CHAPITRE PREMIER

Règles générales des probabilités.

(i). La probabilité d'un évëaemcnt est la raison que nous avons de croire qu'il aura ou qu'il a eu lieu.

Quoiqu^il s'agisse, dans un cas, d*un &it accompli, et dans l'autre t d'une chose éventuelle; pour nous, la probabilité est cependant la même, lorsque tout est d'ailleurs égal dans ces deux cas, en eux-mêmes si différents. Une boule va être tirée d'une urne contenant des nombres de boules blanches et de boules noires qui me sont connus, ou bien, elle a été tirée de cette urne et l'on m'a caché sa couleur; j'ai évidemment la même raison de croire que cette boule est blanche dans le premier cas, ou qu'elle sera blanche dans le second.

La probabilité dépendant des connaissances que nous avons sur un événement, elle peut être inégale pour un même événement et pour diverses personnes. Ainsi, dans l'exemple qu'on vient de citer, si une personne sait seulement que Tume renferme des boules blanches et des boules noires , et si une autre personne sait, en outre, que les blanches y sont en plus grande proportion que les noires, cette seconde personne aura plus de raison que la première, de croire à l'arrivée d'une boule blanche , ou, autrement dit, l'arrivée d'une boule blanche aura une plus grande probabilité pour la seconde personne que pour la première.

Delà viennent les jugetnents quelquefois contraires que portent deux personnes sur un même événement, lorsqu'elles ont des connaissances différentes en ce qui le concerne. Si A et B désignent ces deux personnes, et que A sache tout ce qui est connu de B^ et quelque chose de plus, A portera le jugement le plus éclairé, et c'est son opinion qu'il sera raisonnable d'adopter, quand on devra choisir entre les jugements contraires de

SUR LA PROBABILITÉ DÏS JUGEMENTS. îr

A et de B, quoique cette opinion puisse être fondée sur une probabilité moindre que celle qui a motÎTë l'opinion de B, c'est-à-dire, quoique A ait moins de raison de croire à sa propre opinion, que B à la sienne.

Dans le langage ordinaire , les mots chance et probabilité sont à peu près synonymes. Le plus souvent nous emploierons indiflFéremment Tun et l'autre ; mais lorsqu'il sera nécessaire de mettre une différence entre leurs acceptions, on rapportera, dans cet ouvrage, le mot chance aux événements en eux-mêmes et indépendamment de la connaissance que nous en avons, et Ton conservera au mot probabilité sa définition précédente. Ainsi, un événement aura, par sa nature, une chance plus ou moins grande, connue ou inconnue; et sa probabilité sera relative à nos connaissances, en ce qui le concerne.

Par exemple, au jeu de croix et pile , la chance de l'arrivée de croix et celle de larrîvée de pih^ résultent de la constitution de la pièce que Ton projette; on peut regarder comme physiquement impossible que Tune de ces chances soit égale à l'autre; cependant, si la constitution du projectile nous est inconnue, et si nous ne l'avons pas déjà soumis à des épreuves, la probabilité de l'arrivée de cwix est^ pour nous , absolument la même que celle de l'arrivée de pile : nous n'avons, en effet, aucune raison de croire plutôt à l'un qu'à l'autre de ces dçux événements. II n'en est plus de même, quand la pièce a été projetée plusieurs lois : la chance propre à chaque face ne change pas pisndant les épreuves; mais, pour quelqu'un qui en connaît le résultat, la probabilité de l'arrivée future de croix ou de pile j varie avec les nombres de fois que ces deux faces se sont déjà présentées.

(2). La mesure de la probabilité d'un événement, est le rapport du nombre de cas favorables à cet événement, au nombre total de cas favo*rables ou contraires, et tous également possibles , ou qui ont tous une même chance.

Cette proposition signifie que quand ce rapport est égal pour deux événements, nous avons la même raison de croire à l'arrivée de l'un et à celle de Tautre , et que quand il est différent, nous avons plus de raison de croire à Tarrivée de Tévénement pour lequel il est le plus grand.

Supposons, par exemple, qu'une urne A renferme quatre boules blanches et six boules noires, et qu'une autre urne B contienne dix

3a REOIERCHES

boules blanches et quinze boules noires; les nombi^es de cas favorables à l'arrivée d'une boule blanche et celui de tous les cas possibles, seront quatre et dix pour la première urne, dix et vingt-cinq pour la seconde ; et le rapport du premier nombre au second étant 1, c'est-àdire, égal pour les deux urnes, il s'agit d'abord de prouver qu'il y a la même probabilité d'extraire une boule blanche de Tune ou de l'antre; en sorte que si nous avions un intérêt quelconque à l'arrivée d'une boule blanche, nous n'aurions absolument aucune raison de mettre la main plutôt dans l'urne A que dans l'urne B.

En effet, on peut concevoir les vingt-cinq boules que contient l'urne B, partagées en cinq groupes dont chacun soit composé de deux boules blanches et trois noires, et qui seront disposés d'une manière quelconque dans l'intérieur de cette urne. Afin de les distinguer entre eux, on peut aussi donner le n"" i aux boules de l'un des groupes, le ry" 2 k celles d'un autre groupe, etc.

