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on se convaincra peut-être par la compréhension plus précise de ce qu'est cette logique symbolique que, sans doute, même alors, il lui suffira de modifier quelque peu les règles initiales de l’emploi de ses signes, pour absorber ces nouvelles théories !). Arrivés à ce point où l’on découvre un parallélisme absolu entre le raisonnement mathématique et les combinaisons des signes, il devient naturel d'étudier ce système de signes pour lui-même, et de se poser des problèmes à son sujet; et leur solution aura immédiatement un écho dans notre connaissance générale des Mathématiques (c'est ainsi que l’on peut démontrer la noncontradiction de certaines théories). Nous nous poserons des problèmes du genre suivant: Les propositions possèdent-elles telle propriété ? ou: les propositions vraies possèdent-elles telle propriété ? Nous pourrons également chercher un critère permettant de reconnaître sûrement si une proposition donnée est vraie dans une théorie déterminée: sa découverte dans un cas suffisamment général serait évidemment d’une importance théorique considérable. Mais il nous faut trouver une méthode permettant d'aborder ces problèmes. On se convaincra peut-être assez facilement qu’il n'y en a-qu'une qui n'offre pas d’objections: c’est celle qui est désignée habituellement sous le nom de méthode par récurrence. Supposons, par exemple, que nous voulions démontrer que toute proposition vraie, dans une théorie donnée, possède une propriété À. Il nous faudra d’abord montrer que toutes les propositions que l’on a admises comme vraies au début de la théorie, possèdent cette propriété; puis, que si les propositions vraies possèdent cette propriété, il en est de même pour toute proposition que l’on en déduit en appliquant une des règles du raisonnement. On est alors certain que, pour toute démonstration réduite en signes que nous pourrons avoir devant les yeux, nous pourrons essayer de vérifier que la conclusion possède la propriété À, en répétant le raisonnement pour chaque pas de cette démonstration; et nous pourrons être sûrs d'avance que cette vérification se fera. (C’est là une certitude de nature intuitive, expérimentale. C'est la conscience que nous avons de notre

1) Les logiques intuitionnistes, pour autant qu’on puisse fixer leur manière de raisonner, se bornent à interdire certains raisonnements; donc ne risquent pas de sortir des cadres de la théorie que nous considérons.

possibilité de raisonner qui nous permet de savoir que, dans chaque démonstration particulière, en répétant le raisonnement un nombre suffisant de fois, — un nombre de fois que l’on peut connaître d'avance en regardant la démonstration que nous considérons, — on arrive à vérifier la propriété À pour sa conclusion.

Cette récurrence qui ,s’arrête dans le fini” a une certitude intuitive telle que l'esprit le plus rigoureux ne peut lui refuser son acquiescement; car un raisonnement qui s'appuie sur elle n’est au fond que la description d'opérations à effectuer dans chaque cas particulier: un manuel opératoire qui permettra de vérifier la propriété À pour la conclusion de toute démonstration traduite en signes que nous pourrons effectivement fabriquer.

Ce point de vue a été développé avec force pendant ces dernières années par Hilbert, qui, dans une série de mémoires, a indiqué ses bases et les résultats qu'il en a déduits (le plus important est la non-contradiction de l’arithmétique ordinaire) 1).

Les propriétés auxquelles nous appliquerons les raisonnements par récurrence, seront telles que l’on puisse toujours, sur une démonstration ou une proposition particuliere, reconnaitre si elles sont vérifiées ou non (par exemple, la propriété .qui consiste à contenir, ou à ne pas contenir tel signe). Il est certain qu'on ne peut donner de critère permettant de reconnaître si une propriété satisfait à cette condition; mais on se convaincra aisément, dans chaque cas particulier, qu’il en est ainsi. Pour éviter cet appel à l’intuition, il faudrait faire pour cette logique un travail analogue à celui qui a permis de faire l’axiomatisation des Mathématiques ordinaires; mais cela est peut-être encore prématuré.

Le présent travail utilisera systématiquement la méthode de récurrence, et cela, de trois manières différentes:

1% Pour démontrer que toute proposition possède telle propriété que nous appellerons À, nous montrerons successivement: a) que les ensembles de signes dont on indique explicitement que ce sont des propositions, dans les règles permettant de construire des propositions, ont la propriété 4; b) que si des

1) Dans sa communication au congrès de Bologne en 1928, Hilbert a en effet rangé parmi les problèmes qui se posent actuellement certains des résultats qu’il avait annoncés précédemment (et qui correspondaient, semble-t-il, à la non-contradiction des Mathématiques ordinaires et de l’Hypothèse du continu).

propositions possèdent la propriété À, il en est de même de toutes celles que l’on peut en déduire en appliquant une des règles permettant de construire de nouvelles propositions à partir d'anciennes. On est alors sûr que toute proposition que l’on pourra fabriquer possédera la propriété A4. Nous dirons qu’une telle démonstration procède par récurrence sur la constructian de la proposition. \

2°. Pour montrer de même que toute proposition vraie dans une théorie possède une propriété À, nous montrerons successivement que les propositions que l’on admet comme vraies au début de la théorie, possèdent la propriété 4; et que si des propositions vraies possèdent la propriété À, il en est de même pour celles que l’on peut en déduire, en appliquant une des règles du raisonnement. Un telle démonstration sera dite procéder par récurrence sur la démonstration de la proposition.

