité positive (n* i ^ i ), ses valeurs esront 8r=oo , 6=^0, 8^:^00 f pour u=::Oy l^^=a, ussi : la variable £< croissant depuis 2^=0 jusqu'à u = a, la variable 8 décroîtra depuis 62^00 jusqu'à 8s=:o; et £^ croissant de nouveau depuis usscc jusqu'à u= t, cette même variable 6 croîtra depuis d=o jusqu'à 6 sssoo .

# Cela posé, nous aurons, d après les formules (i i)#

On obtiendra, en séries convergentes, les valeurs de ces intégrales, simples et doubles, relatives à 6, en substituant sous les signes / la série précédente à la place de u, son coefficient différentiel au lieu de

^ , et développant aussi ^u en* série , ce qui suppose que cette fonction ne varie pas très rapidement de part ou d'autre de la valeur particulière a de u. Si Ton néglige les termes de l'ordre de petitesse de

-, on fera simplement

ai(n — du . /aiC» — ^ -,

jé< ,1, ,

Le radical W '^T ^^^ susceptible du double signe dt; on prendra

le signe supérieur dans 1«b intégvuies où la variable I est croissante, et le signe inférieur dans celle où elle est décroissante ; en changeant ensuite le signe de ces dernières, et intervertissant Tordre. de leurs limites, nous aurons

et en ajoutant ces ctenz formules , il en résultera

f^JJ/pudu = 1 (pudu.

En général, si Ton désigne par a et a^ deux valeurs de u telles que Ton ait a < ft et a, > a, et que Ton représente par b et b^ les valeurs positives de • <[ui répondent à ac=a et w=:a^, ou aura, au degré d'approximation où nous nous arrêtons ,

Par le procédé de l'intégration par partie^ on a d'ailleurs et, par conséquent >

/;'u^i«/«:=/;w«-<^v/^(*'yr^''^-^^'"'^''''*)-

Je mets actuellement V, àU place de U, dans les formules (i i), et j'y efaaage,en consëquence, uen i— «(n* n8).La première aura lieu quand

^ surpassera —r^ — :, c'est-à-dire depuis aass i — « jusqu'à » = i , en

prenant n pour n4- i, «t £ûsant toujours etsss-^. La seconde subsistera depuis a=o jusqu'à «s= i — a. En repr&entant par 9' ce que devient 6 par le changement de u en i — u; et continuant de négliger

36o RECHERCHES

les termes de Tordre de petitesse de - , nous aurons d'abord

et y par conséquent,

Ensuite, si a! et a\ sont deux valeurs de u telles que Ton ait a'< i — « et a',> I— «t, et si l'on désigne par b' et b'^ les valeurs positives de fi", tirées de l'équation

et qui répondent k uzsze^ et u =:a\j on aura aussi

fj^ v^»fc=»(.-)v/-^(*;/.V-<*+i-i^.-)'

(i3i). Les valeurs approchées des intégrales contenues dans les for* mules ( 1 4) étant ainsi déterminées , nous aurons

k I çudu

pour la probabilité que l'accusé est coupable, après qu'il a été condamné par un nombre de voix au moins égal à n-— i, dans un jury d'un très

grand nombre n de jurés. Le rapport a ou -^ étant alors plus grand que -, si Ton suppose la fonction (pu insensible ou nulle pour les valeurs de u moindres que^-, l'intégrale / (pudu le sera aussi, et si

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. S6i

k n'est fàs nue très pelile fraction, la vateaf de Z, sera sensiblement ^ale k rnnilë. Dans le cas de f(i— 'u)=^ii ponr tontes les yalenrs de u, on anra

ce qni rédnira la valeur de Z^ à k^ comme cela doit être.

Si Ton prend a as i — « et a'^ =s a , les valeurs correspondantes b et b'^ de et 0" seront égales; en les désignant par c et ayant égard à ce que a représente, c sera la quantité positive déterminée par réquation

{n — i/ 1*-' s i' (n — I )--'(r--* ; on aura

d'où il résultera

pour la probabilité, dans la condamnation dont il s'agit, que la chance u de ne pas se tromper, commnne & tous les jurés, a été comprise

entre i — « et a^ c*est4i-dire entre - et — ^ • Cafte probabilité

est très faible à cause du &ctenr très petit \/~^^^ • H ^^^^

suit quil est an contraire très probable que la chance u a été, ou plus grande que a , ou plus petite que i -— a.

Pour le vérifier, je prends a^sssi et a/:=i, les valeurs corre^ pondantes de et 6' sont &^ssqp et &/:=qo; il len résulte

563 mmiMMES

si, de oette deraièxe int^;^e^ oa ratvMicbe la Talevr prétëdente

do r* YiÇuduy il vient

et , aa moyen des valeurs de j V/pudu et f ^\/pudu , cm aura

pour la probabilité que la chance u était comprise entre uxsxa ^ ussi , ou supérieure à a. Je prends aussi asso et a'=o ; on aura 6 s= 00 et 6' = 00 ; il en résultera

de cette dernière intégrale^ je retranche la valeur précédente dé

/Vi^udu, ce qui donne

l],^udu et / Yfiudu, on conclut

pour la probabilité que la chance u a été comprise entre u =: o et £<= I — a, ou inférieure à i -— a. La somme des deux dernières valeurs de Yj est à très peu près ^ale à Tunité; ce qu'il s'agissait de vérifier. Quand les valeurs de (pu, relatives k u^i, sont nulles ou insensibles I la dernière- valeur de Y/ est très petite, et la précédente

1res peu diffëre^e de la certitade» Dans tous les cas, la somme des trois valeurs de Y, qu'on vient de calculer est , comme cela doit être , égale à un.

(iS:i). Lors même quQ le nombre n des jurés est très grand, on est donc obligé , d*après ce qui précède y de faire une hypothèse sur la fonction (pu^ ou sur la loi de probabilité des chances de ne pas se tromper, pour pouvoir conclure la probabilité qu'un condamné est coupable, des nombres ti-^i et i des jurés qui ont voté pour ou contre lui* A plus ibrte raison , eela est-il nécessaire, dans le ca^ ordi<naire, où le nombre n n'est pas très coosidérable.

