La valeur logique

4. Nous allons démontrer que la théorie développée jusqu'ici n’est pas contradictoire, c’est-à-dire qu’on ne peut trouver parmi les propositions vraies, à la fois une proposition et sa négation.

Supposons donc qu’on ait un raisonnement qui conduise à kp et à [—-. cp.

4.1. Faisons correspondre à chaque lettre qui intervient dans ce raisonnement l’un ou l’autre de deux signes que l’on désignera, par exemple, par V et F. À toute proposition formée avec ces lettres et les signes v et ©, on fera alors correspondre V ou F, de la manière que nous allons ‘indiquer. Quand, à une proposition, correspond le signe Ÿ, nous dirons qu’elle a la valeur logique ,vrai”; s'il lui correspond le signe F, la valeur logique , faux”.

Si à p correspond Ÿ, convenons qu'à ©p correspond F, et si à p correspond F, qu'à ©p correspond ÿ. | Convenons qu'à pvq correspondra F, si, et seulement si, à p et à q, correspond F.

En procédant comme dans un raisonnement déjà vu (3.3) on voit que ces deux règles suffisent à déterminer la valeur logique de toute proposition, et cela d’une manière univoque.

4,2, Démontrons que toute proposition vraie a la valeur logique ,vrai” (la réciproque n’est évidemment pas exacte).

Or, toute proposition obtenue en remplaçant dans les propositions primitives (2) p, q, r par d’autres propositions, a la valeur logique ,vrai”; on le vérifie directement en supposant

— 19 — . Chapitre 1. 4.2.

réalisé successivement chacun des huit cas possibles qu’on peut obtenir pour les valeurs logiques de p, q, r. Dans tous les cas, on voit que la valeur logique des propositions est le vrai.

D'autre part, si p)q et p ont la valeur logique ,vrai”, q Va aussi; car, sans cela, p ayant la valeur logique vrai”, et q la valeur logique ,faux”, p)q aurait, d'après sa définition, la valeur logique ,faux”.

Quand on a devant les yeux un raisonnement, celui-ci procédant à partir d’un certain nombre de propositions primitives, et employant un certain nombre de fois la règle d’implication, il suffit de répéter dans ce cas particulier notre raisonnement assez de fois, pour conclure que la conclusion du raisonnement a la valeur logique , vrai”. (Ceci est le premier exemple de cette »récurrence sur la démonstration d’une proposition”, dont on a parlé dans l'introduction).