Pour extraire nne boule blanche ou noire, de B, la main devra se por* ter au hasard sur l'un de ces cinq groupes; mais puisqu'ils sont tous semblables, quant aux nombres de boules des deux couleurs qu'ils renferment, il s'ensuit qu'au lieu de choisir au hasard le groupe sur lequel la main se portera, on peut le choisir à volonté, et supposer, pour fixer les idées, que ce soit le groupe des boules n^ 1, sans rien changer à la chance d'extraire une boule blanche de l'urne B; or, cela revieot évidemment â extraire d'abord de B toutes les boules n"* i , et à les mettre dans une autre urne C, d'où l'on tirera ensuite une boule au hasard ; la probabilité d'amener une boule blanche est donc indépendante du nombre de groupes qui étaient renfermés dans B, et la même que s'il y en avait un seul au lieu de cinq. En partageant les dix boules contenues dans l'urne A, en deux groupes de deux blanches et trois noires, on verra aussi que la probabilité d'en extraire une boule blanche est la même que si cette urne ne renfermait qu'un seul de ces deux groupes. Donc la probabilité d'extraire une boule blanche soit de A, soit de B, est la même que pour une troisième urne C^ qui contiendrait deux boules blanches et trois noires, et, par conséquent, la même pour A et pour B; ce qu'il s'agissait d'abord de prouver.

Maintenant , je suppose qu'une urne A contienne quatre boules bjaiir

blanches et trois noires, et qu'une urne B renferme trois boules blanches et deux noires; de sorte que le rapport du nombre de cas favorables à rarrivëe d'une boule blanche, au nombre total des cas égale*

ment possibles, soit- pour A et ? pour B. La seconde fraction excédant

la première de ^j il y aura plus de raison de croire qu'une boule blanche sortira de B que de A. En effet, en réduisant ces deux fractions au même dénominateur, elles deviennent» ^^Tkj ^^' ^'^^

près A qu'on vient de prouver, la probabilité de l'arrivée d'une boule blancBe sera la même pour A et pour une urne C qui contiendrait 35 bouler, dont ao blanches et i5 noires; elle sera aussi la même pour B, et pour une urne D qui renfermerait 35 boules, dont 2 1 blanches et 14 noires; mais ces urnes C et D contenant l'une et l'autre un même nombre ^e boules, et D renfermant plus de boules blanches que C, il y a évidemment plus de raison de croire que l'on extraira une boule blanche de D que de C; donc aussi, l'arrivée d'une boule blanche est plus probaMe pour B que pour A ; ce qui achève de démontrer la proposition énoncée au commencement de ce numéro.

De cette mesure de la probabilité, il semble résulter que cette fraction doit toujours être une quantité commensurable; mais si le nombre de tous les cas possibles et celui des cas favorables à un événement , sont infinis , la probabilité ou le rapport du second nombre au premier, pourra être une quantité incommensurable. Supposons, par exemple que s soit l'étendue d'une surfiice plane, et c celle d'une portion déterminée de ce plan ; si l'on projette une pièce circulaire, dont le centre puisse égalennent retomber sur tous les points de ^ , il est évident que la probabilité qu'il retombera sur un point de a, sera le rapport de trks, dont les grandeurs peuvent être incommensurables.

(3). Dans les deux parties de la démonstration précédente, on a pris pour exemple des nombres déterminés de boules; mais il est aisé de voir que le raisonnement est général et indépendant de ces nombres particuliers. On a aussi supposé que l'événement dont on considérait la probabilité, était l'extraction d'une boule bbnche, tirée d'une urne qui contient des boules blanches et des boules noires, de manière que le nombre de boules blanches représente celui des cas favorables à

révënement , et le nombre de boules noires, celui des cas contraires. Pour rendre les raisonnements plus faciles à saisir, on peut, en effet, substituer toujours une pareille hypothèse à chacpie question d'éventualité relative a des choses de toute autre nature. Si donc, E est un événement d'une espèce quelconque; que l'on représente par a le nombre de cas favorables à son arrivée, par h celui des cas contraires, et par p la probabilité de £, la mesure ou la valeur numérique de cette dernière quantité, sera , d'après ce qu'on vient de démontrer ,

En même temps , si F est l'événement contraire à E , de sorte que , de ces' deux événements, un seul doive nécessairement arriver, comme Textraction d'une boule blanche ou celle d'une boule noire , dans les exemples précédents; et si l'on désigne par q la probabilité de F, on aura aussi

puisque les cas contraires à E, dont le nombre est b, sont les cas favorables à F. Il en résulte

c est-à-dire, que la somme des probabilités de deux événements contraires, tels qu'on vient de les définir, est toujours égale à l'unité.

Lorsque nous n'avons pas plus de raison de croire à l'arrivée de £ qu'à celle de F, leurs probabilités sont égales, et l'on a conséquemment p:=:q=s-^. C'est ce qui a lieu»dans le cas d'une pièce que l'on projette pour la première fois, et dont la constitution physique nous est inconnue; E étant alors l'arrivée de l'une des deux faces, et F celle de la face opposée. Au lieu d'un événement qui doit arriver ou ne pas arriver , E peut être une chose quelconque dont il s'agit de savoir si elle est vraie ou fausse : a est alors le nombre de cas où nous la croyons vraie, et b le nombre de cas où nous la jugeons fausse; p exprime la probabilité de la vérité de E, et q celle de sa fausseté.

En évaluant dans chaque exemple, soit d'éventualité, soit de doute et de critique, les uQmbres de cas- favorables ou contraires à E et F, si

Ton a la certitude que ces nombres soient effectivement ae\ b, les fractions p etq seront les chances de E et F ; si cette év^uation résulte seulement des connaissances que nous avons sur ces deux choses, petq ne sont que leurs probabilités, et pourront différer, comme nous l'avons expliqué, de leurs chances inconnues : il faudra toujours que tous ces cas favorables ou contraires, soient égalemeql possibles , soit en eux-mêmes, soit d'après ce que nous en savons.