L'hypothèse que Laplace a fiiite pour cet objet, consiste i supposer que la fonction fu soit zéro pour tont^ les valeurs de u moindres que

- , et qu'elle ait une même valeur pour toutes celles de u qui surpassent - ; ce qui revient à dire que toute chance de ne pas se tromper moindre que la chance de se tromper est regardée comme impossible , et que les chances de ne pas se tromper plus grandes que celles de se tromper sont toutes également problables. Elle est permise; car

on satisfidt i la condition J ^ucZei =si , de la manière qu'on a expliquée précédemment (n* laS) : la moyenne des valeurs possibles de u, ou

/ tifiidu, serait alors comprise entre -et 7^ et dépendrait de la valeur defii, pour u^-.

Dans cette hypothèse, (fu étant zéro pour u<-f e) une quantité constante pour i< > - , les limites des intégrales que renferme la fermule (i 3) se réduiront à usso et u as -; on pourra faire sortir pu

hors des signes /; et comme on a

cette fomrale deneodr^

364 RBCHEHCBÊS

krt^i^uydu + (i— Jt) r*«*-'(i— «y du

en supprimant le facteur constant ^«^ qui serait eomnrnn à son numérateur et à son dénominateur.

Laplace n'ayant point eu égard à la probabilité k de la culpabilité avant le jagement , il &ut, poor fiiire coïncider cette formule avec la sienne, supposer que cette culpabilité ne soit ni pins ni moins pro-

bable que la non-culpabilité^ et fane, enconséquence , A=s - , ce qui

donne

On anrait donc aussi

ou bien, en effectuant les intégrations,

pour la probabilité que Tacéusé n'est pas coupable, lorsqu'il a été condamné à la majorité de n-^ai voix dans un jury de n jurés.

Cette dernière formule est, en effet, celle de Laplace (*). La quantité comprise entre les parenthèses, se compose de i + '

(*) Preiaier tapplément à la Théorie mnafyîique des probaàiliiés , page 33.

termes, et se réduit k Tiinité dans le cfis de itsios d'où il résulte «-^,

pour la probabilité de Terreur d'une condamnation prononcée à Tuna-» nimité. En ne prenant pas ^=7, et Taisant £â=o, on aurait

quantité pins petite 00 pins grande que -7:^, selon que A: surpasse -

ou est moindre.

Dans le cas ordinaire de nssi^r, si Ton fait successivement

î =3 o, SB I , ss 2, SB 5, 5=54» 3= 5, la formule (i5) donne les fi'ac-'

tiona

Sigâ' 8iga' biga' 819a' 819a' 8igff*

pour la probabilité de Terreur des condamnations prononcées par les rar jurés-, par ?i contre t, par 10 contre 2, par g cotatre 3/ par 8 contre 4» p^r 7 contre 5. A la plus petite majorité, la probabilité de

Terreur serait presque égale à - ; de sorte que* sur un très grand

nombre d'accusés, condamnés à k majorité de sept voix contre cinq,

il serait très probable que les deux septièmes n'auraient pas dû Tètre i

ce serait à peu près un huitième à la majorité de huit voix contré quatre.

En appKquant l'hypothèse de Laplace à la formule (la); désignant

par / une quantité positive et qui n'flrcède pas - ; et faisant k^^f /ss:i, fxs--4-'/, on trouve

pour la probabilité qu^e la chance 11 de ne pas se tromper, qni n'a pas pu, suivant l'hypothèse, s'abaisser an -dessous de ^, a été comprise enti« ' et - -h /, dans une condamnation prononcée par n - / contre

566 KECHERCHBS

i jures. Les intégrations s'effectueront sans difficulté. D^ns le cas de î = 0| ou de l'unanimité y on aura

Si Ton prend 9 par exemple ^ n^ia et /=:o,44^9 ^^ trouve, à très peu près A, c= - , de sorte qu'il y a un à parier contre un que la

chance, u a été comprise entre o,5, et 0,948. En faisaat /=s j^^xï& supposant pas 1 = 0, on a

pour la protMbilité que la dumce u a été comprise entre- et j, ou

plus rapprochée de - que de l'unité. ]Pour /»=i2i et t=5, la valeur de

cetter quantité est 0,915. • % .; en sorte qu'il y a un peu plus de dix à parier contre un, que dans le cas de la plus petite majorité, cette

chance u a été au-dessous de j.

(iSS). Puisque la formule (t5) est déduite d'une antre dans laquelle la <^nce u de ne pas se trouer était la même pour tous les jurés , cette quantité ne saurait être, quoique Laplace ait omis de le dire, la chance propre à t:hacun des n jur& qui ont jugé Faccoséi ^le doit représenter la chance moyenne relative à la liste générale sur laquelle ces n jurés ont été pris au hasard (n^ laa). Sur cette Uste, il y a aans doute des personnes pour lesquelles la diance de ne pas se tromper,

au moins dans les affaires difficiles, est au-dessous de *, ou moindre

que la chance de se tromper. L'hypothèse de Laplace exige donc que leur nondire aak asseï pMi ooosidéraUe pour ne pas eaqiédker la

dianœ moyenne dfétre toujours plus girande que -• L'iUustre géomètve suppœe, en mrtiei ^^au^^dessus de -, les valeurs de cette

SUR LÀ PROBABOilTÉ DES JUGEMENTS. S67

chance, depuis i^= - jusqu'à tt= i, sont toutes également probables. '

La seule raison qu'il donne de cette double supposition est que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à terreur. Mais ^ en partant de ce principe, on en conclurait seulement que la fonction ^u par laquelle nous avons exprimé la loi de probabilité des valeurs de la chance moyenne , doit être une plus grande quantité pour les valeurs

de u qui sont ao-dessus de - que pour celles qui sont au-dessous; con>

dition qui peut être remplie d'une iafioilé de manières diflerenlesi

sans qu'on soit obligé de supposer ^Uc=o pour u < -, et cette fonction

^u constante pour u'^ -. L'hypothèse que nous examinons n'est donc

pas sttflSsamment motivée à prioff; et, comme on va le voir, les coa« séquences qui s'en déduisent la rendent lout-4i«fait inadmissible.

En effet, la formule (i 5), qui est une de ses conséquences néces* saires, ne renferme rien qui dépende de la capacité des personnes portées sur la liste générale des jurés | quelqu'un qui saurait, par exemple, que deux condamnations ont été prononcées à une même majorité, et par des jurys d'un même nombre de jurés, mais pris sur deux listes différentes , aurait donc la même raison de croire que ces deux juge* ments sont erronés, quoiqu'il sût que les personnes portées sur Tune des Kstes ont une capacité bien supérieure à celle des personnes portées sur Tautre; or, c'est déjà ce qu'il est impossible d'admettre.

