Transformation des propositions primitives en règles

7.1. Remarquons déjà sur le cas très simple que nous venons de traiter, que le choix des propositions primitives et des règles est très arbitraire; donnons un exemple où toutes les propositions primitives, sauf une, sont remplacées par des règles.

Dans ce qui suit, il est bien entendu que les lettres peuvent être remplacées par des fonctions propositionnelles quelconques.

On prend comme seule proposition primitive:

pro Pp et les quatre règles suivantes:

Règle 1. v est associatif et commutatif.

Règle 2. Dans une identité propositionnelle, on peut remolacer pvp par p, et inversement.

Règle 3. Si —.p alors: -.pva.

Règle 4 Si -.pva et si —.rvq alors -—-.pvr.

— 27 — Chapitre 1. 7.1.

Ces règles ne peuvent conduire à des propositions fausses, comme le montre la théorie de la valeur logique, et (3.3).

Mais, réciproquement, on peut déduire les propositions primitives et la règle d’implication de ces règles.

1. -:pvp.)p résulte, par la règle 2, de: -—-.p )p qui n'est autre chose que: —. pvp.

2. |-:q D.pva n'est autre chose que: —.©q.v.pva qui résulte de notre proposition primitive et de la rèyle 3.

3 :pvq.).qvp et |-:.p.v.qvr: ):q.v.pvr résultent de la première règle et de la proposition primitive.

4 |—:.q Dr. D:pvq. ).pvr se démontre comme suit. On a: —:©.Q Dr.v.qur d'après la proposition primitive; —:pyq.v.pvavr d'après la proposition primitive et la règle 3. Donc, d’après la règle 4 —:.q Dr.v.r.v.©.pvq.v.pvr d'où l’on déduit la proposition cherchée par la règle 2.

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En effet, on a alors: —.pvgq et —-.pvaq d'où --.qva, d’après la règle 4, et --.q, d’après la règle 2.

On retrouve bien les méthodes de Russell et Whitehead à partir de cette nouvelle méthode.

7.2. On pourrait fonder toute la théorie exposée dans ce chapitre, en prenant comme définition de l'identité propositionnelle, la propriété exprimée par le théoreme 5.21. Cette méthode serait très rapide, mais a l'inconvénient, de ne pas permettre de démontrer que la théorie de Russell er Whitehead lui est équivalente.