Chapitre

lettres grecques, soit des majuscules romaines, ou même des minuscules romaines quand il n’y aura pas d’ambiguité possible), seront toujours accompagnées d’un certain nombre de variables !); ces lettres seront dites des fonctions propositionnelles éléments des variables et les variables seront dites les arguments de la fonction; elles seront considérées comme des propositions: ce seront les propositions-éléments de la théorie que nous allons considérer.

Par exemple, un ensemble de signes tel que ® x sera une fonction propositionnelle élément de la variable x; un ensemble de signes tel que Wxy sera une fonction propositionnelle élément des variables x et y.

Nous considérerons aussi des propositions sans variables que l’on peut considérer comme des fonctions propositionnelles à 0 argument. Qu'il soit désormais bien entendu que, quand nous écrirons une fonction propositionnelle ® x, elle pourra posséder d’autres variables réelles, qui seront sous-entendues (sauf indication formelle du contraire).

1.1. En combinant nos propositions-éléments avec les signes logiques © et v selon les règles exposées au chapitre précédent, nous formerons, avec les propositions-éléments, d’autres propositions que nous appellerons élémentaires; par exemple:

PxyvPrxzobryvWz

seront des propositions élémentaires.

1.2. Nous nous servirons de deux nouveaux signes logiques qui seront de la forme suivante: (x) et (4x), x étant une variable. Nous allons indiquer leur emploi et leur signification dans un instant. Disons tout de suite que ces signes seront appelés symboles de variables apparentes, les variables d’une proposition contenues dans de tels signes étant dites apparentes et que les autres étant dites réelles. C'est ainsi que toutes les variables d’une proposition élémentaire sont réelles.

Dans ce qui suit le signe X désigne un groupe de points dont le nombre sera déterminé en 1.5.

1% x étant un ensemble de signes et de lettres constituant une proposition, où x est une des variables réelles

(x) XP x

1) Ce nombre sera toujours le même pour une lettre déterminée; il pourra d’ailleurs même être nul pour certaines lettres.

— 929 — Chapitre 2. 1.2.

sera considéré comme étant une nouvelle proposition qui s'énoncera: ,quel que soit x, Dx”.

2°. dx étant un ensemble de signes et lettres constituant une proposition, où x est une des variables réelles

(4 x) XP x

sera considéré comme étant une nouvelle proposition qui s'énon-

cera: il existe un x tel que dx”.

1.21. Pour plus de généralité, nous admettrons dans les deux règles précédentes, que ® x peut ne pas contenir x effectivement; x sera dit alors une variable fictive. (Il résulte de ce qui suivra que (x).p ou (4x).p est équivalent à p, si p est une proposition ne contenant pas effectivement x).

Au point de vue de la signification des signes introduits, quand on les considère comme traduisant des relations mathématiques, nous indiquons que ® x signifie que l’objet particulier (quoique peut-être indéterminé) x, a la propriété d, tandis que (x) X D x signifie que tout objet x a la propriété d; et que (4 x) X D x signifie qu’il y en a (au moins un), ayant cette propriété.

1.3. Nous voyons donc que, désormais, une proposition sera fabriquée à partir des propositions-éléments en les combinant avec les signes © et v selon les règles du chapitre précédent, et avec les signes de forme (x) et (4x) selon les règles que nous venons d'indiquer. Donc, désormais, pour effectuer des démonstrations par récurrence sur la construction d’une proposition, il faudra tenir compte de ces quatre méthodes de formation; nous verrons cependant un peu plus loin deux modifications que peut subir cette méthode.

1.4. Une proposition sera dite une fonction propositionnelle de ses variables réelles. Désormais un ensemble de signes comme ® x représentera une fonction propositionnelle de x, pas forcément élément.

1.41. Une proposition contenant une proposition élément déterminée sera dite une fonction propositionnelle de cette proposition élément; si on remplace cette proposition élément par une autre proposition, on aura une fonction propositionnelle de cette autre proposition. Une fonction propositionnelle est de première espèce, si elle ne contient pas de symboles de varia-