La fraction - étant plus petite que -, quand l'accusé est condamné

à la majorité de n — î voix contfe 1 ; la quantité ^ (-j est séro ou

insensible dans l'hypothèse que nous examinons, ce qui rend la probabilité Ç] de la culpabilité du condamné très approchante de l'unité, lorsque le nombre n est très grand, et quel que soif l'excès àe nr^i sur i (n* lag). Ainsi, par exemple, en supposant le jury composé de looo jurés, et l'accusé condamné par 5^0 jurés et acquitté par 4^ 9 ^" devrait regarder comme à peu .près certain le fait de sa culpabilité , quoiqu'il soit nié par ces 480 jurés , pour lesquels on suppose que la chance de ne pas se tromper a été la milmis que pour les 5ao autres; conséquence qui suffirait pour

rejeter Th^rpothèse d'où elle est déduite; car personne, évidemment, n'accorderait une grande confiance à un tel jugement , et surtout la même confiance qu'à celui qui serait prononcé à la presque unani* mité par les looo jurés. Dans cette hypothèse, si la capacité des personnes portées sur la liste générale des jurés vient à changer, si elle est plus grande dans un pays que dans un autre, si elle est différente pour différentes sortes d'affaires, la probabilité des chances de ne pas se tromper augmente suivant le même rapport, pour celles qui se rapprochent le

plus de l'unité et pour celles qui difierent le moins de - ; or, tel n'est pas

ce qui a lieu réelleni.ent : quand cette capacité augmente, par une came quelconque» les.chances de ne pas ce tromper les plus voisines de la certitude acquièrent une probabilité plus grande que celle qu'elles avaient auparavant; et Je contraire a liçu à ^gard de celles qui s'éloignent le plus de l'unité. En prenant pour ^u une fonction qui puisse remplir ces conditions, et qui ne soit pas d'ailleurs absolument nulle ou iasen-

sible au-dessous de tt^:^- , on fera disparaître les difficulté que nous ve*

nous d'in<i^quer; viais .elles sont insuffisantes pour déterminer la fonction ^u : une infinité de formes difiërentes de cette fonction continue ou discontinue, satisfont à ces conditions, et conduiraient k des valeurs tjrès inégales de la probabilité Ci , ejiprimée par la formule (i 5), pour un même nombre n de jurés, et \ipe n^ême différence entre les nombres n — î et I.

Ainsi , d*après la connaissance de ces nombres dans une cond^imoa-

tion isolée, et soit que l'on suppose la probabilité antérieure k égale à -

ou à toute autre frsiction, on ne peut pas, comme nous lavons déjà dît, déterminer la probabilité réeHe de la bonté de ce jugement, qui dépend de la chance de ne pas se tromper, propre à chaque juré et que nous ne pouvons pas connaître; mais on doit aussi regarder comme impossible de calculer ce que serait cette probabilité, pour quelqu'un qui saurait seulement que les /i jurés ont été pris au hasard sur la liste générale, et pour qui la raison de croire à la bonté du jugement ne dépendrait plus que de la chance moyenne de ne pas se tromper, relative \ tette liste et commune aux n jurés (n* laa} ; car, pour ce calcul, on serait obligé de foire, sur la loi de probabilité des valeurs de la chance moyenne dei»

puw léro jusqu'à l'unité, une hypothèse particulière, qui ne serait ni celle de.Laplace, ni aucune autre que l'on pût suffisamment motiver. Si uOnc, il noyait été rendu qu'un seul jugement par des jurés pris sur cette liste,l6S formules précédentes ne seraient susceptibles d'aucune application utile; il en seraitencore de même, s'il avait été rendu un nombre peu considérable de jugements; mais nous savons, au contraire, que de très grands nombres de condamnations et d'acquittements, dans des proportions connues , ont été prononcés par des jurys pris successivement au hasard sur une même liste générale j or , c'est sur cette considération qu'est fondée, comme 00 va le voir, l'application des formules (4), (5), (")» (7)» (8)f (9), (10), qui ne contiennent que. deux constantes inconnues A; et u, et n'exigeront, en conséquence, que deux données de l'observation. La détermination de ces données va d'abord nous occuper.

(i34). La liste générale des citoyens qui peuvent être jurés contient un nombre quelconque de noms; chaque jury se compose de n jurés: on a tiré an sort sur la liste générale, les jurys d'une ou plusieurs at^ nées, qui ont jugé un très grand nombre (a d'accusés j et l'on représente para,., le n<Mnbre de ces accusés que ces jurys ont condamna à la majorité d'au moins »— 1 contre i voix ; ce qui suppose que 1 soit zéro, on un des nombres moindres que la moitié de «. La chance d'une telle condamnation, avant que l'accusé fût jugé, a dû varier d'un jugement à un antre; mais, quelle que soit cette variation, la moyenne des valeurs mconnues de cette chance qui ont eu lieu dans les /t jugements prononces, a été tics proBablement et à très peu près égale au rapport ^ (n»95). De plus, les valeurs de cette chance moyenne et de ce rapport varieront très peu avec le nombre //. supposé très grand; et, si ce nombre augmente encore déplus en plus, elles convergeront indéHniment yere une constante spéciale, qu'elles atteindraient si ^ pouvait devenir mfiui , sans que les causes divci-ses d'une condamnation à la majorité dont il s'agit, vinssent à éprouver aucun changement.Cctte quantitéspé^ ciale, que je représenterai par R„ est la somme des chances que toutes les causes possibles de celte condamnation, on de l'événement que nous considérons, donnent à son arrivée, multipliées par les probabilités respectives de ces mêmes causes (n* 104). U serait impossible d'en faire l'énuraération et de calculer à priori leur influence; mais ces causes ne

370 BECHEROffiS

nous sont pas nécessaires à connaître : U ik>iis rafl^de snpposer qfu'oUes ne varient ni dans lears probabilités respectives, ni dans les chances qu'elles donnent aux condamnatioBS; et r<d)servation même nous fera connaître si cette supposition est conforme à la vérité. Dans ce caS| en désignant par cii^ le nombre des condamnations à la majorité d'au moins n — i contre i voix, qui ont eu lieu pour un autre très grand nombre u!

d'accusés, la différence -7 — -* sera très probablement une très petite

fraction (n^ 109); et si, au contraire, elle n'est pas très petite, on sera fondé à croire que, dans Tintervalle des deux séries de jugements, il est survenu quelque changement notable dans les causes des condamnations. Le calcul ne peut, au reste, que nous avertir de Texistence de ce changement, sans nous en faire connaître la nature.