(4)* La certitude est considérée, dans la théorie des chances, comme un cas particulier de la probabilité : c'est le cas où un événement n'a aucune chance contraire; elle est représentée dans le calcul par Punité, tandis qu'une probabilité quelconque est exprimée par une fraction moindre que un, la parfaite perplexité de notre esprit entre deux choses contraires, par ^9 et Vimpossibilité par zéro. Cette notion de la certitude nous suffit; nous n'avons pas besoin de la définir en ellemême , et d'une manière absolue ; ce qui serait d'ailleurs impossible ; car la certitude absolue est au nombre de ces choses que l'on ne définit pas , et dont on peut seulement donner des exemples. Parmi les choses que l'on appelle certaines ^ il y en a en très petit nombre , qui le sont rigoureusement, telles que notre propre existence; quelques axiomes, non-seulement certains, mais évidents ; des propositions, comme les théorèmes de la géométrie, par exemple, dont on démontre la vérité, ou dont on prouve que le contraire est impossible. Les choses non contraires aux lois générales de la nature, qui nous sont attestées par de nombreux témoignages, et celles qui sont confirmées par une expérience journalière, n'ont cependant qu'une très forte probabilité, assez grande pour qu'on n'ait pas besoin de la distinguer de la certitude complète , soit dans les usages de la vie, soit même dans les sciences physiques et dans les sciences historiques.

Le calcul des probabilités a pour objet de déterminer dans chaque question d'éventualité ou de doute, le rapport du nombre des cas favorables à l'arrivée d'un événement, ou à la vérité d'une chose, au nombre de tous les cas possibles; de sorte que nous puissions connaître, d'une manière précise, d après la grandeur de cette fraction plus ou moins approchante de l'unité , la raison que nous avons de croire que cette chose soit vraie, ou que cet événement a eu ou aura lieu, et que nous puissions aussi , sans aucune illusion, comparer cette raison

de croire^ dans deux questions de nature toute difiërente. îi est fondé sur un petit nombre de règles que nous allons exposer » et qui se démontrent en toute rigueur^ comme on vient d'en voir un exemple, relativement à la proposition du n"" 2. Ses principes doivent être regardes comme un supplément nécessaire de la logique, puisqu'il y a un si grand nombre de questions où Fart de raisonner ne saurait nous con- . duire à une entière certitude. Aucune autre partie des mathématiques n'est susceptible d'applications plus nombreuses et plus immédiatement utiles. On verra, dans le second chapitre de cet ouvrage, qu elles s'étendent à des questions abstraites et controversées de la philosophie générale , dont elles donnent une solution claire et in- V contestable.

(5). Si p et p' sont les probabilités de deux événements £ et E', indépendants l'un de l'autre , la probabilité de leur concours ou d'un événement composé de ces deux-là, aura pour valeur le produit pp'.

En effet, je suppose que l'événement E soit l'extraction d'une boule blanche, d'une urne A qui contient un nombre c de boules, savoir,. a boules blanches et c — * a boules noires , et que E' soit l'extraction d'uqe boule blanche , d'une autre urne A' contenant (/ boules , dont a' blanches et c' — a' noires. D'après ce qui précède , on aura

a , et

pour les probabilités de E et E^ L'événement composé sera l'arrivée de deux boules blanches, l'une extraite de A, l'autre de A^ Or, si l'on tire au hasard une boule de chacune de ces deux urnes, toutes les boules de A pourront arriver avec toutes celles de A'; ce qui donnera un nombre cc^ de cas également possibles. Dans ce nombre total , les' cas favorables à l'événement composé résulteront des combinaisons de toutes les boules blanches de A avec toutes les boules blanches de A' ; le nombre de ces cas favorables sera donc le produit aaf. Par conséquent , la probabilité de l'événement composé aura pour valeur (n* a) le rapport de aaf à ce', ou , ce qui est la môme chose , le pro-* duit des deux fractions p et p\

On verra de même que sip, p'f p'j etc., sont les probabilités d'un nombre quelconque d'événements E, E', E'', etc., indépendants les uns

des antres, la probabîlitë de leur concours, ou d'an événement composé de tous ceux-là, sera le produit pp'p" etc. Cette proposition générale peut aussi se déduire du cas particulier d'un événement composé de deux autres; car, si le produit de p etp', ou pp', est la probabilité du concours de E et E', celle du concours de cet événement composé et de E' sera de même le produit de pp' et de p"f ou pp'p", celle du concours de ce second événement composé et de E''' sera le produit àepp'p" et de p'", on pp'p^'p'", et ainsi de suite.

Toutes les fractions p, p% p''^ etc., étant moindres que l'unité, du moins quand aucun des événements £, E', E", etc. , n'est certain, il s'ensuit que la probabilité de l'événement composé est aussi moindre que celle de chacun des événements dont il dépend. Elle s'affaiblit de plus en plus à mesure que leur nombre augmente; généralement, elle tend vers zéro, et serait tout-infait nulle ou infiniment petite, si ce nombre devenait infini : il n'y a d'exception que quand la série infinie des probabilités p, p% p^', etc., se compose de termes qui approchent indéfiniment de l'unité ou de la certitude ; leur produit , dans ce cas, a pour valeur une quantité de grandeur finie, moindre que l'unité. Si , par exemple , on désigne par a une quantité positive , plus petite que l'unité, ou tout au plus égale à un, et que l'on préhne

p = a, ;?'=i — a*, p"=i— p |,'"~ , î!, etc.,

pour les valeurs de p, p', />', ete.; leur produit, ou la probabilité de l'événement composé^ sera égal, d'après une formule connue, à

-sinasT, en désignant, à Fordinaire, par w le rapport de la circonfé-

rence au diamètre.

(6). Voici un problème relatif à la probabilité d'un événement composé, dont nous donnerons la solution pour exemple de la règle précédente.

