Conséquences

3. Nous allons maintenant développer quelques conséquences de cette théorie.

3.1. 1% Etant donnée une proposition, nous appellerons matrice de cette proposition (où nous supposerons que toutes les variables apparentes sont représentées par des lettres différentes) la proposition élémentaire obtenue en enlevant de celle-là tous les symboles de variables apparentes et les points qui les accompagnent. (On voit immédiatement que l’on obtient bien ainsi une proposition).

Par exemple la matrice de (4x).Px.v.(y).=®y est Px.v. oo y.

Une proposition élémentaire est sa propre matrice. On vérifie aisément que la matrice d’une proposition ne change pas quand on transforme cette proposition par les règles de passage.

3.101. Une proposition sera dite de forme normale, si elle a la forme:

(Crime. cran) MICPR ec) MK(x;x2...x,) étant une proposition élémentaire (1.1) (qui est la matrice).

Par application des règles de passage, on peut mettre une proposition sous forme normale (c'est-à-dire trouver une proposition équivalente de forme normale). On peut même en trouver une, qui sera dite ,liée à P", telle que l'on rencontre les symboles de variables apparentes dans le même ordre quand on va de la gauche vers la droite, dans P ef dans cette proposition.

On démontre ceci par récurrence sur la construction de P; on voit immédiatement en effet, que si c’est vrai pour P, cela l'est pour ©P; que si c’est vrai pour P et Q, cela l’est pour PvQ; et que si c’est vrai pour ® x, cela l’est pour (+ x).® x.

Par exemple, la proposition de forme normale liée à la proposition ci-dessus est:

(4x) (y).Pzxv oo y.

Une autre proposition de forme normale, qui lui est équi-

valente, est d’ailleurs:

(y) (4 x). xv D y.

L Une variable apparente est dite ,restreinte” dans une proposition p, si elle figure dans la proposition de forme normale liée à p dans un symbole (A x); elle est dite , générale”, si elle figure dans un symbole (x).

3.102. Rappelons-nous la définition du signe des occurrences (au Ch. 1, 5.11); nous conserverons cette définition en la complétant comme suit: le signe d’une occurrence ne change pas quand on passe de ® x à (+ x).® x. On remarquera à ce sujet que si la variable apparente x figure dans un symbole (x), dans une occurrence positive, elle est générale (3.1); dans une occurrence négative, elle est restreinte; c’est le contraire si elle figure dans un symbole (4 x). (On le voit immédiatement par récurrence sur la construction de la proposition).

3.11. On voit que, pour construire une proposition normale, il suffit de partir d’une proposition élémentaire, et d’appliquer successivement uniquement les deux procédés de construction suivants:

1% Passer de ® x à (x).® x

2, Passer de ® x à (4x).® x (à l’exclusion des procédés de construction du Chapitre Î).

Ceci va nous permettre de simplifier des démonstrations par récurrence sur la construction d’une proposition.

3.12. Remarque. A(p,,p:,...,p,) étant une fonction propositionnelle de première espèce, on peut, par application des règles de passage, donner à A({+ x).® x, p»,...,p.) une forme normale telle que x soit la variable dont le symbole soit situé le plus à gauche. Ceci se démontre immédiatement par récurrence sur la construction de À (p;,p:,..., p,)).

3.2. Nous allons maintenant démontrer un théorème qui généralisera celui du Ch. 1 (3.3).

Théorème. Soit F(p) une fonction propositionnelle de la proposition p, dans laquelle p n'a que des occurrences de même signe (3.102).

Si les occurrences de p sont positives dans F(p), on a:

20 a* Rp) D P(Q)r Si les occurrences de p sont négatives dans F(p), on a:

mp ee a)= np).