Ce que nous disons à l'égard des condaraoations prononcées à la majorité d'au tnoins n— / contre i voix^ convient également à celles qui ont eu lieti à cette majorité même de n-^i contre i. Si l'on #&igne par 6j, le nombre de celles-ci pour le nombre ^ d'accusés, il y aura aussi une constante spéciale que^e représenterai par r^, dont

le rapport -^ s'approchera indéfinintent à mesure que fi^ augmentera

encore de plus en phis, et qu'il atteindrait si jjl pouvait devenir infini , sans que les causes des condamnations éprouvassent aucun changement ; et si h\ est ce nombre de condamnations pour le nombre

/M,' d accusés , la différence -7- -^ -^ sera très probablement une frac-r

tion très petite. On aura évidemment

Ui = i| + 0|, .-|- 6|^^ -f-. • . ... .+ b^ ,

al = hl + hU, + W, 4- + b'„

Cela posé, prenons pour a une quantité positive très petite par rapport à \/fjL et Vf*' , et faisons

\/wJ .

QO

D'après les formules du n« ii3, cette quantité P sera la •probabilité commune à certaines limites des. deux inconnues R| et , et

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Syt

fies différences ^—— et ^ — -, savoîr :

fi-:p«V/^^. (a)

pour la première inconnne ,

^.rp.v/^^' C*)

pour la seconde inconiiue ;

— «i) , aa/O»— «/)

pour la première différence, et

^ . ^'?^+ *!^), (rf)

pour la deuxièaie.

Tontes choses d'ailleurs égales, a mesure que (a et /a' augroen-teront, les amplitudes de ces limites décroîtront à peu près suivant la raison myeite des racines carrées de ces grands nombres, parce que a^ et bi croîtront à peu près comme le nombre fi, et que Oi et b/ eroltront de même avec fif. Elles aaront aussi d'autant moins d'étendue que la quantité « sera plus petite; mais leur probabilité P diminuera en même temps que ot.

(i35). Toutes les données numériques dont je vais faire usage sont tirées^ comme je lai dit dans le préambule de cet ouvrage , des Comptes généraux de t jâdmimstration de la justice criminelle j publiés par le Gouvernement.

Depuis 1825 jusqu'à i85o inclusivement, les nombres des affaires soumises annuellement aux jurys, dans la France entière, ont été

5iai, 55oi , 5387, 6721, 55o6, 5o68;

et les nombres des accusés, dans ces procès criminels, se sont élevés à

ce qui fait cbaqne année , à peu près sept accusés pour cinq affaires*

S^a REOifiRCHES

Les nombres des condamnés à la majorité d'au moins sept voix contre cinq , ont été , dans ces mêmes années ,

d'où il résulte , pour les rapports de ces derniers nombres aux précédents ,

0,6068, 0,622a, o,6ii3, o,6i55, 0,6069, 0,5952;

où Ton voit déjà que ces rapports annuels ont ires peu varié, dans cet intervalle de six années pendant lesquelles la législation criminelle n'a pas changé.

Je prends pour fjL la somme des nombres des accusés pendant ces six années, et pour as celle des nombres correspondants des condamnés. On aura

au moyen de quoi les limites (a) deviendront

0,6094 =p ôL (o,oo535);

et si Ton fait a =: 2, par exemple, on aura aussi

pour la probabilité, très approcliante de la certitude, que rinconnue R5 et la fraction 0,6094 ne différent pas de 0,0067, ^'une de Tautre. Si Ton partage les six années que nous considérons en deux périodes égales, dont Tune comprenae les trois premières années et l'autre les trois dernières, on aura pour les nombres des accusés,

;a = 2o569, /it'=:2173lj

et , en même temps , pour ceux des condamnés ,

«6= 12621, a'6 = i5i56j d'où il résulte

;=o,6i56, y = 0,6054, -*-^ = o,ooaa.

Or, les limites (c) de 'cette différence seront

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. SyS

en prenant « ss i,a, elles deviendront zp o,oo8o5; et Ton aura

Ps= 0,9105, I — P = 0,0897.

Il y aurait donc à très peu près dix à parier coatre un que la différence

des deux rapports -^ et -^ tomberait entre les limites zp o,oo8o5; et

quoique, abstraction faite du signe, la diffëi^nce obserYée=iro,oo82 s eu écarte un peu, Técart et la probabilité P qu'il ne devrait pas avoir lieu, ne sont point assez considérables pour qu on soit bien fondé à croire qu'il y ait eu quelque changement notable dans les causes. '^^ Pendant Tannée i83i, le nombre des inriividus jugés par les jurys s'est élevé a 7606, et celui des condamnés à 4098. La loi exigeait alors la majoiûté d'au moins huit voix contre quatre pour la condamnation ; à cette majorité, on avait donc

Excepté la majorité exigée, ^i les autres causes qvà influent sur les jugements des jurys ont été les mêmes dans cette année que dans les

précédentes, on aura la valeur du rapport ~ en retranchant de la va-

leur de ^ celle de ^. c'est-à-dire en retranchant 0.5388 de la fractiou 0,6094» trouvée plus haut; ce qui domie

Pour vérifier ce résultat, j'observe que depuis i8a5 jusqu'à i83o, la toi prescrivait l'intervention des juges composant la cour d'assises, toutes les fois que la décision du jury était rendue à la plus petite majorité de sept voix contre cinq ; or , on trouve , dans les Comptes généraux^ que pendant les cinq dernières de ces six années, cette in« tei^ention a eu lieu des nombres de fois à peu près égaux, savoir :

ou, au total, dans 191 1 affaires; mais on ne fait pas connaître le nombre des accusés auxquels ces affaires se rapportent. C'est donc au nombre des aftires jugées pendant les mêmes années, et non pas à celui des individus mis en jugement, qu'il faut comparer ce nombre

donné igri : dans cet intervalle de cinq années y le nombce total des affaires criminelles s'est élevé à 20883; on a donc eu à la fois