Je suppose que l'on ait a retrancher l'un de l'autre deux nombres pris au hasard ; on demande la probabilité que la soustraction totale s'effectuera sans qu'on ait besoin d'augiroenter le chiffre supérieur dans aucune des soustractions partielles*

Les chiflînes supérieur et inférieur qui se correspondent pouvant

avoir chacun dix valeurs différentes ^ depuis zéro jusqu'àg, il s ensuit qu'il y aura cent cas distincts et également posntles dans chaque soustraction partielle. Pour qu'elle se fasse sans augmentation du chiffre supérieur^ il faudra que celui-ci surpasse le chiffre inférieur, ou qu'il lui soit égal. Or, cela aura lieu dans 55 des loo cas possibles, savoir^ dans un seul cas quand le chiffre supérieur sera zéro, dans deux cas quand il sera l'unité^ .... dans dix cas lorsqu'il sera le chiffre 9; ce qui forme une progression arithmétique de 10 termes, dont la somme est Y 10(1 -if- 10), ou 55. La probabilité relative à chaque soustraction partielle sera donc le rapport de 55 à 100; par conséquent, la probabilité que les soustractions partielles s'effectueront toutes à la fois sans augmenter le chiffre supérieur, aura (o,55/pour valeur, en désignant par i leur nombre , ou celui des chiffres supérieurs ou inférieurs.

S'il s'agit, par exemple, de retrancher l'une de l'autre les parties décimales des logarithmes pris dans les tables de Callet , on aura

i = 7, (o,55)' = o,oi5224^. . . .;

c'est-à-dire une probabilité comprise entre 5^ et gl^.

On obtiendrait également (o,55)' pour la probabilité d'ajouter l'un à l'autre deux nombres de 1 chiffres , sans qu'aucune des additions partielles donne une unité à retenir.

(7). Si E, E', E", etc., sont les arrivées successives d'un même événement E, et que leur nombre soit m, le produit pp'p'* etc. se changera dans la puissance p^ qui exprimera, par conséquent, la probabilité que E arrivera m fois dans un pareil nombre d'épreuves, pendant lesquelles la probabilité de cet événement demeurera constante et égale à p. De même, E et F étant les deux événements contraires dont les probabilités sont p et 9, de sorte qu'on ait /i -{-9= 1 (n** 5); si ces chances demeurent constantes pendant un nombre m+n d'épreuves, le produit ^"■ç" sera la* probabilité que E arrivera m fois et F les n autres fois , dan» un ordre déterminé; ce qui se déduira de la règle du n"" 5, en supposant le nombre des événements E, E', E^", etc., égal à m -f-«, et prenant E pour m d'entre eux et F pour les n autres. L'ordre dans lequel ces événements E et F devront se succéder n'influe pas sur cette probabilité p^q*^ de l'événement composé : elle est la même pour que E arrive dans les m premières épreuves , et F dans les n

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Sg

dernières, ou vice versa; on bien encore, lorsque ces événements devront être inélés>^d'une manière déterminée. Mais si l'ordre que doivent suivre E et F n^est pas donné, et qu'on veuille seulement que dans un nombre m-(-/i d'épreuves, E arrive m fois et F arrive n fois , dans un ordre qu^^nque , il est évident que la probabilité de cet autre événement corapt^é surpassera celle qui répond à chaque ordre déterminé; elle sera , en effet, un multiple de/Tç*, dont on donnera plus loin l'expression générale.

Lorsque les chances de E et F sont égales, on a p t= ^ = i ; et si Ion fait m «4- n ns A&, la probabilité de larrivée, dans un ordre déterminé, de E un nombre m de fois, et F un nombre n de fois, deviendra (|)£ ; en sorte que non-seulement elle ne dépendra pas de l'ordre de ces arrivées, mais elle sera aussi indépendante de leur proportion , et ne dépendra plus que du nombre total jj, des épreuves. Ce cas est celui d'une urne contenant des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, dans laquelle on fait /jl tirages successifs, en remettant a chaque fois dans l'urne la boule qui en est sortie. La probabilité d'amener /u boules Manches est égale à celle d'amener m boules blanches et n boules noires dans un ordre déterminé. Quand ft est un nombre considérable , elles sont Tune et l'autre très petites, mais non pas moindres l'une que l'auti^. Avant que les tirages aient commencé, on n'aurait eu ni plus ni moins de raison pour croire, soit à l'arrivée d'une suite de boules de la même couleur, soit à l'arrivée d'un pareil nombre de boules, les unes blanches et les autres noires , dans un ordre que quelqu'un eût assigné arbitrairement. Cependant, si nous voyons sortir successivement de l'urne, par exemple, trente boules d'une même couleur, et que nous soyons bien certains que les boules blanches et les boules noires y sont constamment en nombres égaux; ou bien si nous voyons arriver tout autre événement qui présente quelque chose de symétrique, tel que la sortie de trente boules alternativement blanches et noires^ celle de quinze boules blanches suivies de quinze boules noires, nous sommes portés à croire que ces événements réguliers ne sont pas l'effet du hasard , et que la personne qui a tiré les trente boules connaissait la couleur de chacune d'elles, et les a choisies dans une vue particulière. Dans de pareils cas, rinterven** tion d'une cause autre que le hasard a effectivement une probabilité

très approchante de la certitude^ ainsi qu'on le verra par la soite* (8). La puissance ^ est la probabilité que rév^nement F arrivera n fois de suite 9 sans interruption; en la retranchant de Tunitëi on aura donc la probabilité de révénement contraire, c'est-à-dire, la probable Ittë que dans n épreuves consécutives » l'événo^nt E arrivera au moins une fois; par conséquent, si l'on désigne paiy* la probabilité de cet événement composé, et qu'on mette i— p au lieu de q, il en résultera

En égalant à ^ cette valeur de r, on déterminera le nombre d'épreuves nécessaire pour qu'il y ait la même raison de croire que E arrivera ou qu'il n'arrivera pas, ou.autrement dit, pour qu'il y ait un contre un ^^ à parier que E arrivera au moins une fois. On aura alors

Si E est, par exemple, l'arrivée d'un six, ou celle d'une autre face déterminée, quand on projette un d!/à six faces, on aura

71 = 3,8oi8....;

en sorte qu'il y aura de l'avantage à parier que six arrivera au moins une fois en quatre coups , et du désavantage à parier qu'il arriverait en trois coups. Si 1 on projette deux dés à la fois, et que E soit l'arrivée du double-six, on aura

ce qui montre que l'avantage sera pour le joueur qui pariera d'amener un doublesix en vingt-cinq coups, et le désavantage pour celui qui parierait de l'amener en vingt-quatre coups.

