Chapitre 5. 6.8. —

le suivant: /es méthodes transcendantes ne peuvent permettre de démontrer en Arithmétique de théorème qu'on ne puisse démontrer sans leur aide'). Notre théorème du $ 5, qui fournit un type canonique pour toute démonstration, permettrait alors de donner la démonstration purement arithmétique de ces théorèmes.

Nous avons voulu dans ce qui précède donner quelques applications simples de nos théorèmes; nous espérons pouvoir dans un prochain travail montrer leur utilité dans l'étude des théories à ,complète détermination” (Ch. 3, 3.1), et dans celle de la constructibilité des objets mathématiques. Mais il est bien certain que la direction la plus intéressante, et sans doute la plus difficile, serait la recherche de la solution de l’,Entscheidungproblem”. La solution de ce problème fournirait une méthode générale en Mathématiques, et permettrait de faire jouer à la logique mathématique, vis-à-vis des Mathématiques classiques, le même rôle que la géométrie analytique vis-à-vis de le géometrie ordinaire.

14 Avril 1929.

1) Nous nous sommes assurés que l’on pourrait démontrer ce théorème, si on avait résolu l’Entscheidungsproblem, et démontré la non-contradiction de la théorie Russell et Whitehead (en y supposant vrais les axiomes multiplicatifs et de l'infini).