/ct=a6883^ bs^sugii; d'où il résulte

as -=0,0711,-

ce qui diffère très peu du résultat précédent. Cet accord entre les deux

valeurs de —, montre que dans Tannée i83i , les probabilités 2£ et k dont

cerappoii; dépend, sont ratées à très peu près les mêmes que dans les années précédentes. Toutefois , on doit remarquer qut le calcul de la dernière valeur est fondé sur Thypothèse que le nombre des condamnés à la majorité de sept voix contre cinq, est au nombre total des accusés, comme le nombre des affaires où cejtte majorité a eu lieu^ est au nombre total des affaires; proportion que l'on ne peut pas justifia* à priori, faute de données qui ne se trouvent pas dans les Comptes généraux • Dans les années iSSs et i835, les nombres des accusés, dé&lcatiou faite des affaires politiques, pnt été 7555 et 6964- La différODce considérable qu'ils présentent provient d'une nouvelle disposition législative, d'après laquelle , en i833, plusieurs genrj^s d'affairos ont été enlevés aux cours d'assises et x^pvoyés à la police correctioimelle. Les nombres des condamnés,. à la majorité d*au moins buit voix contre quatre comme en i85i , se sont élevés à 444^ ^^ 4>oS» ^^^ ^^ ^^ splte pour ces deu^ années ,

-^ = 0,5887, îîi=* 0,5895. 4

t^es rapports diffèrent, comme on voit, très peu l'un de l'autre; mais

leur moyenne 0^5888 surpasse la valeur o,5388 de ^«qui avait lieu en

idSi, de o,o5, ou d'environ un dixième de cette valeur; ce qui serait hors de toute vraisemblance , d'après les limites (c) et leur probabilité P, s'il n était survenu aucun changement dans les causes qui peuvent influer sur les votes des jurés. La législation criminelle a subi, en effet, un tel changement, qui consiste dans la question des circonstances atténuantes, posée aux jurys depuis i83a ; question qui

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS- SyS

èQlrattie^ dans le cas de l'aiEraKitiTe, urne diminnUen de pénalité; ce qui a rendu les ce^ndaranationa plus faciles et plus iiorobreusef;.

(i3(>). Les différents rapports qoe nous venons de calculer pour la France entière, ne sont pas les mêmes pour toutes les parties du royaume ; mais si Ton excepte le département d^^ Seine et quelques autres départements^ les nombres des aOaires d^PInelles qui ont été jugées eu quelques années ne sont pas assez considérables pour que Ton en puisse déduire ^ avec une probabilité suffisante et pour chaque ressort de cours d'assises, la quantité constante vers laquelle doit converger le rapport du nombre des condamnés à celui des accnsés. Voici les résultats relatif à la cour d'assises de Paris.

De 18^5 à i83o, les nombres d'individus qu'elle a jugés annuelle* ment ont été

80a, 824, 675, 868, 908/804; et ceux des condamnés

ce qui donne pour les rapports des uns aux autres

En prenast pour ft la somme des six premiers nombres , et pour as ceUe des six nombpçs suivants , on aura

fiss488%, «5^=5177, 5—0^09.

D'après lea nombres 4^3oo et 25779 d'accusés et de condamnés, relatifs a la France entière, pendant les mêmes années, nous avons trouvé que ce rapport doit différer très peu de 0,6094 ; fraction moindre que la précédente, de 0,0416, ou d'environ un quinzième de sa valeur; or les limites (c) et leur probabilité P rendraient un tel écart tout-à-fait invraisemblable, s'il n'y avait pas, pour le déparlement de la Seine, une cause particulière qui rendit les condamnations plus faciles que dans le reste de la France. Quelle est cette cause? C'est ce que le calcul ne saurait nous apprendre. Toutefois, nous ferons remarquer que dans ce département, dont la population est à peine un trente-sixième de celle

du royaume, le nombre des accuses surpasse un neuvième de cdui qui a lieu, pour un nw^me intervalle de temps, dans la France entière; en sorte qu'il est proportionnellement quatre foisaussi grand ; cîrconsiaace qui rend la répression des crimes plus nécessaire, et qui, peut-être pour cette raison, ^^ cause d'une plus grande sévérité des jurés. Au moyen de cdHkleurs de /zeï a^, les limites (à) deviennent

o,G5 ogzpa (0,00965) ; et si Ton prend a = 2, on aura

Ps=o,99552, I — P=ro,oo468;

c esl-a-dire plus de soo à parier contre un, que Tinconnue Rs ne<liflere de o,65o9, que de 0,6 igS, en plus ou en moins.

Le dernier o,6oao des six rapports cités plus haut étant notablement moindre que la moyenne des cinq autres, il y a Keu d'examiner si cette différence indique suffisamment Texistence de quelque cause particulière qui aurait rendu les jurés moins sévères en i83o que dans les années précédentes. Or, en prenant pour /i et a^ les sommes des nombres d'accusés et de condamnés dans le département de la Seine, depuis 1835 jusqu'à iS^gy et pour fi' et a\ les nombres relatifs k Tannée tSSo, on a

/i, = 4077, as = 1695, fi' =» 804, a's = 4H ;

doù il résulte

^ = o,66o5, ~ = 0.60 lû, ^4 ^ = o,o585.

Les limites (c) deviennent aussi

qp «(0,02657) ;

en sorte qu'en faisant « ssa, il y aurait plus de aoo à parier contre un que la différence des rapports — et -^n'aurait pas dû excéder o,o55i4 : elle a surpassé cette fraction, d'à peu près un it>* de sayaleur; on peut donc

croire qa'il y a ea à cette époque quelque anomalie réelle dans les votes des jurés; et la cause de cette anomalie, qui les a rendus un peu moins sévères, a pu être la Révolution de i85o. Cette cause, quelle qu'elle soit, parait avoir agi sur les jurés de la France entière; car, en i83o, le rapport du nombre des condamnés à celui des accusés dans ' tout le royaume, s'est abaissé k près de OjSg^ tandis que sa valeur moyenne avait été 0|6i pour les cinq années précédentes.

Depuis i8a6 jusqu'à i83o inclusivement, le nombre des alTaires criminelles s'est élevé, dans le département de la Seine, à 3963; et dans ce nombre il y a eu ig4 affaires où la condamnation par le jury a été prononcée k la majorité de sept voix contre cinq, et où la cour a dû intervenir. En prenant le rapport de 1^4 ^ ^963 pour la valeur

de ~, on aura donc

quantité un peu moindre que la valeur du même rapport pour la France entière.