L'expression générale de r nous fait voir que quelque faible que soit la chance p d'un évéïiement E , pourvu qu'elle ne soit pas tout-^i-fait nulle , on peut toujours prendre le nombre n des épreuves, assez grand pour que la probabilité que E arrivera au moins une fois , approche aussi près qu'on voudra de la certitude ; car quelque peu différente de l'unité que soit la fraction i — /i, on peut toujours prendre

TexposaDt n assez grand pour que la puissance (i— /')' tombe audessous d'une fraction donnée. Cest en cela que consiste la différence essentielle entre une chose absolument impossible et un événement E dont la chance p est extrêmement petite : la chose impossible, n'arri*vera jamais, et Véyénement aussi peu probable qu'on voudra, arri* vera toujours, très probablement, dans une série d'épreuves assez longtemps prolongée.

Par la formule du binôme, ou a

si n est un très grand nombre, et qu'on remplace /t-^ i, n— 2, etc., par 13, on aura , à très peu près ,

(1— p)» = iH-/ip4- 7^ + -77^+ etc.;

série qui est le développement de e^^, en daignant par e la base des logarithmes népériens; il en résultera donc

pour la valeur approchée de r. Dans le cas de /i ss ' , cette valeur sera

le rapport de e— i à e. Par conséquent, si la chance d'un événement E est l'unité divisée par un très grand nombre n, il suffira d'un pareil

nombre n d'épreuves pour qu'il y ait une probabilité ^-^' , ou à peu près égale à ^, que E arrivera au moins une fois.

(9). Lorsque deux événements E et E, , ne sont point indépendants, c'est-ànlire, lorsque Tarrivée de Tun influe sur la chance de l'autre, la probabilité de l'événement composé de E et E« est égale â un produit pp^ dans lequel p représente la probabilité de l'événement E qui doit arriver le premier, et p^ exprime la probabilité que E étant d'abord arrivé, E. arrivera ensuite.

Ainsi, attb désignant les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans une urne A, et c leur somme a-f- &; si E est l'arrivée d'une boule blanche à une première épreuve , et E« celle d'une boule blanche à un second tirage , sans qu'on ait remis la boule sortie

4a RECHERCBES

aapremier, on. aura d*abord

maïs au second tirage, le nombre total des boules sera réduit à c — i , et celui des boules blanches à a— • i , on aura donc

pour la probabilité de la sortie d'une nouvelle boule blanche; et, par conséquent ,

pour celle de l'extraction de deux boules blanches « Par la même règle, on trouvera

ab

pour la probabilité de l'extraction d^une boule blanche et d'une boule noire, dans un ordre déterminé, et- sans remettre dans l'urne la boule sortie au premier tirage.

Grénéralement , si Ton fait m^ n tirages successifs sans remettre dans A les boules. sorties, let q«e l'on désigne par <3! la probabilité d'à** mener , dans un or4re déterminé , m bonlefi blanches et n boules noires , on aura

a. a — I .a — 2. ...a — fw -f- i.^.A— i ,b — a. . . ,ô — n •}-

ce— i.c — 2....C — m— w-|-i '

quelque soit cet ordre déterminé. En effet, si dans les w'+n' premiers tirages, il est sorti m! boules blanches et n* boules noires ^ le nombre c — m' ^'^n' des boules restantes, se composera de ^ — m! blanches et b-^n' noires; les probabilités d'amener, soit une boule blanche, soit une boule noire, dans un nouveau tirage, seront donc

ov, en prenant successivement dans ces deux fractions, tous les nombres

. SUR LA probabiliuè des jugements. 43

depoB zêtù juMja^ m — i pour mf^ et depuis zéro jusqu'à n-^i pour n\ le produit des m+z^ quantités qu'on obtiendra de cette manière^ devra éfideiutnent former la râleur de ^; ce qui coïncidera avec la formule que l!on vient d'écrire.

Si Ton remettait à chaque fois d^ns A la boule blanche ou notre qui en est sortie, les chances d'une boule blanche et d'une houle

noire demeureraient constantes et égales à - et - , pendant toutes les

épreuves, et la probabilité d'amener m boules blanches et nboules noires^

dans un ordre déterminé, serait le produit def-j ^^("j 9 ^^ "^rrr- ^

C'est à quoi se réduit effectivement l'expression de «^ quand les nombres aetb sont extrêmement grands, et peuvent être considérés comme infinis^ par rapport km ei n, ce qui rend invariables les chances d'une boule Uancbeet d'une boule noire, pendant toute la durée des épreuves* En faisant iis=o dans la valeur àe^, il en résulte

ce—* i.c — 2...C— m-f-i '

pour la prc^bilité de l'extraction de m boules blanches sans inter«ruption. Au lieu d'une urne A, si l'on avait, par exemple un jeu composé de seize cartes rouges et autant de cartes noires, et si Ton demandait la probabilité d en tirer les seize cartes rouges en seize tirages, on ferait

£fs=:i6, cs=s3a, m=i6,

et il en résulterait

ou bien , en réduisant

6oio8Q3go '

quantité, comme on voit , un peu au-dessous d'un six-cent millionième. Il faudrait , en conséquence , essayer un peu plus de six-cent

millions de fois pour qu'il y eût une probabilité égale i | , ou à peu

pcès deux à parier contre on, que les seize cartes rou(^ sortiraient au moins une fois sans interruption.