3°. Il nous arrivera aussi d’avoir à considérer des séries de propositions dont chacune se déduit de la précédente par une opération déterminée; ce qui fait qu’on peut numéroter ces propositions avec des chiffres. Supposons que nous ayons démontré que la première proposition de la série possède une propriété À; il en est de même de la suivante. Nous sommes alors certains que chaque fois que nous prendrons effectivement une proposition de la série, elle possèdera la propriété À (car il suffirait de répéter le raisonnement imaginé ci-dessus, à chacun des pas qui conduirait de la première proposition de la série, à celle que l’on envisage).

Il faut bien remarquer qu'il y a une certaine différence entre la manière dont nous employons ici le raisonnement par récurrence, et celle dont on l’emploie parfois en mathématiques. Ici, ce n’est jamais que l'indication, en une seule formule, d’un procédé qu'il faudra appliquer un certain nombre de fois dans chaque cas particulier. En mathématiques, au contraire, il arrive que l’on utilise ce raisonnement dans des cas où l’on considère des concepts qui n’ont pas de représentation matérielle possible, au contraire de nos signes, comme par exemple, l’ensemble des entiers; ou des nombres réels. C’est pourquoi ce ne sera pas une tautologie quand nous démontrerons plus loin que le raisonnement par récurrence, dans son emploi en Arithmétique, n’est pas contradictoire.

RC

D'une maniere générale, on peut dire que beaucoup des obscurités et des discussions qui sont survenues à propos des fondements des Mathématiques, ont pour origine une confusion entre le sens ,mathématique” des termes, et leur sens ,métamathématique” (c’est le terme que Hilbert emploie pour désigner sa logique). On se sert du premier quand on fait un raisonnement mathématique; on se sert du second quand on parle du raisonnement mathématique. Ainsi s’éclaircissent facilement beaucoup des questions concernant le raisonnement par récurrence, le tiers exclus (dans le sens mathématique, c’est la possibilité de se servir dans un raisonnement du fait qu'une proposition est ou vraie ou fausse; dans le sens métamathématique, c’est la possibilité de pouvoir toujours démontrer dans une théorie donnée, la négation d’un théorème, à défaut de ce théorème lui-même), la question des objets que l’on peut effectivement construire (savoir si, étant donné un ensemble, on peut effectivement l’ordonner, c’est une question métamathématique; savoir si la proposition; ,il existe une ordination” est vraie, c’est une question mathématique); le paradoxe de M. Borel sur les objets définissables par un nombre fini de mots (le paradoxe résulte de l’application illégitime d’un raisonnement mathématique dans une question métamathématique), etc. Il ne faut pas non plus oublier que l'étude du raisonnement métamathématique pourrait nous fournir une nouvelle théorie, dont celui-ci serait l’objet; et que cette échelle de métamathématiques de différents ,types”, peut être poursuivie indéfiniment; mais ces considérations débordent de beaupoup le cadre que nous nous sommes imposé.

On pourra, si l’on veut, dans la lecture de ce travail, dépouiller les signes employés de leur signification intuitive; et considérer que nous y étudions un certain système d'objets (qui seront les signes utilisés) que nous soumettons à certaines règles.

‘étude d’un tel système devient alors aussi légitime que celle de n'importe quel autre, comme, par exemple, un groupe, un corps ou un anneau. Un tel point de vue sera peut-être de quelque utilité pour éviter des confusions entre les propriétés que l’on attribue instinctivement aux signes quand on se rappelle leur signification et celle que nous leur attribuons en réalité. Mais il ne sera pas sans intérêt de se souvenir, de temps à autre, de cette signification pour se rendre compte du chemin parcouru,

de la voie sur laquelle on est engagé et du but qu'il serait souhaitable d'atteindre.

Ce travail est divisé en trois parties, comprenant cinq chapitres. Dans la première partie (Chapitres 1 et 2) on indiquera le système de signes utilisé et les règles qui président à leur emploi. Nous avons adopté ici un système de règles qui diffère quelque peu de ceux jusqu'ici èmployés, mais qui s'apparente pourtant à une des méthodes de Russell et Whitehead (Voir Ch. 2). Les raisons qui nous ont fait l’adopter sont que, d'abord, c’est un de ceux où le nombre de propositions admises comme vraies est le plus petit; et qu’il nous permet mieux que tout autre d'étudier en détail les propriétés fondamentales des propositions, soit nécessaires, soit suffisantes pour leur vérité. Nous montrerons d’ailleurs en détail son équivalence avec les méthodes de Russell et Whitehead, comme il est nécessaire de la faire d’après les idées développées un peu plus haut.

Dans la deuxieme partie, qui comprend les chapitres 3 et 4, nous indiquons comment on fabriquera des systèmes de signes correspondant à une théorie mathématique; il faudra pour cela généraliser légérement le symbolisme des précédents chapitres. Le chapitre 4 est consacré à l’étude d’une théorie mathématique particulièrement simple, correspondant au début de l’Arithmétique classique, et pour laquelle une méthode nouvelle conduira à des résultats précis et intéressants.

Enfin la troisième partie est consacrée à une étude des conditions nécessaires et suffisantes pour la vérité d’une proposition. Elle commencera par l'étude de conditions suffisantes, puis continuera par la démonstration d’un théorème fondamental qui peut être considéré comme la base d’une méthode générale dans la théorie à laquelle ce travail est consacré. C’est ainsi qu'une de ses plus simples applications sera la non-contradiction des axiomes arithmétiques et des définitions par récurrence.

1) Les principaux résultats de ce mémoire ont été résumés dans trois notes aux ,,Comptes rendus de l’Académie des Sciences“, tome 186,

p. 1274, et tome 188, p. 303 et 1076.