(137). Si nous considérions séparément, comme dans les Comptes généraux j toutes les espèces de crimes dont les cours d'assises ont eu à s'occuper, les nombres d'accusés et de condamnés pour chaque espèce en particulier, qe seraient pas assex grands pour donner lieu à des rapports constants, et servir de base à nos calculs. Mais dans ces Comptes j on a aussi groupé toutes les affaires criminelles en deux classes, dont l'une reoferme les crimes contre les personnes j et l'autre les crimes contre les propriétés ^ et ces deux grandes divisions ont présenté annnuellement des rapports très différents l'un de l'autre , mais à peu près invariables pour chacune d'elles. Ce sont ces rapports que nous allons citer.

Pendant les six années comprises depuis 1825 jusqu'à i83o, les nombres des accusés de crimes contre les personnes, ont été, pour la France entière ,

>^7» ^9^7f >9»^» «844, 1791, 1666, et contre les propriétés

4755, Soft^f, 5or&, 5562| 55021, ^agô;

les nombres correspoQdantsdes condamoes, sotis lempire d'une même législation criminelle, se sont élevés à

pour les crimes de la première espèce, et à

pour ceux de la seconde. De là, on déduit

pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les personnes, et

pour les rapports des nombres de condamnés à ceux des accusés de crimes contre les propriétés ; où Ton voit que les uns et les autres n ont pas beaucoup varié d'une année à une autre, mais que les der-^ niers excèdent notablement les premiers.

^ En prenant pour fJL et a^ les sommes des nombres d'accusés et de condamnés dans le cas des crimes contre les personnes, et pour fi' et a\ leurs'sommes dans le cas des crimes contre les propriétés, nous aurons

/^ =11016, a5=;:5268, ju' =^ 31284, a'sssaoSog; d'où il résulte ces deux rapports :

dont le second surpasse le premier d'un peu plus du tiers de ce*lui-ci. Au moyen de ces nombres, on trouve

0,4782 qp «(0,00675)

pour les limites (a) de l'inconnue R5 , relative aux crimes contre les personnes, et

o,6556 qp a (o,oo58o) ,

pour ces limites relatives aux autres crimes. En faisant assxa, il y aura une probabilité très approchante de la certitude^ (^^ qette incon* nue R5 ne diffère pas 4e la fraction 0^47^39 ^ plQ& <)e o>oi35^ dans le premier cas, et de la fraction 0,6556, de plus de 0,0076, dans le second.

En 1 83 1 j où les condamnations on t .été prononcées à la majorité d'au moins huit voix contre quatre , si t*on prend pour /u. et pour a^ les nombres d^accusés et de condamnés , relalKs anx Crime» contre les personnes , et pour /i! et a\ ces nombres relatifs aux crimes contre les propriétés, on a • '

^ ft 3= ào46, ^ = 745, .At^= 556o, /i\ = 3355;

d'où l'on tire

^ = o,365ï, ^ = o,Go54;

et en retranchant ces rapports âês précédents, il vient '^ — = o,ii5i , ^ = o,o522 ,

pour les rapports d\i nombre des condamnés à la plus petite majorité de sept voix contre cinq au nombre des accusés, dans les deux sortes de

crimes. Il est remarquable quç le rapport -^ , relatif aux crimes con-

tfe tés personnes, 596it à peu près double du rapport *-r, relatif aux crimes contre les propriétés, tandis qu'au contraire c'est le rap-

«port --7 relatif à ces derniers crimes, qui surpasse d'environ un tiers

le rapport--^ relatif aux premiers. Ainsi, non -seulement les condam-

nations prononcées par les jurjrs ont été proportionnellement plus nombreuses dans le cas des crimes contre les propriétés, mais elles ont aussi été prononcées à de plus grandes majorités.

Les rapports que nous considérons ne sont pas non plus tout-<ifait les mêmes pour les deux sexes. Chaque année , le nombre des femmes tralduites aux cours d'assises est, à très peu près constamment , les dix-huit oentièmes du nombre total des accusés des deux

58ô RECHERCHES

sexes. Dans les cinq années écoulées depuis i8!26 jusqu'à i8So inc)o^ sivement, si Ton appelle fi et fÂf les nombres de femmes accusées de crimes contre les personnes et de crimes contre les propriétés , et que Ton désigne dans ces nombres, par a^ et a's ceux des femmes condamnées 9 on aura

fe = i5o5, fjL^ = 5465, as = 586, a\ = 55i2;

d où Ton déduit

et en comparant ces rapports aux valeurs précédentes de -^ et ^, on

voit qu'ils sont moindres, mais seulement d'à peu près un 16' ou un 12* de ces valeurs.

Relativement aux années i833 et i833, pendant lesquelles les condamnations ont été prononcées à la majorité d'au moins huit voix contre quatre et avec la question des circonstances atténuantes , on a eu, pour les accusés et les condamnés dvs deux scms.

et, par conséquent,

iccusés et les condamnés dvs deux sej^, / = 10421 , a^ =: 1885, a\ = 6664,

les lettres accentuées répondant , comme plus haut, aux crimes contre les propriétés , et les lettres non accentuées aux crimes contre les personnes. Eti faisant âi=± 2 dans l'expression des limites (a), on trouve qu'il j a une probabilité très approchante de la certitude que l'inconnue R5 ne s'écarte pas de la fraction 0^4598, de plus de 0,023, ou de la fraction 0,6395, de plus de 0,01 33, selon qu'il s'agit des crimes de la seconde ou de la première 'espèce. On peut remarquer

que les valeurs de — et -7 ont conservé entre elles ^ à très peu près, le rapport qui existait entre celles de ^ et ^ qu'on a trouvées

plus haut. En comparant ces quantités -^ et -r, à leurs analogues en i83i , on peut aussi observer que l'influence de la question des

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 'SSi

circonstances atténuantes a augmenté le rapport -r relatif aux

crimes contre les propriété, seulement d'an i5*, et le rapport ^S

relatif aux crimes contre les personnes, de près d'un tiers de sa valeur.