(lo). Si un ëvéneaient £ peut avoir lieu de plusieurs manières distmctes et indépendantes entre elles; que d'tine première manière, la probabilité de son arrivée soit />, ; que d'une seconde manière, elle soit/7.; etc. , la probabilité complète sera la somme de toutes ces probabilités partielles, de sorte qu'en la désignant par p, on aura

/> = P« +/>. +P3 + etc.

Supposons^ pour fixer les idées , que l'on ait un nombre donné i d'urnes A, contenant des boules blancbes et des boules noires, et que le nombre total de boules et le nombre de boules blanches soient e, et a, dans une première urne, c^ et a^ dans une seconde, etc. Suppo« sons, aussi que E soit l'extraction d'une boule blanche, en mettant la main au hasard dans l'une de ces urnes. Cet événement pourra alors arriver de i manières différentes, puisque i est le nombre d'urnes d'où la boule blanche pourra sortir. La probabilité f^ue la main se portera

sur l'une de ces urnes sera la même pour toutes et égale à -; la chance

d'extraire une boule blanche sera -, —, — , etc. , selon Vwme sur la-

quelle la main se portera effectivement; d'après la règle du n"" 5, les probabilités Pt^p^i p9 9 etc. , des diverses manières dont E pourra arriver, seront donc

et il s'agira de prouver que la probabilité complète p de l'extraction d'une boule blanche, de l'une ou de l'autre de toutes les urnes A, aura pour valeur

La démonstration de cette règle est fondée sur un lenune qui sera également utile dans d'autres occasions.

Concevons un nombre quelconque i d'urnes C , contenant des boules blanches et des boules noires en proportions diverses , mais dont le nombre total soit le même et représenté par fl pour chacune de ces

SUR LA PROBABILiTÊ DES JUGEMENTS. 4^

urnes; la probabilité d'extraire de leur ensemble une boule blanche ne changera pas si Ton réunit les i/t boules qu'elles contiennent dans une seule urne B. En effets elles y formeront des groupes disposés d'une manière quelconque, dont chacun contiendra les boules provenant d'une même urne C, et qui seront tous composés d'un même nombre /a de boules , ce qui suffit pour que la chance d'y porter la main soit

la même pour tous ces groupes , et égale à -. , comme quand chaque

groupe était renfermé dans une urne C. La chance de tirer une boule blanche du groupe où la main se portera n'aura pas non plus changé; par conséquent , la probabilité d'extraire une boule blanche sera la même pour l'urne B et pour le système des urnes C. Cette conclusion n'aurait plus lieu, si les nombres de boules que les urnes C renferment étaient inégaux; quels qu'ils soient, la chance que la main se portera

sur l'une des urnes sera la même, et égale à t; mais quand toutes les

boules auront été réunies dans l'urne B , les groupes qu'elles y formeront contenant des nombres inégaux de boules, la chance que la main s'y portera ne sera pas égale pour tous ces groupes : elle est évidemment plus grande pour ceux qui seront formés d'un plus grand nombre de boules*

Cela posé, réduisons^ toutes les fractions —, —, —, etc*, à un même

c, c, Cj

dénominateur, que nons désignerons par fi» Soient alors a», a«, «t3, etc., leurs numérateurs , de sorte qu'on ait

La chance d'extraire une boule blanche de chacune des urnes A, et par conséquent de l'ensemble de ces urnes , ne changera pas si Ton remplace chacun des nombres c^, e^^ c^j etc., de boules blanches ou noires, par le même nombre /et, et les nombres a., a., aj, etc., de boules blanches, par a,, a., ce,, etc. La probabilité de l'extraction d'une boule blanche ne changera pas non plus, si Ton réunit ensuite toutes ces boules dans une même urne C. Or, cette urne contenant alors un nombre total ifi de boules , parmi lesquelles il y aura un nombre «t -^ «g-|* ^-|r^*^'^ ^^ boules blanches, cette probabilité sera

46 RECHERGHES

le rapport du second nosibre au premier, ou, ce qui est k même cliose,

quantité qui coïncide , en vertu des équations précédentes , ayec }a valeur de p qu'il s'i(gi$sait de démonrirer.

(il). Pour appliquer cette règle à des exemples, supposons d'a^ bord qu'il soit à la connaissance d'une personne qu'une boule a été extraite, ou d'une urne A contenant cinq boules blanches et une boule noire, ou d'une urne B renfermant trois boules blanches et quatre boules noires, et qu'elle n'ait aucune raison de croire que cette boule soit sortie plutôt de l'une que de l'autre des deux urnes. Pour cette personne , la probabilité <sf que la boule extraite est une boule

blanche sera

car pour elle , cet événement a pu arriver de deux manières diffisrentes, et les probabilités p, et p^ qui s'y rapportent sont

Pour une autre personne, qui sait que la boule extraite est sortie de B , la probabilité p qu'elle est noire a pour valeur

Les fractions §7 et « surpassant - , la première personne doit penser

que la boule extraite est blanche , et la seconde qu'elle est noire. Entre ces deux opinions contraires , c'est la dernière que nous devons adopter, parce que la seconde personne est plus instruite que la première en ce qui concerne Tévéïiemeut dont il s'agit; et cependant

la probabilité ||, sur laquelle cette seconde peraontte appuie son opi-i

nion, est moindre que la probabilité gr, sur laquelle l'autre personne appuyait la sienne. C'est un exemple fort simple, et qu'on pooim

aisément multiplier, de ce qui a été dît précédemment (n* i ) , sur les jugements contraires portés dans une même question par des personnes différemment instruites.

