Chapitre

Nous allons rendre vraies” toutes les hypothèses dans un champ infini: le champ d'ordre O0 sera composé de a;; les champs d'ordre k, de lettres du champ À. Soit [le champ d'ordre p. Tout individu de l'est la valeur d’un individu E, et réciproquement, tout individu E a une valeur dans |. Pour que les hypothèses considérées soient vraies dans le champ infini, il suffit que:

1% Les anciennes fonctions descriptives aient la même valeur que dans À, et la fonction propositionnelle x —y, la même valeur logique.

DONET, (yiY2...yn) n'ait de valeur différente de O0 que s'il y a un indice j différent de 0 tel que a, et a,,, soient dans Let que P;a;yiy»...y,, ait la valeur logique , vraie”, ,a, +1,y; y. Van, la valeur logique , faux”; fi(yiye ya) devant alors avoir la valeur a,.

Pour fabriquer les champs il suffit donc d’y trouver les valeurs de ces fonctions d'indice.

Nous appellerons fonctions de première sorte toute fonction (de hauteur quelconque) obtenue à partir des anciennes fonctions élémentaires descriptives; fonctions de deuxième sorte, les nouvelles fonctions d'indice (celles-ci sont de hauteur 1).

Supposons que nous ayons un champ C, où l’on connaisse déjà les valeurs de certains individus E; nous faisons sur lui l'opération suivante (si toute fois elle est possible):

1° S'il y a des individus E qui soient des fonctions de première sorte d'individus E dont on connaisse la valeur dans C, on ajoute à C les valeurs de ces individus pris dans le champ À (ces valeurs pouvant figurer ou non déjà dans C: dans le premier cas, cela fournit seulement de nouveaux individus E dont on connaîtra la valeur dans C).

2, S'il n'y a pas de tels individus, et s’il y a des individus Æ qui sont des fonctions de deuxième sorte d'individus E dont on connaisse la valeur dans C, prenons-en un: f,(y: y».. Vn)

(oyne. y, étant des lettres de C).

a) Si ®, (Oy:y2..y,) est faux dans À, on donne à cet invidu la valeur 0.

b) S'il y a un élément de C, soit a, différent de a, tel que-

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a) a; et a,,, soient dans C;

B) -®, AjYiVoeeeVn, ait la valeur logique vrai”, et PE es EN 2 Voree nn la valeur logique ,,faux”, on donne à cet individu la valeur a.

Partons du champ composé de a, et effectuons l'opération précédente un nombre suffisant de fois; on aura des champs de plus en plus étendus où on aura les valeurs d’un toujours plus grand nombre d'individus Æ. Il est bien évident qu’il arrivera un moment (au bout d’un nombre d'opérations au plus égal au nombre des individus Æ) à un champ [où l'opération précédente sera impossible; les individus Æ se diviseront alors en 3 catégories:

1) les e, ayant une valeur dans le champ |.

2) les e, fonctions de deuxième espèce des e, ne rentrant dans aucune des catégories a) et b) ci-dessus.

3) les e:, fonctions de e..

Donnons aux e, la valeur 0. Les e; sont des fonctions des es; remplaçons dans ces fonctions ces e, par 0; les e; deviennent des individus ÆE, de hauteur au plus égale à celle des e; dont on part. À ceux d’entre eux qui deviennent des e; ou des e, on donne la valeur de l'E en lequel ils se transforment. Pour ceux d’entre aux qui deviennent d’autres e;, on répète la même transformation.

On finit ainsi par donner des valeurs à tous les individus E dans l. On obtient donc le champ d'ordre p cherché.

On constate immédiatement que ce champ satisfait aux conditions énoncées ci-dessus. Notre démonstration est donc achevée.

L'exemple précédent fournit un exemple caractéristique d’application de notre méthode. Nous espérons d’ailleurs que nos théorèmes permettront de démontrer la non-contradiction de la théorie obtenue en ajoutant à l’Arithmétique le type des classes (Ch. 3, 2.3) et les axiomes correspondants; les difficultés que nous avons rencontrées dans cette direction, et qui sont analogues à celles qu'offre le cas général de l’axiome d’'induction totale, nous paraissent en étroite connexion avec les question qui se posent autour du premier lemme de Hilbert dans son mémoire »Sur l’Infini”. Nous croyons aussi que l’on pourra arriver par cette voie à un théorème général dont un cas particulier serait