(i38). Maintenant, d après ce qu'on a vu dans le n^ i!k3, la chance, pour un accuse, d'èfi^e condamné par un jurjr pris au hasard sur la liste générale d'un département ou du ressort d'uue cour d'assises , est la même que si la chance de ne pas se tromper était égale pour tous les membres de ce jur^ ; à la majorité d'au moins n^i contre i voix , la chance de la condamnation est donc exprimée par la première formule (6), et à la majorité de n— i voix contre i, parla formule (4); par conséquent , pour chaque département et pour chaque genre d'affaires criminelles , les quantités C|et 71, exprimées par ces formules,

sont celles* dont les rapports — et — approchent indéfiniment à me^

sure que le nombre ^t, supposé très grand, augmente encore davan-tage; ou, autrement dit, les quantités c^ et yi coïncident avec les inconnues R^ et n du n® i34> lorsque l'on considère des affaires d'un même genre, dans un même département, et même pour chaque sexe des accusés séparément. Nous rangerons en deux classes distinctes tous les genres d'affaires eriminelles : l'une de ces classes comprenant, comme plus haut , les crimes contre les personnes , et l'autre les crimes contre les propriétés. Mais, pour ne pas trop corapltquer les calculs, nous n'aurons point égard au sexe des accusés, dont l'influence sur la proportion des condamnations peut être négligée, si l'on considère que, dans le nombre total des prévenus. Te nombre des femmes n'est pas un cinquième de celui des hommes. Les lettres ^t, a,, &.., c.^ p.,-, ]*épondant aux affaires de la première espèce, et les mêmes lettres accentuées désignant les quantités analogues relativement aux affaires de la seconde espèce, nous aurons, pour chaque département en particulier,

avec d'autant plus d'approximation et de probabilité que les nombres lA et fâ! seront plus considérables.

58i RBCHERGIIES

Si les rapports qui forment les premiers membres de ces équations étaient donnés pour les diflerents départements , ces quatre équations $u (ÏÏraicnl pour déterminer les inconnues ketu contenues dans c, et yi , et leurs analogues dans c'i et y'i que je désignerai par kf et w'; mais la nécessité de très grands nombres fjt et /a' rend impossible, Equant à présent, l'application des équations f i6) à chaque département isolément, et pour s'en servir, on sera obligé de supposer qoe les inconnues u, u', k, k\ ne varient pas beaucoup, en général, d'un département à un autre; .ce qui permettra d'cmployei* dans leurs premiers membres, les rapports relatifs à la France entière. Les quantités u et u' que Ton déterminera de cette manière seront exactement les chances de ne pa« se tromper qui auraient lieu si les listes de jurés de tous les départe* inents étaient réunies en une seule , et que chaque juré £iiit pris au hasard sur cette liste totale. Dans cette hypothèse , les quantités k et k'^ en ce qu'elles dépendent de l'habileté des magistrats qui dirigent Tinstroction préliminaii^^ pourraient encore n^ètre pas les mêmes dans les différents ç^épart^oients ; mais les équations (i 6) étant linéaires patrappprt à pes inconpues, leurs valeurs que l'on obtiendra, seraient a)ior^ les fnQyenaes de celles qui ont réellement lieu pour tous les départe-^ xnents. Au reste, oa doit observer que si l'on est obligé de se contenter de ces valeurs générales de «, a% A, A/, c'est seulement fiiute de données complètes de l'observation., et non pas par quelque iiYiper*fection de la théorie que nous exposons.

Les expressions de €$ elyi ne changent pas lorsqu'on y met t — A: e 1 1^— 1«

au lieu de A et u (n?' 1 17 et 118); pour des valeurs données de —et -,

s'il 3^ a un couple de valeurs de A^ et 1^ plus grandes que - , qui satis'-

fassent, aux deux premières équations (16), il y aura donc aussi un

couple de valeurs de A: et de 2^ plus petites que -qui satisferont égale*

ment à ces équations. Or, on doit supposer que la probabilité moyenne de la culpabilité des accusés avant le jugement, -surpasse celle de leur innocence, et que, chet les jurés, la chance moyenne de ne pas se tromper est plus grande que celle de l'erreur; ce sont

donc les valeurs de Ar et i^ phis grandes que - qu'il faudra employer;

SUR LA PROBABILITÉ DSS JÙGEMEKTS. 583

et Ton devra rejeter les autres comme étrangères à la question. La même remarque convient aux deux dernières équations (16), et aux valeurs de k' et fjd qui s'^n déduiront* Toutefois, si l'on appliquait ces équations aux jugements en matière politique, rendus en grand nombre dans les temps malheureux de la Kévolution^ on pourrait employer, ainsi qu'on l'a expliqué dans le préambule de cet ouvrage, leurs racines moindres que - ; car alors l'innocence légale des accusés avant

le jugement pouvait être plus probable, que leur culpabilité; et pour les jurés, la probabilité qu'ils se tromperaient volontairement pouvait surpasser leur cbance de ne pas se tromper.

(iSg). Je fais 71= la et 1=: 5, dans les formules (4) et (6); les coefficients qu'elles contiennent auront pour valeurs

N.= i, N. = i2, N.=66, N,= 22o, N4=495, N5=792. Je fiais aussi

as bs t I

la seconde équation (16) devient et )* en observant qu'on a

la première équation (16) pourra s^écrire sous cette forme :

Ces équation^ ( ' ?) ^K^^} répondent aux crimes contre les personnes; celles qui se rapportent aux crimes contre- les propriétés s'en déduiront en y changeant les quantités c, >, Ar, f , dans leurs anologues, que je représenterai par c\ y'^ k\ t'. ^ *

L'inconnue t est susceptible de toutes les valeurs, depuis /=o qui répond à i^ = o, jusqu'à ^ == 00 qui répond hu=si; mais ses valeurs plus grandes que l'unité étant celles qui se rapportent aux valeurs de u

supérieures à -, ce sont les seules qu'il faudra considérer. De plus,

l'inconnue k devant être comprise entre - et l'unité, il suit de l'équation (17) que la valeur àt t devra être telle que Ton ait

ce qui servira à en déterminer des limites. On i^marquera, à cet efllet, que la première de ces deux fonctions de tj décroît continuellement depuis ^ =s o jusqu'à if = 00 1 et que la seconde augmente d'abord depuis ^= I jusqu'à ^ = 7, pour décroître ensuite jusqua /=ôo .

En éliminant k entre les équations. ( 1 7) et (18) on parviendrait à une équation du 2^^ degré par rapport à ^, du genre des équations réciproques, et réductible, par conséquent, à une équation du 1 3* degré; mais il sera beaucoup plus facile de calculer directement par des essais successifs , les valeurs simultanées àe k b\ u qui satisfont au système des équations (17) et (18).