Supposons encore que nous sachions qu'une urne A renferme un nombre donné n de boules blanches et de boules noires, dans une proportion qui nous est absolument inconnue. Nous pourrons faire sur cette proportion, n + i hypothèses différentes et également possibles , qui seront autant de manières distinctes dont l'extraction d'une boule blanche pourra avoir lieu. Ces hypothèses seront n boules blanches, 71 1 boules blanches et une noire, n — a boules blanches et deux noires,. . . • n boules noires; toutes ces suppositions étant également

possibles , la probabilité de chacune d'elles sera ^-77^; par conséquent ,

les probabilités partielles de l'extraction d*une boule blanche y dans ces diverses hypothèses, auront pour valeurs

I n in — I i 71 — 2 ,x^ D s=a — — - . '• P. = : ■■ • —, Dm zss — r — . , etc.

et la probabilité complète ^ de cet événement sera

quantité qui se rédmt à ?, comme cela devait être, puisque nous n'avons aucune raison de croire à l'arrivée d'une boule blanche plutôt qu'à celle d'une boule noire.

Mais si nous savons que dans Fcrne A, le nombre des boules blanches est certainement plus grand que celui des boules noires, la valeur de « surpassera 7 ; et pem* la déterminer, il faudra distinguer les deux cas de n impair et de n pair. Si Ton désigne par i un nombre entier quelconque et qu'on ait n = 21 4* i, on ne pourra faire que i-t* 1 hypothèses différentes et également possibles , savoir, 2/+1 boules Uâucbes^ aï boules Uandies et une noire,. « • r+ i boules blanches et i boules noires ; et dans ce premier cas , la yaleur complète de « sera

w as . , ■ ( j ; •+• ♦ , ' ' *n - ," *>** • 'H^ « ■ . ' 1;

<sr

qaantitë qui se réduit à

I 3î+a a TLi + i

Elle est Vunitë , comme cela doit être , pour isszo; elle s'approche indéfiniment de I, en diminuant toujours, à mesure que i augmente de plus en plus« Dans le cas de /i = :ii -f- a, on peut aussi faire i -f- i hypothèses également possibles : on peut supposer que A renferme 31+ 3 boules blanches, a£H~ ^ boules blanches et une boule noire, ... / -{- 2 boules blanches et i boules noires. Il en résulte

i-|-i\aï4-2 ' 2» + a " a*-f-a ' ' a* + a/'

OU , ce qui est la même chose ,

a ai -|- a '

pour la valeur complète de «. Comme la précédente, elle est v = i et v =1 2» P^^'' ^^ valeurs extrêmes î = o et i = 00. Pour tout autre

nombre entier i, elle excède la précédente d'une fraction m,. , ' . . , ,

dont le maximum est -7 et répond à î s= i .

Une urne A contenant un nombre total c de boules , dont a boules blanches , concevons que ces boules soient partagées dans son intérieur, en groupes tels que| le premier renferme c. boules dont £z« blanches, le deuxième c. boules dont a. blanches, etc., de sorte que Ton ait

c, + c. H- C| + etc. zs c, a, •+• ^* ■+" ^a T^ etc. s= a.

Sojt/i la probabilité d'extraire une boule blanche de cette urne; elle devra être égale à ~ ; ce qui fournira simplement une vérification de

la règle du numéro précédent. Une boule blanche pourra sortir du premier groupe; et pour cela, ia chance sera le produit de la probabilité ^ que la main se portera sur ce groupe, et d^ la cfaa^tice — ' qu'elle

en extraira une boule blanche. Il en sera de même à l'égard de tous les autres groupes j d'où l'on conclura

B = ^. i H-^.^' -t-l\ 2? + etc.,

' C C. * C C^ C Cs

pour la yaleur complète de p^ laquelle se réduit effectivement à -, *

en vertu de la seconde des deux équations précédentes. Mais si Ton place tous ces groupes dans des urnes différentes A, , Âi^, As, etc.^ la

chance d*en extraire ensuite une boule blanche, ne sera plus -, si ce

n*est dans le cas où tous les nombres c., c^, c^, etc., seront égaux : généralement, elle dépendra de la manière dont les boules blanches et noires de A se trouveront distribuées entre A, , A., Aj, etc. ; et nous ne pourrons la calculer que quand cette distribution nous sera connue. Cependant, pour quelqu'un qui ne la connaît pas, la raison de croire à l'arrivée d'une boule blanche , en tirant au hasard dans l'ensemble des urnes A,, A., Aj, etc., est évidemment la même que celle de croire à la sortie d'une pareille boule, extraite de A; par conséquent, la probabilité de cette sortie, distincte de sa chance propre, sera, pour

cettepersonne, égaleà-. Je suppose, par exemple, que A renferme

deux boules blanches et une boule noire, et que Ton ait mis deux boules dans A, et la troisième dans A.. Pour cette personne , il y aura trois distributions également possibles des trois boules de A entre A, et A«, savoir : les deux blanches dans A, , et la boule noire dans A«; une boule blanche et la noire dans A , , et l'autre boule blanche dans A« ; cette seconde boule blanche et la boule noire dans A, , et la première boule blanche dans A». Dans ces trois cas, les probabilités d'extraire une boule blanche de l'une ou l'autre des urnes A, et A«, seront

i(i+o), Hi+0, i(r+i);

en prenant leur somme et la divisant par trois, on aura donc | pour la probabilité complète de cette extraction , comme pour celle d'une boule blanche, de l'urne A.

