Comme on a aussi

—-:p.q.=.q:p Æp'q—r:=:q:p.r (P. M. 4.3, 4.32) on peut définir de la même manière un produit généralisé p;.p2...p,. 3.42. On peut donner une définition du produit généralisé, à partir de la somme généralisée.

On a, en effet:

DD D OO piV COOP Ve VCOp. (1) Pour démontrer ceci pour une valeur de n déterminée, il suffit de le démontrer de proche en proche, en le supposant démontré pour n, et en le déduisant pour n +1. Or pi-p:..….p, est identique à pi:p:....p,, donc à DO: CO pie Ve Pace. P,s Par définition, ce qui donne le résultat en se rappelant que —.æa.=.a (P. M. 4.13).

On voit de plus que:

EC Die De ce D, Cp Pi Ve. VOD, (2) (Ceci résulte de la formule de (1), et du résultat déjà rappelé Ep=ag. ).cop=aq (P. M. 4.11).

En outre, si on substitue à p;,p»,...,p,, respectivement © Py3 © Pyyee © p, dans la formule (1), on obtient: ie PI VE Pen eo Die Pr: CO0P: (3) 3.43. Remarque 1. De ce que bu E)D (P:M23,26) Rp) :42%)p:q (R2M7232) on en déduit aisément que la condition nécessaire et suffisante pour que p,.P2....p, SOit vrai, est que p;, ps....p, le soient tous.

et

3.44. Remarque 2. Il nous arrivera, dans la suite, de parler de produits ou de sommes n’ayant qu’un seul terme p; nous