(140). Relativement aux six années comprises depuis i8a5 jusqu'à i85o, on a

Pour ^=a, la quantité ' . .^ surpasserait cette valeur de >; pour te=3,

ce serait cette valeujr qui surpasserait l'autre quantité^— 7-:~j la valeur

de t doit donc être plus grande que deux et plus petite que trois; limites entre lesquelles jl est fsunle de s'assurer que cette inconnue n'a qu'une seule valeur possible. Après quelques essais, j'ai pris 2,112 pour cette valeur; l'équation (17) donne alors o,5354 pour celle de Jt; et eu SiU^tituant ces valeurs dans le second membre de l'équation (18), on le trouve égal à 0,4785, ce qui ne diffère du premier membre que de 0,0001 ; on a donc, avec une très grande approximation,

four les mêmes années, on a

^ OtOooo66o4«

Je substitue ces valeurs à h place de c et > dans les équations (17) et (18), et j'y mets aussi <' et V au lieu de / et A; en les résolvant ensuite , comme dans le cas précédent , je trouve , au même degré d'approximation ,

A' =0,6744, ^=5,4865- De ces valeurs de ^ et l^, on déduit

pour les chances qu'un juré quelconque ne se tromperait pas, qui ont eu lieu dans tes années que nous considérons ; la première répondant au cas des crimes contre les personnes , et la seconde à celui des crimes contre les propriétés.

Avant qu'un jugement f&t prononcé, une personne qui n'aurait connu ni les jur& dont le jury serait composé, ni même le lieu où l'affaire serait jugée, aurait pu parier, à cette époque, un peu plus de deux contre un , que chaque juré ne se tromperait pas dans son vote, s'il s'agissait d'un crime de la première espèce, et près de sept contre deux , dans le cas du second genre de crimes. On emploie ici l'expression vulgaire /varier /oui contre tant, afin de rendre plus sensible la signification qu'on doit attacher aux valeurs de u eiu' , et quoique le pari qu'on suppose soit illusoire , puisqu'on ne saurait jamais qui aurait gagné. Cette personne aurait pu aussi parier, d'après les valeurs précédentes de k et k', un peu moins de sept contre six pour la culpabilité de l'accusé dans le cas de la première sorte de crimes , et un peu plus de deux contre un , dans le cas de la seconde. Nous verrons plus loin ce que devient la probabilité que l'accusé est coupable, après que le jugement est prononcé.

Si nous considérons les nombres des accusés et des condamnés , sans distinction des genres de crimes contre les personnes et contre les propriétés , il faudra prendre , toujours pour les mêmes années et pour la France entière,

S86 RSCHERCfflES

c 3» 0,6094 , > = ^^^^ =s 0,0<KM)89l4.

En rësolvaol le» équations (17) et (18) f^^àn trouve alore

Si Ton considérait le département de la Seine isoléaient, les valeurs de c et ^ qu'on devrait employer seraient (n"* i56)

c = o,65o9 , y = -^ — — ==* 0,00008367 , et l'on trouverait

A l'époque que nous considéroi» , et abstracf ion farte de Fespèce de crimes , les probabilités ketu étaient donc un peu pins grandes dans le ressort de la cour d'assises de Paris que dans le reste du royaume : dans le département de la Seine , elles surpassaient un

peu 3 c^ 7 f tandis que dans la France entière elles étaient un peu

inférieures à ces fractions. Toutefois, les difflereucee eubre les deux valeurs de k et entre celles de 2^, n'étant pas considérables, c'est uoe raison de penser qu'il en est de même d'une, partie quelconque de la France à une autre ; ce qui justifie , autaut qu'il est possible , l'hypothèse de 1 égalité de chacune de oes deux quautiitts daos tout le royaume, que nous avons faite, afin de pouvoir. osilcttler maintenant leurs valeurs approchées, au moyeu de nombres sii^amipeat grands d'observations.

Ainsi que nous l'avons dit plus haut , les valeurs de A et i< ou de k' et u\ sont restées les mêmes en »85i ; miia elles ont dû changer dans les années suivantes avec les rapports dont çlles se déduisent ; et comme nous connaissons seulem^ot pour i85a et i83S,

les rapports — ou -r , celte donnée ne suffit pas pour déterminer

les deux inconnues 11 et A: , ou u' et 1^, Observons d'ailleurs que ces quantités ont peut-être changé une seconde fois , et ne sont plus les mêmes , depuis la dernière loi , qui , en maintenant la question des circonstances atténuantes , a prescrit le secret du vote des ju-

rës, ce qui a pu influer sxkt leur chance de ne pas se tromper. Notit ne poUToos donc pas conMltre les valeurs de u et A: , 1^ et k', qui ont eu lieu depuis i83i. Mais cette loi, en fixant k sept voix contre cinq, la majorité suffisante pour la condamnation, exige que les jurés fassent connaître si leur décision a été rendue h la majorité nunima. Si donc on donne dorénavant , dans les Comptes généraux, les nombres des condamnés, et non pas seulement celoi des affaires pour lesquelles cette plus petite majorité aura eu lieu; de plus, si l'on fait connaître ces mêmes nombres , pour les accusa des deux sexes séparément , et pour les deox dasses de crimes que l'on a distinguées , il sera possible , dans quelques années , de déterminer avec une grande précision les deux éléments A: et « , pour les différentes parties du royaume, pour les hommes et pour les femmes, pour les crimes contre les personnes et pour les crimes contre les propriétés.

(141)* Au moyen de chaque couple de valeurs de u et k, les formules (4) , (5) , (6) , feront connaître les probabilités correspond dantes qu'une condamnation ou un acquittement a eu lieu à une majorité donnée, ou à une majorité au moins égale à celle-là.

En faisant 9 = 12 et 1 = 0, on aura

pour les probabilités qu'un accusé condamné ou acquitté, Fa été & l'unanimité, et, par conséquent,

^.4-cr. = tt- + (i— tt)",

pour la probabilité d'un jugement unanime, soit qu'il condamne , soit qu'il absolve. On aura aussi

quantité positive à cause de A: > ^ et ci >i— u, en sorte que Tunanimité est moins probable dans le cas de l'acquittement que dans celui de la condamnation. On voit que ces diverses probab3ft& sont très faibles, dès que la chance u de ne pas se tromper diffère sensiblement de séro et de l'unité. Si Ton prend , par exemple , les valeurs

de uei k qui se rapportent à la France entière , sans j^listmcUon de l'espèce de crimes, c'est-è-dire si Ton fait k=s: o,63gi et uas 0,7494 ^ il en résultera