Considérons enfin un système d'urnes D, , D», D^i etc., dont la première renferme un nombre c, de boules parmi lesquelles a. boules blan-

5o RECHERCHES

cbes^ la deuxième un nombres, de boules dont a^ boules Manches, etc. ; et supposons que par une raison <{uelconqfue, il n'y art pas la même chance pour toutes ces urnes, que la main s'y portera pour en extraire une boule blanche ou noire. Désignons alors par k^ la probabilité qu'elle se portera sur l'urne D,, par A:^ la probabilité qu'elle se portera sur l'orne Dg, etc» Par la règle do n^ 5, la probabilité d'extraire une boule blaoche de la première urne sera k^ ^^ Ae la se-

conde k^ — , etc. ; ces produits exprimeront donc les probabilités partielles pi, p^f P39 etc., relatives aux diverses manières dont l'extraction d une boule bknche pourra avoir lieu ; par conséquent, la probabilité complète w de cet événement aura pour valeur

nsF = -4- •+- -+- etc.

La considération d'un systèmed'urnes A„ A«, A), etc., pour lesquelles les probabilités^! » ^« ^ ^3 9 etc., sont égales entre elles^ a suffi à la démonstration de la règle du numéro précédent dans toute sa généralité; et cette règle étant ainsi démontrée, son application à d'autres urnes D., D«, D9, etc., pour lesquelles les chances A:,, A;., A^, etc., ont des valeurs quelconques, conduit ensuite, comme on voit , à l'expression à&tzar qui se rapporte à oe cas général.

(i3). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, on qui s'excluent mutuellement , et dont l'un des deux doit toujours arriver. Désignons par p et q leurs probabilités respectives , de sorte

qu'on ait (n* 5)

Supposons que chacun de ces événements puisse avoir lieu de diverses manières, dont nous représenterons les probabilités par />, , /?., p^, etc. , relativement à E, et par 9,, q^, q^, etc., par rapport à F. En appliquant successivement la règle précédente à E et à F , nous aurons

p =: Pu + p^ + p$ + etc., 9 = î. + 9. + Î3 + etc.,

et, par* conséquent,

fi H- Pi H- Ps + etc. + qt + y» H- ys + etc. = 1 .

SUR LA PROBAMLITË BES JUGEMENTS. 5i

DaB8«ine question quelconque d'éventualité, les termes du premier membre de cette équetiou sont les probabilités des diverses combi* naisons £ivorables ou contraires à larrivée de E; cette équation ex* prime donc que leur sonune doit toujours être égale à l'unité ou à la certitude 3 ce qui doit être , en effet , si Ton a épuisé toutes les combinaisons possiÛes.

En vertu de cette même équation , l'expression de p peut être mise

sous la forme

, Ipi + Ip:^ + (P3 4- etc. ,

P Ip, + Ip^ + Ipi + etc. + Iqt + Iq^ + ^ÎJ + «^- *

/ étant une quantité que l'on prendra à volonté. Les termes de cette fraction seront proportionnels aux chances /7| , p^^ etc. , ç., q^^ etc., des cas favorables ou contraires à l'arrivée de E. Or^ si l'on suppose que parmi les termes du numérateur, il y en ait un nombre a' qui soient égaux entre eux et représentés par oJ , un nombre a" égaux entre eux et exprimés par o!\ etc. ; si l'on suppose de même que parmi les termes du dénominateur, il y ait un nombre c' de ternies égaux dont la valeur commune soit y' , un nombre c" d'autres termes égaux dont y soit la valeur commune , etc. , l'expression de p deviendra

Ja' + a' a" 4» g*^ + etc.

P ^ yV + y V + iTiT + etc.*

Donc, lorsque tous les cas favorables ou contraires k un événement E, n'auront pas une même chance, on obtiendra la probabilité de E, en multipliant les nombres de cas également probables, par des quantités proportionnelles à leurs probabilité respectives, et divisant ensuite la somme de ces produits relatifs à tous les cas favorables, par la somme de ces mêmes produits relatif à tous les cas possibles. Cette règle est plus générale, et souvent plus commode à appUqaer, que celle du n' a, en ce qu'elle n'exige pas que Ton ait réduit à une égalité de chance, tous les cas fnvorables ou conAraires, d'où dépend, dans chaque question, l'arrivée d'un événement dont ou veut Goanaltre la probabilité.

(i4)> Les règles des n** 5 et jo suffisent pour obtenir les formules relatives a là répétition , dans une série d*épreuves , d'un événement dont les chances sont connues, soit qu'elles demeufent constanles, soil qu'elles varient pendant les épreuves.

Appelons toujoiirs £ et F les ëvénenients contraires , d'une natare quelcongue^ dont l'un des' deux aura lieu à. chaque épreuve. iSuppo-

par 771 le nombre de fois que E arrivera , par n le nombre de foisi que F aura lieu. Nous aurons

p -i^ q z=z i, m + n =: fA.

La probabilité que ces m et n arrivées de E et F auront lieu dans un ordre déterminé, est indépendante de cet ordre particulier, et égale à p"^' (o? 7); par conséquent, si l'on appelle n la probabilité qu elles auront lieu dans un ordre quelconque ,. et K le nombre de manières différentes, dont m événements E et n événements F peuvent se suc* céder dans un nombre /i d'épreuves, on aura, d'après la règle du n* 10,

n = K/TçV

Four déterminer K, je suppose d'abord que les)U événements qui doivent avoir lieu soient tous différents, et je les désigne par les lettres A, B, C, D, etc. Ce nombre K sera alors celui des permuta" tiens que l'on peut faire subir à fc lettres disposées comme les facteurs d'un produit ; or, il aura pour valeur