Recherches sur la théorie de la démonstration

Ce fut un des grands mérites de Russsell et Whitehead dans leur ouvrage capital, les Principia Mathematica, d’avoir montré, en poursuivant la voie ouverte par les logisticiens de l’école de Peano, que toute proposition mathématique pouvait se traduire par les combinaisons d’un petit nombre de signes, et que les lois du raisonnement se ramenaient, en définitive, à quelques règles simples de combinaison de ces signes; ce qui fait qu'on peut, en un certain sens, considérer ce système de signes comme équivalent à l’ensemble des mathématiques.

On se servira dans ce but d’un certain nombre de signes qui traduiront, soit les opérations et les concepts logiques les plus simples (un signe signifiera ,ou”; un autre, ,non’”; un autre »et”, etc), soit des relations déterminées entre certains objets. Nous étudierons ces signes en détail dès le début de ce travail. On donne un certain nombre de lois qui seront de deux sortes:

a) Les unes indiquent que certaines combinaisons de signes sont des propositions.

b) Les autres indiquent des procédés permettant, à partir d’un certain nombre de combinaisons de signes que l’on sait déjà être des propositions, de former d’autres combinaisons qui seront aussi des propositions.

En choisissant convenablement ces signes et ces lois, on réussit à traduire les propositions en signes. Il faut d’ailleurs remarquer que ce premier pas n’est que le moins important, car on peut considérer que l’énoncé d’une proposition en mots d’une langue déterminée, est un ensemble de signes représentant cette proposition. Notre symbolisme n’est, au fond, qu'une sténographie, permettant d’ailleurs de donner plus d’uniformité et plus de précision à l’énoncé des propositions mathématiques: c'était là le seul but des logisticiens.

Il faut maintenant étudier les lois du raisonnement. On constate alors qu’elles se réduisent, à l’intérieur de toute théorie mathématique, à quelques lois très simples, des deux sortes suivantes: |

a) Les unes indiquent que certaines propositions seront considérées comme vraies. |

b) Les autres indiquent des procédés permettant de déduire de certaines propositions dont on sait déjà qu’elles sont vraies, d’autres propositions qui seront elles aussi considérées comme vraies: ce sont ,les règles de raisonnement”.

L'énoncé de toutes ces règles est tel, comme on s’en rendra compte plus loin, que toute combinaison de signes appelée proposition, est effectivement la traduction d’une proposition du langage ordinaire, et qu’une suite de propositions qu'il faut considérer comme vraies d’après ces règles, correspond à une démonstration mathématique. Mais on peut encore se demander s’il n'y a pas des propositions que le système de signes ne saura traduire; ou des démonstrations qui échapperont à ses règles.

Il ne faut pas cacher que cela n’est qu’un résultat expérimental (dont la validité ne peut être que confirmée par une dialectique philosophique); sa preuve réside, en somme, dans le fait que Russell et Whitehead ont réussi, dans les trois tomes de Principia Mathematica, à reproduire tous les raisonnements des débuts des mathématiques et de la théorie des ensembles. On peut considérer comme un des faits les plus parfaitement vérifiés dans notre connaissance logique du monde, que tout raisonnement que peut actuellement faire un mathématicien raisonnable, trouve immédiatement sa traduction dans le système de signes étudié. Il est possible, quelque difficile que cela nous paraisse, que l’on pourra quelque jour faire éclater ces cadres;