Chapitre

2%. Règles de passage. Si l'on remplace à l'intérieur d'une proposition vraie (x) ® x par (4x) © ® x, ou ©(4x) P x par (x) D x, ou inversement; ou (x)Px.vp par (x). xvp, ou (4x)P x.vp par (4x). Pb xvp, ou inversement (p designant une proposition ne contenant x, et ® x une proposition pouvant contenir x, on obtient une autre proposition vraie). | Voici, par exemple, un emploi fréquent de ces règles de passage: Si (x).® x )p c'est-à-dire (x). ® xvp est vraie, on en déduit que (x). ®Dx.yp puis ©:(4x).Px:vp et enfin (4x). x. )p sont vraies. De même si (4x). x )p est vraie, on en déduit que (x).® x. )p est vraie.

3. Première règle de généralisation. Si une proposition ® x contenant, entre autres, la variable réelle x, est vraie, alors la proposition (x).® x est vraie.

4. Deuxième règle de généralisation. Si la proposition Pxy contenant, entre autres, les variables réelles x et y, est telle que P xx soit vraie, alors la proposition (4y).Ÿ xy est vraie.

Voici le sens de ces deux règles de généralisation:

a) La première signifie qu’on peut rendre apparente une variable réelle x en mettant (x) devant la proposition.

b) La deuxième signifie qu’on peut, en certains des endroits. où figure une variable réelle x dans la proposition, la changer en y, en mettant (4y) devant la proposition.

5°. Règle de simplification: P désignant une proposition, si PvP est vraie, P est vraie.

6°. Règle d’implication: P et Q désignant des propositions, si P)Q et P sont vraies, Q est vraie.

Nous voyons que, dans cette méthode, les propositions primitives du chapitre précédent ne s'appliquent à priori qu'aux propositions élémentaires. Mais nous démontrerons un peu plus loin qu’il résulte des autres règles de raisonnement qu’elles s’appliquent à toute proposition sans exception.

2.1. Le problème fondamental de la logique mathématique consiste à trouver un procédé permettant toujours de reconnaître si une proposition est vraie ou non dans cette théorie. C’est ce que les Allemands appellent ,/'Entscheidungsproblem”. Ce problème a été résolu dans le cas particulier du premier Chapitre; nous verrons plus loin d’autres cas particuliers où il est résolu.

— 33 — Chapitre 2. 2.1.

Nous indiquerons comme au Ch. 1, (2), qu’une proposition est vraie en la faisant précéder du signe |—; nous dirons que c'est une identité propositionnelle (que nous dirons de deuxième espèce si nous voulons faire remarquer qu’elle contient des variables apparentes), et plus brièvement, une identité.

L'équivalence des propositions s'y définit comme en cet endroit (Ch. 1, 3.2).

L'ensemble des opérations nécessaires pour montrer qu’une proposition est vraie, et des propositions vraies intermédiaires que cela conduit à introduire, sera appelé la , démonstration de la proposition.

2.2. Remarque 1. Quand nous voudrons désormais démontrer les propriétés des propositions vraies, il nous faudra tenir compte de toutes les nouvelles règles de raisonnement: il faudra montrer que la propriété envisagée est vraie pour les identités propositionnelles portant sur des propositions élémentaires; et que si elle est vraie pour des propositions, elle l’est encore pour celles qu’on en déduit par application d’une quelconque des règles de raisonnement. Comme au chapitre précédent, nous serons alors sûrs que, dès que nous aurons devant les yeux une démonstration particulière, nous pourrons constater effectivement que sa conclusion possède la propriété énoncée.

2.3. Remarque 2. Nous conviendrons qu'on peut appliquer les règles de généralisation, même dans le cas où la proposition ® x ou ®xy considérée ne contient pas effectivement une des variables.

C'est ainsi que, si pne contient pas x, de |—.p, on déduit: —:(x).p et —:(4x).p. Réciproquement, de |-—.p)p, on déduit (en utilisant conjointement les règles de passage) -—:(x).p. )p

ED: (1x) pp.

Remarque 3. Les règles précédentes entraînent la suivante qui constitue une froisième règle de généralisation: Pxyz étant une proposition contenant, entre autres, les variables réelles x, y et z, si Pyyzvbzyz est une proposition vraie, il en est de même de (4x).Pxyz.

En effet, de:

Dyyzvbzyz on déduit aisément, en appliquant la deuxième règle de généralisation, et la règle de passage: